Preguntas de Trigonometria UNMSM (2008-2016)

Preguntas de

exámenes de

admisión de la

universidad Mayor

de San Marcos

TrigonometríaSJL-UNMSM

Página 2

Exámenes de admisión de la

UNMSM.

UNMSM. 2008-I

1. Halle el máximo valor de:

1

2 3

f ( x ) cos x senx ; x R= + ∈

19 17 17 19 11) ) ) ) )12 12 24 24 24

A B C D E

2. Si ; 0 2

aa sen

x b

π α π α< < < =− Entonces

siempre es cierto que:

− < < − < < − + + << + − <

) ) )

) )

A b x a B b x a b C a b x

D x a b E a b x

3. De la figura, el triángulo ABC es equilátero y

AM

MB= 5

3 Calcule csc cotα α− :

A C

B

α

M

3 3 3 3 3) ) ) ) )

15 12 9 8 10A B C D E

4. La expresión 2 22 3 13 47K (cos cos )= −� � es

equivalente a:

4 34 3 34 3 34

3 34 2 3 34

A) cos B) cos C) sen

D) cos E ) sen

� � �

� �

5. De la figura, O es centro del circulo cuyo radio

mide 1cm. Hallar el área de la región ABC.

αX

Y

A

B

C

O

1 11 1

2 2

1 11 1

2 2

11 2

2

A) ( sen cos ) B ) (cos sen )

C ) (sen cos ) D ) (sen cos )

E ) ( sen )

α α α α

α α α α

α

− − − −

+ + − −

−


Página 3

6. En el triángulo se tiene que (BC)(AC)=12,

(BC)(AB)=8, (AC)(AB)=6. Halle el valor de:

3 4 6M cos cos cosα β θ= + +

A C

B

θα

β

27 29 22 25 28) ) ) ) )

5 4 7 8 9A B C D E

UNMSM. 2008-II (ADE)

1. De la figura, AOB y COD son sectores

circulares. Si el área del sector COD es 9 y la

longitud del arco AB es 10. Halle el área de la

región ABDC.

D

O 3

A

BC

)18 )16 )15 )20 )21A B C D E

2. De la figura, 12 14AB , AC= = y 2 6

5tanθ =

Halle BC.

A

B

C

θ

)9 )8 )13 )11 )10A B C D E

3. Si 2 3 6 4tan( ) ; tan( )α β α β− = − =

Halle tan β

98 94 82 24) )5 ) ) )

33 33 7 7A B C D E

4. De la figura 5 4AB ; BC= = y el ángulo DAC

es 45° Calcule el área de la región DAC

B

C

A

D

)105 )87,5 )75 ) 77,5 )102,5A B C D E

5. De la figura Haciendo centro en O se ha trazado

el arco AB. Si N es punto medio de OB y

2MO AM ,= halle cot α


Página 4

B

N

A O

α

M

A B C

D E

− − −

− −

2 3 3 2 3 2 3 3 4) ) )

2 3 3

3 3 2 3 1) )

3 2

6. De la figura, 5 2BE ED DC ; BD= = =

Hallar tanα

A C

B

α

E D

2 1 1 3) ) ) ) 10 )3 3 10 10

A B C D E

7. Al simplificar la expresión

3 31

3 3

sen cot sen cotM

cos cos

α α α αα α

−= ++

Se obtiene:

2 4 3

4 2

1

1

A)csc B )tan C ) tan

D ) tan E )sec

α α αα α

++

UNMSM. 2008-II (BCF)

1. Consideramos ( 60)x yα = + + �

y

( 10)x yβ = − + � en el primer cuadrante, de

modo que 1 0sen .secα β − = hallar x:

)49 )64 )81 )100 )36A B C D E

2. De la figura, ABCD es un trapecio rectángulo

con AB=10, BC=6 y AD= 12 cm, hallar tan α

A

B C

D

α

45 47 45 35 47) ) ) ) )

7 5 11 5 13A B C D E

3. Halle el valor de “k” tal que:

2 2

2 2 2 2

2

3

tan k tan .......................( i )

cos cos cos sen ..( ii )

