UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA” COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO

ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA

COORDINACIÓN DE LABORATORIOS DE FÍSICA

PRÁCTICA Nº 1

Análisis y Representación Gráfica

Punto Fijo; Mayo de 2008

PRÁCTICA Nº 1

ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Las gráficas se utilizan para estudiar y comprender el mecanismo de un fenómeno observado, a

la vez por medio del análisis de ellas se puede obtener información sobre observaciones

experimentales.

La finalidad de esta práctica es estudiar el empleo de las gráficas para la obtención de las

relaciones funcionales entre dos magnitudes físicas.

OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA

a) Representar gráficamente en papel milimetrado, semilogarítmico y bilogarítmico una

función a partir de una tabla de valores dada.

b) Identificar el tipo de función y la relación de proporcionalidad existente entre las variables.

c) Construir la ecuación de la función graficada relacionando las variables.

d) Analizar el comportamiento de la función graficada e interpretar la relación existente entre

las variables graficadas.

MATERIALES

Para la experiencia práctica cada grupo de estudiantes debe traer:

3 hojas de papel milimetrado, como mínimo; dos hojas de papel semilogarítmico y dos de

bilogarítmico

Regla graduada o juego de escuadras

Plantilla de curvas

CONOCIMIENTOS PREVIOS

¿Qué es Interpolación?

¿Qué es Extrapolación?

¿Qué es Linealizar?

Propiedades de los logaritmos

MARCO TEÓRICO

TABULACIÓN

La física por ser unas de las ramas de las ciencias naturales es experimental y cuantitativa, es

decir, en el trabajo del laboratorio se tendrá la necesidad de medir magnitudes físicas

disponiendo así de datos experimentales. Es una norma elemental que dichos datos, deben ser

presentados en forma clara y ordenada, y la mejor forma de lograr esto es ubicar los datos en

tablas, de modo que en ellas se destinen diferentes columnas a cada conjunto de datos.

La realización de tablas de valores no se limita necesariamente a los datos que se recogen

directamente en el trabajo experimental, sino que puede extenderse a los resultados de

efectuar operaciones con dichos datos. Además, pueden disponerse de columnas para colocar

en ellas el error siempre que éste sea diferente en cada medición.

Para mayor información, las tablas de datos deben poseer un título y deben aparecer las

magnitudes con sus unidades de medición. Como ejemplo se presenta la siguiente tabla de

valores de un experimento en el cual se midió la extensión de un alambre de cobre como

función de una masa m suspendida de él.

Tabla Nº 1. Extensión de un alambre de cobre.

Masa, m (Kg.) Extensión, e (mm)

5.0 0.2

10.0 0.5

15.0 0.8

20.0 1.0

22.5 1.5

25.0 1.3

27.5 1.4

30.0 1.5

32.5 1.7

35.0 1.8

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una vez tabulados los datos así como los valores de las magnitudes calculadas, es conveniente

representar los resultados en un gráfico. La representación gráfica viene a ser lo más

representativo del fenómeno que se está estudiando y en su interpretación se reflejará el

comportamiento límite del fenómeno bajo las condiciones en que se realizó y además algunas

informaciones matemáticas como por ejemplo la función matemática que mejor lo represente.

Además, la representación gráfica permite obtener valores que aún no han sido obtenidos

experimentalmente, es decir, valores entre puntos. Dicho proceso se llama interpolación. El

proceso para obtener valores fuera del intervalo experimental recibe el nombre de

extrapolación.

REGLAS PARA GRAFICAR

El gráfico debe llevar un título breve que lo identifique con el experimento realizado o con el

problema propuesto, el cual debe colocarse en la parte superior central del gráfico

Los ejes deben llevar claramente las magnitudes que en ellos se representan y las

unidades correspondientes.

Elegir las unidades en los ejes coordenados de modo que permitan leer e interpretar con

facilidad.

Es conveniente en general, que el origen aparezca en el gráfico. No obstante, las escalas

pueden reemplazarse cuando los datos experimentales están en un intervalo que así lo

requiere.

