PRESENCIA DE ARGUMENTOS CUASI-LÓGICOS EN...
123
PRESENCIA DE ARGUMENTOS CUASI-LÓGICOS EN TRAYECTORIAS REALES DE APRENDIZAJE DEL ESPACIO Milton Alejandro Quevedo Leandro Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Maestría en Educación Bogotá 2018
Transcript of PRESENCIA DE ARGUMENTOS CUASI-LÓGICOS EN...
PRESENCIA DE ARGUMENTOS CUASI-LÓGICOS EN TRAYECTORIAS REALES
DE APRENDIZAJE DEL ESPACIO
Milton Alejandro Quevedo Leandro
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación
Bogotá 2018
ii
PRESENCIA DE ARGUMENTOS CUASI-LÓGICOS EN TRAYECTORIAS
REALES DE APRENDIZAJE DEL ESPACIO
Milton Alejandro Quevedo Leandro
TRABAJO FINAL DE INVESTIGACIÓN, COMO OPCIÓN DE TRABAJO DE
GRADO
PARA OPTAR AL TÍTULO DE MAGISTER EN EDUCACIÓN
GRUPO DE INVESTIGACIÓN INTERDISCIPLINARIA EN PEDAGOGÍA DEL
LENGUAJE Y LAS MATEMÁTICAS – GIIPLyM – UNIVERSIDAD DEL VALLE
– UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
DIRECTORA
Doctora Olga Lucia León Corredor
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación
Bogotá 2018
iii
Nota de aceptación
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Jurado
____________________________________
Jurado
iv
Agradecimientos
Manuela Quevedo L. has sido un nodo de amor desde el 23 de enero del 2012, el más puro y bello
amor desde el 23 de septiembre del mismo año. Desde ese día la razón por la cual tener nuevos
proyectos, metas y tiempo para compartir contigo. Lo que más amo.
Carmen Leandro J, Tomas Quevedo C y Ángela Quevedo Leandro, solo tengo palabras de
admiración, respeto y reconocimiento para quienes han hecho mi vida feliz. GRACIAS POR
EXISTIR.
Olga Lucia león
Disculpas por los mal genios ocasionados, las cosas mal hechas, las asesorías perdidas y sin
avances.
Admiración por su paciencia, por sus concejos, por su conocimiento, por su dedicación, por tantas
cosas aprendidas y las que nunca entendí, siempre estaré agradecido por llevarme a los umbrales de
la argumentación, de la investigación de diseño, por las trayectorias hipotéticas y reales de
aprendizaje.
Me deja perturbado por el pensamiento espacial, la orientación espacial y visualización, espero en
otros espacios lograr en estos conceptos su altura y finura conceptual, es mi gran meta académica
(grandísima); para cuando tenga referencia de mí, sepa que su trabajo fue, es y será excelente y si la
han de juzgar, así sea en los finales de nuestros días, sea por el buen trabajo que ha realizado con
sus estudiantes y doy fe de eso.
Wilson Cortes Barajas, Emerson Garzón y William Suarez; un agradecimiento especial por hacer de
la maestría un lugar para compartir y debatir
v
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 1
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVOS ..................................................... 3
1.1. Objetivo general ......................................................................................................... 6
1.2. Objetivos específicos .................................................................................................. 6
2. ARGUMENTACIÓN ................................................................................................. 7
2.1. Elementos didácticos para el desarrollo de las situaciones argumentativas en el
aprendizaje del espacio .......................................................................................................... 8
2.2. Argumentos Cuasi-lógicos ........................................................................................ 12
2.2.1. Identificación Y Clasificación De Los Argumentos Cuasi-Lógicos ................................... 13
2.2.1.1. Contradicción E Incompatibilidad ....................................................................................... 15
2.2.1.2. El Ridículo y su Papel en La argumentación ...................................................................... 16
2.2.1.3. Identidad Y Definición En La Argumentación ................................................................... 17
2.2.1.4. Analiticidad, Análisis Y Tautología.................................................................................... 18
2.2.1.5. Regla De Justicia ................................................................................................................ 18
2.2.1.6. Argumentos De Reciprocidad ............................................................................................ 19
2.2.1.7. Argumentos de Transitividad ............................................................................................ 21
2.2.1.8. La Inclusión De La Parte En El Todo; La División Del Todo En Sus Partes .................... 21
2.2.1.9. Los Argumentos De Comparación .................................................................................... 23
2.2.1.10. La Argumentación Por El Sacrificio ..................................................................... 24
2.2.1.11. . Probabilidades ..................................................................................................... 24
3. ORIENTACIÓN ESPACIAL ...................................................................................... 26
3.1. Ubicación Espacial. ................................................................................................. 27
3.2. Localización Espacial.............................................................................................. 28
3.2.1. Definición palabras asociadas al espacio ..........................................................................28
3.3. Representación del Espacio ................................................................................... 29
3.4. Uso de Sistemas de Coordenadas. ........................................................................... 31
3.4.1. Sistema cartesiano de referencia ...................................................................................... 31
3.4.2. Coordenadas cartesianas ................................................................................................... 31
vi
3.4.3. Coordenadas polares y cilíndricas…………….................................................................. 31
3.4.4. Coordenadas esféricas .............................................................................................................. 32
4. TRAYECTORIA HIPOTETICA DE APRENDIZAJE ....................................................... 33
4.1. Trayectorias De Aprendizaje Para El Pensamiento Espacial .................................. 36
4.1.1. Descripción De Los Niveles De La Trayectoria: Para El Pensamiento Espacial ............... 37
5. METODOLOGÍA ................................................................................................... 43
5.1. Hipótesis Planteadas Para El Diseño De La THA ................................................... 43
Descripción de la población ............................................................................................................... 55
6. RESULTADOS Y ANÁLISIS ..................................................................................... 57
6.1. Verificación Y Cumplimiento De Hipótesis, Descriptores E Indicadores Para
Corroborar La Progresión De Procesos ............................................................................. 57
Verificación de procesos por estudiante ........................................................................ 57
6.1.1. Estudiante Uno. E1 ............................................................................................................ 57
6.1.3. Estudiante Tres. E3 .................................................................................................................. 66
6.1.4. Estudiante Cuatro. E4............................................................................................................... 71
6.1.5. Estudiante Cinco. E5 ..................................................................................................... 75
6.2. ANÁLISIS Y RESULTADOS EN ARGUMENTACIÓN ............................................ 79
6.2.2. Estudiante Dos. E2 ................................................................................................................... 84
6.2.3. Estudiante Tres. E3 .................................................................................................................. 86
6.2.4. Estudiante Cuatro. E4............................................................................................................... 88
6.2.5. Estudiante Cinco. E5 ...................................................................................................... 90
CONCLUSIONES ....................................................................................................... 93
REFERENCIAS .......................................................................................................... 99
BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 101
ANEXOS ...................................................................................................... .......... 103
Estas rejillas son las primeras que se usaron para realizar un análisis, las aposteriori
están en el documento como tal. ............................................................................... 103
vii
Anexo tres, E1 ............................................................................................................. 107
Anexo cuatro, E2 ......................................................................................................... 108
Anexo cinco, E3 ........................................................................................................... 109
Anexo seis, E4 ............................................................................................................. 110
Anexo siete, E5 ............................................................................................................ 111
LISTADO DE TABLAS
Tabla 2. Trayectoria Hipotética de aprendizaje Clements y sarama (2005) 35
Tabla 3. Nivel 1 46
4. Nivel 2 48
5. Nivel 3 49
6. Nivel 4 50
7. Nivel 5 51
Tabla 8. Nivel 6 53
Tabla 9. Nivel 7 54
Tabla 10. E1 Resultados de indicadores por proceso y nivel 58
Tabla 11. E2 Resultados de indicadores por proceso y nivel 62
Tabla 12. E3 Resultados de indicadores por proceso y nivel 66
Tabla 13. E4 Resultados de indicadores por proceso y nivel 70
Tabla 14. E5 Resultados de indicadores por proceso y nivel 74
viii
LISTADO DE GRÁFICAS Gráfica 1. E1 Progresión procesos 58
Gráfica 2. E2 Progresión procesos 62
Gráfica 3. E3 Progresión procesos 66
Gráfica 4. E4 Progresión procesos 71
Gráfica 5. E5 Progresión procesos 75
LISTADO DE ILUSTRACIONES Ilustración 1. Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje 35
x
x
Resumen Analítico de Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Maestría
en Educación Bogotá, D.C.
TÍTULO
"PRESENCIA DE ARGUMENTOS CUASI-LÓGICOS EN TRAYECTORIAS REALES DE
APRENDIZAJE DEL ESPACIO",
Autor: Milton Alejandro Quevedo Leandro
Lugar de elaboración: Bogotá D.C.
Tipo de documento: Monografía
Palabras clave:
Trayectoria hipotética y real de aprendizaje, experimento de enseñanza, argumentación, cuasi-
lógicos, razonamiento.
OBJETIVOS
Objetivo general
Caracterizar la formulación de argumentos cuasi-lógicos en niños de grado sexto, a partir de THA
del espacio.
Objetivos específicos
Consolidar una THA del espacio en niños de sexto con hipótesis de procesos de argumentación
matemática
Gestionar didácticamente la THA del espacio en un grado sexto
Identificar trayectorias reales de aprendizaje del espacio en niños de grado sexto.
Identificar estructuras de argumentos cuasi-lógicos en trayectorias reales.
Descripción:
La propuesta pretende caracterizar los argumentos cuasi-lógicos logrados por estudiantes, según
el enfoque propuesto por Perelman & Olbrechts-Tyteca (1989), para la teoría de la argumentación y el
enfoque de la aplicación de esta teoría en la didáctica de las matemáticas propuesto por León (2005).
Así mismo, se presenta un desarrollo de la investigación en diseño desde los experimentos de
enseñanza de Simón (1995), Callejo de la Vega, Valls, & Llinares (2007). Y Cobb, Whitenac (1996).
Específicamente la investigación sobre diseño y gestión didáctica a partir de las Trayectorias
Hipotéticas de Aprendizaje propuesta por Clements y Sarama (2009); León, Díaz y Guilombo (2014),
específicamente se trabajara la Teoría Hipotética del espacio propuesta por Clements y Sarama
(2009), con estudiantes de grado Sexto de un colegio del sector público de Bogotá.
xi
FUENTES
El total de fuentes consultadas fue de 60, con referencia directa de 46 y a continuación, se
presentan las referencias más utilizadas en el trabajo.
Clements, D., & Sarama, J. (2009). Early Childhood Mathematics Education Research.
Nueva York: Routledge.
Cobb, P., & Gravemeijer, K. (2008). Experimenting to Support and Understand
Learning Processes. (A. E. Kelly, R. A. Lesh, & J. Y. Baek, Edits.) Handbook of Design
Research Methods in Education: Innovations in Science, Technology, Engineering, and
Mathematics Learning and Teaching, 68 - 95.
León, O. (2005). Experiencia figural y procesos semánticos para la argumentación en
geometría. (Tesis doctoral sin publicar). Cali: Universidad del Valle.
León, O. Díaz Celis. & Guilombo, D. (2014). Diseños didácticos y trayectorias de aprendizaje de
la geometría de estudiantes sordos, en los primeros grados de escolaridad. Revista Latinoamericana
de Etnomatemática, 7(2), 9-28.
Perelman, Ch, y Olbrechts-Tyteca, L. (1989), Tratado de la argumentación (3ra de, 2016),
Madrid, España: Editorial Gredos
Moliner, M. Diccionario de uso del español. 1966. Madrid, España: Editorial Gredos
Moliner, M. Diccionario de uso del español. 1981 Tomo II Preimpresión. Madrid, España:
Editorial Gredos
xii
CONTENIDO
La investigación de tipo cualitativo, bajo el marco experimento de enseñanza y que nos lleva a
desplegar una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA), para lograr una trayectoria real de
aprendizaje (TRA). Al realizar 21 tareas, cada tres, para un nivel específico de la THA de la
orientación espacial propuesta por Clements y Sarama (2005), dichas tareas son desarrolladas por
estudiantes de grado sexto de un colegio en la ciudad de Bogotá. Al analizar el trabajo desarrollado
por los estudiantes se evidencia que éste tipo de tareas son efectivas a la hora de promover la
argumentación en la orientación espacial a través de la situación argumentativa.
En el primer capítulo encontraremos el planteamiento de problema de las perspectivas de la
argumentación, THA y el pensamiento espacial, específicamente la orientación espacial.
En el segundo capítulo se estudia una parte de la teoría de la argumentación comenzando por la
situación argumentativa, pasando por los elementos didácticos para la aparición de argumentación en
el aula terminando por la caracterización de los argumentos cuasi-lógicos
En el tercer capítulo se pone en marcha un estudio acerca del pensamiento espacial, más
precisamente acerca de la localización espacial y los procesos que este pone en juego cuando se
realiza un actividad con el fin de estudiarla, como lo son la ubicación espacial, localización espacial,
representación del espacio y sistemas de coordenadas.
En el cuarto capítulo expresare la metodología de las trayectorias hipotéticas de aprendizaje, que
está enmarcada en los procesos de enseñanza y esta a su vez en la investigación de diseño, se tomara
la propuesta realizadas por Clements y Sarama, evidenciando que es un hipótesis de trayectoria,
hipótesis de nivel, indicadores de nivel y descriptores.
En el quinto capítulo muestro THA para la orientación espacial propuesta por Clements y Sarama
(2015), la cual se ha adaptado para la población de un colegio público en Ciudad Bolívar. Fortalecida
con hipótesis, indicadores y descriptores que dan cuenta de la argumentación Cuasi-lógica.
En el sexto capítulo se evidencia el progreso de los estudiantes en la TRA, en los procesos que
demanda la orientación espacial y la argumentación
Por último se plantean una serie de consideraciones finales, en forma de conclusión, análisis y
propuestas surgidas todas en la elaboración de este trabajo.
xiii
METODOLOGÍA
La metodología de la Investigación de Diseño resulta indicada para este trabajo puesto
que al mismo tiempo que se estudia el proceso de aprendizaje, se analizan los modos por los
cuales el aprendizaje se sustenta y se organiza (Cobb & Gravemeijer, 2008). Así mismo, la
Investigación de Diseño permite la comprobación de los supuestos del modelo teórico,
transformados en hipótesis, de acuerdo a la validez que evidencian según el análisis de los
datos obtenidos (Confrey, 2006; Steffe & Thompson, 2000).
En el marco de la Investigación de Diseño se encuentra los Experimentos de Enseñanza,
los cuales permiten determinar la eficacia de algún diseño didáctico, ampliar las teorías del
aprendizaje y enseñanza a situaciones diversas, fundamentar empíricamente el conocimiento,
y comprobar y generar hipótesis (Steffe & Thompson, 2000; González, Paloma & Tapiero,
2013; León & Calderón, 2016). El experimento de enseñanza consiste en una secuencia de
procedimientos de enseñanza según la participación de los estudiantes, profesores e
investigadores.
Para el desarrollo del experimento de enseñanza se diseñará una Trayectoria Hipotética
de Aprendizaje (THA) considerándose la participación de los profesores, estudiantes, e
investigadores. Las THA proporcionan al investigador un criterio racional para decidir el
diseño que él considera y las hipótesis sobre cómo posibilitar el aprendizaje y desarrollo del
espacio (Simon & Tzur, 2004).
1
INTRODUCCIÓN
La práctica de la argumentación matemática es actualmente considerada como parte esencial del
currículo de matemáticas debido a que promueven procesos de razonamiento que llevan al
estudiante a ser socialmente crítico y reflexivo. En este documento propone mostrar y explicitar
relaciones entre procesos de argumentación cuasi-lógica, cuando los estudiantes tienen un trabajo de
acercamiento al pensamiento espacial, específicamente a la orientación espacial, en un grupo de
estudiantes de grado sexto.
La investigación de tipo cualitativo, bajo el marco experimento de enseñanza y que nos lleva a
desplegar una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA), para lograr una trayectoria real de
aprendizaje (TRA). Al realizar 21 tareas, cada tres, para un nivel específico de la THA de la
orientación espacial propuesta por Clements y Sarama (2005), dichas tareas son desarrolladas por
estudiantes de grado sexto de un colegio en la ciudad de Bogotá. Al analizar el trabajo desarrollado
por los estudiantes se evidencia que éste tipo de tareas son efectivas a la hora de promover la
argumentación en la orientación espacial a través de la situación argumentativa.
En el primer capítulo encontraremos el planteamiento de problema de las perspectivas de la
argumentación, THA y el pensamiento espacial, específicamente la orientación espacial.
En el segundo capítulo se estudia una parte de la teoría de la argumentación comenzando por la
situación argumentativa, pasando por los elementos didácticos para la aparición de argumentación
en el aula terminando por la caracterización de los argumentos cuasi-lógicos
En el tercer capítulo se pone en marcha un estudio acerca del pensamiento espacial, más
precisamente acerca de la localización espacial y los procesos que este pone en juego cuando se
realiza un actividad con el fin de estudiarla, como lo son la ubicación espacial, localización
espacial, representación del espacio y sistemas de coordenadas.
En el cuarto capítulo expresare la metodología de las trayectorias hipotéticas de aprendizaje, que
está enmarcada en los procesos de enseñanza y esta a su vez en la investigación de diseño, se
tomara la propuesta realizadas por Clements y Sarama, evidenciando que es un hipótesis de
trayectoria, hipótesis de nivel, indicadores de nivel y descriptores.
En el quinto capítulo muestro THA para la orientación espacial propuesta por Clements y
Sarama (2015), la cual se ha adaptado para la población de un colegio público en Ciudad Bolívar.
Fortalecida con hipótesis, indicadores y descriptores que dan cuenta de la argumentación
Cuasilógica.
2
En el sexto capítulo se evidencia el progreso de los estudiantes en la TRA, en los procesos que
demanda la orientación espacial y la argumentación
Por último se plantean una serie de consideraciones finales, en forma de conclusión, análisis y
propuestas surgidas todas en la elaboración de este trabajo.
3
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVOS
El valor de la argumentación en matemáticas puede ser estudiado desde tres perspectivas,
en la primera se destaca la importancia que tiene la competencia argumentativa en la
constitución del sujeto matemático (León, 2005) y en el desarrollo de una competencia
ciudadana, (Ministerio de Educación Nacional, 2006); en la segunda, la necesidad de un
desarrollo didáctico que favorezca los ambientes argumentativos en el aula de clase (León,
O. 2005), (Calderón. León, O.2001). En un ambiente de experimentos de enseñanza Simon
(1995); Callejo de la Vega, M., Valls, J., & Llinares, S. (2007); Cobb, P.
Whitenac, W. (1996); Clements & Sarama (2009); León, Díaz & Guilombo (2014) y
González (2015). El tercero se vincula a la necesidad de avanzar en la superación de
problemas que provienen del aprendizaje del espacio en espacios escolarizados, como lo
plantea Godino (2010), Arrienta (2003) y León (2005).
Las directrices del MEN (2006), para la educación matemática resaltan la formación en
valores democráticos por medio del desarrollo de competencias argumentativas:
Esto implica reconocer que hay distintos tipos de pensamiento lógico y
matemático que se utilizan para tomar decisiones informadas, para
proporcionar justificaciones razonables o refutar las aparentes y falaces y para
ejercer la ciudadanía crítica, es decir, para participar en la preparación,
discusión y toma de decisiones y para desarrollar acciones que colectivamente
puedan transformar la sociedad (p. 48).
Para formar ciudadanos críticos, reflexivos y capaces de razonar se hace necesario un
aprendizaje en el que se desarrollen competencias argumentativas, que les ayuden a los
estudiantes, entre otras cosas, a insertarse en un mundo laboral, en forma activa y crítica en
su vida social y política y para interpretar la información necesaria en la toma de
decisiones.
4
El desarrollo de competencias argumentativas guarda una estrecha relación con el
concepto de competencia matemática. El MEN (2006), establece que uno de los procesos
que se tiene en cuenta para definir qué es ser matemáticamente competente es: “Usar la
argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de
validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración” (p. 51). De
otra parte, la prueba internacional Pisa (2009), define competencia matemática como la
capacidad de formular, emplear e interpretar la matemática en diversos contextos. En
particular incluye el razonamiento matemático y el uso de conceptos, procedimientos,
hechos y herramientas para describir, explicar, predecir fenómenos, tomar decisiones y
emitir juicios bien fundamentados.
En lo que concierne a la investigación en argumentación y construcción del
conocimiento matemático León (2005) informa que:
“se encontraron resultados que revelaron la importancia de los factores
sociales en los procesos de aula y justificaron la necesidad de investigar la
argumentación como un proceso inscrito en un contexto escolar, debido al
reconocimiento del carácter social de la argumentación y de su naturaleza
transformadora de contextos”(p. 1). Además:
¨ Confiere dos dimensiones al razonamiento: en primer lugar, el hecho de ser una forma
de pensamiento determinada por un tipo de operación cognitiva especial: la inferencia. Y
en segundo lugar, el estar ligado al uso de un lenguaje que lo caracteriza, como un tipo de
organización discursiva. La forma como se produce una inferencia constituye lo que
denominaremos un paso de razonamiento y es un aspecto local en la producción discursiva
León 2005 (p. 38).
Esta investigación involucra los estudios de argumentación y razonamiento destaca como
mediación para el análisis la lengua natural y los otros sistemas semióticos en la elaboración
de conceptos matemáticos.
Finalmente, la orientación espacial es “una forma de actuar con atención explícita a las
posibles representaciones concretas en cuanto desvelan las relaciones abstractas que al
matemático interesan” De Guzmán (1996).La importancia de la visualización espacial en la
educación matemática se muestra en las revisiones realizadas por Bishop (1980, 1989),
Clements y Battista (1992), Clements (1998) y Gutiérrez (1998). Citados por Arrieta,
5
(2003). En donde explicita como en algunas profesiones esta habilidad es imprescindible
ya que es difícil imaginar el desempeñar estos trabajos sin una habilidad viso-espacial.
Para León 2005 (p. 62), Tres aspectos cognitivos se relacionan de manera natural con la
visualización;
“el primero, tiene que ver con su función en la elaboración del conocimiento
matemático tanto en el desarrollo de procesos complejos para la matemática
(como las demostraciones), como en la constitución de intuiciones básicas
(como la de la noción de infinito). El segundo es la relación con la actividad
sensorial que permite la aprehensión por medio de los sentidos de los objetos
del mundo físico; desde esa perspectiva tenemos una forma de percepción que
puede ser visual, táctil, gustativa, auditiva y olfativa, se destaca la percepción
visual como una forma privilegiada para la visualización. La tercera relación
se establece con el tipo de proceso semiótico que hace de la visualización una
forma de representación analógica, determinada por el tipo de aprehensión de
las formas simbólicas del sistema semiótico, por las relaciones de estas formas
en el sistema semiótico y por su nivel de referencia al objeto matemático”.
Desde el punto de vista didáctico los tres aspectos cognitivos mencionados
anteriormente, destacan las dificultades presentes en el proceso que desarrolla la
visualización matemática y la importancia de su valoración en los diseños didácticos y
curriculares que tienen como intención desarrollar forma de razonamiento matemático.
Además, León (2005, P.62, 64, 66) plantea 3 tipos de estudio de la visualización y el
razonamiento desde la acción didáctica: 1) La visualización en la comprensión del hacer
matemático. 2) La visualización en la comprensión de las cogniciones intuitivas. 3) La
visualización como proceso de representación.
La pregunta orientadora que contemplo para el desarrollo del trabajo es:
¿Qué características de una THA del espacio, promueven el desarrollo de procesos
argumentativos en niños de grado sexto?
1.1. Objetivo general
• Caracterizar la formulación de argumentos cuasi-lógicos en niños de grado sexto,
a partir de THA del espacio.
6
1.2. Objetivos específicos
• Consolidar una THA del espacio en niños de sexto con hipótesis de procesos de
argumentación matemática
• Gestionar didácticamente la THA del espacio en un grado sexto
• Identificar trayectorias reales de aprendizaje del espacio en niños de grado sexto.