α βα β α β

+ =+ =

2 3 4) ) )3 ) 2 )3 2 3

A B C D E

4. De la figura, QM y MR están en razón de 3 a 4

Halle tanθ :

R

M

PQ

45�

θ


Página 5

2 2 2 2 4 2) ) ) ) )3 7 5 5 7

A B C D E

5. Halle 19tan( )α β− Si se cumple:

11

18

tan tan ...( i )

tan .tan ...( ii )

tan tan ...( iii )

α βα ββ α

+ ==

>

7 7) 7 )7 ) ) )19

19 19A B C D E− −

6. Si 3

2 2 2 22

; tanππ α α< < = Entonces el

valor de tan α es:

A B C

D E

− −

−

2) ) 2 )2 2 2

2

3 2) 2 1 )

2


Página 6

UNMSM. 2009-I

1. De la figura, 2EF cm,= Hallar BC

B

C

A

D

αFE

2 2 2

2 2

A) cos B ) cot C ) sen

D ) tan E ) sec

α α αα α

2. Si 45 50 85 85tan tan tan .cot cotα ° ° ° °= + +Halle la medida del ángulo α

)15 )48 )50 )35 )38A B C D E° ° ° ° °

3. De la figura, 2BC C D= Hallar el valor de:

senR

sen sen

α βα β

− +=2

2 2

1 ( )

( ) ( )

B

C

A D

β

α

1 1 )4 )2 ) )8 )

2 4A B C D E

4. Hallar el valor de:

40 3 40

10 10

sen cosM

sen cos

° °

° °

−=

1 1 )4 ) )2 ) 4 )

4 4A B C D E− −

5. Sabiendo que Rθ ∈ Hallar el mínimo valor de:

2 3N cos cosθ θ= −

A B C

D E

− − −

− −

3 11 21) ) )

4 8 16

13 ) 3 )

8

6. Determine la suma de todos los valores de

[ ]0;2θ π∈ que satisfacen la ecuación:

1sen cosθ θ+ =

5 7 9 3 7) ) ) ) )

2 2 4 2 4A B C D E

π π π π π


Página 7


1. Halle el número de raíces de la ecuación:

[ ]sen x senx x π+ = ∈2 0; 0;2

)4 )5 )3 )6 )2A B C D E

2. Si se cumple:

510 2 13 3 2 0

2 2

x xcos x cos x sen( )sen( )− + =

x kπ≠ + ∈(2 1) (k Z)6

Calcule:

3 0sec x sec x+ =

23 25 21 29 28) ) ) ) )

11 11 11 11 11A B C D E

3. Si β = 4� calcule:

3 3

3 14

20 20

R cos sen sen cos

sen cos

β β β β= − +

+ − −� �

sen sen senA B C

senD sen E

16 16 32) ) )

4 2 4

32)2 16 )

2

� � �

�

�

4. En la figura mostrada, ABCD es un

paralelogramo; AB b y a= = BC Halle PQ

A

B C

DP

Q

α

β

2 2 2

2 2

sen sen cosA)a B )b C )b

sen cot sen

sen asenD )a E )

cos bcos

α α αβ β βα αβ β

5. Si yα β= =33 20' 56 40'� � Halle el valor de:

2 2

2 2 2 2M (cos cos ) ( sen sen )

α β α β= + + −

A B C

D E

+ − +

+

)1 2 )2 2 )2 2

)2 2 )2 2 1


Página 8


1. Si xππ∈< >3

;2

, Simplifique:

2 4

2 41

csc x sen xM tan x .

sen x sen x

−=+ +

1 1 2

2

A) B ) C ) tan x

D ) tan x E )tan x

−

2. En la figura mostrada, AB x;BC y= =

Halle cosα

A C

B

α2 α

y x xA B C

x y y

y xD E

x y

2) ) )2

) )2

3. Sea cscsec yφ φ Las raíces de la ecuación de

segundo grado ax bx c+ + =2 0

Determine la relación que existe entre , a b y c

A a b ac B a c ab

C b a ac D b c ac

E c a ab

+ = − − =

− = − =+ =

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

) 2 ) 2

) 2 ) 2

) 2

4. Si , ,α φ θ son ángulos agudos tales que

y senα φ θ α φ θ= = + + = ( ) 14 5 6

Halle 2

tan( )α θ+

A B C D E3 4 3

) 3 )1 ) ) )3 5 5

5. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación 2 23cos sen cosα α α+ = en el intervalo de

0 2; π ?

