PrecursorsC. Huygens -Horologium oscillatorium 1673I. Newton - Geometria Analytica 1671-->1736G. Leibnitz -Nova methodus pro maximis and minimis 1684 -De geometría recondita et analysi indivisibilium

atque infinitorum 1686 -Meditatio nova de natura anguli contactus et

osculi 1686 J. Bernouilli -Deux points étant donnés sur une superficie connexe, on

demande une manière d’y décrire géométriquement d’un de ces points a

l’autre, la ligne la plus courte. 1697

L. Euler- De linea brevissima in superficie quaqunque duo

quaelibet puncta iungente 1728

- Introductio in analysin infinitorum 1745

-Recherches sur la courbure des surfaces 1767

-De curva rectificabili in superficie sphaerica 1771-De solidis quorum superficiem in planum explicare

licet 1772

A. Clairaut-Recherches sur les courbes a double courbure 1731

-Determination géométrique de la perpendiculaire a la

meridienne traçée par M. Cassini, avec plusieurs methodes d’en tirer la grandeur de la Terre 1733

A l’article Determination Geometrique de la perpendiculaire a la meridi-enne tracee par M. Cassini; Avec plusieurs Methodes d’en tirer la grandeuret la figure de la Terre, [Cla33], es preocupa de geodesia i estudia geodesiquessobre tot tipus de superfıcie.

L’anomenada ‘relacio de Clairaut’ apareix a l’article [Cla33] per al casparticular de la superfıcie de la Terra. En aquest cas no es mes que elteorema del sinus per a trigonometria esferica.

A la pagina 409 diu

i la 410 conclou:

En llenguatge modern i per a superfıcies de revolucio arbitraries la relaciode Clairaut es formula aixı:

Teorema 4.0.1 (Relacio de Clairaut) Al llarg d’una geodesica d’una su-perfıcie de revolucio es compleix que

ρ sin α = constant,

on ρ es el radi del cercle paral.lel i α l’angle entre la geodesica i el meridia.

14

J. Lagrange- Application de la theorie des fonctions à la géométrie 1797

20

G. Monge

mes tard per Legendre, [Leg89].A finals de 1792 es elegit, per l’Assemblea, Ministre de la Marina, carrec

que ostentara nomes fins l’abril de 1793. El setembre de 1793 es encarregat,juntament amb Vandermonde i Berthollet, d’organitzar la fabricacio de l’acer,per tal d’accelerar la fabricacio d’armes.

L’onze de marc de 17942 el Comite de salut publica crea una comissioformada per Jacques-Eli Lamblardie, Gaspard Monge i Lazare Carnot ambla missio d’organitzar una “Ecole central de travaux publics”. Finalments’inaugura el 21 de desembre amb seu al Palais Bourbon. L’1 de setembrede 1795 l’Escola canvia de nom, passa a dir-se Ecole Polytechnique i s’ubicaa l’hotel de Lassay. Es considera Monge com el seu principal fundador iimpulsor. La seva experiencia de vint anys a Ecole Royale du Genie deMezieres3 va ser fonamental.

El 1805 Napoleo dona a l’Escola un estatus militar i la situa a la muntanyade Santa Genoveva a Parıs.

Locals de l’Ecole Polytechnique de 1805 a 1976

El 1796 va a Italia a robar, perdo, hi va com a membre d’una comissioque ha de recollir “les monuments d’art et de science que les traites de paixaccordaient aux armees francaises victorieuses”. Fa amistat amb Napoleo,qui li insisteix fortament perque l’acompanyi a la campanya d’Egipte. Estroba amb Napoleo a Malta el 9 de juny de 1798. Un cop a Egipte va ambNapoleo fins Ramanieh, on es separen i Monge remunta el Nil amb Berthollet.

221 ventose, an II, amb la notacio de l’epoca.3L’Escola d’Enginyers de Mezieres va ser fundada el 1748 pel cavaller de Chastillon,

per tal de formar enginyers militars experts en fortificacions. Va agafar de seguida granreputacio. Les matematiques i la fısica eren ensenyades pels prestigiosos professors i abatsBossut i Nollet.

24

Principal fundador i impulsor de l’École Polytechnique 1794

developpables, avec une applicaction a la theorie des ombres et despenombres, Memoires de Mathematiques et de Phsique. Memoiresdes Savants Etrangers. Parıs. Presente le 11 Janvier 1775. 9 (1780),382–440.

[Mon81] , Memoire sur la theorie des deblais et des remblais, His-toire de l’Academie Royale des Sciences. Parıs. (1781), 666–704.

[Mon84] , Une methode d’integrer les equations aux differences ordi-naires, Memoires de Mathematiques et de Phsique. Memoires desSavants Etrangers. Parıs. (1784), 118.