• Identificar estructuras de argumentos cuasi-lógicos en trayectorias reales.
7
2. ARGUMENTACIÓN
Para Perelman, Ch, y Olbrechts-Tyteca, L. (1989). Argumentar se concentra en la actividad
conducente hacia la justificación de una proposición, de una posición o tesis con una diversidad de
campos de aplicación para combatir opiniones así como de probar todo tipo de decisiones.
Para que haya una argumentación, es necesario que, en un momento dado, se
produzca una comunidad efectiva de personas. Es preciso que se esté de acuerdo, ante
todo y en principio, en la formación de esta comunidad intelectual y, después, en el
hecho de debatir juntos una cuestión determinada. Ahora bien, esto no resulta de
ningún modo evidente. (p.48).
El proceso argumentativo exige la utilización de una serie de estrategias instrumentos o métodos
para acreditar la solvencia de los planteamientos esgrimidos y evitar incurrir en argumentos falsos o
falacias que conllevaría debilitar la posición defendía que puede ser concedida a partir del lenguaje
utilizado por el que quiere convencer.
El lenguaje no es sólo un medio de comunicación, también es un instrumento para
influir en los hombres, un medio de persuasión. Ahora, bien, aún no se ha resaltado
suficiente la influencia de las necesidades de la argumentación sobre la maleabilidad de
las nociones. (p.216)
Platin (2001), plantea que la argumentación es uno de los más antiguos mitos
fundacionales de las ciencias humanas junto a la geometría, explícitamente para Plantin, la
argumentación es una relación entre unas premisas de partida y una conclusión, con base en
una ley que permite pasar de unas premisas a una conclusión. Así, para Plantin:
“La argumentación es, en consecuencia, una operación lingüística que se
apoya en un enunciado asegurado o aceptado, para llegar a un enunciado menos
aceptado o menos seguro como conclusión. Argumentar es dirigir argumentos a
un interlocutor, es decir, dar razones para hacerle admitir una interpretación e
incitarlo a adoptar los comportamientos adecuados” (p.151).
Existen hoy teorías abordadas, desde perspectivas diferentes que tratan de cómo se enseña y
se aprenden las matemáticas o bien, con las conciliaciones de dichas teorías, los profesores de
matemáticas hemos buscado guiar a los estudiante hacia una mejor comprensión de las mismas
y con la misma intención pero con un objetivo puntual, Duval (1999) se ha interesado en las
competencias que promueve la argumentación, dado que este autor afirma que “el interés por
8
la argumentación ha aparecido como un interés por las formas de razonamiento que escapan a
las normas y los esquemas lógicos” (p.2).
La argumentación como proceso “es un medio para convencer, sea a uno mismo o a los
otros” Duval 1999 (p.1) siendo inherente al proceso de resolución de una tarea matemática,
puesto que al afrontar un estudiante a la solución de una tarea (como las que se proponen en
este trabajo), pone en juego variadas estrategias y herramientas, como lo son los conocimientos
previos, dibujar figuras, vincular el lenguaje matemático, estudiar problemas que se asimilen al
que debe resolver, generalizar, invertir o variar el problema que serán llamadas por Polya y
Schoenfeld (Citados por MEN, 1998) “Herramientas heurísticas”.
2.1. Elementos didácticos para el desarrollo de las situaciones argumentativas en el aprendizaje
del espacio
El estudio de la argumentación en un contexto escolar, exige la toma de posición con respecto a
las diferentes teorías de argumentación vigentes. León (2001) nos muestra la argumentación en un
contexto escolar tomando como referencia la teoría de la argumentación de Perelman, Ch, y
Olbrechts-Tyteca, L. (1989), señalando que los factores: Intencionalidad, el Objeto, los roles de los
participantes y sus métodos se convierten en características de la situación argumentativa de
necesaria consideración en los ambientes escolares.
En primer lugar la intencionalidad la argumentación es una actividad que siempre trata de
modificar un estado de cosas preexistentes. (Perelman & Olbrechts, 1989, P. 105). Se presenta aquí
un aspecto común entre el discurso epidíctico propio de la argumentación y el discurso educativo
por cuanto ambos buscan crear una disposición a la acción con la finalidad de modificar un
contexto.
En cuanto a su objeto
Dos aspectos emergen como objetos fundamentales de la teoría de la argumentación en
tanto que cohesionan los demás elementos que la constituyen. En primer lugar está el efecto
de la adhesión determinado por el persuadir y convencer. El segundo lo constituye la
interacción y fuerza de los argumentos, dos nociones vinculadas en la producción de un
discurso, la primera determina la amplitud y el orden, de la argumentación y la segunda la
intensidad de la adhesión y los enlaces utilizados. León, 2001 (p.50)
En cuanto a los roles de los participantes
Orador y auditorio son los roles asignados en una argumentación. El auditorio se define
como el conjunto de aquellos en quienes el orador quiere influir con su argumentación. El
desarrollo de la argumentación construye una relación entre orador y auditorio que Perelman
9
& Olbrechts denominan el contacto intelectual. Orador y educador pretenden que la
intensidad de la adhesión no se limite a la producción de resultados puramente intencionales,
sino a desencadenar una acción. En la educación el rol de maestro que tiene el educador,
presupone una actitud de confianza en el auditorio, razón por la cual el discurso del educador
no precisa partir de tesis que admite el auditorio, para crear una disposición en los oyentes. El
segundo, tiene que ver con los roles originados por los procesos de solución de problemas, el
prestigio que proviene de obtener una solución que permanece inmodificable a objeciones,
consolida otro tipo de educador determinado por el objeto de la argumentación, y que
desplaza al maestro en su rol de educador para que eventualmente sea asumido por uno de sus
estudiantes. Este segundo aspecto consolida un juego de roles propiciado por el contexto de
la argumentación en la solución de problemas en la clase de matemáticas. León, 2001 (P. 4)
En cuanto a sus métodos
El uso de la argumentación implica que se ha renunciado a recurrir únicamente a la fuerza, que
se atribuye un valor a la adhesión del interlocutor, conseguida con la ayuda de una persuasión
razonada (Perelman & Olbrechts, 1989, P. 106). Es decir, que el uso de la violencia es contrario a
todo proceso argumentativo, como lo es a todo proceso de educación, por cuanto la educación se
constituye en la forma como las sociedades forman a sus individuos para la comprensión de los
fenómenos que los afectan como pueblos, siendo uno de ellos la autodestrucción de la misma
cultura por factores de violencia entre sus integrantes.
La autora destaca dos aspectos de estudio en la situación argumentativa para el desarrollo del
conocimiento matemático en el aula. El primero se vincula a un desplazamiento de la
argumentación informal de la cotidianidad a la argumentación matemática, que se evidencia en los
procesos discursivos. El segundo consiste en el desarrollo cognitivo vinculado a ese tipo de
desplazamiento en palabras de León (2005). La argumentación se convierte en una forma de
organización de los procesos cognitivos de los estudiantes, los factores de desplazamiento de una
argumentación no matemática a una matemática, existen en el desarrollo de procesos de
razonamiento. (p.6)
La relación razonamiento discurso argumentativo privilegia un tipo de operación cognitiva que
es llamado por León: inferencia; este tipo de operación cognitiva será necesario para analizar lo que
Duval llama los pasos del razonamiento
Los argumentos EN LA SITUACIÓN ARGUMENTATIVA cumplen inicialmente la función de
situación de preparación del auditorio, que se vuelve plena en el efecto que tienen para generar la
adhesión del oyente a las premisas. Se destaca en esta función la noción de la fuerza del argumento,
10
que se evidencia en la intensidad de adhesión del oyente con las premisas y los enlaces utilizados.
Teniendo en cuenta que dicha fuerza cambia según el auditorio y el objetivo de la argumentación.
Para estudiar la estructura analítica de los argumentos debemos tomar los elementos
constitutivos como un todo, que están en interacción constante.
León (2005), describe algunos requerimientos necesarios para que la argumentación en el aula
de clase sea satisfactoria o por lo menos propicie un tipo de ampliación discursiva entre los
estudiantes motivado desde el docente, la argumentación se convierte en una forma de organización
de los procesos cognitivos de los estudiantes, la exigencia de desarrollar aprendizaje desde un
contexto argumentativo plantea la necesidad de precisar los requerimientos didácticos
fundamentales para el diseño de una situación argumentativa en las clases de matemáticas. Los
siguientes requerimientos para diseño y análisis de la situación argumentativa. (p.168)
Requerimiento comunicativo.
La característica fundamental de interacción comunicativa es propiciar la elaboración continua
de sentidos prioritariamente matemáticos (además están los éticos, sociales, emotivos entre otros) y
de sus procesos implicados como lo son el argumento y la trama argumentativa. Así, se considera la
interacción argumentativa como el espacio comunicativo que exige: i) el reconocimiento de un tema
polémico, en tanto que en el aula se están elaborando múltiples sentidos para los conocimientos
matemáticos, espaciales y procesos como lo son la generación de imágenes mentales, proceso de
visualización y Habilidades de visualización.; ii) el reconocimiento de la necesidad de justificar el
sentido elaborado ante un auditorio (el profesor) y los compañeros; iii) la asunción de una actitud
implica: estar dispuesto a estructurar posiciones individuales en torno al sentido, realizar tramas
argumentativas que manifiesten la posición individual, prever a un auditorio y producir un discurso
argumentativo a propósito de convencer o persuadir a ese auditorio, prever y realizar una actividad
de valoración de argumentos contrarios y estar dispuesto a consensuar.
Desde lo epistemológico
Las relaciones espaciales con la presencia de las relaciones geométricas y transformaciones
geométricas, en donde La dimensión histórica, La dimensión disciplinar y La dimensión sistémica1
epistemológicamente implica que en el diseño de las actividades se comprometan los registros
figúrales, los de las lengua naturales (español, lengua de señas y lenguas indígenas), y registros
alfanuméricos
1 León (P. 161). La dimensión histórica que considera las perspectivas filosóficas y los principios de validación y de argumentación que han orientado los procesos de elaboración del conocimiento dentro de una disciplina.
conceptuales que estructuran los involucrados en el desarrollo de un conocimiento en los sujetos.
11
Desde lo cognitivo
Se identificaron las tres dimensiones con respecto al sentido: León 2005 (p, 93) estudia. El
contenido. Se constituye en el componente relativo a los objetos del discurso Puede ser
constatativo dado que sus son objetos accesibles sensorial o instrumentalmente, o teórico si sus
objetos hacen parte de organizaciones de proposiciones.
El valor. Es el componente que se relaciona con el acto ilocucionario. Los valores posibles son el
valor epistémico (semántico o teórico); el valor lógico (verdadero o falso, consistente no consistente
o indeterminado) y el valor social (orden, promesa, pregunta, declaración).
El estatus. Es el componente que vincula la proposición con otras proposiciones enunciadas, está
determinado por el contexto y la situación de los interlocutores. En un contexto local del discurso
enunciado se contemplan dos estatus: el operatorio (premisa, tercer enunciado, conclusión) y el
retórico (ejemplo, paréntesis introducción). En un contexto global el estatus puede ser teórico
(axioma definición, teorema, conjetura) o normativo (una creencia, una opinión, regla, principio,
una declaración, fórmula).2
La de elaboración de contenido, la de identificación de valores y la determinación de estatus. El
diseño asumió la de elaboración; en consecuencia, privilegió como procesos inferenciales, los
abductivos y los inductivos; como registro semiótico, el figural; como campo semántico particular,
el geométrico euclidiano; como proceso de organización discursiva, el argumentativo; y, como
proceso didáctico, la resolución de problemas que exige establecer relaciones.
Desde la organización de las interacciones o el aspecto socio- cultural del aula
La relación entre estudiante - estudiante y profesor - estudiante, está mediada por la estructura de
la tarea: solución individual, solución de parejas, solución colectiva e institucionalización. De ahí
que se determinan los siguientes aspectos: el rol del estudiante en situación de elaboración de
sentido con respecto al contenido, por lo que no existe la restricción una única respuesta. El rol del
profesor en situación de elaboración de sentido desde el punto de vista didáctico. Así, la elaboración
de sentido entre estudiantes y profesor, con respecto al contenido es de tipo colectivo. Un contrato
didáctico: Fundamentado en la conciencia de producción colectiva de conocimiento, hecho que
implica la interacción con conocimiento ya elaborado y una actitud heurística colectiva con los
procesos de solución de problemas.
2 El propósito de un razonamiento, es modificar el valor epistémico de una proposición objeto; el proceso de modificación de valores
epistémicos establece un juego discursivo entre proposiciones que exige explicitar los sentidos que se asocian a las proposiciones. (León
P, 92)
12
Para efectos de la regulación y el mantenimiento de una situación argumentativa en el
aula, se identifican para el profesor dos roles: en la dimensión didáctica, regular,
interacciones, centrar tópicos de reflexión, preguntar para potenciar procesos de solución,
reorientar discusiones e institucionalizar elaboraciones parciales e identificar bloqueos.
En la dimensión argumentativa, asumir eventualmente el rol de contra-argumentador,
para obligar posiciones discursivas y epistémicas más fuertes en los estudiantes, o para
interpretar (como la conciencia del grupo) aspectos no satisfactorios en las soluciones
defendidas por los estudiantes. De esta manera potencia la modelización de interacciones
argumentativas en los estudiantes. (P.176).
La aplicación de ciertos esquemas de argumentación con la pretensión de desplazar la
aprobación desde los puntos de partida al punto de vista o tesis que se pretende defender, estos
esquemas son los denominados técnicas de argumentación.
Toda argumentación parte de un desacuerdo que se pretende superar, el hecho argumentativo
supone una lección, una elaboración un tipo de construcción que partiendo de lo que esta admitido
se orienta a influir de una forma eficaz en el destinatario para obtener la adhesión de un auditorio.
2.2. Argumentos Cuasi-lógicos
Para Perelman y Olbrechts-Tyteca (1989) existe una técnica de argumentación que nombran los
cuasi-lógicos, los cuales pretenden cierta forma de convicción, en la forma que se presentan como
comparables a razonamientos formales, lógicos o matemáticos (p.303). En dichos argumentos vale
evidenciar que están compuestos de un esquema formal que construye el argumento y las
operaciones de reducción que permite introducir datos y que tienden a hacerlos comparables,
semejantes y homogéneos.
Dentro de los argumentos cuasi-lógicos se pueden categorizar entre los que apelan a una
estructura lógica (contradicción, identidad total o parcial, transitividad), y los que recurren a
relaciones matemáticas (relación de la parte con el todo, de lo menor con lo mayor, relación de
frecuencia), a partir de esto se establecen los siguiente tipos de cuasi-lógicos. (Pp.303-401)
2.2.1. Identificación Y Clasificación De Los Argumentos Cuasi-Lógicos
En todo argumento cuasi-lógico, conviene evidenciar, primero, el esquema formal a cuya
semejanza se construye el argumento y, luego las operaciones de reducción que permiten insertar
los datos en dicho esquema y que tienden a hacerlos comparables, semejantes, homogéneos (p.303)
Es así, que los argumentos cuasi-lógicos se distinguen por su carácter no formal y el esfuerzo de
pensamiento que necesita su reducción a lo formal, es por esto que la misma se presenta evidente.
13
Para criticar un argumento se debe entender que se enfrenta a problemas lógicos. En donde la
reducción antes mencionada es un término propio del discurso que se incorporan a relaciones
lógicas o matemáticas. Perelman y Olbrechts-Tyteca (p.305)
Perelman y Olbrechts-Tyteca, formulan unas características específicas e importantes las cuales
son:
1. Se lleva a lo formal, clasifican emparentándolos cada vez con razonamientos
formales, con los cuales tienen algún parecido. son “cuasi” lógicos porque las
razones que el orador desarrolla a favor de una tesis son de una naturaleza diferente
a la de la lógica: no se trata de demostración correcta o incorrecta, sino de
argumentos más o menos fuertes.
2. Se consideran dentro de estructuras lógicas
3. Los argumentos cuasi-lógicos están siempre a nuestra disposición para justificar los
lugares de la cantidad, en el caso de que se los cuestionara. Por otra parte, estos
lugares pueden servir de premisas a una argumentación de aspecto cuasi-lógico. En
presencia de un razonamiento, podemos considerarlo ora como la aplicación de un
lugar de la cantidad, ora como una argumentación cuasi-lógica. (p. 361)
4. En la argumentación cuasi-lógica, la interacción de los términos es constante.
(p.395)
A partir de esto se establecen los siguientes tipos de cuasi-lógicos. Tabla 1. Cuasi-lógicos
GRUPO TIPO
Apelación a estructuras CONTRADICCIÓN E INCOMPATIBILIDAD
Lógicas PROCEDIMIENTOS QUE PERMITEN EVITAR UNA INCOMPATIBILIDAD
TÉCNICAS ORIENTADAS A PRESENTAR TESIS COMO COMPATIBLES O
INCOMPATIBLES
EL RIDÍCULO Y SU PAPEL EN LA ARGUMENTACIÓN
IDENTIDAD Y DEFINICIÓN EN LA ARGUMENTACIÓN
ANALITICIDAD, ANÁLISIS Y TAUTOLOGÍA
14
LA REGLA DE JUSTICIA
ARGUMENTOS DE RECIPROCIDAD
ARGUMENTOS DE TRANSITIVIDAD
Los que recurren a relaciones
LA INCLUSIÓN DE LA PARTE EN EL TODO
matemáticas
LA DIVISIÓN DEL TODO EN SUS PARTES
LOS ARGUMENTOS DE COMPARACIÓN
LA ARGUMENTACIÓN POR EL SACRIFICIO
PROBABILIDADES
Ahora nos detendremos a estudiar cada grupo de argumentos cuasi-lógico,
primero caracterizaremos el grupo que apela a estructuras lógicas. 2.2.1.1.
Contradicción E Incompatibilidad
Procedimientos que permiten evitar una incompatibilidad
Técnicas orientadas a presentar tesis como compatibles o incompatibles
Indicador lógico de existencia
A ¬A A˄¬A
V F F
F V F
Características:
- En un sistema formal los signos bastan para convertir la contradicción en indiscutible.
- Se presenta como contradicción lógica, y aparece en el mismo escenario la proposición y su
negación, queriendo encontrar un mismo valor de verdad, y la presencia de los dos genera
la contradicción para llevarlo a la incompatibilidad
15
- La contradicción lógica, discernible de forma puramente formal, constituye un todo en el
sistema.
- Se esforzara por mostrar que las tesis que se combate llevan a una incompatibilidad.
- Las tesis incompatibles no parecen como aserciones contradictorias por razones meramente
formales.
- La incompatibilidad depende sea de la naturaleza de las cosas, sea decisión humana.
- La asimilación a un sistema formal del sistema atacado el cual, de hecho, está lejos de
presentar la misma rigidez.
- Obligan a una elección que siempre resulta penosa.
- Las incompatibilidades no son formales.
- La actitud lógica (se preocupa por resolver todas las dificultades, con la aplicación de
reglas, leyes y normas a los que se concede la adhesión),
- Se presenta como contradicción lógica, y aparece en el mismo escenario la proposición y su
negación, queriendo encontrar un mismo valor de verdad, y la presencia de los dos genera
la contradicción para llevarlo a la incompatibilidad
- PRACTICA (no desean comprometersen más de lo necesario, desean por el mayor tiempo
una libertad de acción que el permita la circunstancia),
- Al hombre de acción (Enfermedad diplomática, no desea oponerse a una regla o resolver de
una forma u otra el conflicto nacido en una incompatibilidad).
- Técnicas para evitar la incompatibilidad LA FICCIÓN-LAS MENTIRAS-EL SILENCIO. -
En el sistema formal existe cuando una es negación de otra.
- Es afirmar la existencia de circunstancias que hacen inevitable la elección de alguna de las
dos tesis.
- Dos tesis son Incompatibles, si al menos una es de aplicación, lo cual hace inevitable el
conflicto con la otra.
- Son compatibles dos tesis si una en el tiempo o en cuanto al objeto evita el conflicto.
- Dos afirmaciones de una misma persona puede considerarsen incompatibles si los
enunciados son considerados pertenecientes a un mismo sistema. Si los episodios no son
solidarios desaparecerá la incompatibilidad.
- AUTOFAGIA, es una regla cuyas consecuencias resulten del hecho mismo de haberla
demostrado. “su aplicación sin excepción, llevaría a impedir su aplicación”.
Indicador De Existencia,
16
- Todo diferendo tiene a extenderse a terceros, que lo desarrollan tomando partido.
- Resultan de la aplicación a situaciones determinadas de varias reglas morales o jurídicas de
textos legales o sagrados.
- Siempre es relativa a circunstancias contingentes.
- Solo existen con arreglo a las circunstancias; para participar en un conflicto que impone una
elección, es preciso que se aplique simultáneamente a una misma realidad dos reglas.
- Todos los casos de autofagia debilitan una tesis mostrando las incompatibilidades que
revela una reflexión sobre las condiciones o consecuencias de su afirmación.
- No se ve abocado al absurdo ni al ridículo.
Ejemplo:
- El maestro que enseña a los niños que es preciso obedecer a sus padres y que no hay que
mentir. Pero, ¿qué hacer cuando el padre ordena mentir, o cuando el padre y la madre dan
órdenes inconciliables?
- La persona que pretende no matar jamás a un ser vivo y a quien se le muestra que curando
un absceso purulento tendrá que matar una gran cantidad de microbios.
- Prohibido prohibir
2.2.1.2. El Ridículo y su Papel en La argumentación
En geometría el razonamiento por reducción al absurdo comienza por suponer como verdadera
una proposición A para mostrar que las consecuencias son contradictorias con aquello A lo que se
ha consentido y pasar de ahí A la verdad de no A.
CARACTERÍSTICAS
- Es lo sancionado por la risa.
- Una forma de condenar Una conducta que no se la juzga bastante grave o peligrosa para
reprimirla por medios más violentos.
- Es ridícula en cuanto entra sin justificación alguna.
- Es un arma del orador contra los que amenazan su argumento.
- Caer en lo ridículo es una manera de contradecirnos a nosotros mismos de una forma muy
obvia.
- La ironía supone siempre conocimientos complementarios respecto a hechos.
- El uso de la ironía no es posible en todas las situaciones argumentativas.
Indicador De Existencia
- Se evidencia en favor de la conversación de lo que esta admitido; un simple cambio de
opinión injustificado.
Ejemplo
17
Podríamos decir que nos gustan los días de lluvia pero que sin embargo no nos gusta el agua,
como podría ser eso si al decir que nos gustan los días de lluvia va implícito que nos gusta el agua
decir más tarde que no nos gusta es negar una afirmación propia y así caer en lo ridículo.
2.2.1.3. Identidad Y Definición En La Argumentación
Permite incorporar en la definición el término definido y lo que se define, siendo ambos
intercambiables. En el supuesto de identidad total, si las definiciones se enuncian de forma
inequívoca y carentes de ambigüedad nos situaremos en situaciones de lógica formal, pero en el
momento que nos pasamos al mundo real, se transforman en cuasi-lógicas al tener diferentes
significados posibles. A la identidad de manera parcial nos referimos a la regla de justicia.
CARACTERÍSTICAS
- Identificación de diversos elementos que son objeto del discurso.
- Se dan a partir de las definiciones y la admisión de la identidad entre algunos elementos.
- Uso de definiciones.
- Definiciones normativas, la forma en que se quiere se utilice una palabra.
- Definiciones descriptivas, señalan cuál es el sentido concedido a una palabra en cierto
ambiente.
- Definiciones de condensación, muestran los elementos esenciales de la definición
descriptiva.
- Definiciones complejas que combinan, de forma variada, elementos de las tres clases
precedentes
Indicador De Existencia
A es
Ejemplo
- Se presenta cuando dos elementos iguales a un tercero son iguales entre sí. Es el caso del
silogismo tradicional:
- Todos los hombres son mortales.
- Sócrates es mortal.