)6 )3 )7 )5 )4A B C D E


Página 9

UNMSM. 2010-I

1. Las longitudes de los lados de un triángulo son

tres números enteros consecutivos, y el ángulo

mayor es el doble del ángulo menor α Halle la

razón del lado mayor al lado menor

22 2

3

cos 2

senA ) cos B ) csc C )

D ) E )cos

αα α

α α

2. Si 2sec x n tan x= y n ≠ 2 , Halle:

3 3

3

sen x cos xE

( senx cos x )

−=−

n n nA B C

n n n

n nD E

n n

+ − +− − −− +− −

3 1 1) ) )

2 2 2

3 2) )

2 2


1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se

tiene 5cm de hipotenusa y se cumple que

senB senC= 2 entonces el área del triángulo es:

A B C D E)2,5 )5,1 )5,5 )5,0 )5,2

2. En la figura, si AB AE= entonces βtan es

igual a:

A B

E

θ β

2

A)sec tan B )tan sec C )sec tan

D ) tan -2sec E )sec tan

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ

− − +−

3. En la figura se tiene un triángulo equilátero

ABC, cuyo lado mide L cm. Si el baricentro del

triángulo es el punto O, entonces la suma de las

distancias de los vértices a la recta L

O

A

B

C

θ

L

1

2

1 2

3

3

A)L(cos sen ) B ) L(cos sen )

C )L(cos sen ) D )L(cos sen )

E )L(cos sen )

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

+ +

+ +

+


Página 10


1. En la figura, si 4C B = , M es punto medio de

AB , ; 2 6CM MB AB= = halle cosα

MA

B

C

α

2 3 3 2 2 2) ) ) ) )

3 3 2 3 2A B C D E

2. En un triángulo ABC, de la figura mostrada

6; 5; 4AB BC CA= = = determine el valor de

( )sen

sen

α ββ+

AB

C

α

β

6 5 2 4 5) ) ) ) )5 6 3 5 4

A B C D E

3. En la figura, el triángulo ABC recto en B

145 ;

2AM MCα < = =�

halle el área del triángulo

ABC

A B

C

αM

3 4 2

2 3

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

A) cos sen B ) cos sen C ) cos sen

D ) cos sen E ) cos .sen

α α α α α α

α α α α


Página 11

UNMSM. 2011-I

1. De la figura = 10 3AC Halle AB

AB

C

45�

60�

)12 3 )15 2 )10 6 )8 3 )15 3 A B C D E

2. Si 24 2 0 2 0cos sen ; cos ,α α α+ = ≠

Calcule el valor de 2cos α

3 1 1 2 1) ) ) ) )

4 12 3 9 8A B C D E

3. En la figura ABC es rectángulo, recto en A, = =2 3CP , PB Halle αtan

AB

C

30� α

P

3 5 3 2 3 3 2 3 ) ) ) ) )

9 9 9 3 3A B C D E


1. Si 0 Simplifique la expresión4

1 2 2

1 2 2

cos senE

cos sen

πθ

θ θθ θ

< <

− +=+ +

2A)cot B)sen C)tan D) cos E )tanθ θ θ θ

2

2. Halle la expresión trigonométrica equivalente a

2 1E sen x= −

4 4 2 2

2 2 4 4

4 4

3

2 2

A)cos x sen x B ) (sen x cos x )

C )sen x cos x D ) sen x cos x

E ) sen x cos x

− −

− −−

3. De la figura 2 4 Halle MA , AB . BC= =

A

B

C

150�

M

15 2 3 15 3 2 15 3) ) )

2 2 2

3( 15 3) 15 3) )

2 3

A B C

D E

− − −

− −


Página 12


1. En un triángulo ABC,

15 30 m BCA y m CAB∠ = ∠ =� �

CA AB

HalleAB BC

+

2 15 2 15 2 2 15 2 15

2 2 15 2 15 3 2 15 2 15

215 2 15

2

A) cos sen B ) cos sen

C ) cos sen D ) cos sen

E ) cos sen

+ +

+ +

+

� � � �

� � � �

� �

2 4 4 2

. Si tan cot y

Halle w tan cot

π πα α α

α α

+ = < <

= −

)2 3 ) 6 )2 6 )3 2 )4 2 A B C D E

3

3 2 3

. En el triángulo ABC de la figura tiene

ACperímetro igual a .

