Pregunta 3 Analisis
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7/24/2019 Pregunta 3 Analisis
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Representacion Decimal de Numeros Reales
2da parte
Teorema 1. Sea x R un numero real no negativo. Existe entonces una unica sucesion
a0, a1,...,an... de numeros enteros0 an 9 paran 1 tal que
a0+ a1
10+
a2
102+
an
10n x a0+
a1
10+
a2
102+
an
10n+
1
10n
Demostracion. Para demostrar la existencia se procede por induccion.
La exitencia de a0 se da por la propiedad arquimediana a0 x a0+ 1.
Para n suponemos
a0+ a1
10+
a2
102+
an
10n x a0+
a1
10+
a2
102+
an
10n+
1
10n
Primero trabajaremos del lado izquierdo, es decir
a0+ a1
10+
a2
102+
an
10n x
y aqu ocurren dos cosas
1) a0+ a1
10+ a2
102+ an
10n =x o a0+
a1
10+ a2
102+ an
10n < x. En el primer caso podemos sumar
an+1
10n+1 con an+1= 0 y obtenemos la expresion
a0+a1
10+
a2
102+
an
10n+
an+1
10n+1 x
. Si ocurriera que
a0+ a1
10+
a2
102+
an
10n< x
, existira una distancia entre la aproximacion y el numero x, la cual se puede subdividir en 10
partes, de ellas nos tomamos en entero 0 an+1 9 tal que
a0+a1
10+
a2
102+
an
10n+
an+1
10n+1 x
1
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7/24/2019 Pregunta 3 Analisis
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Ahora del lado derecho de la expresion tenemos que
x < a0+ a1
10+
a2
102+
an
10n+
1
10n=a0+
a1
10+
a2
102+
an
10n+
10
10
1
10n
=a0+ a1
10+ a
2
102+ a
n
10n+ 10
10n+1 =a0+
a1
10+ a
2
102+ a
n
10n+ 9
10n+1+ 1
10n+1
y en este caso podemos ver al termino 910n+1
= an+110n+1
con 0 an+1 9 y asi tenemos
x < a0+a1
10+
a2
102+
an
10n+
an+1
10n+1+
1
10n+1
por tanto segun lo anterior vale para n+1 y la expresion es valida para todo natural n.
Tenemos un detalle
Probar que 0 9 = 1
Sol.- Si r = 0 9 10r = 9 9 10r r = 9 9r = 9 r = 1 esto quiere
decir que 1 = 1.0 y 1 = 0.9 son dos representaciones decimales algo distintas, sin embargo en
nuestra representacion decimal construida, esto no ocurre
Teorema 2. No puede ocurrir queam= 9 para m > n
Demostracion. pues si esto ocurriera se tendra
a0+ a1
10+
a2
102+
an
10n+
9
10n+1+
9
10n+2+ x
Trabajaremos la parte roja de la sumatoria, asi que tenemos
9
10n+1+
9
10n+2+ =
9
10n+1
1 +
1
10+
1
102+...
=
9
10n+1
1
1 110
=
9
10n+1
10
9
= 10
10n+1 =
9
10n+1+
1
10n+1
sustituyendo en la parte de arriba se tiene
a0+ a1
10+
a2
102+
an
10n+
9
10n+1+
1
10n+1 x
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Tomando 910n+1
= an+110n+1
se da la representacion decimal
a0+ a1
10+
a2
102+
an
10n+
an+1
10n+1+
1
10n+1 x
lo cual es contrario a la construccion de la representacion decimal de x
La representacion decimal de un numero real se dice que es finita, cuando existe un n N
tal que am = 0 m > n, es decir, cuando la representacion decimal es de la forma x =
a0 a1a2a3...am
La representacion decimal se denomina periodica cuando es de la forma a0 a1a2anbb1...bm
Todo numero racional tiene una representacion finita o periodica
Sea x = pq
un numero racional escrito en forma de fraccion irreducible y supongamos que es
positivo. El algoritmo de la division de p por qes el que produce su represe ntacion decimal,
es sabido que en cada paso, el resto ha de ser un entero entre 0 y q 1. Si en algun momento
es igual a cero, la representacion decimal es finita, si no es as, el algoritmo continua y tras a
lo sumo qiteraciones, aparece un mismo resto por segunda vez; a partir de aqu, los numeros
naturalesan de la representacion decimal se van repitiendo indefinidamente y en consecuencia,la representacion decimal es periodica.
Recprocamente.- Sea x un numero real con representacion decimal periodica (posiblemente
finita).
x= a
a1a2...b1b2...bm entonces
10nx= aa1a2...an b1b2...bm
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10n+mx= aa1a2...anb1b2...bm b1b2...bm
(10n+m 10n)x= aa1a2...bm aa1a2...an
Si llamo pal entero p= (10n+m 10n)x p
(10n+m 10n)=x Q
Hallar los racionales representados por 0 917 y por 2 3292
Sol.- Si p= 0 917 1000p= 917 917 1000p p= 917 999p= 917 p= 917999
Si q= 2 3292 10q= 23 292 10000q= 23292 292 9990q= 23269 q= 232699990
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