- Los amigos de mis amigos son mis amigos. (En este caso, la transitividad se proclama sin
estar garantizada)
2.2.1.4. Analiticidad, Análisis Y Tautología
18
A ¬A Aˇ¬A
V F F
F V F
Características
Admitida como una definición. Material formal filosófico utiliza definiciones o procedimientos
por enumeración Tautología resulta del propio sentido de los términos utilizados, presenta una
afirmación como el resultado de una definición silepsis al estar una palabra en sentido propio y la
otra en figurado
Indicador De Existencia
A es A
Ejemplo
- Análisis material: "A es hijo de B" que equivale a " A es hijo o hija de B".
- Análisis formal: " el Rey de Francia es calvo" equivale a " hay un ser y uno solo que es Rey
de Francia y es calvo".
2.2.1.5. Regla De Justicia
- Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
- Y si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales también.
- Y si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales también.
- Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. Euclides (L.I, p, 199-200)
Características
- Exige la aplicación de un tratamiento idéntico a seres o a situaciones que se integran en una
misma categoría.
- La racionalidad de esta regla y la validez que se le reconoce se relacionan con el principio
de inercia del cual resulta, sobre todo, la importancia que se le concede al precedente.
Justicia formal (seres de una misma categoría esencial deben ser tratados de la misma
manera).
Indicador De Existencia
Implica para su aplicación, el apoyarse en lo concreto, hecho que se vincula a opiniones y
acuerdos pocas veces deducibles.
19
Es lusorio querer enumerar todos los sentidos posibles de la noción de justicia. Demos sin
embargo algunos ejemplos que constituyen las concepciones más corrientes de la justicia, de las que
se verá inmediatamente su carácter inconciliable:
1. A cada quien la misma cosa.
2. A cada quien según sus méritos.
3. A cada quien según sus obras.
4. A cada quien según sus necesidades.
5. A cada quien según su rango.
6. A cada quien según lo que la ley le atribuye.
(Ch. Perelman: De la justicia, p. 16-17)
Ejemplo
“Es ilusorio querer enumerar todos los sentidos posibles de la noción de la justicia, (p. 16-17)
2.2.1.6. Argumentos De Reciprocidad
Propiedad de las relaciones
Sí con b, b con a.
Características
Pretender aplicar el mismo tratamiento a dos situaciones que forman pareja, donde la regla de
justicia es indirecta. Son los cuasi-lógicos que parecen más formales y están fundamentas en la
naturaleza de las cosas. También pueden surgir de la transposición de los puntos de vista,
transposición que permite reconocer, a través de su simetría, la identidad de ciertas situaciones.
Quiere ser una norma y no como propiedad de una relación
Indicador De Existencia
Se hace posible con la condición de olvidar todo lo que diferencia las situaciones y reducirlas a
lo que las vuelve simétricas.
Pueden utilizar otro tipo de simetría que se deriva del hecho de que se presentan como inversa
a otras dos conversaciones, dos conductas, dos acontecimientos Ejemplo
“Lo que es honroso aprender, es honroso enseñar”.
20
Ahora caracterizamos los que recurren a las relaciones matemáticas
2.2.1.7. Argumentos de Transitividad
Una Relación R En A Es Transitiva Si A R B, B R C -> A R C
Características
Las relaciones de igualdad, superioridad, inclusión, ascendencia, son relaciones Transitivas. Se
pueden interpretar con esquemas Cuasi-lógicos, además de defenderlos con argumentos basado en
lo real. Los argumentos basados en las relaciones de alianza o de antagonismo entre personas o
grupos adoptan con facilidad apariencia cuasi lógica.
Indicador De Existencia
Se aplican estos razonamientos a cualquier solidaridad y antagonismo y no sólo a las relaciones
entre personas y grupos. Se usan en los casos en que se trata de ordenar seres, acontecimientos,
cuya confrontación directa no puede tener lugar.
Ejemplo
El CELS es una institución confiable y prestigiosa. Horacio Verbitsky preside dicha institución.
Por ende, Verbitsky es confiable y prestigioso
2.2.1.8. La Inclusión De La Parte En El Todo; La División Del Todo En Sus Partes
- El todo es mayor que la parte. Euclides (L.I, p. 200)
- Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor.
Euclides 3(L.V, p.9)
- Y la mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por la menor. Euclides (L.V, p.9)
- Una razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes
homogéneas Euclides4 (L.V, p.9)
- Un todo está compuesto por elementos separables. Una región o superficie es vista como
divisible.
- La separación se puede realizar en un número determinado de partes. El “todo” se puede
dividir en el número de partes pedido.
- Las subdivisiones cubren el todo.
- El número de partes no coincide con el número de cortes.
- Los trozos (partes) son iguales. Las partes tienen que ser del mismo tamaño (congruentes).
- Las partes también se pueden considerar como totalidad.
- El “todo” se conserva.
3 Como el sentido es más restringido que la noción común, es lo que llamaríamos submúltiplo
4Relación respecto a su tamaño
21
- Control simbólico de las fracciones, es decir, el manejo de los símbolos relacionados a las
fracciones.
- Las relaciones parte todo en contextos continuos y discretos.
- Las fracciones mayores que la unidad.
- Subdivisiones equivalentes. Linares, S. Sánchez, V. (1997.p.80-81)
Características
- Limita a tener en cuenta la inclusión de las partes de un todo.
- Los que valen la división del todo en partes y de las relaciones entre las partes resultantes.
- Limita a confrontar el todo con una de las partes, no atribuyen ninguna calidad
determinada ni a algunas partes ni al conjunto.
- solo se analizan las relaciones que permiten una comparación cuasi-matemática entre el
todo y la partes. * Lo que vale para el todo vale para la parte*.
- La concepción del todo, así como la suma de sus partes, sirve como fundamento la
concepción del todo, así como la suma de sus partes, sirve como fundamento a una serie
de argumentos que podemos calificar de argumentos de división o partición.
- Quintiliano: el número de las partes es indeterminado, en cambio el de las formas es
determinado.
- Argumento por división, las partes deben poder enumerasen de forma exhaustiva, pero
deben elegirse como se quiera y de manera muy variada,
- Argumentación por especies, se trata de divisiones sobre las que uno está de acuerdo, las
cuales preexisten a la argumentación, parecen naturales y no necesariamente es preciso
enumerar de modo exhaustivo para poder argumentar. Supone una identidad de naturaleza
entre las partes y el conjunto
Indicador De Existencia
Se considera el valor de la parte como proporcional a la fracción que la parte constituye en
comparación con un todo.
En algunas oportunidades concierne a la relación entre lo que comprende y lo que es comprendido
Se tiende a demostrar la existencia o no existencia de una de las partes. Se argumenta por exclusión.
Ejemplo
La integridad del equipo vale más que la individualidad de sus jugadores o lo que está prohibido
por ley a toda iglesia, no puede volverse legal para ninguno de sus miembros.
La calidad táctica del técnico, la solidez de la defensa, la seguridad del arquero y la precisión de
los volantes, hicieron de Argentina un gran equipo.
22
2.2.1.9. Los Argumentos De Comparación
Permite vincular dos hechos o valoraciones explícitos mediante una conexión que indica
semejanza, este argumento introduce la idea de medida pudiendo plantearse en dos términos
diferentes. Por oposición, por ordenación esta última incluyendo una variable cuantitativa.
Características
- Confrontan varios objetos para evaluarlos uno con relación a otros. IDENTIFICACIÓN
y de ANALOGÍA.
- Constataciones de hecho, mientras que la relación de igualdad o de desigualdad
confirmada a menudo sólo constituye una pretensión del orador.
- Oposición
- -Ordenación
- -Ordenación cuantitativa
- Hay dos maneras de interacción entre los términos de la comparación.
- El nivel absoluto del término patrón podrá influir en el valor de los términos
pertenecientes a la misma serie y con los que se le comparaba.
- La confrontación puede aproximar dos términos que está autorizado a considerar como
inconmensurables.
- Toda comparación puede de alguna forma, descalificarse, porque desdeña la unicidad de
los objetos incomparables.
Indicador De Existencia
- El valor absoluto al valor relativo.
- Del valor relativo al absoluto.
- Poseen una gran aproximación a las estructuras matemáticas es lo que proporciona una
gran parte de su fuerza persuasiva.
Ejemplo
Es más rico que Rockefeller
2.2.1.10. La Argumentación Por El Sacrificio
Atribuirle un valor, a algo entonces se toma la decisión por ese valor que se le atribuye. Se
abandona un enunciado por otro que ya le hemos atribuido un valor muy grande.
Características
23
- Se vale del sacrificio que está dispuesto a sufrir para obtener un resultado.
- El argumento debe calcular el valor atribuido al motivo por el cual se consiente el
sacrificio.
- Indicador de existencia
- Aproxima los términos confrontados y establece una interacción entre ellos.
Ejemplo
Sin duda, estamos cansados de rogar a dios; decidimos dirigirnos a os santos y aquí están todos
requeridos con el fin de que intervengan para que la izquierda no vote esta maldita ley.
Creo que alguno de los dioses, admirado por el valor de éstos, suscitó la guerra para que
hombres de tal naturaleza no pasaran inadvertidos y acabaran su vida sin gloria.
2.2.1.11. Probabilidades
Todos los aspectos que han sido objeto de nuestro estudio epistemológico tienen cabida en el
marco teórico fenomenológico (Freudenthal, 1983). Como indica Puig (1997), el análisis
fenomenológico de una estructura matemática consiste en describir cuáles son los fenómenos para
los que dicha estructura sirve como medio de organización y qué relación tiene con ellos. La
descripción de esta relación ha de mostrar de qué manera la estructura matemática actúa sobre los
fenómenos como medio de organización y de qué poder nos dota sobre ellos. Barragués, Guisasola
(2006, pág.2)
Características
- Recurren a las estadísticas y al cálculo de probabilidad, los cuales, finalmente reducen lo
real a colecciones de seres. No obstante, no se debe de subestimar que las meras
probabilidades detonan decisiones.
- Se pueden aproximar a las relaciones parte todo, pero aquí las frecuencias de una
variable, lo útil, y el argumento examina el crecimiento de dispersión de esta variable.
- Alcanza su máxima expresión, cuando hay evaluaciones basadas, a la vez, en la
importancia de los acontecimientos y en la probabilidad de su aparición, es decir en la
magnitud de las variables y su frecuencia en la esperanza matemática. Indicador De
Existencia
- Magnitud de un bien
- Probabilidad de conseguirlo
- Amplitud de la información
- Grado de certeza con el que sabemos que algo es un bien.
24
- Da a los problemas un carácter empírico.
Ejemplo
“Por cierto, que, si entre los enamorados escogieras al mejor, tendrías que hacer la elección
entre muy pocos; pero si, por el contrario, quieres escoger. Entre los otros, el que mejor te va, lo
podrías hacer entre muchos. Y en consecuencia, es mayor la esperanza de encontrar entre muchos
a aquel que es digno de tu predilección.” El Fedro. Platón (p.231)
25
3. ORIENTACIÓN ESPACIAL
Para el estudio del pensamiento espacial y la orientación espacial, tomamos la posición con
respecto a las teorías desarrolladas por Douglas Clements y Julie Sarama (2009), Además de
Gonzanto (2009), y Macías Gutiérrez & Quintero Zazueta (2011).
Retomando a Clements y Sarama (2009), el pensamiento espacial es importante porque es una
habilidad humana esencial que contribuye al desarrollo de habilidades matemáticas (p.174). Aunque
se debe tener en cuenta que la relación entre pensamiento espacial y matemáticas no es simple. Este
pensamiento está concebido a partir de dos grandes habilidades que son la orientación espacial, de
la cual nos ocuparemos, y la visualización espacial.
La orientación espacial se asocia con el conocimiento del lugar donde nos encontramos y cómo
nos podemos desplazar alrededor del mundo; lo que significa comprender las relaciones entre
diferentes posiciones en el espacio. (Clements y Sarama, 2009. p.175). Según los autores esta
competencia esencial está conectada con el conocimiento matemático, al como recordamos las
cosas, y se postula como un dominio básico con algunas habilidades presentes desde el nacimiento.
La palabra espacio, como “una noción que se construye y elabora, a través de la acción y de la
interpretación de una gran cantidad de datos sensoriales” (Condemarín, Chadwick, & Neva, 1986, p.
193), reconociendo:
Orientación: acción para “determinar la posición de un objeto respecto a las referencias
espaciales (la vertical, la horizontal y los puntos cardinales). (Condemarín, 2010, p. 193) citado por
Sicuamia 2018.
Toma aspectos de los mapas mentales de sistemas basados en lo externo, y en sí mismos, que
no son más que los propios movimientos y la posición que tiene los niños siendo un aprendizaje de
respuesta, desde sí mismo. Y el desarrollo posterior, dado que es un sendero de integración de la
distancia aproximada y la dirección de sus movimientos, junto con el aprendizaje de lugar que
almacenas los niños al recordar las distancias y direcciones de los puntos de referencia. Clements y
Sarama (2009.p.175)
Ellos enumeran también que, para desarrollar la orientación espacial en los niños,
“se debe plantear ambientes escolares que incluyan diseños dentro y fuera del salón de
clase. También, ambientes que incluyan experiencias casuales y planeadas con puntos de
referencia y rutas, y discusiones frecuentes acerca de las relaciones espaciales en todas las
escalas, incluyendo las distinciones en las partes del cuerpo de los niños u los movimientos
espaciales… en donde enriquecer el lenguaje es muy importante”. (p.181).
26
Tartre (1990) usa el término “Orientación Espacial” para describir aquellas tareas que requieren
que el sujeto reajuste mentalmente su perspectiva para que sea consistente con una representación
de un objeto dado. “Una tarea de orientación espacial requiere que la persona comprenda una
representación o un cambio entre dos representaciones”, requiere “organizar, reconocer, dar sentido
a una representación espacial, verla desde un ángulo diferente” (Tartre, 1990, p. 217).citado por
Gonzanto (2009, p.19).
McGee afirma que la Orientación Espacial “involucra la compresión de la disposición de
elementos con un patrón de estímulo visual, la aptitud de no confundirse cuando se cambia la
orientación de una configuración espacial, y la habilidad de determinar la orientación espacial con
respecto al propio cuerpo” (p. 897).
Como habilidades relacionadas a la Orientación Espacial, McGee propone:
1. Determinar las relaciones entre diferentes objetos en el espacio.
2. Reconocer la identidad de un objeto cuando es observado desde diferentes ángulos, o
cuando el objeto es movido considerar relaciones espaciales donde la orientación del cuerpo
del observador es esencial
3. Percibir modelos espaciales y compararlos entre sí no confundirse cuando se varían las
orientaciones con las cuales un objeto espacial es representado
4. Percibir modelos espaciales o mantener la orientación con respecto a objetos en el espacio.
En lo que nos concierne evaluaremos los procesos implícitos en la THA por puesta por
Clements y Sarama (2009), como punto de referencia para construir las hipótesis de meta, nivel e
indicadores de nivel.
3.1. Ubicación Espacial.
Vasco (2011), quien designa a la palabra “Ubi”, el significado “en donde”, es reconocer el
aprendizaje espacial en el aprendiz, mediado por el cerebro como el órgano biológico que moviliza
la conciencia gestual; donde el cuerpo sintetiza y expresa lo que recibe de su entorno de forma
progresiva. Así “La ubicación espacial se refiere a la identificación del sitio en que se encuentra el
individuo y del cual parte hacia el lugar que tiene como meta” (Macías Gutiérrez & Quintero
Zazueta, 2011, pág. 406). Así “La ubicación espacial se refiere a la identificación del sitio en que se
encuentra el individuo y del cual parte hacia”
La descripción del movimiento requiere de un sistema de coordenadas espaciales que se
asemejen unívocamente cada punto del espacio, y una coordenada temporal, la cual determina el
orden cronológico de sucesos en cualquier punto del espacio. A este conjunto de coordenadas
espacio-temporal se denomina sistema de referencia.
27
Los niños aprenden al asignar dirección, a los movimientos, siendo el cuerpo el punto de
referencia inicial e inmediata para derivar distancias, siendo un aprendizaje de respuesta. Clements
y Sarama (2009). En tanto las referencias propias (cercanas-lejanas), los niños registran la distancia
aproximada y la dirección de sus propios movimientos (Clements y Sarama, p.176). Con el uso de
vocabulario espacial posibilitan la asignación de localizaciones de objetos en relación a los
movimientos corporales, las primeras palabras espaciales que los niños aprenden son “en” “sobre”
“debajo”, y las que indican dirección vertical “arriba” “abajo” (p.177) “consiste en el movimiento
de la localización actual a la nueva localización” posibilitando en el aprendiz una reflexión y
reconocimiento “del mundo que lo rodea (Yakimanskaya, 1991)” en (Macías Gutiérrez & Quintero
Zazueta, 2011, pág. 405), desde la interacción con el cuerpo y los objetos externos.
3.2. Localización Espacial.
La palabra localización alude a ubicación espacial (del latín “locus” que indica lugar), término
usado en Geografía para identificar donde están situados ciudades, países, incidencias geográficas,
etc. aunque también puede estar referido al sitio donde se encuentra cualquier objeto o ser vivo.
Para Clements y Sarama (2009). La gente construye un conocimiento privado que está
asociado a su idiosincrasia a medida que aprende acerca del espacio. Se obtiene mediante
las referencias basados en sí mismos, están relacionados con los propios movimientos y la
posición del niño, y en los sistemas de referencia basado en lo externo, que se basan en
puntos de referencia del entorno. (p.175).
3.2.1. Definición palabras asociadas al espacio
Espacio: la noción de espacio ha dado origen a tres problema diferentes o mejor dicho, a tres
órdenes de problemas, 1) El problema acerca de la naturaleza del espacio, 2) el que rige en torno a
la realidad del espacio, 3) el concerniente a la estructura métrica del espacio.
El primero que nos ocuparemos en estudiar habla sobre la naturaleza de la exterioridad en
general. Einstein distingue tres teorías fundamentales del espacio a) el espacio como cualidad
posicional de los objetos materiales en el mundo, b) el espacio como el continente de todos los
objetos materiales, c) el del espacio como tiempo, (Abbagnano, 1997, p 435)
Orientación: Se tiene en el mundo, cuando el hombre se considera a sí mismo como un elemento
o cosa en el mundo, entre innumerables elementos o cosas e intenta hallar, de tal manera, su
camino, Abbagnano (p. 883)
28
Dentro: Adverbio que significa en el interior de un lugar consabido, (del latín “intro” de inter y
entre). Moliner (p. 889)
Debajo: Expresa un lugar más “bajo” que una cosa que se considera, o la situación de una cosa
que está más baja y tocando o próxima otra determinada, o cubierta por ella. Moliner (p. 862)
Arriba: Adverbio con que se designa un lugar más alto que aquel en que está el que habla, se usa
con preposición expresar dirección o procedencia, Moliner (p. 255)
Abajo: Adverbio con que se designa más bajo que aquel en que está el que habla o que otro que
se considera, o dirección hacia él. Moliner (p. 3)
Allá: De manera dispersa; uno en un sitio, otro en otro. Es más impreciso en cuanto a la
determinación de lugar, además, es susceptible de gradación. Moliner (p. 137)
Acá: Adverbio con que se designa el lugar en que está el que habla, con más intermediación que
con “aquí”. Moliner (p. 20)
Aquí: Adverbio con que se designa el lugar en que está el que habla, en expresiones de situación
o dirección, Moliner (p. 228)
Cerca: A poca distancia en el espacio (del latín “circa”, alrededor, derivado de “circus”, círculo)
Moliner (p. 582)
Lejos: Adverbio con que se expresa la situación de lo que está separado de quién habla o de la
cosa que se trata por una distancia grande. Moliner (p. 236) tomo II
Junto a: Reunido, en singular sólo es aplicable a “todo” o a “cantidad”. En plural se aplica a
cosas que están tocándose o en el mismo lugar. Moliner (p. 200) tomo II
Entre: En palabras expresan, bien situación intermedia, realidad intermedia, o que hace realiza
incompletamente. Moliner (p. 1146)
Enfrente: Adverbio que expresa la situación con respecto al espectador o a otra cosa de algo que
está a cierta distancia de ellos y en la dirección de una línea que saliese perpendicularmente de su
cara o fachada. Moliner (pág.1120)
Detrás: Adverbio que expresa que la persona que trata está en el espacio más lejos de la que se
considera el principio de otra determinada. Moliner (p. 981)
Izquierda: Moliner (p. 177) tomo II
Derecha: siempre en la misma dirección; sin ángulo o torceduras (Del latín “directus”, de
dirigirse, directo, regir, recto.) Moliner (p. 893).
3.3. Representación del Espacio
Siguiendo a Clements y Sarama (2009), explicitan que la representación del espacio es central en
nuestras vidas, así como lo son los dominios de las matemáticas, dado que son internas y parecen
29
ser similares a los objetos del mundo-real (pp.176-179). Además, nombran cuatro procesos que los
humanos usamos para lograr lo descrito anteriormente: Generar una imagen, inspeccionar una
imagen para responder preguntas acerca de ella, mantener una imagen al servicio de otras
operaciones mentales, y transformar una imagen. (p.179). Sin dejar de lado que en un principio las
imágenes son estáticas y no dinámicas.
Así como los filósofos clásicos estudiaron el espacio y generaron un interés en la Física y la
Filosofía de los siglos XVII y XVIII. Tampoco es ajeno a la Psicología y a la Pedagogía de los
siglos XX y XXI, que lo abordaron desde tres elementos básicos: sistemas de referencia –
capacidad para organizar y utilizar información que permita orientarse espacialmente–,
conocimiento de los puntos de referencia –capacidad de representar los elementos concretos que
ocupan un lugar–, y conocimiento configuracional –capacidad de representar el espacio de forma
global organizada– (Lázaro, 2000). Citado por caballero, A. (2002. P. 46)
Con base en estos estudios se han plateado tres tipos de representación del espacio el euclidiano,
el proyectivo y el topológico.
El Espacio Euclidiano: La referencia histórica de la evolución y desarrollo de
Geometría nos lleva, en primera instancia, a la época de los griegos y a su afán por
establecer un sistema de demostración y razonamiento fundamentado en la «deducción»
y en la «formalidad» del pensamiento
El Espacio Proyectivo: La necesidad de hacer representaciones cada vez más
realistas, alejadas de los prototipos que inundaban el mundo místico religioso, hizo que
los pintores del renacimiento y sus etapas ulteriores, hicieran uso de las líneas, puntos
y figuras geométricas para plasmar en sus cuadros el espacio y la profundidad. Así, la
potencialidad de los principios y leyes de la matemática y de la geometría, se
incorpora al mundo del arte; «la perspectiva» favoreció la proyección del realismo
natural en los lienzos de este importante periodo de la historia.
El espacio Topológico: Las experiencias expresadas mediante el reconocimiento y
representación gráfica de acercamientos, separación, orden, entorno y continuidad
representan experiencias de carácter «Topológico». En este tipo de representación,
las transformaciones sufridas por una figura original son tan profundas y generales
que alteran los ángulos, las longitudes, las rectas, las áreas, los volúmenes, los puntos,
las proporciones; no obstante, a pesar de ello algunas relaciones o propiedades
geométricas permanecen invariables. Castro, J. (2004. P. 146)
30
3.4. Uso de Sistemas de Coordenadas.
Para comprender el espacio, Clements y Sarama (2009), nos aconsejan, ver el espacio como una
organización en cuadriculas o sistemas coordenados, los niños deben aprender la estructuración
espacial, la cual es la operación mental de construir una organización o forma para un objeto o
conjunto de objetos en el espacio. (p.178), Luego mencionan que para poder aprender a comprender
y cuantificar lo que representan las etiquetas de las cuadriculas, ellos deben conectar el conteo con
las cuadriculas y las etiquetas, ya que necesitan aprender a estructurarlas como espacios
dimensionales, demarcados y medidos con líneas numéricas. (p.184). Es decir:
Que ellos necesitan comprender las coordenadas como una forma de organizar el espacio
2D mediante la coordinación de dos rectas numéricas perpendiculares- cada ubicación es el
lugar donde se encuentra la medida de estas dos rectas. (p.184)
3.4.1. Sistema cartesiano de referencia
Normalmente los sistemas de referencia se definen mediante ejes perpendiculares entre sí con un
origen definido. Estos se denominan sistemas cartesianos, y en el caso de trabajar en el plano (2
dimensiones), Si se trabaja en el espacio (tres dimensiones), el sistema cartesiano OXYZ está
compuesto por una terna ortonormal de vectores coordenados OX, OY y OZ.