Debe usarse el eje de la abscisa para la variable independiente (aquella que es controlada

por el experimentador) y el eje de la ordenada para la variable dependiente. Por ejemplo, si

medimos la longitud de una barra metálica al variar la temperatura, se busca a la función

)(Tfl entonces es conveniente usar el eje x para T y el eje y para l.

La escala de los ejes debe seleccionarse correctamente de modo que permita representar

con facilidad los datos. Las escalas milimétricas deben escogerse de tal forma que un

cuadro sea igual a 1, 2, 5, 10 unidades (ocasionalmente 4), evite utilizar 3, 7, 9 etc. No

marque cada cuadro señale cada 2, 4 ó 5 cuadros.

Si los valores que se representan en las escalas son muy pequeños o muy grandes, debe

usarse un factor multiplicativo que permita utilizar un máximo de los dígitos para indicar el

valor de las divisiones principales de la misma, por ejemplo factores como: 102, 105, 10-3,10-

6, etc.

Los valores experimentales no deben ser graficados como un punto sino que hay que

representar "el error con el cual se obtuvo dicho valor". Para ello se usan cruces,

cuadrados, círculos, rectángulos, entre otros, centrados en el valor.

Al trazar más de una curva con las mismas abscisas, hay que diferenciar entre si, usando

diferentes símbolos, por ejemplo x, +, *, o tintas de diferentes colores.

La recta o curva que representa la función que siguen los puntos, debe trazarse de modo

que sea lo más representativa posible del fenómeno.

En el caso de que la curva represente una línea recta, el cálculo de la pendiente debe

realizarse con los puntos que estén sobre la recta y no con los puntos experimentales.

ANÁLISIS GRÁFICO

En el análisis de un problema físico se puede partir de la teoría que predice una cierta ley física

la cual se expresa con una ecuación cuya forma matemática guiará el análisis del gráfico. Es

decir, graficando los valores experimentales se tendrá una curva uniforme que muestra la

tendencia de los puntos. Enseguida se compara la forma de la curva obtenida, con aquello

predicho teóricamente. Si concuerdan, ello corresponde a una comprobación experimental de la

ley física considerada. La función matemática más simple es la línea recta y es por ello que

tiene gran importancia en el análisis de datos experimentales. Por lo tanto es útil linealizar la

curva cuando ésta no sea una recta.

IMPORTANCIA DE LA LÍNEA RECTA

De una curva es muy difícil deducir cuál es la ecuación que podría representar mejor los

resultados.

Es fácil extrapolar más allá de un rango de valores medidos. Sólo se necesita una regla

graduada.

Determinando la pendiente y la intersección con el eje y, se puede deducir valores

numéricos de constantes que obteniéndolos de curvas, resulta muy difícil.

ERRORES EN LOS GRÁFICOS

En cualquier experimento científico cuantitativo es esencial indicar los posibles errores, en

cualquier cantidad medida. Una vez que un error ha sido estimado debe representarse en el

gráfico. Por ejemplo, si las extensiones medidas en el alambre (tabla 1) son aproximadas por

mm5.0 , entonces las primeras dos medidas pueden representarse gráficamente por barras

como se muestra en la figura l. Las barras de errores se extienden por encima y por debajo de

los puntos medidos los cuales son indicados por puntos encerrados en círculos. Supóngase

además que las masas fueron medidas con un error Kg5.0 . Esta incertidumbre puede

representarse por barras horizontales que se extienden 0,5 Kg. en ambos lados de las masas

dadas (ver figura 1). Generalmente, ambos errores, horizontal y vertical, deben ser mostrados

pero pueden ser omitidos si el error asociado a la medida es muy pequeño.

FIGURA 1 FIGURA 2

En la Figura 1 la barra de errores verticales indica que la extensión es conocida ±0,05 mm. La ausencia de barras horizontales indica que la masa es conocida muy aproximadamente en la primera figura. Las barras horizontales en la Figura 2 indica un error de ±0,5 Kg.

TIPOS DE FUNCIONES

Cuando las magnitudes están relacionadas, decimos que una es función de la otra. Existen

diversas maneras en las cuales se relacionan las magnitudes físicas, es decir existen varios

tipos de funciones que relacionan las magnitudes.

La función matemática más simple es la línea recta y es por ello que tiene gran importancia en

el análisis de datos experimentales. A continuación se presentan tres ejemplos cuyos gráficos

en determinadas escalas permiten obtener relaciones lineales.

A) FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una ecuación matemática que representa una línea recta y tiene la forma:

y = mx + b

Donde m y b son números reales. La x es la variable independiente, y es la variable

dependiente, m es la pendiente de la recta y b es la ordenada de origen. El valor de m

corresponde a:

La pendiente física o real (Ver Figura 4), que se obtiene mediante la relación:

x

ym

La pendiente geométrica (Ver Figura 4), corresponde al ángulo de inclinación de la recta

con el eje de las x, y se calcula a través de la expresión:

tangm

FIGURA 3

Ejemplo: La tabla siguiente muestra los valores de velocidad y tiempo obtenidos en un

experimento.

Tabla Nº 2: Velocidad con respecto al tiempo.

V (m/s) 5 7 9 11 13 15

t (s) 1 2 3 4 5 6

Al representar esos valores en papel milimetrado se obtiene la recta mostrada en la Figura 4.

Para obtener la relación matemática entre V y t determinamos su pendiente m y el valor de b

(intersección de la línea recta con el eje y).

Pendiente de una recta.

Es la razón de variación de la variable dependiente con respecto a la correspondiente variación

de la variable independiente para dos puntos de una recta.

(Aceleración)

b = 3 (intercepción de la recta con el eje V)

Eje Y

Eje X

y = mx + b

ΔY

ΔX

θ

b

2/214

511sm

t

Vm

TIEMPO (S)

1 2 3 4 5 6

14

12

10

8

6

4

2

VE

LO

CID

AD

(m

/s)

TIEMPO (S)

1 2 3 4 5 6

14

12

10

8

6

4

2

VE

LO

CID

AD

(m

/s)

Así, la ecuación resultante es

FIGURA 4: Gráfica de Velocidad vs. Tiempo

En el caso de una relación lineal entre dos magnitudes físicas es importante distinguir entre la

pendiente física o real y la pendiente geométrica. La pendiente física se obtiene mediante la

relación 2/2 sm

t

Vm

(Figura 4). Este valor depende de las magnitudes de las variables y

puede tener un significado importante (en este caso representa la aceleración).

32 tV

La pendiente geométrica, se define como la tangente del ángulo θ (Figura 4). Este valor

depende de la inclinación de la recta y no de las magnitudes de las variables (es adimensional).

En este caso se mide los catetos de la gráfica 1 con una regla.

La pendiente bien sea física o geométrica puede ser: positiva, negativa o nula.

Positiva: es cuando al aumentar o disminuir el valor de X en N unidades, el valor de Y,

aumenta o disminuye en N unidades.

Negativa: Cuando al aumentar o disminuir el valor de X, disminuye o aumenta el valor de Y

en la misma cantidad de unidades.

Nula: Cuando la pendiente de una recta es cero el valor de Y no depende de X, es decir el

valor de Y es constante.

B) FUNCIÓN PROPORCIONAL

La ecuación matemática de una función proporcional está definida por:

y = mx

Este es un caso particular del anterior con la diferencia que la recta pasa por el origen de

coordenadas y b toma el valor de cero.

C) FUNCIÓN EXPONENCIAL

La ecuación de una función exponencial está definida por:

y = bamx

Donde m, a y b son constantes.

Al representar los valores de las variables, dependiente e independiente en el papel

milimetrado, debe resultar la curva característica de la función exponencial tal como se indica

en la figura 5.

Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación se obtiene

Log y = Log b + mx Log a

Si en particular a vale 10, debe aplicarse logaritmo en base diez. Si a tiene un valor cualquiera,

debe aplicarse logaritmo en base ese mismo valor. Por ejemplo, si a = 2, se aplica logaritmo en

base 2, Se tiene entonces:

1012

012

cm

cmtg

Si la base a corresponde a la base 10 se tiene

Log Y =Log b + mx

Si se grafica directamente Log y = Log b + mx en función de x en papel milimetrado se obtiene

una recta. Para ello hay que calcular el Logaritmo decimales de y. Sin embargo puede

utilizarse un papel especial llamado "semi-Logarítmico", ya que en una escala las divisiones son

proporcionales al Log. decimales y en la otra escala las divisiones son lineales. Dicho gráfico

será una recta, ya que si se hace un cambio de variables

u = Log y, c = Log b se tendrá u = mx + c

Al graficar en papel semilogarítmico se llevan directamente los valores de y a la escala

logarítmica (no se calculan los logaritmos) y los de x sobre la escala lineal, obteniendose una

recta (Figura 6). El valor de la pendiente viene dada por:

b es la intercepción de la recta con el eje y.