[Mon85] , Memoire sur les developpees, les rayons de courbure, etles differents genres d’inflexions des courbes a double courbure,Memoires presentes par divers savants, Parıs X (1785), 511–550,Veure tambe [Mon50], pp. 392-420.

[Mon11] , Geometrie descriptive, Klostermann, 1811.

[Mon50] , Applications de l’analyse a la geometrie, Bachelier, Paris,1850, Cinquieme edition, revue, corrige et annote par M. Liouville.Premier edition 1807.

[Mon 9] , Feuilles d’Analyse appliquee a la Geometrie a l’usage del’Ecole Polytechnique, Baudouin, Imprimeur du Corps Legislative,du Tribunat, et de l’Institut National, Paris, 1801 (Thermidor an9), Editions Jaques Gabay en fa una reimpressio el 2008.

[New85] Isaac Newton, Isaaci Newtoni Opera quae extant omnia, JoannesNichols, Londres, 1779-1785, Publicada per Samuel Horsley.

[Pas99] Irene Passeron, Maupertuis, passeur d’intelligibilite. De la cycloıdea l’ellipsoıde aplati en passant par le “newtonianisme”:annees pa-risiennes, Pierre Louis Morreau de Maupertuis, H. Hecht ed., Ber-lin Verlag (1999), 277–292.

[Pit24] Henri Pitot, Quadrature de la moitie d’une courbe des arcs, ap-pellee la compagne de la cycloide., Histoire de l’Academie de Sci-ences (1724), 107–113, publ. 1726.

107

[Lob37] Nicolaı Ivanovitch Lobachevsky, Geometrie Imaginaire, Journalfur die reine und angewandte Mathematik 17 (1837), 295–320.

[Lob55] , Geometrical researches on the theory of parallels, Dover,1955, suplement II of [Bon55], translated by George B. Halsted.Original german version of 1840.

[Mai56] G. Mainardi, Sulle coordinate curvilinee d’una superfice dello spa-zio, Giornali Istituto Lombardo 9 (1856), 385–98.

[Meu85] Jean Baptiste Meusnier, Memoire sur la courbure des surfaces,Memoires de savants etrangers, Parıs X (1785), 477–510, Lu al’Academie les 14 et 21 Fevrier 1776.

[MH05] Gaspard Monge and Jean Nicolas Pierre Hachette, Application del’algebre a la geometrie, Bernard, Libriare de l’Ecole Polytechniqueet des Ponts et Chaussees, quai des Augustins, n. 31. Imprimerie deH.L. Perroneau, Paris, 1805, conte una nota signada per Poissoni Hachette.

[Min30a] Ferdinand Minding, Bemerkung uber die abwiekclung krummer li-nien von flachen, Journal fur die reine und angewandte Mathema-tik 6 (1830), 159–161.

[Min30b] , Ueber die curven kurzesten perimeters auf krummenflachen, Journal fur die reine und angewandte Mathematik 5(1830), 297–304.

[Min38] , Ueber die biegung gewisser flachen, Journal fur die reineund angewandte Mathematik, 18 (1838), 297–302.

[Min39] , Wie sich entscheiden lasst, ob zwei gegebene krummeFlachen auf einander abwickelbar sind, oder nicht; nebst Be-merkungen uber die Flachen von unveranderlichem Krummungs-maasse, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 19(1839), 370–387, Com decidir si dues superfıcies son mutuamentdesenvolupables; incloent remarques sobre superfıcies de curvaturaconstant negativa.

[Mon80] Gaspard Monge, Memoire sur les propietes de plusieurs gen-res de surfaces courbes, particulerement sur celles des surfaces

106

Feuilles d’Analyse

En aquesta seccio estudiarem les lınies de curvatura tal com ho va fer Mongeal Full XV, titulat Des deux courbures d’une surface courbe, de les seves Fe-uilles d’Analyse appliquee a la Geometrie a l’usage de l’Ecole Polytechnique,

31

Feuilles d’Analyse

R =r + t ±

√(r − t)2 + 4s2

2(rt− s2)

Tambe es poden escriure com

R =2

r + t ±√

(r − t)2 + 4s2

iguals a les formules obtingudes per Meusnier el 1776 a [Meu85], pero aquıintroduint les direccions de curvatura principals com direccions tals que lescurvatures de les seccions normals en aquestes direccions tenen el seu valormaxim i mınim.

Com R = k|Z − z0|, i amb les coordenades que estem prenent k = 1tambe es compleix que

R =1

r + sm,

on m esta donada per (6.11).

Teorema 6.0.2 (Monge) Les normals a una superfıcie sobre una lınia decurvatura formen una superfıcie desenvolupable.