3.4.2. Coordenadas cartesianas
Si se trabaja en un plano, con su sistema coordenado OXY de referencia asociado, un punto a
vendrá expresados por las componentes (x,y) correspondientes a los ejes coordenados del sistema
OXY. Este punto tiene asociado un vector p(x,y), que va desde el origen O del sistema OXY hasta
el punto a. Por tanto, la posición del extremo del vector p está caracterizado por las dos
componentes (x,y), denominadas coordenadas cartesianas del vector y que son las proyecciones del
vector p sobre los ejes OX y OY.
3.4.3. Coordenadas polares y cilíndricas
Para un plano es posible también caracterizar la localización de un punto o vector p respecto a
un sistema de ejes cartesianos de referencia OXY utilizando las denominadas coordenadas polares
p(r,θ). En esta representación, r representa la distancia desde el origen O del sistema hasta el
extremo del vector p, mientras que θ es el ángulo que forma el vector p con el eje OX. En el caso de
trabajar en tres dimensiones, un vector p podrá expresarse con respecto a un sistema de referencia
OXYZ, mediante las coordenadas cilíndricas p(r, θ, z). Las componentes r y θ tienen el mismo
significado que en caso de las coordenadas polares, mientras que la componente z expresa la
proyección sobre el eje OZ del vector p.
3.4.4. Coordenadas esféricas
31
También es posible utilizar coordenadas esféricas para realizar la localización de un vector en
un espacio de tres dimensiones. Utilizando el sistema de referencia OXYZ, el vector p tendrá como
coordenadas esféricas (r,θ,φ), donde la componente r es la distancia desde el origen O hasta el
extremo del vector p; la θ componente es el ángulo formado por la proyección del vector p sobre el
plano OXY con el eje OX y la componente φ es el ángulo formado por el vector p con el eje OZ.
32
4. TRAYECTORIA HIPOTETICA DE APRENDIZAJE
Por investigación de diseño o investigación basada en diseño se designa a un paradigma de
investigación, de naturaleza principalmente cualitativa, que ha sido desarrollado dentro de las
«Ciencias del aprendizaje» y se nutre de un amplio campo multidisciplinar que incluye la
antropología, la psicología educativa, la sociología, la neurociencia, así como las didácticas
específicas, entre otros (Confrey, 2006; Sawyer, 2006). Los experimentos de diseño son complejos,
multivariables, multiniveles, intervencionistas, iterativos, orientados por la teoría y hacia la práctica
y generadores de modelos teóricos (Cobb et al., 2003; Shavelson, Phillips, Towne y Feuer, 2003).
Ahora bien, el tipo de investigación “experimento de enseñanza”, en educación matemática se
lleva realizando desde hace mucho tiempo en la Unión Soviética, Kilpatrick & Wirszup (1979), este
tipo de investigación se diferencia de otras por que el objetivo no es ofrecer una secuencia
instruccional que funcione, sino una teoría empíricamente fundamentada sobre cómo piensan los
investigadores, Callejo, Valls & Llinares (2007).
Este énfasis en función en un contexto realizado se mantiene para todos los
experimentos de enseñanza incluso aunque estos sean conducidos en un rango diverso
de escenarios que varíen tanto en tipo como en alcance. El objetivo es crear una versión
a pequeña escala de un aprendizaje ecológico para que pueda ser estudiado en
profundidad y en detalle (Cobb & Steffe, 1983; Steffe & Thompson, 2000).
Existen cuatro orientaciones generales acerca de los experimentos de enseñanza, pero solo
nombraremos uno, el primero, el que usaremos.
1. Los experimento de enseñanzas en la clase en los que un equipo de investigación
colabora con un profesor (que puede ser un miembro del equipo de investigación)
para que asuma responsabilidad por la instrucción. (Cobb, 2000, Confrey &
Lanchance, 2000, Gravemeijer, 1994).
Propuesta por Simon (1995) de Trayectoria hipotética de aprendizaje (THA), que busca
comprender el desarrollo de los conceptos en los niños, en áreas particulares de la matemática
(Simon, 2000,1995). De forma general, un experimento de enseñanza consiste en una secuencia de
episodios de enseñanza en los que los participantes son normalmente un investigador-docente, uno
o más alumnos y uno o más investigadores-observadores (Steffe y Thompson, 2000, citados en
Molina et al., 2011).
En la metodología que tomamos según Simon (1995), citado por Callejo, Valls, & Llinares, S.
(2007), los experimentos de enseñanza contemplan un ciclo de investigación y enseñanza, que
desprende tres fases que Gravemeijer, (2004, p.111) especifica:
Diseño y planificación de la instrucción que comprende, Simon (1995).
33
1. La definición de los objetivos de aprendizaje que definen las metas que hay que
alcanzar.
2. Las tareas propuestas
3. Una trayectoria hipotética de aprendizaje o predicción de cómo el pensamiento y la
comprensión de los estudiantes pueden evolucionar cuando resuelven las tareas
propuestas.
- Experimentación en el aula o en un entorno virtual de las tareas diseñadas. -
Análisis retrospectivo
La trayectoria de aprendizaje (TA), es una herramienta que permite tanto a docentes como a
estudiantes abordar diferentes actividades, enfocadas a un objetivo general; sin que esta se convierta
en un camino único a seguir, debemos tener claro que éstas pueden ser modificadas en su
desarrollo.
Las TA tienen tres partes:
a) Una meta matemática
b) Una ruta de desarrollo a lo largo del cual los niños progresan para alcanzar dicha meta.
c) Un conjunto de actividades instructivas, o tareas, propias de cada uno de los niveles de
pensamiento de la ruta, que ayudan a los niños a desarrollar niveles de pensamiento cada vez más
avanzados. (Clements y Sarama, 2015, p. 10)
Las trayectorias de aprendizaje se estructuran a partir de temas que incluyen hechos,
ideas, procesos generales y específicos, actitudes y metas críticas, de esta última algunos
componentes son: estrategias, razonamiento, creatividad y disposición productiva, de ella
hacen parte los hábitos de la mente (la curiosidad, la creatividad, la persistencia,
inventiva, buena voluntad para experimentar y sensibilidad a los patrones)(Clements &
Conference Working Group, 2004, p. 57, citado por Clements et al., 2009, p.6).
Las trayectorias de aprendizaje son un proceso natural en el desarrollo del ser humano en el
desarrollo de su aprendizaje y crecimiento, que buscan generar ambientes de aprendizajes en
Matemáticas. A partir de rutas que contestan preguntas como ¿Qué objetivos se deben establecer?,
¿Dónde se debe comenzar?, ¿Cómo se logra ese siguiente paso?
Para el proyecto de investigación examinaremos específicamente la THA para el pensamiento
espacial de la orientación espacial que propone Clements y Sarama (2009 p. 174), la cual especifica
que es una habilidad humana esencial para las habilidades matemáticas, aunque en ocasiones es
superada por los que poseen habilidades lógicos-verbales. Ellos toman dos aspectos importantes en
el estudio de la THA del espacio, que son: La orientación espacial y la visualización espacial. La
primera vista como el conocimiento del lugar donde nos encontramos y cómo podemos desplazar
34
alrededor del mundo “COMO RECORDAMOS LAS COSAS”, que es un dominio básico desde el
nacimiento en donde los seres humanos usamos las formas de su entorno para resolver tareas de
ubicación.(p. 175), la segunda toma aspectos de los mapas mentales de sistemas basados en lo
externo, que no son más que los propios movimientos y la posición que tiene los niños siendo un
aprendizaje de respuesta, desde sí mismo. Y los mapas mentales basados en lo externo y en si como
desarrollo posterior, dado que es un sendero de integración de la distancia aproximada y la
dirección de sus movimientos, junto con el aprendizaje de lugar que almacenas los niños al recordar
las distancias y direcciones de los puntos de referencia. (p. 175)
En la propuesta de Clements y Sarama sobre THA, se reconoce la presencia de los
experimentos de enseñanza, como se muestra en la figura 1. Utiliza las predicciones que el profesor
hace en el trabajo con estudiantes a partir del camino por el que el aprendizaje puede continuar.
Son hipotéticas debido a que las trayectorias reales de aprendizaje dependen de la
condición de existencia de cada individuo y a que el aprendizaje de los individuos tiene
ciertas regularidades. Las THA proporcionan al profesor un criterio racional para decidir el
diseño que él considera la mejor conjetura de cómo puede avanzar el aprendizaje. León,
Díaz y Guilombo (2014, P.5).
Ilustración 1. Trayectorias Hipoteticas de Aprendizaje
Se puede caracterizar dentro las THA Las metas, las progresiones de desarrollo y las tareas
instructivas, en donde las metas buscas ir hacia las grandes ideas matemáticas. Las progresiones de
desarrollo o rutas de aprendizaje están diseñadas en niveles de pensamiento cada una más
sofisticada que al anterior, pues los niños siguen rutas durante el desarrollo, y obtienen
competencias asociadas naturalmente como lo son el número, el sentido espacial y los patrones.
Aunque las interpretaciones de los niños son únicas y diferentes a la de los adultos. Las tareas
35
instructivas corresponden a los niveles de pensamiento, por lo que las TA describen las metas del
aprendizaje, los procesos de pensamiento y aprendizajes de los niños e los distintos niveles
Clements y Sarama (2009, p, 12).
4.1. Trayectorias De Aprendizaje Para El Pensamiento Espacial
Las (THA), toma las anticipaciones del profesor sobre el camino por el que el aprendizaje puede
movilizarse. Son hipotéticas por que las trayectorias reales de aprendizaje dependen de la condición
de existencia de cada estudiante y a que su aprendizaje posee ciertas regularidades. Las THA le
proporcionan al investigador un criterio racional para decidir el diseño que él considera, la mejor
conjetura de cómo puede avanzar el aprendizaje. (Simon & Tzur, 2004) citado por León, Díaz Celis
y Guilombo (2014, p.15).
Las Trayectorias de aprendizaje se desarrollaron para mejorar el nivel profesional y la
enseñanza en el área de las matemáticas tempranas. Por otra parte, los investigadores sugieren que
el desarrollo profesional se centró en las trayectorias de aprendizaje aumentos no solamente los
conocimientos profesionales, sino también de sus alumnos profesores motivación y logro. Por lo
tanto, las trayectorias de aprendizaje pueden facilitar la enseñanza apropiada para el desarrollo y el
aprendizaje para todos los niños.
Específicamente en la THA de orientación espacial se trabajan 8 niveles, y cada uno de los niveles
trabaja una serie de progresión del desarrollo y unas tareas para la enseñanza, en este y trabajo
desarrollamos siete niveles desde lo propuesto por Clements y Sarama (2009) que son:
4.1.1. Descripción De Los Niveles De La Trayectoria: Para El Pensamiento Espacial
Tabla 2. Trayectoria Hipotética de aprendizaje Clements y sarama (2005)
ORIENTACIÓN ESPACIAL
EDAD PROGRESIÓN PARA EL TAREAS PARA LA ENSEÑANZA
DESARROLLO
DESCRIPCIÓN
36
0-2 Usuario de camino y punto de referencia
Usa una distancia de referencia para hallar
un objeto o un lugar cerca al mismo, y
siempre y cuando él no se haya movido con
respecto a la referencia.
Entiende el vocabulario inicial de las
relaciones ubicaciones espaciales
Proporciona un ambiente rico sensorialmente para la
manipulación, la libertad y la motivación para moverse
a través de él. Los niños que gatean aprenden más
sobre las relaciones espaciales.
Utilice vocabulario de carácter espacial.
Inicialmente enfatice “en” “dentro” y “debajo” junto con
términos con dirección vertical “arriba” y “abajo”
(p.190)
Usuario de referencia local propia
2-3 Usa referencias distantes para hallar objetos o
ubicaciones cercanas, incluso después de
moverse con respecto a las referencias,
siempre y cuando el objeto señalado sea
especificado con anterioridad.
Orienta una línea vertical u horizontal en
el espacio (Rosser, Horan, Mattson, &
Mazzeo, 1984). citado por Clements y sarama
(p.190-191)
Camina diferentes rutas y discuta los puntos de
referencia que usted ve. Solicite a los niños que
señalen donde se encuentran los diferentes puntos de
referencia a lo largo del recorrido
Utilice vocabulario espacial para dirigir la atención
hacia las relaciones espaciales. Enfatice las palabras
de proximidad, como “junto a” y “entre”.
Pida a los niños de 3 años encontrar un objeto que
se muestra en una imagen
Para representar escenas simples y ubicaciones los
niño tienen que construirlas con bloques (ver capítulo
9 para conocer más sobre construcción de bloques).Si
los niños están interesados, realice un modelo del
salón de clase y señale un lugar en este que represente
un búsqueda.
Extrapola líneas desde posiciones en
ambos ejes y determina el lugar donde se
intersecan si están en contextos significativos
sitio donde un “premio” está escondido en el salón real.
Usuario de referencia local pequeña Utilice vocabulario espacial para dirigir la atención
4 Ubica objetos después del hacia las relaciones espaciales. Enfatice las palabras
desplazamiento, incluso cuando el objeto a para referirse a los marcos referencia como: “en
frente señalar no es especificado con anterioridad. de” y “detrás”. Inicie el aprendizaje el de
“izquierda” y Examina un área pequeña en su totalidad, “derecha”
frecuentemente usando un patrón circular de También incentive a los padres a evitar señalar o
37
mostrar cuando sea posible, en su lugar dar
direcciones verbales (“Está dentro de la maleta en la
mesa”).
Los estudiantes tienen que plantear problemas
verbales entre ellos, como encontrar un objeto perdido
(“debajo de la mesa que está cerca de la puerta”),
colocando objetos lejos y encontrando el camino de
regreso de una excursión.
Durante el tiempo libre, desafíe a los niños a seguir
simples mapas del salón de clase o patio de recreo
para encontrar “tesoros” secretos que usted ha
escondido. Los niños interesados pueden dibujar sus
propios mapas. Comience con mapas oblicuos (p.ej.
en los cuales las sillas y las mesas se muestran con
patas).
Explore y discuta los espacios al aire libre,
permitiendo a los niños (de ambos sexos) moverse
libremente tanto como sea posible. Motive a los
padres a realizar lo mismo.
Camine por diferentes rutas y discuta los distintos
caminos, ¿cuál sería más corto?, ¿cuál sería más
largo?’. Pregunte por qué un camino es más corto.
Incentive a los niños a construir modelos del cuarto
o el patio con juguetes.
Usuario de referencia local
5 Ubica objetos después del
desplazamiento (relaciona bastantes
ubicaciones de forma separada pariendo de su
propia posición), manteniendo la forma
general del arreglo de objetos. Representa las
posiciones de los objetos con respecto a las
referencias (ej., aproximadamente la mitad
del camino entre dos referencias) y mantiene
un registro de su propia posición en espacios
abiertos o en laberintos. Algunos usan
referentes para coordenadas en situaciones
simples.
Planee y discuta diferentes rutas, cuáles serían la
mejor para tomarla y por qué. Dibuje mapas o rutas,
ilustrando que habrá “pasado” o visto desde distintas
rutas.
Utilice vocabulario espacial para dirigir la atención
a las relaciones espaciales. Enfatice todas las palabras
anotadas anteriormente, incluyendo el aprendizaje de
“izquierda” y “derecha”.
Anime a los niños a realizar modelos de su salón,
utilizando bloques o mobiliario de juguete para
representar objetos en el salón de clase. Discuta cuales
están “cerca del otro” y otras relaciones espaciales.
Los mapas del patio de recreo: Los niños podrían
utilizar recortes de las formas de un árbol, de un
columpio y la arenera del patio de recreo y dejarlas en
el tablero como un mapa simple. Ellos pueden discutir
cómo mover cada elemento en el patio, como una
mesa, cambiaría el mapa inicial. En el mapa, ubique a
los niños, mostrando que están cerca del árbol, del
columpio y de la arenera. En la búsqueda del tesoro en
el patio de recreo los niños pueden dar y seguir
direcciones o claves.
Explore y discuta los espacios al aire libre,
permitiendo a los niños (de ambos sexos) moverse
libremente tanto como sea posible. Motive a los
38
padres a realizar lo mismo (Esta recomendación se
extiende a través de los grados.)
Anime a los niños a marcar un sendero desde una
mesa a la papelera con cinta adhesiva. Con la ayuda
del profesor los niños podrían dibujar un mapa de este
sendero (algunos profesores toman fotografías de la
papelera y la puerta y las pegan a una hoja grande de
papel) Los elementos que aparecen a lo largo de la
ruta
como una mesa o un atril pueden ser adicionados al
mapa.
Logo Involucre a los niños en edad apropiado los
ambientes de “la tortuga matemática” (Clements &
Meredith, 1994; Clements & Sarama, 1996). Ellos
tienen unos tutores en aquellos ambientes.
Pida a los niños resolver matrices dimensionales (p.
ej. ubicar todos los objetos, ordenándolos por color en
filas y por formas en columnas) o utilizar coordenadas
en los mapas.
39
6 Usuario de mapas ubica los objetos
usando mapas con
indicaciones en imágenes
Está en capacidad de extrapolar dos
coordenadas, entendiendo la integración de
las mismas en una posición, del mismo modo
usa referente para coordenadas en situaciones
simples.
Utilice vocabulario espacial para dirigir la atención
a las relaciones de este aspecto. Enfatice todas las
palabras anotadas anteriormente, y las diversas
interpretaciones de “izquierda” y “derecha”.
Los mapas. Continúe las actividades anteriores, pero
enfatice las cuatro preguntas (ver p. 112): Dirección-
¿cuál camino?, ¿qué tan lejos?-Ubicación- ¿dónde?
Identificación-¿Qué objetos? Observe el uso de
coordenadas en los mapas.
Desafíe a los niños a encontrar su casa o colegio,
basados en fotografías áreas de Internet, una vez usted
ya haya accedido a esa ubicación en el computador.
Pida a los estudiantes planear las rutas alrededor del
colegio utilizando mapas, luego siga tales rutas.
Logo Involucre a los niños en edad apropiada en los
ambientes de “la tortuga matemática” (Clements &
Meredith, 1994; Clements & Sarama, 1996).Ellos
deben tener tutores en aquellos ambientes.
Utilice coordenadas en todas las situaciones
aplicables: por ejemplo, etiquete las ubicaciones (“con
clavijas”) en tableros geográficos, de forma similar
como los niños construyen formas.
Trazador de coordenadas de rutas Pida a los estudiantes dibujar un bosquejo de los 7 Lee
y traza coordenadas en mapas mapas del área alrededor de sus casas, salones de
clase, patio de recreo o algún área alrededor del
colegio. Discuta las diferencias entre las
representaciones de los mismos espacios. Presente
tareas en las cuales los mapas deben ser alineados con
el espacio. Es útil mostrar a los niños muchos mapas y
modelos, comparándolos explícitamente utilizando el
40
lenguaje y elementos visuales que les ayude a construir
comprensiones de representaciones.
Tipos de juegos como “La Batalla Naval”. Oriente
a los niños en las siguientes competencias en todo el
trabajo de coordenadas.
• Interpretar los componentes de la estructura en
cuadricula como segmentos de línea o líneas
más que regiones
• Apreciar la precisión de la ubicación de las
líneas requeridas, más qué tratarlas como
límites difusos o indicadores de intervalos
• Aprender a trazar líneas horizontales o
verticales estrechamente organizadas que no
eran ejes.
• Integrar dos números en una sola coordenada
• Conceptualizar las etiquetas como signos de
ubicación y distancia ((a) para cuantificar lo
que representa las etiquetas de las cuadriculas,
(b) conectar sus actos de conteo a aquellas
cantidades y a las etiquetas , (c) subsumir estas
ideas aun esquema de parte-todo conectado
tanto a la cuadricula como al conteo/la
aritmética, y finalmente (d) construir
relaciones de proporcionalidad en este
esquema).(Sarama et al.,2003)
Logo y los juegos de coordenadas y actividades en
el computador ayudan a la comprensión de los niños y
a las habilidades con las coordenadas (Clements &
Meredith, 1994; Clements & Sarama, 1996).
Haga participes a los estudiantes en tareas prácticas
8 Usuarios de mapas de ruta de utilización de mapas y la realización de los mismos,
41
de forma similar a” encontrar el tesoro” en ambientes Sigue un mapa de ruta simple, con con los cuales los niños están familiarizados, luego con
direcciones y distancias más precisas. los menos. Incluya coordenadas.
Logo Involucre a los estudiantes en los ambientes
Usuario de marcos
de la “tortuga matemática” en los cuales los mapas son
traducidas a los programas de computador (Clements
Usa marcos generales que incluyen al
& Meredith, 1994; Clements & Sarama, 1996).
observador y a las referencias. Es posible que
no use medidas precisas incluso cuando estas
sean de ayuda, a menos que alguien se lo
indique.
Puede seguir y crear mapas, incluso cuando
se transforman las relaciones espaciales.
5. METODOLOGÍA
Existen cuatro orientaciones generales acerca de los experimentos de enseñanza. La orientación
general acerca de los experimentos de enseñanza que se tomará en este trabajo es la 1, propuesta por
Simon (1995) de THA, que busca comprender el desarrollo de los conceptos en los niños, en áreas
particulares de la matemática (Simon, 2000,1995). De forma general, un experimento de enseñanza
consiste en una secuencia de episodios de enseñanza en los que los participantes son normalmente un
investigador-docente, uno o más alumnos y uno o más investigadores-observadores (Steffe y
Thompson, 2000)
Para Clements y Sarama (2009) Las trayectorias de aprendizaje describen las metas del
aprendizaje, los procesos de pensamiento y aprendizaje de los niños en los distintos niveles, y las
actividades de aprendizaje en las cuales ellos podrían participar (pág.5). La THA, hace parte del
modelo del ciclo de enseñanza de las matemáticas propuesto por Simon (1995). Estas hipótesis son
tomadas a priori en la investigación y son tomadas de los textos de Clements y Sarama (2009) y de
Perelman, Ch, y Olbrechts-Tyteca, L. (1989). Respectivamente según la necesidad de establecer la
hipótesis.
5.1. Hipótesis Planteadas Para El Diseño De La THA
Hipótesis de meta
42
El pensamiento espacial es una habilidad humana esencial que contribuye al desarrollo de
habilidades matemáticas. Sin embrago, el papel que tiene esta habilidad es difícil de alcanzar, e
incluso se vuelve complejo en cuanto a la geometría. Siendo una de las habilidades principales la
orientación espacial, con la cual se pretende mejorar el conocimiento del lugar donde nos
encontramos y cómo nos podemos desplazar alrededor del mundo (p.174)
Los estudiantes deben llegar a comprender las relaciones entre las diferentes posiciones en el
espacio, al comienzo con respecto a nuestra propia posición, basados en sí mismos, y a nuestros
movimientos alrededor de ella, para luego poder tener un perspectiva abstracta basados en lo
externo que incluye mapas y coordenadas que está conectada con el cómo recordamos las cosas
(p.175)
Los niños utilizan información geométrica de todas las cosas de su entorno para establecer su
ubicación, pero, ¿que pueden comprender y representar los niños acerca de las relaciones espaciales
y de navegación?, ¿pueden representar ese conocimiento? (p.175)
Hipótesis de metas adicionales
1. La orientación espacial es vista como el conocimiento del lugar donde nos encontramos y
cómo nos podemos desplazar alrededor del mundo. “COMO RECORDAMOS LAS COSAS”,
siendo un dominio básico desde el nacimiento, en donde los seres humanos usamos las formas
de su entorno para resolver tareas de ubicación, es una competencia que debe desarrollarse con
la experiencia y la influencia sociocultural. (p. 175)
2. El desarrollo posterior al sistema basado en sí mismo y en el sistema basado en lo exterior, son
en orden un sendero de integración, en donde los niños son capaces de registrar la distancia
aproximada y la dirección de sus movimientos, y el aprendizaje de lugar, que hace referencia a
la utilización de los mapas mentales recordando las distancias y las direcciones de los puntos
de referencia (p.176)
Hipótesis de meta adicionales para la argumentación:
Estas hipótesis son tomadas del libro tratado de la argumentación, y son tomadas para tener
referencia de lo que se observa durante el despliegue de la THA, en lo concerniente a la argumentación.