FIGURA 5 FIGURA 6

Ejemplo: La tabla siguiente muestra los valores de diferencia de temperaturas y tiempo

obtenidos en un experimento.

12

12 logloglog

xx

yy

x

y

x

um

Tabla Nº3: Diferencia de Temperaturas con respecto al tiempo.

T-T0 (oC) 56 49 44 40 35,5 30,0 25,1 19,8 15,8

t (s) 0 4 8 12 17 23 30 40 50

Al representar esos valores en papel semi logaritmico se obtiene la recta mostrada:

FIGURA 7: Gráfica de Diferencia de Temperaturas vs. Tiempo

Fig. 2 Gráfico de diferencia de temperatura Vs. tiempo

Dif

ere

ncia

de T

em

pera

tura

s (

ºC)

TIEMPO (S)5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dif

ere

ncia

de T

em

pera

tura

s (

ºC)

TIEMPO (S)5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

En este caso

y b = 56

La ecuación resultante es

D) FUNCIÓN POTENCIAL

La ecuación de una función potencial está definida por:

y = bxm

Donde b y m son constantes.

Al representar los valores de las variables, dependiente e independiente en una gráfica sobre el

papel milimetrado, debe resultar la curva característica de la función potencial de la forma como

se indica en la figura 8. Si tomamos logaritmo de ambos lados se obtiene:

Log y = Log b + m Log x

Luego al graficar directamente Log y en función de Log x se tendrá una variación lineal entre los

logaritmos de las variables x e y.

Si se hace un cambio de variables v = Log y u = Log x y c = Log b

Se tiene que en grafico corresponde a una recta v = mu + c

En este caso se utiliza un papel especial llamado Bi-Logarítmico, cuyas escalas en ambos ejes

x e y están divididas en segmentos proporcionales a los logaritmos de base 1O.

En la figura 9 se muestra la línea recta que se obtiene al representar la tabla de valores en

papel bilogarítmico.

La pendiente se determina por

Por lo tanto para graficar una función tal como esta ecuación, se utilizará papel bi-logarítmico o

también llamado Logaritmico (papel cuyos ejes son ambos logarítmicos con un número de

ciclos variables en cada eje) graficando v en función de u y se obtendrá una recta (ver figura 9).

01,028

32,0

28

55,123,1

1240

5,35log17log

m

Xy 01,01056

12

12

12

12

loglog

loglog

log

log

xx

yy

x

y

uu

vv

u

vm

y (escala lineal) v (escala logarítmica)

FIGURA 8 FIGURA 9

Ejemplo: La tabla siguiente muestra los valores de distancia y tiempo obtenidos en un

experimento.

Tabla Nº 4: Distancia con respecto al tiempo.

t(s) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

d (m) 5 19,5 44,1 78,4 122,0

Al representar esos valores en papel bi-logaritmico se obtiene la recta mostrada en la Figura 10.

En este caso El valor de b se obtiene en el punto de corte de la recte con el eje y para x=1

La ecuación resultante es

Observación.

El papel logarítmico aparece dividido en ciclos, lo hay de 1x1 ciclos, 2x1, 3x2, 2x3, etc. Al llevar

los valores al papel, debe tener en cuenta que si el número uno del primer ciclo representa las

unidades, el segundo uno representa las decenas y el tercero las centenas y así

sucesivamente. Si el uno del primer ciclo representa las décimas, el del segundo representa las

unidades y el tercero las decenas.

08,212,0

25,0

48,060,0

64,189,1

3log4log

1,44log4,78log

m

08,25 td

FIGURA 10: Gráfica de Distancia vs. Tiempo

E) FUNCIÓN CUADRÁTICA

Su ecuación viene dada por:

y = bx2

Esta es un caso particular de la función potencial, en donde al graficar y vs. x2 en papel

milimetrado se obtiene una recta. También se obtiene una recta al graficar Log y como función

de Log x.