( )

Si AB BC Halle α θ−

= +

A

B

C

α

θ

)120 )135 )140 )150 )130A B C D E° ° ° ° °


Página 13

UNMSM. 2012-I (BCF)

1. Si 0; 0,x y a bπ∈ > > Halle el valor de

1

2 2

1

2 2

1

2 2

a( cos x ) bsenxE

a( senx cos x ) a

− −=+ − −

3 3) ) )

2) )

a b a b a bA B C

a a b

a b a bD E

a a

− + −

− −

2. En el triángulo BAC de la figura,

AC b cm y BC AB k cm= − = donde ,b k>

Halle 2

tanα

AB

C

α

) ) ) )2 )2

bk b kA bk B C D b k E

k b−

3. En el triángulo ABC de la figura,

4 3AD cm= halle BC

A

B

C

D

40�

110�

20�

)12 )11 )13 )14 )15A cm B cm C cm D cm E cm


1. Si α Es un ángulo agudo en un triángulo

rectángulo, tal que 5 13secα = halle el valor de

3 4

5 4

sen cosE

sen cos

α αα α

−=+

5 7 3 1 2) ) ) ) )12 10 10 5 5

A B C D E

2. En un triángulo ABC, AC AB=8 45BC y m CAB= ∠ = � Halle el área del

triángulo

16 2 2 16 2 2 8 2 2) ) )

2 2 2 2 2 2

8 2 2 32 2 2) )

2 2 2 2 2

A B C

D E

+ − +

− + −

− +

+ −

3. En la figura, se tiene el triángulo ABC ,

3BC AC= Halle el valor de

2

2

sen tan( )E

sen tan( )

α α θθ α θ

−=+

A B

C

2α 2θ

2 1 5 3 3) ) ) ) )3 2 2 2 5

A B C D E


Página 14


1. Si m

cos ; m nn

α = ≠ halle el valor de

K (cot csc )(tan sen )α α α α= + −

2 2 2

2 2

2 2 2 2

11 1

n m mA) B ) C )

m n mn

m n n mD ) E )

mn mn

−− −

− −

2. Sea x k ; k Zπ≠ ∈ Si a,b,c, son números

reales distintos y no nulos, tal que

2 3senx sen x sen x

a b c= =

Indique la relación correcta

2 2 2 2

2 2

) ) )

) )

A b a ac B a c b C b a c

D c ab E b ac

= + = − = −= =

3. En la figura, 1 3 1BC y AC= = + Halle el

valor de la medida del ángulo ABC

A

B

C

15�

)36 )45 )30 )53 )37A B C D E° ° ° ° °


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UNMSM. 2013-I (Todos los bloques)

1. Simplifique la expresión

3 3sen x cos xE

cos x senx= +

2 2 2 2 2 2

2 2 2

A) cot x B) tan x C)tan xcot x

D)tanxcot x E )sen xcos x

2. Si x,y pertenecen al intervalo de 02

;π

halle

m en función de x para que cumpla

2sen( x y ) cos( x y )m.sec x

senxseny cos xseny

− −− =

2

A) tan x B)cot x C)tanx

D) cot x E ) tanx

−− −

3. En la figura se tiene que el triángulo ABC es

recto en A, si CQ a; AB b= = halle a

b

A B30�

C

Q

45�

3 1 1) ) (3 3) ) (6 3)

3 3 3

1 1) (6 3) ) (3 3)3 3

A B C

D E

+ −

+ −


1. Halle los valores x R∈ en que la función f

definida por 2 4f ( x ) tan x sec x= − , asume su

mínimo valor

6 1 6 1 3 16 3 3

8 1 2 14 4

A)( k ) B )( k ) C )( k )