1. Cuando se trata de fundamentar valores o jerarquías, o reforzar la intensidad de la adhesión
que suscitan, se los puede relacionar con otros valores u otras jerarquías, para consolidarlos;
pero, también se puede recurrir a premisas de carácter muy general. (p.144)
2. Cuando se comprueba un acuerdo, podemos suponer que se basa en lugares más generales
admitidos por los interlocutores. Sin embargo, para indicarlos , sería necesario recurrir a
hipótesis que sólo fueran evidentes.(p.146)
43
3. La mayoría de los lugares que tienden a mostrar la eficacia de un medio serán lugares de
cantidad (p.151)
4. Lo que se presenta muy a menudo, lo normal, lo habitual, lo normal, constituye el objeto de
uno de los lugares utilizados más frecuentemente, hasta tal punto que el paso de lo que se hace
a lo se debe hacer, de lo normal a la norma, parece evidente sin duda alguna (P.151)
5. El valor de lo irreparable puede, si se quiere indagar sobre sus fundamentos, relacionarse con
la cantidad: duración infinita del tiempo que transcurrirá después de que se haya hecho o
comprobado lo irreparable, certeza de que los efectos, deseados o no, se prolongarán
indefinidamente. Pero, también puede vincularse a la cualidad: se confiere la unicidad al
acontecimiento calificado de irreparable (p.159)
6. Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia de un lenguaje común,
de una técnica que permita la comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, p. 49).
7. Para quien argumenta, el presunto auditorio siempre es una construcción más o menos
sistematizada. Se puede intentar determinar sus orígenes psicológicos o sociológicos; pero,
para quien se propone persuadir efectivamente a individuos concretos, lo importante es que la
construcción del auditorio sea la adecuada para la ocasión. (p.5)
8. Las posibilidades de argumentación dependen de lo que cada uno está dispuesto a conceder, de
los valores que reconoce, de los hechos sobre los que se señala su conformidad (p,184)
9. El discurso persuasivo produce efectos por su inserción, como un todo, en una situación, de
por sí bastante compleja a menudo (p.295)
10. Para poner de relieve un esquema argumentativo, nos vemos obligados a interpretar las
palabras del orador, a suplir los escalones que faltan, lo cual siempre va acompañado de algún
riesgo (p.295)
11. Mientras el orador argumenta, el oyente, a su vez, se sentirá inclinado a argumentar
espontáneamente a propósito de este discurso, con el fin de adoptar una postura al respecto,
determinar el crédito que debe concederse (p.297)
12. Se pueden considerar también lugares de la argumentación, por que únicamente el acuerdo
sobre el valor puede justificar su aplicación, a partir de procedimientos de ENLACE Y
DISOCIACIÓN (p.299)
Hipótesis de meta adicionales para la población:
1. Debemos desarrollar la sensibilidad hacia la diferencia, que permita entender la complejidad
de la diversidad y proponerla como condición de existencia natural para reconocer los
derechos de las poblaciones a coexistir de forma individual y grupal. León (2013, p.39)
44
Hipótesis De Niveles De Pensamiento
Usuario de camino y punto de referencia
1. El desarrollo del sistema del sendero de integración, permite el registro de la distancia
aproximada y la dirección de los propios movimientos (p. 190)
2. Se desarrolla lenguaje espacial con términos “en” “dentro” “debajo” y los que indican
dirección vertical, como “arriba” y “abajo”. Entendiendo el vocabulario inicial de las relaciones y
ubicaciones espaciales (p. 190)
Usuario de referencia local propia
3. Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia de un lenguaje
común, de una técnica que permita la comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, P, 49). Utilizan
referencias distantes para hallar objetos o ubicaciones cercanas. Incluso después de moverse con
respecto a las referencias, siempre y cuando el objeto sea señalado aun usando referencias lejanas
(p.190)
4. Utilizan referencias distantes para hallar objetos o ubicaciones cercanas. Incluso después de
moverse con respecto a las referencias, siempre y cuando el objeto sea señalado aun usando
referencias lejanas (p.190)
5. Ubican objetos después de un desplazamiento siempre y cuando el objeto sea señalado con
anterioridad. Desarrollando el significado de palabras que tienen que ver con las relaciones espaciales
tales como: “junto a”, “entre” (p.190)
Se entiende que afirman que algo vale más que otra cosa por razones cuantitativas, que constituye
una mayoría sobre entendida, pero sin la cual la conclusión no estaría fundamentada. (Perelman &
Olbrechts, 1989 p.149)
Usuario de referencia local pequeña
6. Ubica objetos después del desplazamiento, incluso cuando el objeto a señalar no es
especificado con anterioridad, buscando con esto, la discusión de rutas y puntos de referencia a partir
de la construcción con bloques de un lugar que todos conocen. (p.191)
Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia de un lenguaje común, de
una técnica que permita la comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, p.49).
7. Examina un área pequeña en su totalidad usando el patrón circular de búsqueda, usando y
entendiendo el lenguaje de la relación espacial como “en frente” y “detrás” además de empezar a
utilizar “izquierda” y “derecha” (p.191).
Los lugares de cualidad aparecen en la argumentación y son los que mejor se comprenden, cuando
se cuestiona la eficiencia del número. (Perelman & Olbrechts, 1989 p.153)
45
8. Los estudiantes tienen que plantear problemas verbales entre ellos, de cómo encontrar un
objeto perdido, colocando objetos lejos y encontrando el camino de regreso de una excursión (p.191)
Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia de un lenguaje común, de una
técnica que permita la comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, p.49).
Usuario de referencia local
9. Debe ubicar objetos después del desplazamiento a partir de relaciones de ubicaciones
bastantes separadas, partiendo de su propia posición, manteniendo la forma general del arreglo de
objetos (p.192)
10. El desarrollo de los sistemas basados en lo externo y en sí mismos, permite integrar y saber
cuando utilizar estos tipos de conocimiento espacial. Trazando un sendero entre dos lugares,
adicionando objetos entre ellos (p.92)
Usuario de mapas
11. El desarrollo del sistema del aprendizaje del lugar, permite el almacenamiento de la ubicación
recordando las distancias y las direcciones de los puntos de referencia. (p.192)
12. Se puede creer que el razonamiento formal resulta de un proceso de simplificación que
únicamente es posible en condiciones determinadas (p.303)
13. Ubican los objetos usando mapas con indicadores en imágenes, junto a la extrapolación de dos
coordenadas, entendiendo la integración de las mismas en una posición (Perelman & Olbrechts, 1989
p.193)
14. Se desarrolla el aprendizaje y coordinación de diferentes puntos de vista sobre los objetos,
utilizando un marco externo de referencia para resolver diferentes puntos de vista, al realizar mapas
alrededor de lugares comunes generando algún tipo de ruta (p.193)
El discurso persuasivo produce efectos por su inserción, como un todo, en una situación, de por si
bastante compleja a menudo (Perelman & Olbrechts, 1989 p.295)
Trazador de coordenadas de rutas
15. Debe desarrollarse la construcción de compresiones de representaciones a partir de lenguaje y
elementos visuales, para generar discusión entre las diferencias de las representaciones de los mismos
espacios (p.193)
Mientras el orador argumenta, el oyente, a su vez, se sentirá inclinado a argumentar
espontáneamente a propósito de este discurso, con el fin de adoptar una postura al respecto,
determinar el crédito que debe concederse (p.297)
46
De las técnicas argumentativas, se sus condiciones de aplicación, de sus efectos, se halla en la base de
muchos mecanismos argumentativos. No se considera que el oyente es un ignorante sino todo lo
contrario, una persona sagaz. (Perelman & Olbrechts, 1989 p.247)
16. Para comprender el espacio como una organización en cuadrículas o sistemas coordenados, los
niños deben aprender la estructuración espacial, Idos números en una sola coordenada (p. 194) Se
puede creer que el razonamiento formal resulta de un proceso de simplificación que únicamente es
posible en condiciones determinadas (p.303)
17. Conceptualiza etiquetas como signos de ubicación y distancia, para cuantificar lo que
representa en las cuadriculas, construyendo relaciones de proporcionalidad (p.194)
8 AÑOS
18. Tienen la habilidad de construir imágenes mentales de ubicaciones y utilizar dichas imágenes.
Usando mapas como guías de navegación (por ejemplo, seguir una ruta) en situaciones simples.
(p.194)
19. Se tiene la habilidad de construir imágenes mentales de ubicaciones y utilizar dichas imágenes al
seguir y crear mapas incluso, cuando se transforman las relaciones espaciales (p.195)
Cuadros de niveles
Tabla 3. Nivel 1
Hipótesis THA El pensamiento espacial es una habilidad humana esencial que contribuye al
desarrollo de habilidades matemáticas. Sin embrago, el papel que tiene
esta habilidad es difícil de alcanzar, e incluso se vuelve complejo en
cuanto a la geometría. Siendo una de las habilidades principales la
orientación espacial, con la cual se pretende mejorar el conocimiento
del lugar donde nos encontramos y cómo nos podemos desplazar
alrededor del mundo (p.174)
Hipótesis de nivel El desarrollo del sistema del sendero de integración, permite el
registro de la distancia aproximada y la dirección de los propios
movimientos (p. 190)
Se desarrolla lenguaje espacial con términos “en” “dentro” “debajo”
y los que indican dirección vertical, como “arriba” y “abajo”.
Entendiendo el vocabulario inicial de las relaciones y ubicaciones
espaciales(p. 190)
Nivel 1 Usuario de camino y punto de referencia
47
Hipótesis asociadas a la
argumentación y la
población
Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la
existencia de un lenguaje común, de una técnica que permita la
comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, P. 49).
Descriptor de nivel Los niños se conectan cada vez más al desarrollo de la estructuración
espacial, que es la capacidad de organizar el espacio en dos
dimensiones (p. 188)
Indicadores de nivel Puede usar una distancia de referencia para hallar un objeto
Puede usar una distancia de referencia para hallar un objeto siempre y
cuando él no se haya movido.
Debe entender el vocabulario inicial de las relaciones espaciales
Examina un área, usando marcos de referencia corporal.
Usa vocabulario como, “en” “dentro” “debajo” “arriba”
Utiliza un lenguaje común, que parece indispensable para una
argumentación (P. 51)
48
Tabla 4. Nivel 2
Hipótesis THA El pensamiento espacial es una habilidad humana esencial que contribuye al desarrollo de
habilidades matemáticas. Sin embrago, el papel que tiene esta habilidad es
difícil de alcanzar, e incluso se vuelve complejo en cuanto a la geometría.
Siendo una de las habilidades principales la orientación espacial, con la cual
se pretende mejorar el conocimiento del lugar donde nos encontramos y
cómo nos podemos desplazar alrededor del mundo (p.174)
Hipótesis de nivel Utilizan referencias distantes para hallar objetos o ubicaciones cercanas.
Incluso después de moverse con respecto a las referencias, siempre y
cuando el objeto sea señalado aun usando referencias lejanas (p. 190)
Ubican objetos después de un desplazamiento siempre y cuando el objeto
sea señalado con anterioridad. Desarrollando el significado de palabras que
tienen que ver con las relaciones espaciales tales como: “junto a”, “entre”(p.
190)
Hipótesis asociadas
a la argumentación y la
población
Se entiende que afirman que algo vale más que otra cosa por razones
cuantitativas, que constituye una mayoría sobre entendida, pero sin la cual
la conclusión no estaría fundamentada.(Perelman & Olbrechts, 1989 p.149)
Descriptor de nivel Al realizar las actividades los estudiantes deben señalar diferentes puntos de
referencia
Indicadores de nivel Puede usar referencias distantes para hallar objetos
Puede usar referencias distantes para hallar ubicaciones cercanas, incluso
después de moverse.
Puede orientar una línea vertical o horizontal en el espacio.
Quieren que los demás, los tengan en cuenta, desean que no se les ordene
más, que se les razone, que se les considere miembros de una sociedad. (p.
51)
Nivel 2 Usuario de referencia local propia
49
Tabla
5. Nivel 3
Nivel 3 Usuario de referencia local pequeña
Hipótesis
THA
El pensamiento espacial es una habilidad humana esencial que contribuye
al desarrollo de habilidades matemáticas. Sin embrago, el papel que tiene
esta habilidad es difícil de alcanzar, e incluso se vuelve complejo en
cuanto a la geometría. Siendo una de las habilidades principales la
orientación espacial, con la cual se pretende mejorar el conocimiento del
lugar donde nos encontramos y cómo nos podemos desplazar alrededor
del mundo (p.174)
Hipótesis de
nivel
Ubica objetos después del desplazamiento, incluso cuando el objeto a
señalar no es especificado con anterioridad, buscando con esto, la
Discusión de rutas y puntos de referencia a partir de la construcción con
bloques de un lugar que todos conocen .(p. 191)
Examina un área pequeña en su totalidad usando el patrón circular de
búsqueda, usando y entendiendo el lenguaje de la relaciones espaciales
como “en frente” y “detrás” además de empezar a utilizar “izquierda” y
“derecha”(p. 191).
Hipótesis
asociadas a la
argumentación
y la población
Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia
de un lenguaje común, de una técnica que permita la comunicación.
(Perelman & Olbrechts, 1989, P. 49).
Los lugares de cualidad aparecen en la argumentación y son los que
mejor se comprenden, cuando se cuestiona la eficiencia del número.
(Perelman & Olbrechts, 1989 p. 153)
Descriptor
de nivel
Se debe incentivar a los niños a seguir simples mapas del salón de clase o
patio de recreo para encontrar algún objeto.
Pueden dibujar sus propios mapas.
Indicadores
de nivel
Puede ubicar objetos después del desplazamiento, incluso si no ha sido
señalado con anterioridad.
Examina un área pequeña en su totalidad
Usa patrones de búsqueda, entre ellos el circular
Forma parte de un mismo medio que facilita la relación de las condiciones
previas del contacto intelectual. (p. 52)
50
Tabla
6. Nivel 4
Nivel 4 Usuario de referencia local
Hipótesis
THA
El pensamiento espacial es una habilidad humana esencial que
contribuye al desarrollo de habilidades matemáticas. Sin embrago, el
papel que tiene esta habilidad es difícil de alcanzar, e incluso se vuelve
complejo en cuanto a la geometría. Siendo una de las habilidades
principales la orientación espacial, con la cual se pretende mejorar el
conocimiento del lugar donde nos encontramos y cómo nos podemos
desplazar alrededor del mundo (p.174)
Hipótesis de
nivel
Debe ubicar objetos después del desplazamiento a partir de relaciones de
ubicaciones bastantes separadas, partiendo de su propia posición,
manteniendo la forma general del arreglo de objetos (p. 192)
El desarrollo de los sistemas basados en lo externo y en sí mismos,
permite integrar y saber cuándo utilizar estos tipos de conocimiento
espacial. Trazando un sendero entre dos lugares , adicionando objetos
entre ellos (p. 192)
Hipótesis
asociadas a la
argumentación
y la población
Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia
de un lenguaje común, de una técnica que permita la comunicación.
(Perelman & Olbrechts, 1989, p. 49).
Los lugares de cualidad aparecen en la argumentación y son los que
mejor se comprenden, cuando se cuestiona la eficiencia del número.
(Perelman & Olbrechts, 1989 p. 153)
Descriptor
de nivel
Los niños estiman, miden y calculan longitudes a medida que resuelven
los problemas relacionados con datos, espacio y movimiento.
Indicadores
de nivel
Puede relacionar bastantes ubicaciones de forma separada partiendo de
su propia posición
Debe representar posiciones de los objetos respecto a las referencias.
Concede valores que reconoce, de hechos sobre los que se señala su
conformidad que hacen parte de una argumentación (p. 184)
51
Tabla
7. Nivel 5
Nivel 5 Usuario de mapas
Hipótesis
THA
El pensamiento espacial es una habilidad humana esencial que
contribuye al desarrollo de habilidades matemáticas. Sin embrago, el
papel que tiene esta habilidad es difícil de alcanzar, e incluso se vuelve
complejo en cuanto a la geometría. Siendo una de las habilidades
principales la orientación espacial, con la cual se pretende mejorar el
conocimiento del lugar donde nos encontramos y cómo nos podemos
desplazar alrededor del mundo (p.174)
Hipótesis de
nivel
El desarrollo del sistema del aprendizaje del lugar, permite el
almacenamiento de la ubicación recordando las distancias y las
direcciones de los puntos de referencia.(p. 192)
Ubican los objetos usando mapas con indicadores en imágenes , junto a
la extrapolación de dos coordenadas, entendiendo la integración de las
mismas en una posición (p. 193)
El desarrollo de los sistemas basados en lo externo y en sí mismos,
permite integrar y saber cuándo utilizar estos tipos de conocimiento
espacial (p. 193)
Hipótesis
asociadas a la
argumentación
y la población
El discurso persuasivo produce efectos por su inserción, como un todo,
en una situación, de por sí bastante compleja a menudo (Perelman &
Olbrechts, 1989 p.295)
Se puede creer que el razonamiento formal resulta de un proceso de
simplificación que únicamente es posible en condiciones determinadas
(p.303)
Descriptor
de nivel
Los estudiantes pueden enfocar la creación de los mapas
matemáticamente, aprendiendo a representar la posición y la dirección
Indicadores de
nivel
Puede ubicar objetos señalados en mapas.
Puede ubicar objetos señalados en mapas con indicaciones en imágenes.
Debe extrapolar dos coordenadas, entendiendo la integración de las
mismas en una posición.
52
Tabla
Consigue aumentar la intensidad de adhesión de manera que
desencadene en sus compañeros la acción prevista. (p. 91)
53
Tabla 8. Nivel 6
Nivel 6 trazador de coordenadas
Hipótesis
THA
El pensamiento espacial es una habilidad humana esencial que contribuye
al desarrollo de habilidades matemáticas. Sin embrago, el papel que tiene
esta habilidad es difícil de alcanzar, e incluso se vuelve complejo en
cuanto a la geometría. Siendo una de las habilidades principales la
orientación espacial, con la cual se pretende mejorar el conocimiento del
lugar donde nos encontramos y cómo nos podemos desplazar alrededor
del mundo (p.174)
Hipótesis de
nivel
Conceptualiza etiquetas como signos de ubicación y distancia, para
cuantificar lo que representa en las cuadriculas, construyendo relaciones
de proporcionalidad (p. 194)
Para comprender el espacio como una organización en cuadrículas o
sistemas coordenados, los niños deben aprender la estructuración
espacial, Integra dos números en una sola coordenada (p. 194).
Hipótesis
asociadas a la
argumentación
y la población
Mientras el orador argumenta, el oyente, a su vez, se sentirá inclinado a
argumentar espontáneamente a propósito de este discurso, con el fin de
adoptar una postura al respecto, determinar el crédito que debe
concederse (p. 297)
De las técnicas argumentativas, se sus condiciones de aplicación, de sus
efectos, se halla en la base de muchos mecanismos argumentativos. No se
considera que el oyente es un ignorante sino todo lo contrario, una
persona sagaz. (Perelman & Olbrechts, 1989 p. 247)
Descriptor
de nivel
Los estudiantes pueden caminar por rutas y luego recrearlas en un mapa,
les ayuda a abstraer, generalizar y simbolizar sus experiencias en
navegación.(p. 183)
Indicadores Puede leer y trazar coordenadas en mapas.
de nivel Representa mediante a mapas el área alrededor de su casa
• Debe conceptualizar las etiquetas como signos de ubicación y distancia.
• Busca lugares comunes en la discusión con sus compañeros
54
Tabla 9. Nivel 7
Nivel 7 Seguidor de mapa de ruta
Hipótesis
THA
El pensamiento espacial es una habilidad humana esencial que contribuye
al desarrollo de habilidades matemáticas. Sin embrago, el papel que tiene
esta habilidad es difícil de alcanzar, e incluso se vuelve complejo en
cuanto a la geometría. Siendo una de las habilidades principales la
orientación espacial, con la cual se pretende mejorar el conocimiento del
lugar donde nos encontramos y cómo nos podemos desplazar alrededor
del mundo (p.174)
Hipótesis de
nivel
Tienen la habilidad de construir imágenes mentales de ubicaciones y
utilizar dichas imágenes. Usando mapas como guías de navegación (por
ejemplo, seguir una ruta) en situaciones simples. (p.194)
Se tiene la habilidad de construir imágenes mentales de ubicaciones y
utilizar dichas imágenes. Al seguir y crear mapas incuso, cuando se
transforman las relaciones espaciales (p. 195)
Hipótesis
asociadas a la
argumentación
y la población
• Debemos desarrollar la sensibilidad hacia la diferencia, que permita
entender la complejidad de la diversidad y proponerla como condición
de existencia natural para reconocer los derechos de las poblaciones a
coexistir de forma individual y grupal. (León, 2013, p.39).
• Mientras el orador argumenta, el oyente, a su vez, se sentirá inclinado
a argumentar espontáneamente a propósito de este discurso, con el fin
de adoptar una postura al respecto, determinar el crédito que debe
concederse (p.297).
Descriptor
de nivel
Los estudiantes pueden recrear imágenes mentales y usarlas como mapas
de guía.
Indicadores de
nivel
Puede seguir un mapa de ruta simple con direcciones y distancias precisas.
Usa marcos generales que incluyen al observador y a las referencias.
Debe crear mapas y seguirlos, cuando se transforman aún las relaciones
espaciales
Puede justificar porque “algo” usando lenguaje de relaciones espaciales.
Busca en su discurso no formal y esfuerzo de pensamiento, reducción a lo
formal de la actividad propuesta
El análisis fue realizado a través del seguimiento de la trayectoria mediante rejillas que
realizan un estudio a priori y aposteriori de cada una de los niveles y actividades (ver nexo 1 y 2
ejemplo nivel uno), además se utilizó una rejilla evidenciando el resultado de cada una de las
actividades y si los procesos propios del pensamiento espacial se evidenciaban junto a la
argumentación, como lo muestra las tablas 10, 11, 12, 13 y 14, en el capítulo de análisis, y unas
gráficas (1,2,3,4 y 5) que muestran el avance de la trayectoria real de aprendizaje (TRA) en donde
55
se relacionan los procesos, la argumentación y su evolución por la trayectoria. Además, en un
segundo momento analizamos la presencia de argumentos cuasi-lógicos al desarrollar la THA a
partir de estas mismas, estas permiten realizar los análisis a-priori y a-posteriori en las actividades,
las cuales se registraron en los cuadernos de los estudiantes, y todas en registro fílmico.
Descripción de la población
El análisis se realizó con el curso 603 donde se encuentra niños con altas tazas de maltrato, en
condiciones de desplazamiento, indígenas y comunidades negras. En donde mi labor se esfuerza no
solo por reconocer el derecho a la identidad cultural, sino por comprender el contexto sociocultural
y económico de
Los grupos y las personas para entender los niveles de discriminación étnica, de
empobrecimiento histórico y sistemático, la desigualdad socio-económica, las barreras de acceso a
la participación política y a los espacios de poder y decisión.
Teniendo una distribución de niños con reconocimiento de maltrato del 3,84%, déficit cognitivo
leve con reconocimiento de la institución educativa mas no familiar del 3,84%, niños pertenecientes
a la población indígena 3,84%, niños de comunidades afro, negras, raizales o palanqueras, no todos
reconocidos dado el grado de re-victimización 15,38%, niños en condición de desplazamiento
30,76 % y un 34,61% de los estudiantes que se manifiestan no pertenece a ninguna comunidad en
particular protegida por el estado pero que es su mayoría son miembros de familias no funcionales.