PROCEDIMIENTO PRACTICO

Experiencia Nº 1

Dada una tabla de valores (suministrada por el profesor) cada equipo debe responder las

siguientes interrogantes:

a. Construya la gráfica en papel milimetrado.

b. Compare la gráfica, con las estudiadas anteriormente, ¿Que tipo de función se obtiene?

c. Si la recta no pasa por el origen de las ordenadas, ¿que indica esto?

d. Determine el valor de la pendiente e indique que representa este valor en la función.

Dis

tan

cia

(m

)

TIEMPO (S)

Dis

tan

cia

(m

)

TIEMPO (S)

Dis

tan

cia

(m

)

TIEMPO (S)

e. Escribe la forma de la ecuación.

f. ¿Qué proporcionalidad existe entre las variables?

g. ¿Cuales son sus conclusiones sobre la Experiencia Nº 1?.

Experiencia No. 2

Dada una tabla de valores (suministrada por el profesor) cada equipo debe responder las

siguientes interrogantes:

a. Construya la gráfica en papel milimetrado y papel Semi logaritmico.

b. Compare la gráfica, con las estudiadas anteriormente, ¿Que tipo de función se obtiene?

c. Determine el valor de la pendiente e indique que representa este valor en la función.

d. Escribe la forma de la ecuación

e. ¿Qué tipo proporcionalidad existe entre las variables?

d. Según el tipo de función ¿puede obtener una línea recta? ¿Cómo lo hace?

f. ¿Cuales son sus conclusiones sobre la Experiencia Nº 2?.

Experiencia No. 3

Dada una tabla de valores (suministrada por el profesor) cada equipo debe responder las

siguientes interrogantes:

a. Construya la gráfica en papel milimetrado y papel Bi logaritmico.

b. Compare la gráfica, con las estudiadas anteriormente, ¿Que tipo de función se obtiene?

c. Determine el valor de la pendiente e indique que representa este valor en la función.

d. Escribe la forma de la ecuación.

e. ¿Qué tipo proporcionalidad existe entre las variables?

f. Según el tipo de función ¿puede obtener una línea recta? ¿Cómo lo hace?

g. ¿Cuales son sus conclusiones sobre la Experiencia Nº 3?.

BIBLIOGRAFIA

ACOSTA, R. y SANTANDER, J.; Manual de Laboratorio de Física, Tomo Análisis de Medidas. Valencia,

Venezuela. 1973. Pag. 91-134.

ALVARENGA. B., MAXIMO. A.; Física General con Experimentos Sencillos. Tercera Edición. México,

D.F. 1983.

HILL Y STOLlBERG; Física, Fundamentos y Fronteras. Laboratorios Segunda. Edición, México, D.F.

1975.

KREYSZIG E.: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Tercera Edición, Editorial Zimusa, 1984.

HALLlDAY D. RESNICK. R.; Física. Tomo l. Cia. Editorial Continental S.A. México 1973.

FINN. E. Y ALONSO M.; Física, Vol. l. Mecánica. México 1976.

Para un objeto con movimiento uniformemente acelerado se hicieron las siguientes

mediciones.

Tabla A. Velocidad de un objeto con movimiento uniformemente acelerado.

t (s) 1 2 3 4 5

v (m/s) 8 11 14 17 20

Al soltar un objeto en caída libre, se hicieron las mediciones que se indican en la tabla

B.

Halle la ley que rige el movimiento.

Tabla B. Distancia en función del tiempo para un objeto que cae libremente.

t (s) 1 1.5 2 2.5

d (m) 4.9 11 19.6 30.6

Se tiene con una cierta cantidad del elemento químico polonio. Después de 138días

permanecerá solamente la mitad de la misma. Con esta información obtenga la ley que

rige el fenómeno. ¿Qué cantidad de polonio quedará después de un año? Proceda a

obtener los datos para graficar la tabla C.

Tabla C. Porcentaje de Polonio en función del tiempo.

t (días) 0 138 276 414

p (%) 100 50 25 12.5