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Tema 2
Sistemas de ecuaciones lineales
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Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal tiene variables términoindependiente (b) y coeficientes (reales o complejos)
Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es un conjunto de varias ecuaciones sobre las mismas variables x1,…., xn
1( , , )
nx x
1 1 2 2 n na x a x a x b
1, ,
na a
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Forma matricial
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Aplicaciones de las ecuaciones lineales
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Interpretación geométrica
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Soluciones
Una solución al sistema es una lista (s1, s2,…, sn) que hacen que cada ecuación se cumpla sis1,…, sn se sustituyen por x1,…, xn
No tiene porqué haber una única solución, puede haber un conjunto de soluciones(¿ejemplo?)
Dos sistemas lineales son equivalentes sitienen el mismo conjunto de soluciones
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Soluciones: opciones
• Buscad un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineal con ∞ soluciones
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Representación matricial
Ejemplo:
MATRIZ DE COEFICIENTES
1 2 1
0 2 8
4 5 9
1 2 3
2 3
1 2 3
2 0
2 8 8
4 5 9 9,
x x x
x x
x x x
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Matriz aumentada
1 2 1 0
0 2 8 8
4 5 9 9
1 2 3
2 3
1 2 3
2 0
2 8 8
4 5 9 9,
x x x
x x
x x x
Tamaño de la matriz = número de filas x número de columnas3 x 4
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Resolver un sistema de ecuaciones
Ejemplo 1:
Procedimiento: transformar en un sistema de ecuaciones equivalente que sea más fácil de resolver
1 2 3
2 3
1 2 3
2 0
2 8 8
4 5 9 9
x x x
x x
x x x
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Truco fundamental
Si tenemos una ecuación y multiplicados AMBOS LADOS de la ecuación por el mismo factor, el resultado de la ecuación NO varía
2 4
2 4 8
2 4
x
x
x
(x 2)
(x (-1))
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Qué se puede hacer
Operaciones básicas:
1. Multiplicar una fila por una constante no nula.
2. Intercambiar una fila por la suma de esa fila más un múltiplo de otra.
3. Intercambiar dos filas.
Estas operaciones producirán matrices EQUIVALENTES
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La solución debe indicar…
OBLIGATORIAMENTE:
1. El sistema es consistente o inconsistente
2. Hay una única solución o varias
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Solución
1 2 3
2 3
1 2 3
2 0
2 8 8
4 5 9 9
x x x
x x
x x x
1 2 1 0
0 2 8 8
4 5 9 9
1 2 3
1 2 3
2 3
4 8 4 0
4 5 9 9
3 13 9
x x x
x x x
x x
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Solución…
1 2 3
2 3
2 3
2 0
2 8 8
3 13 9
x x x
x x
x x
1 2 1 0
0 2 8 8
0 3 13 9
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Solución…
1 2 3
2 3
2 3
2 0
4 4
3 13 9
x x x
x x
x x
1 2 1 0
0 1 4 4
0 3 13 9
2 3
2 3
3
3 12 12
3 13 9
3
x x
x x
x
Esto ya sí es sencillo
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Forma triangular
El nuevo sistema tiene una forma triangular
NO hay un único camino para llegar a la solución, pero unos son más eficientes y fáciles que otros
1 2 1 0
0 1 4 4
0 0 1 3
1 2 3
2 3
3
2 0
4 4
3
x x x
x x
x
Diagonal principal
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Remate final
3
2 3
2
4 12
4 4
16
x
x x
x
1 2
2
3
2 3
16
3
x x
x
x
3
1 2 3
1 2
3
2 0
2 3
x
x x x
x x
1 2 0 3
0 1 0 16
0 0 1 3
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The end…
1 0 0 29
0 1 0 16
0 0 1 3
1
2
3
29
16
3
x
x
x
¿Consistente o no? ¿Una única solución o varias?
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Comprobando la solución
(29) 2(16) (3) 29 32 3 0
2(16) 8(3) 32 24 8
4(29) 5(16) 9(3) 116 80 27 9
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Prueba tú…
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Otro más…
2 3
1 2 3
1 2 3
4 8
2 3 2 1
5 8 7 1
x x
x x x
x x x
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Resuelve…
2 3 2 1
0 1 4 8
5 8 7 1
2 3 2 1
0 1 4 8
0 1/ 2 2 3 / 2
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Más formalmente
Método de Gauss: buscamos generar matrices ESCALONADAS (echelon form)
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Definiciones
Una matriz rectangular está en forma escalonada reducida si está en forma escalonada y además cumple:
La entrada principal de cada fila no nula es 1
La entrada principal de de una fila no nula es la primera entrada no nula por la izquierda
Cada 1 que corresponde a una entrada principal es la única entrada distinta de cero en su columna
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Ejemplos
Escalonadas No escalonadas
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Pivote
Una posición pivote de una matriz es una entrada de la matriz original que corresponde a una entrada principal de en una forma escalonada de dicha matriz.
Una columna pivote de una matriz escalonada es una columna que contiene una posición pivote.
Las variables que corresponden a columnas pivote de la matriz se denominan variables principales.
Las demás son variables libres.
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Ejemplo
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Ejemplo 2
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Método de Gauss con matrices escalonadas
1. Seleccionar la columna distinta de cero que se encuentre más a la izquierda en la matriz. Es una columna pivote.
2. Seleccionar como pivote (para definir los multiplicadores) una entrada distinta de cero en la columna pivote. Si es necesario se intercambiarán dos filas.
3. Usar operaciones elementales para hacer ceros debajo del pivote
4. Tapar la fila y la columna que contienen al pivote y repetir los pasos 1 a 3 en la submatriz que queda. Repetir este proceso hasta que no haya más filas distintas de cero por modificar.
Con este algoritmo llegamos a una matriz escalonada a partir de la matriz original. Si queremos obtener la única matriz escalonada reducida equivalente a la matriz original hay que efectuar un paso más:
5. Comenzar por el pivote situado más a la derecha trabajando a hacia arriba y a la izquierda, crear ceros por encima de cada pivote. Si un pivote no es 1, dividimos la fila por el valor del pivote.
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Ejemplo
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Aplicado a sistemas de ecuaciones
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Ataca estos ejemplos (Gauss)
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Otras aplicaciones del método de Gauss
Cálculo de la matriz inversa
Ejemplo:
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Continuación…
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Ejercicio
Crea tu propio enunciado para una matriz 3x3, calcula la matriz inversamediante este método
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Método de Cramer
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Método de Cramer
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Aplicación del método de Gauss al rango de una matriz
Podemos descartar una línea si:
Todos los coeficientes son ceros
Hay dos líneas iguales
Una línea es proporcional a otra
Una línea es combinación lineal de otras
Ejercicio:
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Otros ejemplos
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Tarea
Inventa ejercicios de tamaño mínimo 5 x 5 y calcula el rango de la matriz
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Ejercicio
Discutir los siguientes sistemas para los distintos valores de K