La población en la que el estudio se realizo es considerada como vulnerable educativamente, se
trata de un colegio fundado hace 26 años ubicado en la localidad de Ciudad bolívar, que, según el
diagnóstico de los aspectos físicos, demográficos y socio-económicos publicado por la Secretaría
Distrital de Planeación. (2009, p, 10) estudio realizado para la alcaldía de Bogotá. La localidad está
ubicada al sur de la ciudad y limita, al norte, con la localidad de Bosa; al sur con la localidad de
Usme; al oriente, con la localidad de Tunjuelito y Usme y al occidente, con el municipio de Soacha.
Los cinco estudiantes que tomamos para el análisis tienen particularidades especificas marcadas
en su contexto académico, social y familiar, E1 es un estudiante dedicado, de familia nuclear, que
están pendiente de su proceso académico, social y personal; E2, es un estudiante repitente, a punto
56
de quedar en extra edad para el curso que cursa, con problemas de maltrato familiar y sin apoyo
alguno por parte de ellos en la parte social, familiar ni personal;E3 es un estudiante introvertido, con
una familia nuclear que presenta problemas en su conformación por las actividades económicas a
las que se dedican algunos de sus miembros, con graves problemas de atención incluso fue
reportado para que se le diagnosticará algún posible déficit cognitivo o síndrome; E4 es un
estudiante con un rendimiento académico aceptable y una parte convivencial normal para la edad
que tiene, posee una conformación familiar monoparental;E5 es un estudiante con rendimiento
académico, convivencial y deportivo en ascenso. Su familia es de composición nuclear con todas las
garantías de crecimiento social y personal. El estudio consta de cuatro mujeres y un hombre. Se
tenía otro estudiante hombre en estudio, pero por su rendimiento académico y extra edad, se le
otorgo por parte del colegio la promoción anticipada.
57
6. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Los casos que tomamos para el estudio de las TRA son cinco, los tomamos teniendo en cuenta
su asistencia constante al despliegue de las 21 actividades realizadas en la investigación, además sí
se podían acomodar a un tipo de población con necesidades especiales de atención, como lo
describimos en el capítulo anterior.
6.1. Verificación Y Cumplimiento De Hipótesis, Descriptores E Indicadores Para
Corroborar La Progresión De Procesos
Se usan en este capítulo términos tales como descriptores e indicadores, que son palabras técnicas
para validar la presencia de hipótesis, propuestas en los niveles de la trayectoria hipotética, para este
experimento de enseñanza. También se usan siglas destacan los procesos así:
UBESP = Ubicación espacial
LOESP = Localización espacial
RES = Representaciones del espacio
SISCO = Identificación de sistemas de coordenadas
ARG = Argumentación
Y las ya mencionadas en el trabajo THA y TRA
Verificación de procesos por estudiante
6.1.1. Estudiante Uno. E1
A partir de la gráfica 1 que vemos a continuación, se observa cómo avanzan los procesos por la
THA mientras avanza la TRA, por las diferentes actividades propuestas para el despliegue de la
trayectoria de Clements y Sarama (2005).
Vemos que todos los procesos se hacen presentes en E1, siendo los de Localización espacial,
representación del espacio y argumentación los que mejor tuvieron comportamiento y presencia en
el estudiantes, así como la ubicación espacial tuvo una participación muy volátil e irregular durante
el despliegue de la THA, y por finalizar observamos que el proceso de sistema de coordenadas
empieza en un lugar bajo, y durante casi toda la TRA mantiene ese nivel , lo que nos indica que
debemos mejorar en este estudiante la comprensión de este proceso.
Gráfica 1. E1 Progresión procesos
58
Hay evidencia que E1 tiene una trayectoria real de aprendizaje buena, dado que todos los
procesos se hacen presentes en la mayoría de los niveles, qué además casi todos terminan en
ascenso, y que algunos niveles donde no se evidencia algún proceso es porque las actividades al
parecer no propiciaban dichos procesos.
A continuación, describiremos algunas ocurrencias de eventos donde mostramos de la Tabla 10,
ayudado con algunas fotografías de evidencias de cada uno de los procesos.
Tabla 10. E1 Resultados de indicadores por proceso y nivel
PARTICIPANTES NÚMERO DE PROCESOS
INDICADORES
EVIDENCIADO
UBESP LOESP RES SISCO ARG
ESTUDIANTE
UNO E1
3 NIVEL 6 NIVEL
1,3,4,5,6,7
NIVEL
5
NIVEL 6 NIVEL
1,6,7
2 NIVEL
1,2,4,7
NIVEL 2 NIVEL
2,4,7
NIVEL3,7 NIVEL 3,5
1 NIVEL 3,
5
NIVEL
3,5
NIVEL 4 NIVEL2,4
0 NIVEL
1
NIVEL
1,2,5
En la tabla 10, es evidente que la aglomeración de cumplimiento de los procesos por niveles es alta
y aceptable dado que, en cuatro procesos, más de la mitad de los indicadores se cumplen en dos o
tres, siendo este el máximo a alcanzar, siendo el proceso de sistema de coordenadas el único en
donde los indicadores son deficiente o inexistentes en su mayoría.
El proceso en el que E1 tiene mejor desempeño es localización espacial, ubicando seis en lo
máximo y solo uno en aceptable.
0
5 , 0
1
5 , 1
2
5 , 2
3
5 3 ,
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
Estudiante E1
LOESP
UBESP
RES
SISCO
ARG
59
Ubicación espacial
Fotografía 1 Fotografía 2
Localización espacial
Fotografía 3
Fotografía 4
Representación del espacio
E1 está moviendo el puesto hacia su derecha, para ubicar el puesto donde desea recibir clase.
En la fotografía la estudiante está ubicando el puesto donde estaba sentada antes de empezar la actividad, a partir de indicaciones dadas por otro compañero.
E1 está dando su punto de vista acerca de cómo debe ir una serie de fichas para armar el rompecabezas del
colegio. Diciendo “estas van acá
porque el color del techo es el mismo”
En la fotografía, está describiendo
la ruta de su casa al colegio, utilizando palabras comunes entre sus compañeros como lo son: al lado, derecha, izquierda, pasa.
60
Sistema de coordenadas
Argumentación
Fotografía 6 Fotografía 5
En la fotografía cinco, la estudiante está representando el tablero de la batalla naval, y en él los objetos con los cuales se va a defender durante el juego
En la fotografía seis la estudiante está ubicando las fichas del circuito cerrado, para alcanzar un circuito de ocho fichas.
Fotografía 9
La estudiante mediante google maps está ubicando su casa, siguiendo con detenimiento la cuadricula que aparentemente se hace viendo las ciudades desde el satélite.
En esta oportunidad E1, está discutiendo con E5, acerca de cómo ubicar los puntos cardinales del salón, señalando en la fotografía de la derecha con su mano donde se ubica el norte.
Fotografía 7 y 8
61
Realizamos un apartado en el proceso de argumentación de cada estudiante, porque nos es
indispensable reconocer si hace presencia y si es posible identificar algún argumento cuasi-lógico
.6.1.2. Estudiante Dos. E2
A partir de la gráfica 2, debemos prestar atención cómo avanzan los procesos por la THA
mientras avanza la TRA, por las diferentes actividades propuestas para el despliegue de la
trayectoria de Clements y Sarama (2005).
Vemos que todos los procesos se hacen presentes en E2, siendo los de Localización espacial y
argumentación los que mejor tuvieron comportamiento en el estudiantes ya que empezaron con un
nivel alto y durante la trayectoria se mantuvieron con una presencia importante, la ubicación
espacial tuvo una participación muy estable durante el despliegue de la THA y podríamos decir su
presencia es aceptable, el proceso de sistema de coordenadas tuvo gran desarrollo y apropiación por
parte del estudiante como se puede ver en la gráfica, pues en los primeros niveles es nula la
presencia pero llega a un nivel máximo de presencia en el nivel seis, para luego ubicarse en
aceptablemente en la finalización de la TRA, y por finalizar observamos que el proceso de
representación del espacio empieza en un lugar nulo, y durante la TRA es muy irregular, siendo así
que tiene un pico de aparición en el nivel seis pero sin presencia en los niveles uno, cinco y siete. Gráfica 2. E2 Progresión procesos
Fotografía 10 Fotografía 11
En esta fotografía la estudiante está dando justificación del por qué la señalización debe ir en unos lugares específicos.
En esta actividad el estudiante describe la ruta que toma desde el colegio hasta la estación de cable aéreo las manitas, usando palabras que entienden sus compañeros y que son de uso frecuente entre ellos.
62
Estudiante E2
LOESP
UBESP
RES
SISCO
ARG
La gráfica evidencia que E2 tiene una trayectoria real de aprendizaje aceptable, dado que todos
los procesos se hacen presentes en la mayoría de los niveles, aunque esta presencia no es en ascenso
ni estable, la presencia de la mayoría de los procesos es irregular alcanzando entre ellos picos
máximos hasta la nulidad de su presencia. Además, todos terminan en descenso, lo que nos indica
que el proceso de esta estudiante es muy irregular.
A continuación, describiremos algunas ocurrencias de eventos donde mostramos de la Tabla 11,
ayudado con algunas fotografías de evidencias de cada uno de los procesos.
Tabla 11. E2 Resultados de indicadores por proceso y nivel
PARTICIPANTES NÚMERO DE
INDICADORES
EVIDENCIADO
PROCESOS
UBESP LOESP RES SISCO ARG
ESTUDIANTE
UNO E2
3 NIVEL
1,3,4,5,6,
NIVEL
6
NIVEL 6 NIVEL
5,6
2 NIVEL
2,3,4,6
NIVEL
2,7
NIVEL
2,3
NIVEL
5,7
NIVEL
1,3,4,7
1 NIVEL 1,
5,7
NIVEL
4
NIVEL
3,4
NIVEL 2
0 NIVEL
1,5,7
NIVEL
1,2
En la tabla 11, es observa una afluencia de cumplimiento de los procesos por niveles aceptable
dado que, en tres procesos, el indicador se cumple apenas aceptablemente o deficientemente, en el
proceso de representación del espacio la mayoría de los indicadores son nulos o deficientes. El
proceso en que E2 tiene mejor desempeño es localización espacial, ubicando en cinco niveles el
0
5 , 0
1
, 1 5
2
2 5 ,
3
, 5 3
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
63
máximo de los indicadores por proceso en la trayectoria y en dos niveles nivel aceptable. Ubicación
espacial
Localización espacial
Representación del espacio
Fotografía 12 Fotografía 13
E2, arrastra el puesto hacia delante
de ella para ubicar el puesto donde ella
desea recibir clase.
El estudiante está siguiendo instrucciones, que
otro compañero le da verbalmente, las
indicaciones son dadas con palabras de posición y
dirección, como; siga, pare, derecho, alto, así, por
la derecha, izquierda.
Fotografía 14 Fotografía 15
En esta actividad está describiendo la mejor
ruta que puede tomar desde su casa al colegio,
usando fra ses de localización; “salgo de mi
casa”, llego a la tienda y volteo”
E2 junto con E1, están discutiendo de
cómo van ubicadas unas fichas del
rompecabezas del colegio, localizando su
posición por el color de los techos.
64
Fotografía 16
Fotografía 17
Sistema de coordenadas
Se evidencia a E2, representando los
elementos de la batalla naval (cuadricula y
naves), para poder empezar el juego.
Fotografía 18 Fotografía 19
Acá E2 está señalando en donde debe ir
ubicado la letra S, después de mirar con E4
la brújula e interpretar el magnetismo de la
misma
E2, está buscando en esta actividad interpreta
el mapa de Ciudad de México, al buscar el
Zócalo y con el Street View, “caminar” por los
alrededores.
E2, está realizando un juego cuatro fichas
del circuito cerrado.
65
E2, aparentemente utiliza razonamientos que pueden aproximarsen a formales haciendo uso de
un estilo propio de expresarce.
6.1.3. Estudiante Tres. E3 Gráfica 3. E3 Progresión procesos
Estudiante E3
LOESP
UBESP
RES
SISCO
ARG
A partir de la gráfica 3, evidenciamos el avance los procesos por la THA mientras avanza la
TRA, por las diferentes actividades propuestas para el despliegue de la trayectoria de Clements y
Sarama (2005).
0
5 , 0
1
5 , 1
2
5 , 2
3
, 3 5
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
Fotografía 20 Fotografía 21
Argumentación
Trata a partir de un discurso común y con
palabras que indican dirección y lugares,
describir la ruta desde el colegio hasta la estación
Las manitas del transmi - cable. “salgo y cojo
derecho hasta que paso por el puente”
E2, muestra inconformidad por la
ubicación de una señal para llegar a la
parte administrativa del colegio, y
corporalmente señala otro punto.
66
Vemos que todos los procesos se hacen presentes en E3, siendo los de localización espacial y
argumentación los que tuvieron una presencia significativamente alta, durante todo el experimento
en el estudiante manteniéndose así hasta el final de al TRA ya que empezaron con un nivel alto, la
ubicación espacial tuvo una participación irregular y de tendencia a la baja incluso es llamativo que
en nivel 2 alcanza su máximo, para luego estabilizarse hacia durante el resto de la trayectoria,
podremos decir su presencia es insuficiente, pues solo en un nivel alcanza la totalidad de la
presencia.
Ya hablando respecto al proceso de sistema de coordenadas tuvo gran crecimiento y despliegue
de apropiación como muestra gráfica, pues en los primeros niveles es nula la presencia, pero llega a
un nivel máximo de presencia en los niveles 5, 6 y 7 en la finalización de la TRA. Observamos que
el proceso de representación del espacio no hace presencia al igual que en el nivel 7 de durante el
despliegue de la THA, y que su punto máximo de presencia es apenas aceptable y lo alcanza en
cuatro niveles, estando los restantes en un nivel de insuficiencia,
Tabla 12. E3 Resultados de indicadores por proceso y nivel
PARTICIPANTES
NÚMERO DE
INDICADORES
EVIDENCIADO
PROCESOS
UBESP LOESP RES SISCO ARG
ESTUDIANTE
UNO E3
3 NIVEL
2
NIVEL
1,2,3,4,5,6,
NIVEL
5,6
NIVEL 6
2 NIVEL
3,4
NIVEL 7 NIVEL
2,3,5,6
NIVEL
7
NIVEL
1,2,3,4,5,7
1 NIVEL
1, 5,6,7
NIVEL
4
NIVEL
3,4
0 NIVEL
1,7
NIVEL
1,2
En la tabla 12, es observa una afluencia de cumplimiento de los procesos por niveles aceptable,
aunque irregular, como se observa, pues los procesos de localización espacial y argumentación,
tiene un nivel de aceptable a alto.
En ubicación espacial la distribución es homogénea entre lo deficiente y la puntuación máxima,
pero tendiendo hacia lo deficiente lo cual no es un buen indicador para E3. Ya por terminar la
67
representación del espacio y sistema de coordenadas tiene una distribución hacia lo deficiente y la
no presencia de indicadores en dos niveles respectivamente.
Ubicación espacial
Localización espacial
Representación del espacio
Fotografía 22 Fotografía 21
E3, arrastra hacia él puesto y la silla
para ubicarlos en donde mejor se sienta
para recibir clase.
En este momento el estudiante trata de tener
referencia con los brazos estirados, dadas las
indicaci ones que le está dando otro
compañero para llegar al puesto donde inicio
clase.
Fotografía 23
Esta describiendo la mejor ruta que
puede tomar desde su casa al colegio,
usando palabras de localización y
ubicación
Fotografía 24
E3, está ubicando una fiche del
rompecabezas, tomando como
referencia el color de los techos
68
Sistemas de coordenadas
Fotografía 26 Fotografía 25
En esta foto se muestra que E4,
está ubicando una coordenada dentro
del juego.
Está realizando un juego de 10
fichas del circuito cerrado, siguiendo
las instrucciones del juego
Fotografía 28
En este momento E, está ubicando el
zócalo en el DF, para luego pro el Street
View, caminar por sus a lrededores
Fotografía 27
Luego de ubicar en la brújula el
norte procede a pegar la marca en a la
pared.
69
Argumentación
E3, como lo mencione antes, es un estudiante que tiene problema para relacionarse, por esto el
verlo discutir, defender sus puntos de vista y tratar de dar indicaciones a sus compañeros, lo
consideramos como un éxito profundo.
Fotografía 30 Fotografía 29
E4, está resaltando como llegar desde el
colegio hasta a la estación manitas del
transmi - cable, tomando como referencia
sitios comunes y la sede primaria donde el
realizó sus estudios.
Discutir acerca de dónde poner una
señal para orientar a los padres de familia,
hacia las oficinas de los administrativos.
70
6.1.4. Estudiante Cuatro. E4
Gráfica 4. E4 Progresión procesos
A partir de la gráfica 4, evidenciamos el avance los procesos por la THA mientras avanza la
TRA, por las diferentes actividades propuestas para el despliegue de la trayectoria de Clements y
Sarama (2005).
Vemos que todos los procesos se hacen presentes en E4, siendo el de localización espacial con
mayor presencia en todos los niveles y con ocurrencia alta en toda la TRA, empezó con máximo
nivel y se sostuvo estable durante seis niveles para ser aceptable en el nivel siete, la ubicación
espacial tuvo una participación irregular y de tendencia a la baja incluso es llamativo que en nivel 2
alcanza su máximo, para luego estabilizarse hacia la baja durante el resto de la trayectoria, tomando
un repecho insuficiente en el nivel siete, podremos decir su presencia es aceptable.
Ya hablando respecto al proceso de sistema de coordenadas tuvo gran crecimiento y despliegue de
apropiación como muestra la gráfica 4, pues en los primeros niveles es nula la presencia, pero llega a
un nivel máximo de presencia en los niveles seis y siete. Observamos que el proceso de
representación del espacio, la presencia es irregular y no presenta evidencias de apropiación, dado
que durante al trayectoria su presencia es aceptable, alcanzando un nivel máximo en el nivel seis,
pero descendiendo a ser nulo en el nivel siete, igualmente es nula su presencia en el nivel uno.
Terminando con la argumentación, hace presencia aceptable durante seis niveles de la
trayectoria, alcanzando la presencia máxima, en el nivel seis. Entendiendo que es estable y poco
creciente su apropiación.
Tabla 13. E4 Resultados de indicadores por proceso y nivel
PARTICIPANTES NÚMERO DE
INDICADORES
EVIDENCIADO
PROCESOS
UBESP LOESP RES SISCO ARG
0
5 , 0
1
, 1 5
2
5 , 2
3
3 , 5
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
Estudiante E4
LOESP
UBESP
RES
SISCO
ARG
71
ESTUDIANTE
UNO E4
3 NIVEL
2
NIVEL
1,2,3,4,5,6,
NIVEL
6
NIVEL
6,7
NIVEL 6
2 NIVEL
3,4
NIVEL 7 NIVEL
2,3,5
NIVEL
5
NIVEL
1,2,3,4,5,7
1 NIVEL
1, 5,7
NIVEL
4
NIVEL
4,3
0 NIVEL
6
NIVEL
1,7
NIVEL
1,2
En la tabla 13, se contempla una distribución escalonada en tres de los procesos, con una
afluencia entre lo aceptable y lo deficiente, y como se observa, los procesos de localización espacial
y argumentación, tiene un nivel de aceptable a alto.
Ubicación espacial
Fotografía 31 Fotografía 32
E4, arrastra el puesto y lo acomoda en
donde quiere recibir la clase.
Con los ojos tapados E4 sigue
instrucciones para llegar al puesto
donde recibirá la clase.
72
Representación del espacio
Sistema de coordenadas
Fotografía 34
Fotografía 33
Localización espacial
Se observa como describe la mejor
ruta entre su casa y el colegio, usando
expresiones de ubicación y localización,
como “derecha, izquierda, llego a la
esquina, paso por el tierrero”
E4, discute con E5, acerca de cómo
poner una ficha del rompecabezas, si va
más arriba, o abajo, al lado de la cancha o
del parqueadero.
Fotografía 35 Fotografía 36
E5, está ubicando una coordenada que un
compañero le dio para ser tachada, todo
durante el juego.
Está realizando un circuito cerrado
de 10 fichas,
73
Argumentación
Fotografía 39 Fotografía 40
6.1.5. Estudiante Cinco. E5
Gráfica 5. E5 Progresión procesos
Fotografía 38 Fotografía 37
E4, señala la pared como punto de
referencia luego que con E2, ubicaran
en la brújula el sur.
En google maps, E4 trata de ubicar
el barrio villa Gloria, para luego ubicar
desde el satélite su casa.
En el escrito E4, muestra una posible
ruta entre el colegio y la estación las
manitas del transmi - cable, daño
instrucciones de lugares por donde se
debe pasar, voltear y direcciones de
derecha e izquierda
E4 junto con E1, dialogan acerca con
los demás compañeros acerca de dó nde
debe ir ubicado el último cartel que
direcciona a las personas hacia la parte
administrativa del colegio.
74
A partir de la gráfica 5, evidenciamos el avance los procesos por la THA mientras avanza la
TRA, por las diferentes actividades propuestas para el despliegue de la trayectoria de Clements y
Sarama (2005).
Vemos que todos los procesos se hacen presentes en E5, siendo el de localización espacial con
mayor presencia en todos los niveles y con ocurrencia alta en toda la TRA, sobretodo en los niveles
uno, tres, cuatro, cinco y seis, aunque en los dos niveles que no alcanzo el máximo su presencia no
es despreciable y alcanza un nivel aceptable, lo que indica una apropiación por parte del estudiante.
La ubicación espacial se evidencia una tendencia a la baja a partir del nivel tres, de donde viene
estable con una presencia aceptable. Y termina sin presencia alguna en el nivel siete. Pasando,
respecto al proceso de sistema de coordenadas tuvo gran crecimiento y despliegue de apropiación
como muestra la gráfica 4, pues en los primeros niveles es nula la presencia, pero llega a un nivel
máximo de presencia en los niveles seis y siete. Observamos que el proceso de representación del
espacio, la presencia es irregular y no presenta videncias de apropiación, dado que durante al
trayectoria su presencia es aceptable, alcanzando un nivel máximo de presencia aceptable en los
niveles dos, tres y seis, pero descendiendo a ser nulo en el nivel siete tanto que en el nivel uno inicio
igual.
Terminando con la argumentación, hace presencia aceptable durante cuatro nieles de la trayectoria,
alcanzando la presencia máxima al final de la trayectoria, niveles cinco, seis y siete.
Tabla 14. E5 Resultados de indicadores por proceso y nivel
PARTICIPANTES NÚMERO DE
INDICADORES
EVIDENCIADO
PROCESOS
UBESP LOESP RES SISCO ARG
0
5 , 0
1
5 , 1
2
2 , 5
3
5 , 3
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
Estudiante E5
LOESP
UBESP
RES
SISCO
ARG
75
ESTUDIANTE
Cinco
E5
3 NIVEL
1,3,4,5,6
NIVEL
6
NIVEL
6,7
NIVEL
5,6,7
2 NIVEL
2,3,4,
NIVEL
2,7
NIVEL
2,3,5
NIVEL
5
NIVEL
2,3,4
1 NIVEL
1,5,7
NIVEL
4,5
NIVEL
4,3
NIVEL
1
0 NIVEL
6
NIVEL
1,7
NIVEL
1,2
En la tabla 14, es observa una acumulación de no cumplimiento de los procesos dado que en tres de
los procesos la mayoría de indicadores tienen hacia la baja aparición de los mismo y teniendo más
de la mitad de los indicadores en indicadores deficientes y nulos.
Contrastando la situación de los procesos localización espacial y argumentación que tienen un nivel
de aparición sobresaliente, y sin ningún indicador por debajo de aceptable.
Ubicación espacial
Localización espacial
Fotografía 42 Fotografía 41
E5, ubica el puesto en el lugar
donde le gustaría recibir la clase, luego
de arrastrar y halar el puesto
Se encuentra con un obstáculo, en
cuanto sigue instrucciones que un
compañero le da, para llegar s su puesto
76
Representación del espacio
Fotografía 43
Describe la ruta entre su casa y el
colegio usado palabras que implican
dirección y posición, como: derecho, sigo,
llego, volteo.
