Universidad Rafael LandívarFacultad de IngenieríaLaboratorio de Resistencia de Materiales I, Sección 02Catedrático: Ing. Francisco Gerardo Corado

PRÁCTICA NO. 4CURVATURA EN VIGAS

Andrés AsturiasEber Romero

Guatemala, viernes 24 de marzo de 2015

I. OBJETIVOS

1.1 OBJETIVOS GENERALES

En base a los cálculos realizados y comparados con la cantidad real, determinar el grado de exactitud de los mismos y plantear una hipótesis de las razones por las cuales los cálculos no coinciden con la realidad.

I.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Observar por medio del marco especial la forma en que se curvan vigas de distintos materiales sometidas a cargas concentradas y cargas distribuidas.

Estimar el radio de curvatura con los datos obtenidos en el laboratorio y compararlo con el valor teórico.

II. MARCO TEÓRICO

2.1 FLEXIÓN EN VIGAS

En este laboratorio se analizaron los esfuerzos y las deformaciones en elementos sujetos a flexión. La flexión es un concepto muy utilizado en el diseño de elementos estructurales tales como las vigas, que soportan esfuerzos tanto de tensión como de compresión. La flexión pura es a lo que los elementos prismáticos o, en esta laboratorio, las placas metálicas, que simulan vigas, están sometidos cuando actúan sobre ellos pares iguales y opuestos en el mismo plano de simetría longitudinal (Beer y Johnston, 1993).

Figura No. 1 Viga sometida a flexion pura

Una viga puede estar sometida a flexión pura por una carga concentrada justo en el medio de la longitud de la viga o aplicar una carga uniformemente distribuida a lo largo de la viga.

.

Figura No. 2 Ilustra una carga concentrada aplicada a una viga.

Figura No 3. Ilustra una carga uniformemente distribuida en una viga.

Al curvarse la viga, se tiene que la longitud del arco es igual a la longitud de la viga cuando no esta deformada,

L = ρɵ

Donde ρ es el radio del arco medido desde un punto c, donde se intersectan las lineas trasadas paralelas a los extremos, hasta el eje neutro; y ɵ es el angulo central que corresponde al arco de la viga.

Considerando ahora un arco ubicado a una distancia y del eje neutro, se observa que la longitud de este nuevo arco es igual a ,

Ly = (ρ-y) ɵ

Como sabemos que la longitud original del arco de la viga es igual L, la deformacion de la viga es igual a:

ƍ = L-Ly

De manera que se obtiene,

ƍ = (ρ-y) ɵ - ρɵ = -yɵ

Figura 4. Ilustra la deformacion respecto al eje neutro.

La deformacion unitaria longitudinal ε de la viga se obtiene dividiendo la deformacion entre la longitud original de la viga,

ε = ƍ / L

Si la ƍ es igual a -yɵ y L es igual ρɵ, se tiene que

ε = -y / ρ

Debido a que las secciones deben permanecer planas, se produen deformaciones identicas en todos los planos paralelos al plano de simetria. Asi, el valor de la deformacion unitaria es valido en todos los puntos y se concluye que la deformacion unitaria longitudinal normal ε varia linealmente con la distancia y desde el eje neutro. La deformacion unitaria es la maxima cuando el valor absoluto de desde el eje neutro. La deformacion unitaria es la maxima cuando el valor absoluto de y es la maxima, y esto es cuando y es igual a c, ya que c es la distancia maxima desde el eje neutro ya sea hasta la superficie superiori o inferior de la viga.

εm = c / ρ

Se concluye el analisis de las deformaciones de un elemento sometido a flexion pura observando que aun no es posible calcular los esfuerzo o las deformaicones en un punto dado del elemento puesto que todavia no se ha localizado la superficie neutra. Para localizarla se tendira que especificar la relacion esfuerzo-deformaicon del material utilizado.

Los resultados obtenidos del analisis de las vigas a flexion puras son utilizados en el analisis de otros tipos de carga, como las cargas axiales transversales. Ya que las vigas trabajan a flexion, el esfuerzo producido genera tensiones de tracción y compresion. Para un momento flector positivo que actua sobre una viga, tal como en la figura 1, el esfuerzo de tension sucede en la parte inferior de la viga y el esfuerzo de compresion sucede en la parte superior de la viga. Cabe mencionar que el esfuerzo normal de tension maximo de la viga sucede en la distancia mas larga de la superficie inferior al eje neutro y para el esfuerzo normal de compresion maximo sucede en la distancia mas larga de la superficie superior al eje neutro. El eje neutro de la viga se encuentra donde el esfueroz normal provocada por la felxion es cero. Para un momento flector negativo sucedo lo contrario del comportamiento de la viga con momento flector positivo.