D) ( k ) E )( k )

π π π

π π

± ± ±

± ±

2. En dos triángulos rectángulos, consideramos los

ángulos agudos yα β respectivamente. Si

3

7sen y sec cotα β α= = calcule el valor de

2 2

2 2

12 9

3

tan tanf ( x )

csc csc

α βα β

+=−

)4 )3 )2 )1 )5A B C D E

3. Hale α si:

3 70 80 160cos sen cos cosα ° ° °= − − Con

0 90α °< <

)30 )20 )50 )40 )10A B C D E° ° ° ° °


Página 16


1. En la figura

2 10 2 13DA BA; DA , DC y CB= = = = Halle el

valor de 1

510

sec cotθ α+ +

A

B

C D

α θ

)4 )3 )6 )2 )5A B C D E

2. En la figura OA AB= Halle tanθ

θ(3;4)A

BO

4 24 7 3 24) ) ) ) )3 5 24 4 7

A B C D E

3. Si 23cos m; sen tα α= = Halle el valor de

2 44 7

3m t+ +

7 8 1 11 3A) B) C ) D) E )


Página 17

UNMSM. 2014-I (ADE)

1. Determine el rango de la función

2 2f ( x ) ( senx )( senx ), x R= + − ∈

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]2 4 1 3 3 4

1 9 1 4

A) ; B ) ; C ) ;

D ) ; E ) ;

2. Si se cumple 3 02

tan conπα α= < < Calcule

8 4

2 6

sen senN

sen cos

α αα α

−=

2 10 10 3 10) ) )

5 5 5

2 5 5) )

5 5

A B C

D E

3. Si [ ]0 2x ; π∈ halle la suma de las soluciones

de la ecuación 22 3 2

2

xsen ( ) cos x+ =

)2 )3 )4 )5 )6A B C D Eπ π π π π

UNMSM. 2014-I (BCF)

1. Halle el valor de

2 3

60 302 3

60 30

sen senE ( )( )

sen sen

−° °

° °

−= + +

2 3 1 2 3

3 2 3

A) B ) C )

D ) E )

− +

2. Simplifique la expresión

24 0csc x cot x csc x cot x

E cot x; x ;csc x cot x csc x cot x

π− += + − ∈+ −

1 4 6 8 2A) B) C) D) E)

3. Si A,B,C son ángulos internos de un triángulo

y 1

2sen( A B)cos( A B)+ + = , halle sec(C )

2 3 52 2 2

3 4

-A) B ) C ) - D ) E )


1. En la figura

20

8 110

sen( )AD y

cos( )

θθ

°

°

+= =+

.

Halle DB

A

B

C

D

θ

θ

8 8 3 16 18 12A) B ) C ) D ) E )


Página 18

2. En la figura 2 3tanα = . Halle cotθ

α

60° θ

5 5 3 7 3

9 93

7 4 3

92 3

A) B ) C )

D) E )

− − −

− −

3. Si 4

πα β+ = , halle 1 1( cot )( cot )α β− −

3 3 2 3 2 2 3 2

2 2A) B ) C ) D ) E )


1. Si se cumple

sen cos x

sen cos y

α αα α

+ = − =

.

Halle 2 2x y+

1 3 3 2 2A) B ) C ) D ) E )

2. Indique la expresión equivalente a

06 6 2

E cos( x ) cos( x ) cos x, x ;π π π= − − + − + ∈

3 1 3 2 3

3 3 2 3

A)( )cos x B ) cos x C ) cos x

D )( )cos x E )( )cos x

+

+ +

3. De la figura, calcule cos cosα β+ .

( 24; 7)− −

O

αβ

48 17 31 34 31

25 25 25 25 25A) B) C ) D) E )− − − −


Página 19

UNMSM. 2015-I (ADE)

1. Si 3

5senα = halle el valor de 2cos α

5 3 25 9 16

3 5 16 25 25A) B) C ) D) E )

