UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DEVICTORIA

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

PRÁCTICA 4.1.1: DFT DE 8 PUNTOS DE UNA SINUSOIDE DISCRETA

PROFESOR: DR. YAHIR HERNÁNDEZ MIERALUMNO: CARLOS JESÚS ZÚÑIGA AGUILAR

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Índice1. INTRODUCCIÓN 3

2. DESARROLLO 4

3. CONCLUSIÓN 7

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1. INTRODUCCIÓNLa transformada de Fourier transforma una función matemática en otra, obteniendo una

representación matemática pero ahora en el dominio de la frecuencia. La entrade de la DFTes una secuencia finita de números reales y/o complejos, de modo que es ideal para procesarinformación almacenada en soportes digitales.

La secuencia de N números complejos x0, ..., xN−1 se transforma en la secuencia de Nnúmeros complejos X0, ..., XN−1 mediante la DFT con la formula:

X(m) =N−1∑n=0

x(n)e−j2πnm

N

Los números complejos de X(m) puede ser representados por amplitud y diferentes fasesde una entrada sinusoidal x(n). Esta amplitud y ángulo fase se obtienen matemáticamentede la siguiente forma:

Ya que X(m) tiene una parte real y una parte imaginaria ⇒ X(m) = Xreal(m) +jXimaginaria(m) por lo tanto la magnitud puede ser calculada por la siguiente ecuación:

‖ X(m) ‖=√Xreal(m)2 +Ximaginaria(m)2

Y el ángulo de fase se puede obtener de la se obtiene de la siguiente forma:

6 X(m) = arctanXimgainaria(m)

Xreal(m)

Para que se pueda practicar lo que antes se mencionó se realizaron las siguientes activi-dades:

Estudiar las gráficas de la parte real, imaginaria, magnitud y ángulo de fase de la DFT,mediante un programa de cálculo numérico.

1. Tome 8 muestras de la siguiente función:

x(t) = sen(2π1000t) + 0,5 sen(2π2000t+3

4π)

A una frecuencia de muestreo fs = 8000 Hz.

2. Calcule la DFT X(m) de 8 puntos sobre las muestras adquiridas x(n).

3. En una primera subgráfica, grafique la parte real de X(m).

4. En una segunda subgráfica, grafique la parte imaginaria de X(m).

5. En una tercera subgráfica, grafique la magnitud de X(m).

6. En una cuarta subgráfica, grafique el ángulo de fase de X(m).

7. Observe la simetría en las gráficas. ¿Qué puede concluir?

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2. DESARROLLOSe realizó un código desarrollado en el software de cálculo numérico Scilab para poder

expresar la transformada de Fourier. Dicho código se muestra en la figura 1.

Figura 1: Código para representar la DFT.

Tome 8 muestras de la siguiente función:

x(t) = sen(2π1000t) + 0,5 sen(2π2000t+3

4π)

A una frecuencia de muestreo fs = 8000 Hz.Para poder realizar lo que pide el punto 1 se realizó el código que se muestra en la figura

2.

Figura 2: Código para graficar la señal continua y discreta

En la figura 3 se muestra el resultado del código visto en la figura 2.

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Figura 3: Señales continua (rojo) y discreta (azul).

Se utilizó el código de la transformada de Fourier para satisfacer lo que pide el paso dos.Se manda llamar a la función y se le designa el valor de esa función a una variable como semuestra en la figura 4.

Figura 4: Cálculo de la DFT y obtención de componentes reales e imaginarios.

Para cumplir con los incisos del 3 al 6 se realizó el código que se muestra en la figura 5 yen la figura 6 se muestran los resultados de dicho código.

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Figura 5: Código para obtener la parte real, imaginaria, magnitud y ángulo de fase de X(m).

Figura 6: Gráficas de la parte real e imaginaria, magnitud y ángulo de fase.

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3. CONCLUSIÓNSe aprendió a interpretar los parámetros de que aparecen en la formula para poder ob-

tener la transformada de Fourier en tiempo discreto como también a obtener la parte real eimaginaria, la magnitud y ángulo de fase del resultado de la transformada de Fourier. Tam-bién se aprendió a obtener el espectro de potencia pero no se menciono en el texto ya que lapráctica no lo pedía.

Se apreció en los resultados de la magnitud y el angulo de fase que son señales pares eimpares respectivamente. También se alcanzó a apreciar que cuando se tiene una parte realigual a cero el ángulo de fase en 90 o -90 grados según sea el signo de la parte imaginaria yaque si la parte real es cero el cociente el resultado de la relación de la parte imaginaria entrela parte real tiende a ∞ haciendo que aparezca ese ángulo.

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