Demostracio.7 Imaginem una corba sobre una superfıcie tal que les normalsen punts consecutius infinitament proxims es tallin. Pels comentaris ante-riors aquesta corba es una lınia de curvatura. Els punts de tall de normalsconsecutives formen una corba, les tangents de les quals son les normals a lasuperfıcie. Per tant la superfıcie reglada formada per les normals es desen-volupable.

7Monge ho diu aixı: Com que cada normal a una superfıcie corba sempre talla duesaltres normals infinitament proximes situades en dos llocs ortogonals entre si, imaginemque des de la normal al primer punt de la superfıcie passem a una de les dues normalsinfinitament proximes que la tallen i, subsequentment passem d’aquesta segona normal ala que la interseca a ella, i d’aquesta tercera a la que la interseca a ella, i aixı sobre tota lasuperfıcie. Es evident que obtenim aixı una superfıcie desenvolupable amb les tangentsperpendiculars a la superfıcie, i la interseccio d’aquesta desenvolupable amb la superfıciees una corba que els seus elements estan dirigits al llarg d’una de les curvatures de lasuperfıcie.

37

Deixebles de Monge

Index

1 Introduccio 5

2 Els precursors 72.1 Christian Huygens (1629-1695) . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Isaac Newton (1643-1727) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) . . . . . . . . . . . 82.4 Johann Bernouilli (1667-1748) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Leonhard Euler (1707-1783) 11

4 Alexis Claude Clairaut (1713-1765) 13

5 Joseph Louis Lagrange (1736-1813) 19

6 Gaspard Monge (1746-1818) 23

7 La influencia de Monge. L’Ecole Polytechnique 437.1 Jean Baptiste Meusnier (1754-1793) . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 Charles Tinseau (1748-1822) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3 Adrien Marie Legendre (1752-1833) . . . . . . . . . . . . . . . 537.4 Sylvestre Lacroix (1765-1843) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.5 Michel Ange Lancret (1774-1807) . . . . . . . . . . . . . . . . 587.6 Pierre Charles Francois Dupin (1784-1873) . . . . . . . . . . . 597.7 Louis Leger Vallee (1784-1864) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.8 Benjamin Olinde Rodrigues (1795-1851) . . . . . . . . . . . . 597.9 Andre Marie Ampere (1775-1846) . . . . . . . . . . . . . . . . 607.10 Jean Victor Poncelet (1788-1867) . . . . . . . . . . . . . . . . 607.11 Augustin Louis Cauchy (1789-1857) . . . . . . . . . . . . . . . 607.12 Sophie Germain (1776-1831) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

Deixebles de Monge

7.13 Adhemar Jean Claude Barre de Saint-Venant (1797-1886) . . . 627.14 Jean Frederic Frenet (1816-1900) . . . . . . . . . . . . . . . . 627.15 Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900) . . . . . . . . . . 637.16 Joseph Alfred Serret (1819-1885) . . . . . . . . . . . . . . . . 637.17 Gabriel Lame (1795-1870) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.18 Michel Chasles (1793-1880) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 65

9 La influencia del D i s q u i s i t i o n e sde Gauss 719.1 Ferdinand Minding (1806-1885) . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.2 Joseph Liouville (1809-1882) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.3 Pierre Ossian Bonnet (1819-1892) . . . . . . . . . . . . . . . . 729.4 Victor Alexandre Puiseux (1820-1883) . . . . . . . . . . . . . 729.5 Delfino Codazzi (1824-1873) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.6 Edmond Bour (1832-1866) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.7 Ulisse Dini (1845-1918) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.8 Gaston Darboux (1842-1917) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A Les notes historiques de Struik 75

B Ordre cronologic dels articles 91

Bibliografia 96

4

J. Meusnier-Mémoire sur la courbure des surfaces 1785

Capıtol 7

La influencia de Monge.L’Ecole Polytechnique

7.1 Jean Baptiste Meusnier (1754-1793)

Deixeble de Monge a Ecole Royale du Genie Militaire de Mezieres els anys1774 i 1775. Estudia les lınies de curvatura de les superfıcies per indicaciode Monge. Reproduım les paraules de Monge sobre Meusnier1:

El mateix dia de la seva arribada a Mezieres em va venir a veure iem va demanar que li proposes una pregunta que em permetes saberel seu grau d’instruccio i jutjar la seva disposicio. Per satisfer-lo livaig parlar de la teoria d’Euler sobre els radis de curvatura maximi mınim de les superfıcies corbes. Li vaig exposar els principalsresultats i li vaig demanar que en trobes la demostracio. L’endemaal matı, a les habitacions, em va donar un petit paper que conteniaaquesta demostracio; pero el que hi havia de remarcable es que lesconsideracions que ell havia emprat eren mes directes, i el camıseguit molt mes rapid que el que havia seguit Euler.

