Ingreso- CPC- 2015 Prctica 14 Vectores ITBA 1

Prctica 14

Vectores en R2 y en R3

1. Sean los puntos A = (-2,3), B = (-3,5), C = (2,1) y D = (-4,4):

a) Graficar los vectores ACyAB

b) calcular: )( CBACCD3

22

c) determinar si CDyAB son perpendiculares

d) calcular el mdulo de BD

e) hallar un vector de mdulo tres con igual direccin y sentido que BD

f) calcular el ngulo determinado por ACyAB

g) hallar un vector de mdulo dos que sea perpendicular a CA

h) determinar el ngulo que AB forma con el semieje positivo de abscisas i) hallar el punto Q tal que ABCQ resulte paralelogramo. j) Hallar el punto medio entre A y D

2. La primera componente de un vector a es menor que la segunda. Dichas componentes

son dos nmeros naturales pares consecutivos y el mdulo del vector es 52 . Escribir a

en forma cartesiana y como par ordenado.

3. Hallar las componentes de los vectores no nulos a

y b

sabiendo que dichos vectores

son perpendiculares.

xxbyxxa ,3,2

4. Calcular: A+B, A-B, A-3B siendo A= (1,2,0) y B= (-1,3,-4)

5. Hallar, si es posible, a, b y c que cumplan: a) (2a +b, a-2b, a+c) = (1,3,5) b) a (2,4,3) + b (1,2,12) + c (0,0,3) = (1,2,3)

6. Calcular el mdulo de los vectores:

)2,1,1( u

, )3,2,1(v

y kjiw 232

7. Calcular la distancia entre los puntos A y B

a) A= (1,-5) B=( 3,-2) b) A= (2,3,-1) B = (3,-1,4)

8. Determinar todos los valores de k que cumplan:

a) 2A si A = (k,0,1)

b) 1A si A = k ( 1,2,-2)

c) d(A,B)=2 si A=(1,1,1) y B=(2,k,-k)

9. Calcular A.B, A.(B+C) y A. (3C-2B), siendo

Ingreso- CPC- 2015 Prctica 14 Vectores ITBA 2

A= (1,1,1), B=(1,-1,0), C= (2,3,-1)

10. Hallar el ngulo entre A y B a) A=(2,4) B=(-4,2) b) A =(2,1,1) y B=(1,-1,2)

11. Dar la ecuacin vectorial de la recta que pasa por P=(2,1) y es paralela al vector

)3,1(D

. Decidir si la recta pasa por los puntos A=(1,-2) y B=(-1,2)

12. Hallar la ecuacin vectorial de una recta paralela al eje x que pase por el punto A=(1,2) y

otra paralela al eje y que pase por el punto B=(3,-2)

13. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-5,3,7) y (2,-3,3).

14. Hallar la ecuacin de la recta

a) Paralela al vector (2,1,-5) y pasa por el punto (1,2,3) b) Paralela al eje x y pasa por el punto (2,3,5) c) Perpendicular a la recta de ecuacin (x,y,z)= k(1,2,3) + (1,-2-1)

15. Calcular AxB, AxC, y (C+B) x A siendo A=(1,2,3) B=(1,-1,-2) , C=(1,5, 8)

16. Hallar la ecuacin de un plano a) Perpendicular al vector (2,3,4) y pase por el punto (1,3,-1) b) Perpendicular al vector (2,0,0) y pase por el punto (1,3,-1) c) pase por los puntos (1,1,0), (2,-1,1), (3,0,1)

17. Dados A= (1,-1,1), B = (2, 1,3) y C = (1, 5,0) a) Hallar D para que ABCD sea un paralelogramo b) Hallar el rea del tringulo ABC

18. Hallar a y b para que el punto (4,-5,4) pertenezca a la recta

b

zayx

1

23

19. Estudiar la posicin relativa de las rectas r y s:

a)

5

2

53

z

y

x

r :

2

24

101

z

y

x

s :

b)

tz

ty

tx

r 53

32

:

s: )5,,1(),,( sszyx

c)

15

3

3

2 zyxr

:

s: (x, y,z) = (1,0, 5) + t(-1, 2, 0)

Ingreso- CPC- 2015 Prctica 14 Vectores ITBA 3

20. Hallar un plano que contenga a L1 : X=a (1,-2,1) +(1,0,1) y al punto (1,3,4)

21. Sea el plano : x-3y+2z = 5 a) Hallar una recta incluida en el plano b) Hallar una recta paralela a y que pase por el punto (1,1,1). Es nica? c) Hallar una recta perpendicular a y que pase por el origen. Es nica?

22. Hallar, si es posible, un plano que contenga a las rectas

L1: X=a (1,2,3) +(1,-1,1) y L2 : X=a (1,0,1) +(2,-5,-2)

23. Hallar la interseccin de

a) 6322

1:1

y

zL y : 2x-2y+z = 3

b) L1:

322

1

zyx

zyx y L2 : X = (1-k, k+1,3k)

24. Calcular el rea del tringulo determinado por

),,(),,( 132512 qyp

25. Determinar si son coplanares los vectores

),,(),,(,),,( 33

1

3

1011

3

21

3

12 wyvu

26. Calcular k para que las rectas p y q sean concurrentes y averiguar en qu punto concurren.

15

32

zyx

zyxp :

y

5

22

kzyx

yxq :

27. Hallar la ecuacin implcita del plano que pasa por (2, 1, 7) y es paralelo a los vectores u = (1,0,4) y v = (4,-1,3)

28. Hallar las ecuaciones paramtricas del plano 2x y + 3z = 11.

29. Estudiar la posicin relativa del plano 2x y + 3z = 8 y la recta

z

y

x

31

32

30. Analizar si la recta

12

05235

zyx

zyx

est contenida en el plano 4x 3y + 7z = 7

31. Hallar k para que las rectas r y s se corten, y hallar un plano que las contenga

z

kyxr

32

2:

y 9

93

2

12

zyxs :

Ingreso- CPC- 2015 Prctica 14 Vectores ITBA 4

32. La recta con vector direccin u= (-1,0,-1) y que pasa por A=(2, -3, 1) tiene un segmento comprendido entre los planos

2x y + 3z = 6 y 2x y + 3z = 18. Determinar sus extremos.

33. Hallar la recta que pasa por P y corta a r y a s siendo: r: (x,y,z)= (1 + t, 2t, 1 + t) ; s: (x,y,z)= (k,3,k) ; P=(0, 2, 2).

34. Calcular el ngulo que forma el plano 013 zxx: con la recta

3

2

17

3

zyx

35. Dado el plano 0532 yx: , dar las ecuaciones de: una recta paralela una recta perpendicular un plano paralelo un plano perpendicular.

36. Calcular el simtrico de P=(2, 1, 0) respecto de la recta r: (x,y,z)= (5+2t, -t, -2).

37. Determinar la longitud del segmento de recta r comprendido entre los planos y

:

.:;:;: 025301

02

yxzx

zx

yxr