Figura No. 5 Ilustra el comportamiento de la viga sometida a un momento flector negativo.

Para calcular los esfuerzos de flexion, en el caso de flexion pura el eje neutro pasa por el centroide de la seccion transversal, se toma en cuenta el momento de incercia, I, de esta seccion transversal con respecto al eje centroidal y se obtiene que el esfuerzo es (Fitzgerald, 1990):

σ = Mc/I

Donde M es el momento flector, c es la distancia maxima desde la superficie superioir o inferior al eje centroidal. Como en el caso de la deformacion al sustituir c por y que es una distancia variable desde el eje centroidal a un punto dado, se puede encontrar el esfuerzo en ese punto:

σ = -My/I

Esta ecuación expresa que el esfuerzo es de compresion por encima del eje neutro (y mayor a cero) y el esfuerzo es de tension por debajo del eje neutro (y menor a cero), todo esto cuando el momento M es positivo y lo contrario ocurre con un momento flector negativo.

2.2 DIMENSIONES DE VIGAS RECTANGULARES Y FLEXIÓN PURA

Estudiando la ecuació anterior para calcular el momento de inercia, se observa que la razón I/c depende sólo de la geometrÍa de la sección transversal de la viga. A esta relación se le conoce como módulo elástico de la sección y se representa por S,

S = I/c

Sustityendo en la ecuación para el esfuerzo normal se obtiene,

σ = M/S

Como el esfuerzo máximo es inversamente proporcional al modulo elástico S, es claro que las vigas deben diseñarse con un S tan grande como sea práctico (Beer y Johnston, 1993). Dadas las siguientes ecuaciones

I = bh3/12

c = h/2

se obtiene que,

S = bh2/6

S= Ah/6,

De manera que para vigas con igual área de sección transversal, la viga con mayor altura tendrá el mayor módulo de sección y por tanto será la más efectiva para resistir la flexión.

Figura No. 6 Ilustra dos secciones transversales con la misma área pero distintas dimensionesel rectángulo poseerá un mayor módulo de sección ya que posee una

altura mayor. Se concluye que la dimension mas importante es la altura de la seccion transversal de la viga.

2.3 DEFORMACIÓN Y MÓDULO DE ELASTICIDAD

La deformacion de la viga causada por el momento flector M se mide por la curvatura de la superficie neutra. La curvatura se define como el inverso del radio de curvatura y puede obtener resolviendo la ecuacion del maximo valor abosoluto de la deformacion entre 1/ρ. Sabemos que para el rango elastico la deformacion maxima es igual al cociente del esfuerzo maximo y el modulo de elasticidad, al final se obtiene que,

1/ ρ = M/EI

La deformación la deformacion elástica es igual al cocientre entre el esfuerzo y el modulo de elasticidad, es decir, es inversamente proporcional a E.

Por ello se concluye que los materiales con mayor módulo de elasticidad se deforman menos y soportan mayor esfuerzo normal cuando se someten a momentos flectores.

En caso en que la viga esté compuesta por varios materiales el esfuerzo máximo que ésta puede soportar es igual al más pequeño de los esfuerzos que actuan en cada material deteminado al realizar el analisis correspondiente.

Los módulos de elasticidad de los distintos materiales utilizados en la práctica fueron los siguientes, según dos fuentes:

Tabla No. 1 Módulos de elasticidad

Módulos de elasticidad (GPa)Metal Beer y Johnston

(1993)Datos del fabricante

Acero 200 207 Aluminio 69 - 71 69Bronce 103.4 -117.2 105

III. DATOS OBTENIDOS

Tabla No. 2 Datos para cargas distribuidas

 Número

de masasMasa (Kg)

Longitud (m)

Número de soportes

Base (m)

Altura (m)

Módulo de elasticidad

(GPa)y máxima

(m)

Acero 15 0.01 0.4 7 0.01910.003

2 207 0.001Aluminio 15 0.01 0.4 7 0.0191

0.0032 69 0.0031

Bronce 15 0.01 0.4 7 0.01910.003

2 105 0.00252

Tabla No. 3 Datos para carga concentrada

IV. CÁLCULOS

En base a los datos anteriores se calculan las cargas y la inercia de las vigas, dadas en la siguiente tabla.