2. En la figura, se muestra una escalera de

longitud a unidades apoyada sobre un muro

vertical y forma con el piso un ángulo de 30° . Si

queremos que la escalera forme una ángulo de

45° con el piso, h aumentará en x unidades y

m disminuirá en y unidades. Halle el valor de

x y+ en las mismas unidades

30°

m

h

a

3 1 3 1 3 1

2 22

3 3 2

2 2

A) a B ) a C ) a

D ) a E ) a

− − +

+

3. Si 02

πα< < Indique la expresión equivalente

2

2

sen( ) tan( )E

csc( )

πα α π

πα

− + +=

+

2 2

2 2

A)sen cos B )sen cos

C )sen cos D )sen cos

E )sen cos

α α α αα α α αα α

+ −− +−

UNMSM. 2015-I (BCF)

1. De la figura, la rueda de radio R pasa de

P a Q , dando cuatro vueltas completas. Si

80PQ π= halle el valor de R

P Q

R

10 8 8 9 10A) B ) C ) D) E )π π


2 221 69 1E sec cot° °= − +

1 2 1 2 3A) B ) C ) D ) E )−

3. Indique la expresión equivalente a

sen( ) sen( ) cosM

cos( ) cos( ) sen

α β α β αθ β θ β θ

+ − −= −− − +

02

, , ;πα β θ ∈

1 2 0 A) B ) C )

cos senD) E )

sen cos

α θθ α


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1. Convierta 31 12 30g m s a minutos centesimales

3100 3120 3112 3

3102 3112 5

m m m

m m

A) B ) C ) ,

D ) E ) ,

2. Si 5

90 02 2

cos( x ) csc x ; x ;π° − + = ∈

halle tan x sec x+

1 22 2 3 3

3 3A) B) C ) D) E )

3. Con los datos de la figura, halle sen cosα β+

3 8P( ; )− −

α

β

3 0A( ; )

1 1 3 1 0

8 5 5A) B) C) D) E )

4. Un poste tiene 15m más de altura que otro. Un

observador, que está a 30 3m del poste

pequeño, observa las partes más altas de ambos

postes en una misma dirección con un ángulo de

elevación de 30° . Determine la altura del poste

menor y la distancia entre los postes, en ese

orden.

15 3 30 15 3 45

30 3 15 3 10 3 30

30 10 3

A) m; m B) m; m

C ) m; m D ) m; m

E ) m; m



24 180 3 270 225

360 315

cos sen secM

tan cot

° ° °

° °

− +=−

2 1 1 2 0

2A) B) C) D) E )− −

2. Desde el punto medio del segmento que une los

pies de dos torres, se observa sus extremos con

un ángulo de elevación de 30 60y° °

respectivamente. Determine la relación entre las

alturas de las torres.

3

4

2

3

3

5

A)Una es de la otra

B)Una es de la otra

C )Una es el doble de la otra

D)Una es el triple de la otra

E )Una es de la otra


Página 21

UNMSM. 2016-I (ADE)

1. Si 33 3tan( ) y tanα β α+ = = halle tan β

7 7 3 1 10

9 10 10 30 3A) B) C ) D) E )

2. En la figura O es centro de la circunferencia y

5

3

AB

OA= Halle senα

A

BO

α

11 5 55

324 6324

3 11 2 11

324 324

A) B) C )

D) E )

3. Si 02

arcsen(cos x ) x; x ;π = ∈

¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es correcta?

1 1

1 3 2

3

2

A)arctan x B)x arctan

C )senx cos x D)arc sec( )x

E )tan x

= =

= =

=

UNMSM. 2016-I (BCF)

1. Si β es un ángulo en posición normal con lado

terminal situado en el segundo cuadrante y

3

4tan β = − calcule el valor de 2cos β

8 6 6

25 25 25

7 7

25 25

A) B) C )

D) E )

− −

−

2. Exprese en segundos sexagesimales, la medida

de un ángulo de la milésima parte de 180°

720 525 648

725 680

A) B) C )

D) E )

′′ ′′ ′′′′ ′′

3. En la figura 2

5

BM

MC= halle tanα

A B

C

M

α

45°

5 4 7 3 4

9 9 9 4 5A) B) C ) D ) E )

Preguntas de Trigonometria UNMSM (2008-2016)

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