Fotografía 46 Fotografía 45
E5, está trazando las líneas para realizar
el cuadro de la batalla naval y así
representar el espacio donde ubicara los
barcos para el desarrollo del juego.
E5, le explica a otro profesor como se
juega el circuito cerrado, además de
mostrarle un circuito de 9 fichas .
Fotografía 44
E5, está ubicando un a ficha del rompecabezas
del colegio, localizando en ella la parte del techo
de un colegio que es conjunto al nuestro.
77
Argumentación
6.2. ANÁLISIS Y RESULTADOS EN ARGUMENTACIÓN
Fotografía 48 Fotografías 47
Sistema de coordenadas
La derecha se ve a E1 y E5, observando
l a brújula, para luego señalar como en la
izquierda donde quedan lo s puntos
cardinales del espacio
En este momento E5, está ubicando
en google maps como llega al zócalo de
Ciudad de México.
Fotografía 40 Fotografía 39
E5, describe con lenguaje común la ruta
entre el colegio y la estación Las manitas del
transmi - cable,
E5 conversa junto con E1 y E4, acerca de
cómo ubicar los carteles y la orientación de las
flechas, para que la comunidad educativa
llegue a la parte administrativa.
78
Realizamos un apartado en el proceso de argumentación de cada estudiante, porque nos es
indispensable reconocer si hace presencia y si es posible identificar algún argumento cuasi-lógico y
dar respuesta así a nuestros objetivos.
En la tabla 15 mostramos las hipótesis que trabajamos por nivel y que se trabajan durante toda la
TR.
Tabla 15Niveles hipotesis
N HIPÓTESIS
1 Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia de un lenguaje común,
de una técnica que permita la comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, P. 49).
2 Se entiende que afirman que algo vale más que otra cosa por razones cuantitativas, que
constituye una mayoría sobre entendida, pero sin la cual la conclusión no estaría
fundamentada.(Perelman & Olbrechts, 1989 p.149)
3 Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia de un lenguaje común,
de una técnica que permita la comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, P. 49).
4 Cuando se comprueba un acuerdo, podemos suponer que se basa en lugares más generales
admitidos por los interlocutores. Sin embargo, para indicarlos , sería necesario recurrir a hipótesis
que sólo fueran evidentes.(p.146)
5 El discurso persuasivo produce efectos por su inserción, como un todo, en una situación, de por
sí bastante compleja a menudo (Perelman & Olbrechts, 1989 p.295)
6 Mientras el orador argumenta, el oyente, a su vez, se sentirá inclinado a argumentar
espontáneamente a propósito de este discurso, con el fin de adoptar una postura al respecto,
determinar el crédito que debe concederse (p. 297)
7 Debemos desarrollar la sensibilidad hacia la diferencia, que permita entender la complejidad de
la diversidad y proponerla como condición de existencia natural para reconocer los derechos de las
poblaciones a coexistir de forma individual y grupal. (León, 2013, p.39).
En la tabla 16 mostramos la relación que hay entre los niveles e hipótesis de la tabla 14, en
relación con los indicadores que buscamos en cada una de las 21 actividades.
15 Tabla 16Niveles indicadores de nivel
N INDICADORES
79
1 Usa vocabulario como, “en” “dentro” “debajo” “arriba”
Utiliza un lenguaje común, que parece indispensable para una argumentación (P. 51)
2 Quieren que los demás, los tengan en cuenta, desean que no se les ordene más, que se les razone,
que se les considere miembros de una sociedad. (p. 51)
3 Forma parte de un mismo medio que facilita la relación de las condiciones previas del contacto
intelectual. (p. 52)
4 Concede valores que reconoce, de hechos sobre los que se señala su conformidad que hacen
parte de una argumentación (p. 184)
5 Consigue aumentar la intensidad de adhesión de manera que desencadene en sus compañeros la
acción prevista (p. 91)
6 Busca lugares comunes en la discusión con sus compañeros
7 Puede justificar porque “algo” usando lenguaje de relaciones espaciales.
Busca en su discurso no formal y esfuerzo de pensamiento, reducción a lo formal de la actividad
propuesta
En la tabla 17 mostramos la relación de las actividades, tres por nivel, con cada nivel de
desarrollo de la THA, con el ánimo de tener una idea de cómo se desarrolló coda actividad y cada
nivel.
Tabla 17 Niveles actividades
NIVEL ACTIVIDAD
1 Usuario de camino y punto de
referencia
Ubicación en el salón
Golosa
Busquemos el puesto
2 Usuario de
referencia local
propia
Ruta de la casa al colegio dibujo
Realizar ruta de una zona del colegio a otra
Llevar mapa del barrio y buscar mejoras de la ruta colegio casa
3 Usuario de
referencia local
pequeña
Plano google maps plotter
Ruta cable aéreo
Cubos
4 Usuario de
referencia local
¿Señalizar, Dónde quedan las oficinas del colegio?
Caras solidos
Utilizando google Maps
Juego Batalla naval
80
5 Usuario de
mapas
horizontal-vertical Juego circuito cerrado
Tutorial para elaborar mapas
6 trazador de
coordenadas
El sol como punto de referencia
ubicando puntos cardinales
Reconociendo campos magnéticos
7 Seguidor de
mapa de ruta
Planeando un viaje a Chingaza
Ruta soñada
Interpretando calles, carreras y diagonales en una ruta
Luego de tener definido lo que buscamos a partir de las hipótesis asociadas a la argumentación, tabla
15, y lo que buscamos que los estudiantes muestren con indicadores, tabla 16, al realizar el análisis
priori y la con ayuda de la sistematización asociamos algunos argumentos cuasi-lógicos a os niveles de
al THA cuando la comparamos con la TR
No significan que solo estos argumentos hagan presencia, o que solo se evidencien de la manera
que más adelante mostramos, solamente fue un acercamiento a algunos que fueron los más evidentes
y relacionamos en la tabla 18.
Tabla 18 Niveles y actividades
NIVEL ARGUMENTOS EVIDENCIADOS
1 Usuario de camino y
punto de referencia Regla de justicia, Identidad
2 Usuario de referencia
local propia
Parte todo, Regla de justicia
3 Usuario de referencia
local pequeña Parte todo, Identidad, Comparación
4 Usuario de referencia
local Parte todo, Regla de justicia
5 Usuario de mapas Parte todo, Identidad
6 trazador de
coordenadas Parte todo, Identidad,
7 Seguidor de mapa de
ruta
Parte todo, Regla de justicia, Identidad, Comparación
6.2.1. Estudiante Uno. E1
En la presentación de los estudiantes frente a este tipo de argumentación especialmete en E1, se
muestran de una forma explicita, unas veces utilizando los razonamientos que tienden a ser
formales haciendo uso del prestigio de este tipo de pensamientos.
81
Gráfica 6. E1 Progresión Argumentación,
Es así que lo representado en la gráfica 6, se puede ver en la trayectoria real de aprendizaje,
(línea azul petrolero) de la argumentación que, en el primer nivel tiene una presencia muy fuerte, así
como en el nivel seis y siete, dada la apropiación de un lenguaje común, y que en los niveles que le
demandan a E1 tener una aproximación a los cuasi-lógicos, su respuesta es buena en cinco de los
siete niveles.
E1 a partir de su recorrido por la THA, podemos identificar el resultado en una TRA, lo
podríamos pensar en que el estudiante usa o establece alguna técnica para poder expresarse frente a
sus compañeros y docente. Esto por lo evidenciado en el estado de discursividad que aumenta con
el pasar de este por la TRA del estudiante, en la tabla 10 vemos como E1 estudiante tiene una
aproximación al cuasi-lógico de análisis (Se trata de descomponer las partes de un todo para
recomponerlo y así comprenderlo) en los niveles 1,2,3,6 y 7, como se muestra en la fotografía 51
En donde la estudiante describe la ruta entre su casa y el colegio, lo descompone señalando lugares
y direcciones. Cuasi-lógico de análisis (se trata de descomponer las partes de un todo para
recomponerlo y así comprenderlo). En el nivel 4 y 5, como se observa en la tabla 10, con evidencia
en la fotografía 52, al cuasi-lógico de absurdo (Una forma de condenar Una conducta que no se la
juzga bastante grave o peligrosa para reprimirla por medios más violentos
“Si entre la casa del lado es de color azul y la del otro lado es como roja, mi casa es de dos pisos y de
color azul. Cuando salgo de mi casa voy derecho y luego doy una vuelta a la derecha y luego sigo
derecho, paso por frente muchas cosas pintadas, como tres personas sigo derecho hasta pasar por el
puente y sigo derecho, paso luego el parque y sigo derecho y doy una vuelta a la izquierda y sigo
derecho y llego al colegio.”
0
5 , 0
1
1 5 ,
2
, 2 5
3
5 , 3
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
Estudiante E1
ARG
82
La estudiante va señalando el punto donde ella cree
debería ir una señal de la localización de las oficinas del
colegio, y con risa desaprueba lo dicho por otro
compañero acerca de la ubicación de la misma señal
En la fotografia 53 y vemos que el cuasi-lógico de
reciprocidad se muestra Sí a con b, b con a. la regla de
justicia es indirecta. Son los cuasi-lógicos que parecen más
formales y están fundamentas en la naturaleza de las cosas.
También pueden surgir de la transposición de los puntos de
vista, transposición que permite reconocer, a través de su
simetría, la identidad de ciertas situaciones. Quiere ser una
norma y no como propiedad de una relación
E1 nos muestra como el el laptop , ella como pretende
aplicar el mismo tratamiento a dos situaciones que forman
pareja, dado que está buscando a Colombia en el google
maps, para luego ubicar a Bogotá y por último su casa, y
aquí es evidente que si busca a Colombia, es porque
Bogotá y su casa está relacionado con Colombia,
6.2.2. Estudiante Dos. E2
Como se muestra en la gráfica siete, se puede evidenciar
en la trayectoria real de aprendizaje, (línea azul petrolero)
de la argumentación que, en el primer nivel tiene una
presencia aceptable como en casi toda la trayectoria aunque siempre es ascendente y que el en el
nivel seis y siete alcanza sus puntos máximos, y dado que aparentemente el género discursivo que
maneja E2 es igual de sus compañeros, podemos vislumbrar el acercamiento a los argumentos cuasi-
lógicos, su evidencia es buena en seis de los siete niveles.
83
E2 a partir de su recorrido por la THA, podemos identificar el resultado en una TRA, podríamos
pensar en que establece alguna técnica para poder expresarse frente a sus compañeros y docente, esto
dadas las evidencias en donde el contacto verbal de E2 es asertivo, aunque en ocasiones no
persuasivo. En la fotografía 54, E2 muestra un manejo de
un lenguaje común con sus compañeros
Al seguir instrucciones E2, muestra una apropiación de
lenguaje común, que es visto como una necesidad primordial y
a-priori de la argumentación en cualquiera de sus
interpretaciones, dado que es el nivel uno de la THA, la
estudiantes sigue instrucciones con palabras que le indican
movimiento, lugar y dirección, como lo son, alto, siga,
derecho, allí, arriba, derecha, e izquierda.
E2 en la fotografía 55, tiene una aproximación al cuasi-
lógico de inclusión de la parte en el todo, (limita a tener en
cuenta la inclusión de las partes de un todo - los que valen la división del todo en partes y de las
relaciones entre las partes resultantes) en el nivel tres
En donde la estudiante toma fichas de un rompecabezas para
armarlo con sus compañeros, y como resultado de esa
discusión se genera un vínculo para llevar a cabo la
actividad, tomando en cuenta la forma de las
representaciones dentro de los rectángulos del rompecabezas
y cantidad en manera de saber que si hace falta una ficha es
0
5 , 0
1
5 , 1
2
5 , 2
3
5 , 3
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
Estudiante E2
ARG
Gráfica 6 E2 Progresión argumentación
84
porque está incompleto el mismo, o que entre dos, tres o
más fichas deben ir otra u otras que casen perfectamente en
el, pues si no tuvieran un lenguaje común sería imposible
la consecución del rompecabezas.
Se evidencia un cuasi-lógico de reciprocidad (quiere ser una
norma y no como propiedad de una relación) en el nivel cuatro,
cinco, seis y siete, fotografía 57, Reconocer los puntos cardinales
siguiendo el magnetismo de la brújula, así mismo en la actividad
de buscar en el google maps.
En donde al ubicar señales para orientar a los
demás como llegar a la parte administrativa del
colegio evidencia en la fotografía 56, y en el
entender y señalar coordenadas en la batalla
naval
6.2.3. Estudiante Tres. E3
Aun así, y como se muestra en la gráfica ocho,
tiene un comportamiento aceptable durante el
despliegue la de trayectoria incluso alcanzando en
el nivel seis el máximo de indicadores, lo que nos
indica que puede acercarse a ciertos argumentos cuasi-lógicos.
0
5 0 ,
1
, 1 5
2
5 , 2
3
, 5 3
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
Estudiante E3
ARG
Gráfica 7 E 3 Progresión argumentación
85
Podemos ver en los videos y fotografías que es un estudiante asertivo y persuasivo. En la
fotografía 58, vemos a E3 en la actividad seguir instrucciones para llegar al puesto.
Al seguir instrucciones E3, muestra una
apropiación de lenguaje común que es necesario para
lograr una argumentación en cualquiera de sus
interpretaciones, el estudiante sigue instrucciones con
palabras que le indican movimiento, lugar y dirección,
como lo son, alto, siga, derecho, allí, arriba, derecha, e
izquierda.
En la fotografía 59, E3 está realizando la actividad de circuito cerrado del nivel cinco, teniendo
discursos que podríamos comparar con el indicador de existencia de un argumento de comparación
(constataciones de hecho, mientras que la relación de igualdad o de desigualdad confirmada a menudo
sólo constituye una pretensión del orador),
Posee una gran aproximación a las estructuras
matemáticas cuando explica el circuito cerrado a un
profesor que llega en ese momento, lo que proporciona
una gran parte de su fuerza persuasiva en el momento de
justificar la posición de las fichas y el seguimiento de las
instrucciones del juego.
Luego en la fotografía 60, se evidencia que se acerca a un argumento de identidad y definición
(definiciones Descriptivas, señalan cuál es el sentido concedido a una palabra en cierto ambiente;
definiciones de condensación, muestran los elementos esenciales de la definición descriptiva), en
donde describe la ruta entre su casa y el colegio, también en otra actividad muestra cómo se llega
desde el colegio a la estación manitas del Transmicable.
86
Cuando, E3, comienza a describir la ruta que realiza de
la casa al colegio nivel cuatro, y la posible ruta del
colegio a la estación manitas nivel tres. Otorgándole a
las palabras que escribe cualidades de ubicación,
localización y dirección. “salgo de mi casa y paso
derecho, ojo derecho hasta la esquina mía, y cojo el
puente, lo paso y paso el tierrero, sigo derecho por las
canchas, sigo derecho hasta el colegio y llego”
6.2.4. Estudiante Cuatro. E4
E4, tiene una forma de razonar que se asemeja a
los argumentos cuasi-lógicos, y además los usa de
una manera constante como lo muestra la gráfica
nueve , se puede ver en la trayectoria real de
aprendizaje, (línea azul petrolero), en donde la aparición de la argumentación en la trayectoria es
aceptable, y durante la apicación de la misma tiene una evoluvión a la alza.
Gráfica 8E4Progresión argumentación
E4 en la fotografía 61, muestra una aproximación al cuasi-lógico de inclusión de la parte en el
todo, (limita a tener en cuenta la inclusión de las partes de un todo - los que valen la división del todo
en partes y de las relaciones entre las partes resultantes)
0
, 0 5
1
5 , 1
2
5 2 ,
3
5 , 3
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
Estudiante E4
ARG
87
Discute con E5, acerca de cómo poner una ficha del
rompecabezas, si va más arriba, o abajo, al lado de la
cancha o del parqueadero.
En el nivel tres, en donde la estudiante toma fichas de un
rompecabezas para armarlo con sus compañeros, y como resultado
arman el rompecabezas, teniendo en cuenta los primero los
lugares sociales y de esparcimiento del colegio, luego el color de
los techos y por último las calles, carreras y transversales que
delimitan el colegio.
En la fotografía 62, E4 muestra un lenguaje común, que
es necesario para lograr una argumentación en cualquiera de
sus interpretaciones, el estudiante trata de dar instrucciones
con palabras que le indican movimiento, lugar y dirección
“Para yo llegar al colegio, bajo escaleras, luego almuerzo,
luego sigo derecho, luego volteo a la derecha sigo cuadras por
el lado de la panadería y ahí está el colegio bajo un poquito y
llego a la puerta del colegio“
88
Observamos que E4 muestra en la TRA una aproximación al cuasi-lógico de reciprocidad
(Propiedad de las relaciones si a con b, b con a.), que se evidencia en la fotografía 61, en donde el
grupo de estudiantes deben ubicar una serie de 8 letreros, donde orientan a los visitantes desde a la
puerta hasta las oficinas administrativas del colegio. Y es allí donde comienzan a generar una serie
de comentarios, en la cual cada uno pretende a asociar los lugares comunes del colegio y zonas en
donde la visualización de los letreros sea clara y precise el
camino hacia las oficinas.
E4 asocia la dirección de la flecha al indicar con la
mano el lugar donde se ubican las oficinas administrativas
del colegio, lo que indica que, si la flecha indica hacia un
lugar, allí deben estar las oficinas, y si estoy en las oficinas
la dirección de la flecha indica una quiere ser una norma y
no como propiedad de una relación
6.2.5. Estudiante Cinco. E5
En la presentación de los análisis E5, muestra una forma
explicita, de razonamientos que los asociamos con la técnica
de los cuasi-lógicos, y además los usa de una manera constante como lo muestra la gráfica diez , se
puede ver en la trayectoria real de aprendizaje, (línea azul petrolero), en donde la aparición de la
argumentación en la trayectoria es deficiente, pero a travez del despliege de la misma tiene una
evoluvión a la alza en consecucion de los indicadores sobre todo en los ultimos niveles en que la
argumentación es el principal proceso que se evidencia, llegando a identificar por parte nuestra lo que
podrian ser argumentos cuasi-lógicos.
Gráfica 9E5 Progresión argumentación
0
, 0 5
1
5 , 1
2
5 2 ,
3
5 , 3
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4 NIVEL 5 NIVEL 6 NIVEL 7
Estudiante E5
ARG
89
Es así que lo mostrado en la fotografía 62, vemos que E5 muestra en la TRA una
aproximación al argumento cuasi-lógico de la regla de justicia (y si a cosas iguales se quitan
cosas iguales, los restos son iguales también. Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre
sí. Euclides. (l.i, p. 199-200)).
En donde muestra que es capaz de identificar lugares
notorios del colegio, como el parqueadero, canchas de
futbol y baños, y desde esa interpretación, lograr ubicar
las fichas que son juego, entre otras sin importar su
cantidad, para lograr así armar el rompecabezas.
en donde es consiente que una ficha del rompecabezas es parte
de un todo, y desde allí comienza
a asociar los lugares comunes del colegio, para indicar
dónde debe o no debe ir ciertas fichas, siendo esta
actividad del nivel tres.
Luego en la fotografía 63, percibimos a E5 en la actividad del circuito cerrado justificando un
circuito de 11 fichas, del nivel cinco de aplicación de la trayectoria, teniendo discursos que se
asemejan a un argumento de comparación (constataciones de hecho, mientras que la relación de
igualdad o de desigualdad confirmada a menudo sólo constituye
una pretensión del orador),
Dado que tiene una gran aproximación a las estructuras
matemáticas cuando explica el circuito cerrado, mostrando su
fuerza de persuasión en el momento de justificar la posición
de las fichas y el seguimiento de las instrucciones del juego.
Además, teniendo en cuenta que toda comparación puede de
alguna forma, descalificarse, porque desdeña la unicidad de
los objetos incomparables, como por ejemplo la indicación de
la dirección y cantidad de puntos de las fichas, en el caso de haberla ubicado mal y no
cumple las reglas establecidas del juego.
90
En las fotografías 64 y 65 vemos como E5, muestra características del cuasi-lógico de análisis
(Se trata de descomponer las partes de un todo para recomponerlo y así comprenderlo) en los niveles
1,2,3,6 y 7, en donde la estudiante descompone la ruta entre la estación del transmi-cable al colegio,
la posible ruta que toma todos los días desde su casa al colegio, muestra una descomposición en la
forma de referirse a ellas a partir de señalar calles, lugares y direcciones, en donde les da atributos
de ubicación, localización y dirección.
“Salgo del colegio, cojo a la izquierda, sigo derecho
paso tres esquinas lego cojo la de subida caminando
llego a una cancha del tierrero, paso un puente y luego
subo y llego”
91
CONCLUSIONES
Como reflexión final de este trabajo de investigación, se plantean unas conclusiones a partir de
los objetivos del trabajo, el diseño metodológico usado, los procesos involucrados en el desarrollo
de la THA incluido el de la argumentación, y los resultados obtenidos del mismo a partir de la
observación, análisis y comparación de las acciones realizadas por ellos, además de tomar sus
discursos y lenguaje corporal como recursos al tratar de expresar algo.
Objetivo general
Caracterizar la formulación de argumentos cuasi-lógicos en niños de grado sexto, a partir de THA
del espacio.
A partir de los resultados obtenidos pudimos caracterizar argumentos de tipo cuasi-lógico como
se muestra en el análisis de resultados en los estudiantes 1,2,3,4 y 5. Que utilizan palabras que
indican dirección, orden, y ubicación, aunque faltaría pensar en cómo potencializarlos y hacer una
transición hacia el racionamiento formal que los mismos argumentos lo demandan, evidenciamos
que al realizar actividades que propicien la orientación espacial, se generan discursos entre ellos que
cumplen una estructura cuasi-lógica desde sus experiencias como usuarios de referencia basándose
en sí mismo y en lo externo.
La complejidad y niveles de las THA hacen que las actividades propuestas sean diseñadas con
mucho más cuidado y complejidad que las del nivel anterior, lo que presupone que los estudiantes
demanden más experiencia y razonamiento para desarrollarlas, que implica al mismo tiempo desarrollar
un nivel nuevo de discursividad en su lenguaje común para justificar el porqué de las acciones
realizadas al resolver las actividades, y así forzarlos para que sus razones se conviertan en argumentos
que vislumbran cualidades de cuasi-lógicos
Teniendo en cuenta las acciones realizadas por los estudiantes a los cuales les fue aplicada la Se
caracterizan aproximaciones de argumentos cuasi-lógicos a partir de los discursos y expresiones
corporales (gestos) de los estudiantes, al plantearse 21 actividades, en donde se buscaba que los
estudiantes pusieran a prueba la apropiación de los procesos vinculados al pensamiento espacial
más específicamente a la orientación espacial, como lo son ubicación espacial, localización
espacial, representación del espacio y sistemas de coordenadas, cuando se despliega la trayectoria
hipotética de aprendizaje.
Objetivo específico 1
Consolidar una THA del espacio en niños de sexto con hipótesis de procesos de argumentación
matemático.
92
Al tomar como referencia la THA de Clemens y Sarama, que al mismo tiempo fortalecimos con
hipótesis, indicadores, descriptores y actividades para lograr una meta matemática, tomados de ellos
mismos, que en este caso era el pensamiento espacial, más específicamente en la orientación
espacial. Consolidamos los resultados obtenidos en grado sexto de la THA propuesta, y además
mostramos avances excelsos de cómo abordar situaciones propias de la orientación espacial y el
cómo son provechosas para el aprendizaje de los estudiantes en un colegio de ciudad Bolívar.
Así, se robusteció la THA del espacio, además con hipótesis de meta asociadas a la
argumentación, a partir de hipótesis de meta complementarias estudiadas y adaptadas de Perelman &
Olbrechts (1989).