Tabla No. 3 Cargas e inercias en vigas

 Número

de masasMasa (Kg)

Longitud (m)

Base (m)

Altura (m)

Módulo de

elasticidad (GPa) y máxima (m)

Acero 45 0.01 0.4 0.0191 0.0032 207 0.00055Aluminio 45 0.01 0.4 0.0191 0.0032 69 0.0017Bronce 45 0.01 0.4 0.0191 0.0032 105 0.00121

 Carga distribuida

(N/M)Carga concentrada

(N) Inercia (m^4)Acero 26.01375 4.4145 5.21557E-11

Aluminio 26.01375 4.4145 5.21557E-11Bronce 26.01375 4.4145 5.21557E-11

Geométricamente el radio de curvatura puede calcularse sabiendo que la distancia máxima de deflexión de la viga formará un triángulo rectángulo con la mitad de la longitud de la viga, y que entre la viga y el radio de curvatura habrá un ángulo de recto. Beta es el ángulo entre la viga sin deformación y el radio de curvatura. Y theta es el ángulo entre la viga sin deformación y la viga deformada.

ρ= L/2cos β

β=90−θ

tanθ= yL/2

Por lo tanto,

θ=tan−1( yL/2

)

Y sustituyendo en la primera ecuación, con la siguiente ecuación basada en las anteriores se puede calcular geométricamente el radio de curvatura de una viga simplemente apoyada, ya sea con carga distribuida o con carga concentrada al centro de su longitud.

ρ= L/2

cos (90−tan−1¿(yL/2

))¿

En donde y es la distancia máxima de deflexión de la viga y L su longitud.

Para obtener los momentos flectores en la viga se obtienen primero los diagramas de corte y momento y luego las ecuaciones que expresan los mismos.

Grafica No. 1 Diagrama de corte de viga bajo carga distribuida

Las reacciones en ambos apoyos son 5.21 N.

Gráfica No. 2 Diagrama de momento flector en viga bajo carga distribuida

Dado que el momento es la integral (área bajo la curva) del diagrama de corte de la viga bajo carga distribuida se encuentra por la siguiente ecuación:

M=−wx2

(L−x )=−(26.031 )0.22

(0.4−0.2 )=0.52Nm

Gráfica No. 3 Diagrama de corte de viga con carga concentrada

Las reacciones en ambos apoyos son 2.2072 N.

Gráfica No. 4 Diagrama de momento para viga con carga concentrada

Dado que el momento es la integral (área bajo la curva) del diagrama de corte de la viga bajo carga concentrada se encuentra por la siguiente ecuación:

M max= P∗L4

=4.41∗0.44

=0.4414

Dadas las ecuaciones anteriores y los datos obtenidos se tienen los siguientes resultados de radios de curvatura, calculados tanto geométricamente (experimentales) cómo teóricamente en base a momentos e inercias, siguiendo la ecuación mostrada:

ρ=EIM

Donde E es el módulo de elasticidad del material y M el momento aplicado a la viga.

Tabla No. 4 Radio de curvatura y error porcentual para vigas con carga concentrada

  

Radio de curvatura (m)  Error porcentual

(%)Experimental

(m) Teórico (m)Acero 40.0005 20.76199385 92.66213203Aluminio 12.90477571 6.920664615 86.46728935Bronce 15.87427582 10.53144615 50.73215578

Tabla No. 5 Radio de curvatura y error porcentual para vigas con carga distribuida

Radio de curvatura (m) Error porcentual (%)Experimental (m) Teórico (m)

Acero 72.72754773 24.45907748 197.343789Aluminio 23.53026175 8.153025827 188.6077175Bronce 33.05845623 12.40677843 166.4547966

V. RESULTADOS

5.1 DISCUSIÓN DE RESULTADOS

La práctica tenía por objetivo realizar una prueba de flexión en vigas de distintos materiales, provocada momentos inducidos por cargas distribuidas o concentradas en un punto de estos elementos. Las vigas estaban hechas de diferentes materiales: acero, bronce, y aluminio, con diferentes módulos de elasticidad respectivos dados por el fabricante. Se tomaron medidas de sus dimensiones para conocer el área de sus secciones transversales, y posteriormente calcular la inercia.