Estudia superfıcies d’area mınima descobrint la catenoide i l’helicoide recte.Concretament demostra que la unica superfıcie de revolucio d’area mınima esla generada per la revolucio d’una cadena al voltant de la seva base. Poste-riorment fou professor de geometria descriptiva a la propia escola. El 1791

1Traduccio lliure de [Tat51], p. 234.

43

J. MeusnierTeorema de Meusnier. Totes les corbes contingudes en una superfície que tenen en un punt P la mateixa tangent tenen en aquest punt la mateixa curvatura normal

Legendre

- Eléments de géométrie 1794(Dóna diverses proves del cinquè postulat)

-Mémoire sur les operations trigonométriques dont les resultats dépendent de la figure de la Terre 1787

(Citat per Gauss)

M. Lancret

[Lam17] Gabriel Lame, Sur les intersections des lignes et des surfaces, Me-moires de l’Academie Royale des Sciences VII, n. VIII (1817),229–240, Presentat el desembre de 1816.

[Lam37] , Memoire sur les surfaces isothermes dans les corps solideshomogenes en equilibre de temperature, Journal de Mathem. pureset appliquees 10 (1837), 147–183, Memoria extreta del Volum Vdels Savants etrangers per J. Liouville.

[Lam40] , Lecons sur les coordonnees curvilignes, Journal de Mat-hem. 5 (1840), 1–2.

[Lam59] , Lecons sur les coordonnees curvilignes et leur diversesapplications, Mallet-Bachelier, Paris, 1859.

[Lan06] M. Lancret, Memoire sur les courbes a double courbure, Memoirespresentes a l’Institut par divers savants 1 (1806), 416–454, Lu le6 floreal an 10.

[Lan11] , Memoire sur les developpoides des corbes planes, descorbes a double curbure et des surfaces developpables, Memoirespresentes a l’Institut par divers savants 2 (1811), 1–79, Presentatel 1806.

[Leg87] Adrien-Marie Legendre, Memoire sur les operations trigonometri-ques dont les resultats dependent de la figure de la terre, Memoiresde l’Academie des Sciences de Paris (1787), 352.

[Leg89] , Memoire sur l’integration de quelques equations auxdifferences partielles, Histoire de l’Academie Royale de Sciences(1789), 309–351, Lu le 1 septembre 1787.

[Leg94] , Elements de geometrie, Firmin Didot, Parıs, 1794.

[Leg33] , Reflexions sur differentes manieres de demontrer latheorie des paralleles ou le theoreme sur la somme des trois anglesd’un triangle, Memoires de l’Academie des Sciences de Paris XIII(1833), 213–220.

104

7.5 Michel Ange Lancret (1774-1807)

Alumne de Monge. Va ser uns dels acompanyants de Napoleo a la campanyaEgıpcia. Va escriure nomes dos articles, ja que va morir molt jove, [Lan06] i[Lan11]. En el primer introdueix la primera flexio dµ (angle entre dos plansnormals consecutius) i la segona flexio dν(angle entre dos plans osculadorsconsecutius). Veu que no cal estudiar una tercera flexio dω com angle entredos plans rectificants consecutius ja que

dµ2 + dν2 = dω2.

Aquesta igualtat es coneix com Equacio de Lancret. Utilitza implıcitamentla referencia de Frenet.

Amb notacio moderna aquesta igualtat s’interpreta com una relacio entreels elements de longitud de les indicatrius respectives (corbes sobre l’esferaunitat determinades respectivament pels vectors normal, tangent i binormal).Denotant per dsn, dst, dsb els corresponents elements de longitud d’aquestescorbes tenim

ds2n = ds2

t + ds2b

amb

ds2n = (k2 + τ 2)ds2

ds2t = k2 ds2

ds2n = τ 2 ds2

on k i τ son la curvatura i la torsio respectivament.

REVISAR: aquesta igualtat i el teorema de lancret curvatura de develo-pante igual torsio develope. (Struik outline 116)

Un resultat que es coneix com Teorema de Lancret es el seguent. Es diuque una corba es una helix generalitzada quan totes les seves rectes tangentsformen angle constant amb una direccio donada.

Teorema 7.5.1 (Lancret) Una corba de curvatura estrictament positiva esuna helix generalitzada si i nomes si el quocient entre la torsio i la curvaturaes constant.

58

Olinde Rodrigues

Teorema d’Olinde Rodrigues. La derivada de la normal al llarg d’una línia de curvatura és proporcional a la direcció d’aquesta linia

A. Cauchy- Leçons sur les applications du calcul infinitésimal a la géométrie 1826

(paràmetre arc)

Sophie GermainMémoire sur la courbure des surfaces 1831