Hipótesis de meta
El pensamiento espacial es una habilidad humana esencial que contribuye al desarrollo de
habilidades matemáticas. Sin embrago, el papel que tiene esta habilidad es difícil de alcanzar, e
incluso se vuelve complejo en cuanto a la geometría. Siendo una de las habilidades principales la
orientación espacial, con la cual se pretende mejorar el conocimiento del lugar donde nos encontramos
y cómo nos podemos desplazar alrededor del mundo (p.174)
Hipótesis de meta adicional referente a la orientación espacial
La orientación espacial es vista como el conocimiento del lugar donde nos encontramos y cómo
nos podemos desplazar alrededor del mundo. “COMO RECORDAMOS LAS COSAS”, siendo un
dominio básico desde el nacimiento, en donde los seres humanos usamos las formas de su entorno
para resolver tareas de ubicación, es una competencia que debe desarrollarse con la experiencia y la
influencia sociocultural. (p. 175)
Hipótesis de meta adicional referente a la argumentación
Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia de un lenguaje común,
de una técnica que permita la comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, P, 49).
Las hipótesis florecieron y estuvieron presente durante el despliegue e implementación de la
THA, y se justificó su uso al encontrarse en el análisis del trabajo realizado por los estudiantes
síntomas de la existencia de los procesos que identifican el pensamiento espacial y la
argumentación, así mismo se evidenciaron las hipótesis de nivel, los descriptores e indicadores de
nivel.
Objetivo específico 2
Gestionar didácticamente la THA del espacio en un grado sexto
Al aplicar 21 actividades, tres por nivel, cumpliendo una meta matemática, una meta
argumentativa y unos indicadores de existencia de los procesos propios de la orientación espacial,
como se muestra en el marco teórico y su presencia en el análisis y resultados. Consideramos que la
93
gestión ha sido prolífica para la teoría de las THA, para la enseñanza de la orientación espacial y
sobretodo en el aprendizaje de los estudiantes que día a día se enfrentan en situaciones cotidianas al
pensamiento espacial y la orientación espacial, como se muestra en la progresión de la trayectoria
de los cinco estudiantes que analizamos y se evidencia en las gráficas 1, 2, 3,4, y 5. Donde el
desarrollo de los desempeños junto con los procesos que se ponen en juego cuando se desarrolla una
actividad del pensamiento espacial son evidentes y tienen a mejorarse con el paso de los diferentes
niveles de la THA.
Al formalizar la THA del espacio enalteciéndola con hipótesis complementarias del pensamiento
espacial y referente a la argumentación cuasi-lógica. De esta gestión se propone que se trabaje en
bachillerato y que al buscar una interacción directa con la argumentación potencializa la THA,
potencializa los procesos adscritos, potencializa la discursividad de los estudiantes y el resultado es
una TRA grupal e individual encantadora llena de cosas por analizar, sistematizar y mostrar, como lo
muestran las gráficas 1, 2, 3, 4 y 5, así como las tablas 10, 11, 12, 13 y 14.
Objetivo específico 3
Identificar trayectorias reales de aprendizaje del espacio en niños de grado sexto.
En la consecución de resultados a partir del despliegue de la THA, observamos cómo cada
estudiante consolida una ruta personal del aprendizaje, observado desde el punto cómo afronta cada
actividad, además de cómo la desarrolla y va apropiándose de experiencias para transitar por la
THA, obteniendo al final una TR, en donde el flujo de información se condensa en el modo como
pasa de nivel en nivel, apropiándose de un lenguaje propio del pensamiento espacial, apropiándose
de nuevas formas de defender su criterio, desarrollado durante la TR.
Sin embargo, aún podemos evidenciar que, de la parte argumentativa se consolida una ruta que
amplía el género discursivo de los estudiantes, con lo cual podemos afirmar que se generaron cinco
trayectorias reales de aprendizaje por estudiante teniendo en cuanta la argumentación, que se
plasman en las gráficas 1,2,3,4 y 5, además de los tablas 10,11,12,13, y 14 del presente trabajo;
pero aun así sabemos que se consolidan gracias a la propuesta dada por Clements y Sarama (2009)
Al mostrar en el análisis que los estudiante desarrollan las TRA, y que su capacidad de aprendizaje,
de exhibir procesos, actitudes y habilidades a partir de lo que son capaces de hacer con una instrucción
apropiada, es suficiente para transitar por los niveles de la trayectoria y así plantear individualmente
una TRA como la proponen Clements y Sarama (2009).
Objetivo específico 4
Identificar estructuras de argumentos cuasi-lógicos en trayectorias reales.
En el capítulo de análisis se hace clara referencia por estudiante a los argumentos cuasi-lógicos
a los que se aproximan los estudiantes al avanzar en su TR, y en que en los anexos mostramos
fotografías ampliadas por estudiante para leer dichas estructuras, En el análisis mostramos
evidencia que las trayectorias reales de aprendizaje existen y son ciertas, que a partir de las
94
experiencias y habilidades que cada estudiante utilizó al realizar las actividades propuestas,
podemos tomar ciertos discursos, expresiones corporales y actitudes como aproximaciones
(pretendiendo aún más), a los argumentos cuasi-lógicos que expone Perelman & Olbrechts (1989).
Así es que el estudiante uno muestra una aproximación al cuasi-lógico de análisis que trata de
descomponer las partes de un todo para recomponerlo y así comprenderlo, además se aproxima también
al absurdo, al usarlo como una forma de condenar una conducta que no se la juzga bastante grave o
peligrosa para reprimirla por medios más violentos. Anexo tres,
En el estudiante dos identificamos el cuasi-lógico de inclusión de la parte en el todo que limita a
tener en cuenta la inclusión de las partes de un todo, los que valen la división del todo en partes y de
las relaciones entre las partes resultantes, y el argumento por reciprocidad quiere ser una norma y
no como propiedad de una relación hace presencia también en este estudiante al identificar la Tr.
como lo mostramos en el anexo cuatro
El estudiante tres hace una referencia clara al argumento de comparación que es una
constatación de hecho, mientras que la relación de igualdad o de desigualdad confirmada a menudo
sólo constituye una pretensión del orador, no solo como se observa en el anexo cinco, sino que en la
evidencia fílmica en sus discursos, se escucha como sus pretensiones en voz suave pero firme
acerca de la posición de objetos, usando palabras propias que indican posición y ubicación. Además
se logra evidenciar que tiene aproximaciones al cuasi-lógico de identidad y definición que
promueven definiciones descriptivas, señalan cuál es el sentido concedido a una palabra en cierto
ambiente; definiciones de condensación, muestran los elementos esenciales de la definición
descriptiva.
El estudiante cuatro, con la forma de afrontar las diferentes actividades hace entre ver el
argumento de inclusión de la parte en el todo, como el primer compañero pues limita a tener en cuenta
la inclusión de las partes de un todo, los que valen la división del todo en partes y de las relaciones
entre las partes resultantes, y el de reciprocidad (Propiedad de las relaciones si a con b , b con a) ver
anexo seis.
En el estudiante cinco se identifica forzosamente la comparación como estructura de un
argumento constataciones de hecho, mientras que la relación de igualdad o de desigualdad
confirmada a menudo sólo constituye una pretensión del orador, ver anexo siete.
En las trayectorias se deben tener objetivos de aprendizaje que son matemáticamente valiosos,
pero observamos que mientras se avanza en la parte procedimental matemática, se adquirió de una
manera agradable la argumentación y la amplitud de la discursividad primaria de los estudiantes,
hasta en seis argumentos cuasi-lógicos, que en dos estudiantes estaría a puertas de tener un género
discursivo secundario y la obtención del discurso de por lo menos un cuasi-lógico.
Diseño Metodológico Usado
95
Teniendo en cuenta que las trayectorias de aprendizaje son un proceso natural en el desarrollo
del ser humano en el progreso de su aprendizaje y crecimiento, que buscan generar ambientes de
aprendizajes en Matemáticas. A partir de rutas que contestan preguntas como ¿Qué objetivos se
deben establecer?, ¿Dónde se debe comenzar?, ¿Cómo se logra ese siguiente paso?, podemos
afirmar que estas preguntas son válidas y consecuentes con el desarrollo del niño, en nuestra THA
se persiguió la orientación espacial (se encontró y con buenas perspectivas para futuros estudios)
como excusa proponer una puesta en escena de los cuasi-lógicos, que en dos estudiantes fue el
proceso mejor evidenciado y alcanzado, pero que en los cinco estudiantes se manifestó tanto los
procesos adjuntos al pensamiento espacial como de la técnica de argumentación cuasi-lógica.
Siendo en el pensamiento espacial el proceso de representación del espacio el que más dificultad
fundó en los estudiantes.
Procesos involucrados en el desarrollo de la THA
Se tiene en cuenta que la gente construye un conocimiento privado que está asociado a su
idiosincrasia a medida que aprende acerca del espacio. Se obtiene mediante las referencias basados
en sí mismos, están relacionados con los propios movimientos y la posición del niño, y en los
sistemas de referencia basado en lo externo, que se basan en puntos de referencia del entorno.
Clements y Sarama (2009). (p.175).
Y que los procesos que involucran estas referencias en sí mismos y en lo externo se evidenciaron
de tal manera que la ubicación espacial se evidencia cuando al desplegarse la THA y el reconocer
con las acciones de los estudiantes la TRA, se hace presente en todos los niveles de todos los
estudiantes y sobre todo en las actividades que refiere a la tipificación del espacio en que se halla el
individuo y del cual parte hacia el lugar que tiene como meta.
Que la Localización espacial es este trabajo el proceso que mejor se evidencio por parte de los
estudiantes, en tres de ellos fue el de mejor comportamiento y evaluación a través de su TRA, y está
referido a las actividades está el sitio donde se encuentra cualquier objeto o ser vivo. En las TRA se
evidencio de manera espeluznante como la representación del espacio en tres estudiantes objeto de este
estudio la presencia de este proceso es casi nula, y que su progresión tiende a ser deficiente, aunque en
los otros dos estudiantes tampoco se ve un progreso constante, siendo las actividades que explicitan las
representaciones visualizaciones centrales en nuestras vidas, incluyendo la mayoría de los dominios de
las matemáticas, dado que son internas y parecen ser similares a los objetos del mundo-real
Y por terminar el sistema de coordenadas lo estudiamos como nos lo proponen y aconsejan
Clements y Sarama (2009), que es ver el espacio como una organización en cuadriculas o sistemas
coordenados, los niños deben aprender la estructuración espacial, en donde las actividades que el
proceso estaba presente se cumplió a cabalidad y en una progresión ascendente al final de todas las
trayectorias reales de aprendizaje en comparación con los primeros niveles de desarrollo.
96
REFERENCIAS
Arrieta, M. (2003). Capacidad espacial y educación Matemática: tres problemas para el futuro de la
investigación. Educación Matemática, 15 (3), 57–76.
Abbagnano, N. (1997). Diccionario de Filosofía. Fondo de cultura económica. Bogotá
Caballero, A. (2002). Desarrollo de la representación espacial. Universidad Camilo José Cela.
Departamento de psicología y Educación. Madrid.
Castro, J. (2004). El desarrollo de la noción de espacio en el niño de educación inicial. Acción
pedagógica. Volumen 13, N° 2. Universidad de los Andes. Táchira
Calderón, D. & León, O. & Orjuela, M. Proyecto Desarrollo de Competencias Comunicativas en
Matemáticas con estudiantes sordos, Sistema de documentos de profundización. Universidad
Distrital Francisco José de Caldas, GIIPLyM-UD. Conciencia.
Calderón, D. León, O(.2001).Requerimientos didácticos y competencias argumentativas en matemáticas.
Bogotá. IDEP.
Clements, D., & Sarama, J. (2009), Learning and Teaching Early Math: The Learning Trajectories
Approach. Studies in Mathematical Thinking and Learning. New York; London: Routledge.
Cobb, P. Whitenac,W.(1996). A Method For Conducting Longitudinal Analyses Of Classroom
Videorecordings And Transcript. Educational Studies in Mathematics, Vol. 30, No. 3, p. 213-228.
Gravemeijer, K. (2004). Local Instruction Theories as Means of Support for Teachers in Reform
Mathematics Education. Mathematical Thinking and Learning, volumen 6, (p.105-128).
Euclides.(1991). Los elementos (primera edición). Traducción Puertas, C. María L. Ed, Gredos. Madrid,
España.
Duval, R., (1995) Semiosis et pensee humaine. Registres s ́emiotiques et apprentissages intellectuels.
Berna, Peter Lang.
97
Duval, (2005). Las condiciones cognitivas del aprendizaje de la geometría. Desarrollo de la
visualización, diferenciaciones de los razonamientos, coordinación de sus funcionamientos.
Comprensión y aprendizaje en matemáticas: perspectivas semióticas seleccionadas. Énfasis (Ed).
(PP. 13-60). Bogotá, Colombia.
Gómez, P. y Lupiáñez, J. L. (2007). Trayectorias hipotéticas de aprendizaje en la formación inicial de
profesores de matemáticas de secundaria. PNA, 1(2), 79-98
González S. (2015) Desarrollo Del Sentido Numérico Desde Los Procesos De Subitización En Niños Y
Niñas Diagnosticados Con Discalculia. Universidad Distrital. Bogotá, Colombia.
León,O. Díaz, F. y Guilombo, D. (2014)Diseños didácticos con incorporaciones tecnológicas para el
aprendizaje de las formas geométricas, en primeros grados de escolaridad de estudiantes sordos.
León, O. Díaz Celis.& Guilombo, D. (2014). Diseños didácticos y trayectorias de aprendizaje de la
geometría de estudiantes sordos, en los primeros grados de escolaridad. Revista Latinoamericana de
Etnomatemática, 7(2), 9-28.
León, O. (2005). Experiencia Figural Y Procesos Semánticos Para La Argumentación En Geometría.
(Tesis Doctoral) Universidad del valle. Cali, Valle del Cauca, Colombia.
Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Bogotá
MEN.
Perelman, Ch, y Olbrechts-Tyteca, L. (1989), Tratado de la argumentación(3ra de,2016), Madrid,
España: Editorial Gredos
Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos Curriculares en Matemáticas. Bogotá MEN.
http://www.sdp.gov.co/portal/page/portal/PortalSDP/InformacionEnLinea/InformacionDescargableUPZ
s/Localidad%2019%20Ciudad%20Bol%EDvar/Monografia/19%20Localidad%20de%20Ciudad%20
Bol%EDvar.pdf
Moliner, M. Diccionario de uso del español. 1966. Madrid, España: Editorial Gredos
98
Moliner, M. Diccionario de uso del español. 1981 Tomo II Preimpresión. Madrid, España: Editorial
Gredos
BIBLIOGRAFÍA
Barragués, J. Guisasola, J. (2006) La Introducción De Los Conceptos Relativos Al Azar Y La
Probabilidad En Libros De Texto Universitarios. Universidad del País Vasco. Departamento de Física
Aplicada I.
Callejo de la vega, M. Valls, J. & Llinares, S. (2007). Interacción y análisis de la enseñanza:
aspectos claves en la construcción del conocimiento profesional. Investigación en la Escuela.
Universidad de alicante.
Cañadas, M. (2002). Razonamiento inductivo puesto de manifiesto por alumnos de Secundaria.
Trabajo de Investigación Tutelada. Dpto. de Didáctica de la Matemática, Granada: Universidad de
Granada.
Cañadas, M. (2007). Descripción y caracterización del razonamiento inductivo utilizado por
estudiantes de educación secundaria al resolver tareas relacionadas con sucesiones lineales y
cuadráticas. (Tesis doctoral). Granada: Universidad de Granada.
Clements, D., and Samara, J. (2009). Early childhood mathematics education research. New
York: Routledg
Duval, R. (1999).Algunas cuestiones relativas a la argumentación. International newsletter on
the teaching and learning of mathematical proof.
Gómez, P. (2000). Comentarios y apuntes al artículo Simon, M. (1995). Reconstructing
mathematics pedagogy from a constructivist perspective. Journal for Research in Mathematics
Education, volumen (26), 114-145.
Izquierdo, D., & Granados, J, (2012). Caracterización de los argumentos que emergen en el
desarrollo de una tarea de generalización realizada por estudiantes de grado noveno. (Tesis de
maestría), Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Bogotá, Colombia.
Menchinskaya, N. (1969). The psychology of mathematics concepts: fundamentals problems and
methods of research. In: Kilpatrick y Wirszup (Eds.), Soviets studies in the psychology of learning
and teaching mathematics (Vol. I). Stanford, California: School Mathematics Study Group, (NCTM).
Molina, M., Castro, E., Molina, L. y Castro, E. (2011). Un acercamiento a la investigación de
diseño a través de los experimentos de enseñanza. Enseñanza de las Ciencias, 29(1), 075–088.
Morera, L., Chico, J., Badillo, E., & Planas, N. (2012). Problemas Ricos En Argumentación
Para Secundaria. Reflexiones sobre el pensamiento del alumnado y la gestión del profesor. Suma,
70, 9-20.
Sarama, J, & Clements, D. (2009), Early Childhood Mathematics Education Research:
99
Learning Trajectories for Young Children. New York; London: Routledge.
Pierce, C. (1901). Razonamiento. Traducción castellana de Sara Barrena.
(2001) Grupo de estudios Peirceanos. Retrieved from http://www.unav.es/gep/Reasoning.html
website: http://www.unav.es/gep/
Plantin, C. (2001). La argumentación. Barcelona: Ariel, 2a. Edición.
Rico, L. (1997a). Dimensiones y componentes de la noción de currículo. In Rico (Ed.), Bases
teóricas del currículo de matemáticas en educación secundaria (pp. 377-414). Madrid: Síntesis.
Simon, M. (2000). Research on the Development of Mathematics Teachers: The teacher
Development Experiment. En A. Kelly, & R. Lesh (Eds), Handbook of Research Design in
Mathematics and Science Education. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates Pubs, 335-35.
Toulmin, S. (2007). Stephen Toulmin los Usos de la Argumentación. Traducción de María
Morrás y Victoria Pineda. Barcelona: Ediciones Península.
Torres, J.M., Climent, N. (2010). Conocimiento sobre orientación espacial en estudiantes de
E.S.O. En M.M. Moreno, A. Estrada, J. Carrillo, & T.A. Sierra, (Eds.), Investigación en
Educación Matemática XIV (pp. 581-596). Lleida: SEIEM.
100
ANEXOS
Anexo uno, rejilla Análisis a priori
Estas rejillas son las primeras que se usaron para realizar un análisis, las a posteriori están en el documento como tal.
Análisis a priori nivel uno Usuario de camino y punto de referencia
Procesos
HIPOTESIS DE NIVEL:
• El desarrollo del sistema del sendero de integración, permite el registro de la distancia
aproximada y la dirección de los propios movimientos (p,190)
• Se desarrolla lenguaje espacial con términos “en” “dentro” “debajo” y los que indican
dirección vertical, como “arriba” y “abajo”. Entendiendo el vocabulario inicial de las
relaciones y ubicaciones espaciales(p,190)
HIPOTESIS ASOCIADAS A LA ARGUMENTACIÓN:
Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia de un lenguaje
común, de una técnica que permita la comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, P, 49).
DESCRIPTOR DE NIVEL:
• Los niños se conectan cada vez más al desarrollo de la estructuración espacial, que es la
capacidad de organizar el espacio en dos dimensiones (p,188)
INDICADORES DE NIVEL:
• Puede usar una distancia de referencia para hallar un objeto
• Puede usar una distancia de referencia para hallar un objeto siempre y cuando el no se haya
movido.
• Debe entender el vocabulario inicial de las relaciones espaciales Examina un área,
usando marcos de referencia corporal.
• Usa vocabulario como, “en” “dentro” “debajo” “arriba”
• Utiliza un lenguaje común, que parece indispensable para una argumentación (Pág,51)
101
Actividade
s
Localizació
n
Ubicació
n
Representació
n del espacio
Uso del sistema de
coordenada
s
Lenguaj
e común
Ubicación
en el salón
X X X
Golosa X X
Busquemo
s el puesto
X X
Anexo dos, rejilla análisis a posteriori
Análisis a posteriori nivel uno Usuario de camino y punto de referencia Procesos
HIPOTESIS DE NIVEL:
• El desarrollo del sistema del sendero de integración, permite el registro de la distancia
aproximada y la dirección de los propios movimientos (p,190)
• Se desarrolla lenguaje espacial con términos “en” “dentro” “debajo” y los que indican
dirección vertical, como “arriba” y “abajo”. Entendiendo el vocabulario inicial de las
relaciones y ubicaciones espaciales(p,190)
HIPOTESIS ASOCIADAS A LA ARGUMENTACIÓN:
Lo más indispensable para la argumentación es, al parecer, la existencia de un lenguaje
común, de una técnica que permita la comunicación. (Perelman & Olbrechts, 1989, P, 49).
DESCRIPTOR DE NIVEL:
Los niños se conectan cada vez más al desarrollo de la estructuración espacial, que es la
capacidad de organizar el espacio en dos dimensiones (p,188)
INDICADORES DE NIVEL:
• Puede usar una distancia de referencia para hallar un objeto
• Puede usar una distancia de referencia para hallar un objeto siempre y cuando él no se haya
movido.
• Debe entender el vocabulario inicial de las relaciones espaciales Examina un área,
usando marcos de referencia corporal.
• Utiliza un lenguaje común, que parece indispensable para una argumentación (P,
51). Usa vocabulario como, “en” “dentro” “debajo” “arriba”
102
se haya
movido.
relacione
s
espaciale s
Usa vocabulario
como,
“en” “dentro”
“debajo”
“arriba”
Ubicaci
ón en el
salón
Act1-
N1-V1
1.03m –
1.10m
El
estudiante
toma el
puesto y lo
mueve en
repetidas
oportunida
des.
Act1-N1-
V1
1.03m –
1.10m
El
estudiante
observa la
distancia en
repetidas
ocasiones.
Act1-
N1-V1
Act1-
N1-V1
Arrastra el
escritorio
hacia él, luego
lo empuja para
ubicarlo en un
lugar del salón
Act1-N1-V1
1.03m
Se evidencia
como la
estudiante le
explica a otra,
por medio de
señas con la
mano y cabeza,
como debe
mover el
puesto
103
Golosa N1-
Act2-V12
00.01
Lanza
piedra
tratando de
ubicar el
espacio
delimitado
para un
número
dentro la
golosa. Y
vuelve a
lugar de
iniciar el
juego.
N1-Act2-
V12
00.01
Lanza
una piedra y
esta cae en
un lugar
donde no
quiere.
N1Act2-
V17
00.01
-
0.20 S
A
través de los
saltos en la
golosa,
ubica
dentro,
fuera,
adelante y
atrás.
N1-
Act2-V17
00.01 –
00.26
Usa su
cuerpo para
jugar golosa
y así tomar
como
referencia lo
delimitado en
el piso, para
no perder.
N1-Act2-V12
1.15m
N1-Act2-V12
1.28m
Pregunto
acerca que si el
10 es divisor de
128 y ella
contesta que no
Habla con un
compañero de
empezar a jugar.
Manifiesta
lenguaje
común
Profe: muy
bonito pero y
llevamos media
hora y no han
empezado.
¿Qué números
les correspondía?
E1. Los
divisores de 128
Profe (mirando
la golosa) el 10 es
divisor de 128
E1: no, hace
cara de extrañado
104
Busque
mos el
puesto
N1-
Act3-V1
0.0100.50s
Sigue
instruccion
es para
ubicarse de
nuevo en sus
puestos
N1Act3-
V1
0.0100.50s
Sigue
instrucci
ones que le
indica el
compañ ero
con palabras
como,
voltears e,
derecho,
izquierd
a.
N1-
Act3-V1
00.0100.50s
Examina
el área del
salón, a partir
de
indicaciones
verbales
N1-Act3-V1
0.01-00.50s
Utiliza y
entiende palabras
derecha, derecho,
izquierda, quieta,
que enuncian
posición y
dirección. Que
enuncia el
compañero que
está
dando las
instrucciones,
además lo
demuestra
siguiendo las
instrucciones.
105
Anexo tres, E1
106
Anexo cuatro, E2
107
Anexo cinco, E3
Anexo seis, E4
108
Anexo siete, E5
109