Se buscaba calcular el radio de curvatura para las vigas, por medio de los datos medidos en la práctica, y compararlos con los resultados teóricos basados en las cargas aplicadas conocidas y el módulo de elasticidad de los materiales. Además busca identificar las razones principales por la cuales las vigas presentaron una deformación distinta de la teórica, reconociendo los factores que influyeron en el resultado.

Para dicho efecto, se realizaron las pruebas de las vigas de metal en el laboratorio de la universidad. Estas pruebas fueron realizándose para las tres vigas, midiendo sus dimensiones antes de aplicarle las cargas, para luego colocarlas en el equipo, y exponerlas primero, a una carga distribuida uniformemente y luego mediante cargas concentradas.

Se observo primero que los radios de curvatura calculados geométricamente, es decir según la distancia máxima de deflexión de la viga, fueron mayores que los radios de curvatura calculados teóricamente, según los momentos máximos provocados por las distintas cargas.

El hecho de que los datos experimentales hayan resultados mayores a los resultados teóricos, implica lógicamente que haya habido o una mayor flexión de la esperada en cada uno de los materiales, o bien una medición mayor a la real.

Por ende, se considera que los errores entre los radios de curvatura calculados pudieron deberse principalmente a la fatiga de los materiales, sometidos a esfuerzos repetidos en distintas pruebas de laboratorio a lo largo de los años. Esto ocasionaría que bajo un mismo esfuerzo, el material se deformara más de lo esperado, ya que esto va ocasionando pequeñas fisuras en el elemento.

También es posible que la variación resultante en mayor radio de curvatura se haya debido a errores en las mediciones. A causa de que no se contaba con un

soporte adecuado para el deformímetro, este se deslizaba ocasionalmente de las vigas, y quedaba ligeramente inclinado, ocasionando que la medición de la deformación fuera mayor a la real.

5.2 CONCLUSIONES

Para vigas con carga concentrada

Los radios de curvatura calculados geométricamente según las mediciones realizadas fueron 40.00, 12.91, 15.87 metros para vigas de acero, aluminio y bronce respectivamente.

Los radios de curvatura calculados teóricamente en base a las cargas aplicadas fueron 20.76, 6.92, 10.53 metros para vigas de acero, aluminio y bronce respectivamente.

Los errores porcentuales fueron 92.66, 86.47, 50.73 por ciento para vigas de acero, aluminio y bronce respectivamente.

Para vigas con carga distribuida

Los radios de curvatura calculados geométricamente según las mediciones realizadas fueron 72.73, 23.53, 33.06 metros para vigas de acero, aluminio y bronce respectivamente.

Los radios de curvatura calculados teóricamente en base a las cargas aplicadas fueron 24.5, 8.15, 12.41 metros para vigas de acero, aluminio y bronce respectivamente.

Los errores porcentuales fueron 197.34, 188.61, 166.46 por ciento para vigas de acero, aluminio y bronce respectivamente.

Causas de los errores porcentuales

Los errores entre los radios de curvatura calculados pudieron deberse principalmente a la fatiga de los materiales, sometidos a esfuerzos repetidos en distintas pruebas de laboratorio a lo largo de los años.

También a posibles errores en las medidiciones, debido a que no se contaba con un soporte adecuado para el deformímetro, y este se deslizaba ocasionalmente de las vigas, ocasionando que la medición fuera mayor a la real.

5.3RECOMENDACIONES

Leer de antemano el instructivo del laboratorio para poder investigar de antemano y poder estar preparado al momento de la práctica.

Utilizar el equipo adecuado para tomar las mediciones y asi obtener resultados mas congruentes y exactos.

Verificar que las varillas utilizadas en la practica no esten deformadas plasticamente ya que esto afecta los resultados.

Respetar las regulaciones del laboratorio para poder realizar la practica de manera segura y evitar cualquier percance.

Respetar el equipo de laboratorio, a nuestros compañeros y al catedratico para realizar la practica de maner harmoniosa.

Llevar un registro de los esfuerzos a los que se han sometido las vigas para tomar en cuenta la posible fatiga de las mismas.

BIBLIOGRAFÍA

Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de materiales. (2a. ed.). México: Mc Graw Hill.

Fitzgerald, R. (1990). Mecánica de materiales. México: Alfaomega.

Hibbeler, R. (2006). Mecánica de materiales. (6ta Ed). México: Editorial Pearson Educación.

Wilson, J. y Buffa, A. (2003). Física. (5ª. ed.). México: Pearson Educación.