1. Representa gráficamente "un número par". Escribe algebraicamente "un número par". 2. Representa gráficamente "un número impar". Escribe algebraicamente "un número impar". 3. Demuestra gráficamente que "par" + "par" = "par". Demuéstralo algebraicamente. 4. Demuestra gráfica y algebraicamente: "par"+ "impar" = "impar", "impar" + "impar" = "par" 5. Representa gráfica y algebraicamente "múltiplo de 3". 6. Representa gráfica y algebraicamente "no múltiplo de 3". ¿Qué ocurre? 7. ¿Qué pasa con la suma de "múltiplos de 3" y de "no múltiplos de 3"?, (estudia los distintos casos). ¿ Qué podemos generalizar en la suma de "múltiplos de n " y "no múltiplos de n ? 8. Representa gráfica y algebraicamente "número compuesto". ¿ Cuál es el problema para representar un número compuesto (un primo) ? 9. Representa gráfica y algebraicamente dos números consecutivos.

5 = 1 02 = 2 5 = 5 ´ 0

10. Demuestra gráfica y algebraicamente que la suma de tres números consecutivos es múltiplo de 3. 11. Demuestra gráfica y algebraicamente que la suma de seis números consecutivos es múltiplo de 3 pero no de 6. 12. Expresa con palabras (necesitarás dos frases) un resultado general cuando se suman números consecutivos. 13. Representa gráfica y algebraicamente "suma de un número par de números consecutivos" y "suma de un número impar de números consecutivos". 14. Utiliza el apartado anterior para expresar más algebraicamente el resultado sobre la suma de números consecutivos. La representación numérica de un número no es única:. Tampoco la algebraica ni la geométrica.

= =

En la primera igualdad vemos otra forma de representar impares. ¿qué números representamos en la otra igualdad?

15. Siguiendo la nueva representación, representa "impares consecutivos". 16. ¿ Qué fórmula numérica sugiere la figura? Escribe fórmulas numéricas más cortas y más largas que sean análogas.

17. Sin sumar, ¿cuánto suman ? : 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + ......... + 25 = 1 + 3 + 5 + .............. + 99 = Ponte tú más sumas y "súmalas" 18. Generaliza la fórmula con palabras. 19. Expresa algebraicamente el resultado. 20. Traduce numéricamente la figura.

21. ¿ Qué es una suma de impares consecutivos ? 22. Sin sumar, ¿cuánto suman?: 5 + 7 + 9 + 11 = 11 + 13 + 15 + … +35 = 27 + 29 + 31 + ...........+ 87 = Ponte tú más sumas y "súmalas"

23. Según lo anterior a qué números representa la figura:

24. Relaciona numéricamente la suma de pares consecutivos empezando por 2 con la suma de impares consecutivos empezando por 1. Ej: 2 + 4 + 6 + 8 = (1 + 3 + 5 +7 ) + 4 2 + 4 + 6 + ........ + 34 = 2 + 4 + 6 + .............+ 108 = Pon tú más ejemplos 25. Relaciona gráficamente la suma de pares consecutivos empezando por 2 con la suma de impares consecutivos empezando por 1. 26. Da una fórmula para la suma de pares consecutivos empezando por 2. ¿ Te parece adecuado que digamos que llamemos a esos números casi-cuadrados ? 27. Calcula sin sumar : 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 14 + 16 + 18 + ....... + 62 = 42 + 44 + 46 + ...........+ 94 = 28. Relaciona numéricamente la suma : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 con una suma de pares consecutivos. 29. Relaciona la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 , con una suma de pares e impares consecutivos. 30. Representa gráficamente: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

31. ¿Qué fórmulas te sugieren las siguientes figuras?

32. Observa las siguientes transformaciones:

5 = 5 . 5 3 2

= =

= = =

= 21 + 23 + 25 + 27 + 29

33. Haz una transformación similar para . 34. Inténtalo con . ¿ Qué se te ocurre para darle forma de "ele gorda simétrica" ? 36. Sin representar expresa como suma de impares consecutivos. 37. Además por ser "eles" todo cubo es diferencia de dos ..................... 38. Escribe como diferencia de dos cuadrados:

33

43

63 y 73

13, 23, 103, 153 y 253

39. Date cuenta de que las "eles" consecutivas son encajables. Así es el cuadrado de: 40. Mira la figura y escribe una fórmula:

41. Observa las siguientes fórmulas: 1 = 03 + 13 2 + 3 + 4 = 13 + 23 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 23 + 33 Escribe dos filas más. 42. ¿ Cómo convertirías la figura A en la figura B de forma sistemática?

A B

43. Escribe un fórmula algebraica que generalice las fórmulas de 41. 44. Traduce algebraicamente la igualdad de las figuras (fíjate que ahora no es una igualdad de números naturales):

13 + 23 + 33 + 43 + 53

aa

b

b

=

12 + 22 + 32 + ...... + n2

Más actividades 45. Un impar es una "ele estrecha" luego una diferencia de cuadrados consecutivos. Escribe como diferencia de cuadrados consecutivos: 3, 5, 13, 21. 46. Razona que un número par no es diferencia de cuadrados consecutivos. 47. ¿Qué números pares pueden ser diferencia de cuadrados casi-consecutivos? ( Usa 44). 48. Un número par puede ser diferencia de cuadrados no enteros "consecutivos". 49. Un número impar al cuadrado es también impar y por tanto diferencia de cuadrados consecutivos. Así todo número impar distinto del 1 puede ser cateto de un triángulo pitagórico (introducción del profesor a los cuadrados pitagóricos). 50. Los números pares al cuadrado son diferencias de cuadrados consecutivos y así todos los pares menos el 2 pueden ser catetos pitagóricos. 51. El problema de sumar . Solución en dos (ver dibujo) y tres dimensiones. En el dibujo puedes ver lo que vale 1.5 + 3.4 + 5.3 + 7.2 +9.1 , intenta generalizar esa fórmula. Busca representaciones que prueben las siguientes fórmulas:

1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 = 3

6.5.4 ;(usa que cada uno de los

sumandos puede ser expresado como suma de pares consecutivos empezando por 2). En tu dibujo quizás veas lo que vale 1 . 4 + 2 . 3 + 3.2 + 4 .1 . Aventura en cualquier caso cuánto vale esta suma. ¿Eres capaz de probar gráficamente que: (2 + 4) + (6 +8 +10) + (12+14+16+18) =1.2.3 +

2.3.4 + 3.4.5 = 4

6.5.4.3?

52. Suma de progresiones geométricas enteras a partir de su representación 53. Suma de cuadradados de números consecutivos de la serie de Fibonacci a partir de la representación geométrica. 54 ¿ Quiénes son los números escalera ?.