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1
Difraccion
d
Esto hace que la fase inicial de las fuentes sea identicaโฆnocierto?
Supongamos una onda plana incidente perpendicular al arreglo de fuentes.
Las fuentes pueden ser, en nuestro ejemplo:
Agujeritos equiespaciados sobre una pantalla opaca Reemisores atรณmicos equiespaciados linealmente
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2
d
Diferencia de camino que incurre la emisiรณn de cada fuente (i.e. diferencia de fase) respecto de la primera fuente a la derecha
Nos va a interesar analizar el patron generado muy lejos de las fuentesโฆ Por ejemplo, aquel que se forma en el infinito (condiciรณn de difracciรณn de Franhauffer).
En otras palabras quiero caracterizar la emisiรณn en una direcciรณn dada.
๐
Diferencia de camino que incurre la emisiรณn de cada fuente (i.e. diferencia de fase) respecto de la primera fuente a la derecha
d
๐
0 2 1 11 โฆ
๐ ๐๐ โ ๐1 = ๐ ๐ โ ๐ sin ๐ = ๐ โ ๐ ๐ sin ๐๐ฟ
= ๐ โ ๐ฟ
Para la fuente i-esima, el desfasaje respecto a la primera resulta:
๐ = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
El campo resultante en direccion ๐:
โฆ
con ๐ฟ = ๐ ๐ sin ๐
desfasaje entre una y la siguiente
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3
Es un problema de interferencia de muchas fuentes, para calcular la intensidad en algรบn punto hay que resolver como sumar este tipo de
cosasโฆ
Y luego, calcular el desfasaje en funciรณn de la geometrรญa del problema ๐ฟ ๐ = ๐ ๐ sin ๐
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
Hay que calcular el campo resultante como funciรณn del desfasaje entre fuentes ๐ฟ
Es un problema de interferencia de muchas fuentes, para calcular la intensidad en algรบn punto hay que resolver como sumar este tipo de
cosasโฆ
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + ๐ต๐น + ๐ค๐ก + ํ
Como sumar esto?
1) Abrir todos los cosenos, anular mil tรฉrminos y enfermarse.
2) Pasarlo a nรบmeros complejos, donde los cosenos se vuelven exponenciales
y la suma se resuelve muy fรกcil โฆ si uno sabe complejos.
3) Geomรฉtricamente.
๐ 2 ๐ฟ = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ
= ๐ด cos ๐ผ๐ +๐ด cos ๐ผ๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐ 2 ๐ฟ = 2๐ด ๐๐๐ โ๐ผ
2
๐ด๐
cos ๐ผ con ๐ผ =
๐ผ2+๐ผ1
2
โ๐ผ = ๐ผ2 โ ๐ผ1
Amplitud ๐ด๐ de la suma de fasores
๐ผ
๐ด ๐๐๐ ๐ผ2
๐ด ๐๐๐ ๐ผ1 ๐ด ๐๐๐ ๐ผ2
Suma de fasores
Analiticamenteโฆ(slide siguiente)
Veamos como sumar las dos primeras
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
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La matematica del slide anterior* ๐ = ๐ด ๐๐๐ ๐ผ1 +๐ด ๐๐๐ ๐ผ2
definimos ๐ผ =๐ผ2 + ๐ผ1
2
โ๐ผ = ๐ผ2 โ ๐ผ1
๐ผ1 = ๐ผ โโ๐ผ
2
๐ผ2 = ๐ผ +โ๐ผ
2
๐ = ๐ด ๐๐๐ ๐ผ โโ๐ผ
2+๐ด ๐๐๐ ๐ผ +
โ๐ผ
2
= ๐ด ๐๐๐ ๐ผ cosโ๐ผ
2+ ๐ด sin ๐ผ sin
โ๐ผ
2+ ๐ด ๐๐๐ ๐ผ cos
โ๐ผ
2โ ๐ด sin ๐ผ sin
โ๐ผ
2
๐ = 2๐ด cosโ๐ผ
2๐๐๐ ๐ผ
๐ผ๐
๐ผ๐ ๐ผ
Suma de fasores
Entonces ya sabemos sumar contribuciones desfasadas geometricamente
๐ 2 ๐ฟ = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ
= ๐ด cos ๐ผ๐ +๐ด cos ๐ผ๐
๐ผ1(๐ก)
๐ผ๐(๐) ๐ 2 ๐ฟ = 2๐ด ๐๐๐
โ๐ผ
2 cos ๐ผ
con ๐ผ =๐ผ2+๐ผ1
2
โ๐ผ = ๐ผ2 โ ๐ผ1
๐ผ (๐ก)
๐ด ๐๐๐ ๐ผ2(๐ก)
๐ด ๐๐๐ ๐ผ1(๐ก) ๐ด ๐๐๐ ๐ผ2(๐ก)
Suma de fasores
๐ด๐ = 2๐ด ๐๐๐ โ๐ผ
2= 2๐ด cos
๐ฟ
2
La amplitud resultante depende de la diferencia de fases
Para seguir sumando fuentes seguimos geometricamenteโฆ..
Esta parte depende del tiempoโฆ
๐ด๐ ๐๐๐ ๐ผ (๐ก)
2๐ด ๐๐๐ ๐ฟ
2 cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ + ๐ฟ/2
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El vector resultante de sumar la suma de arriba, con seis tรฉrminos. Esta resultante es una funciรณn geomรฉtrica no trivial de:
el desfasaje ๐ฟ, el numero de tรฉrminos (resulta en una suerte
de espiral) y es, sencillamente multiplicativa por la
amplitud (si todas son iguales.) 2๐ฟ
A ๐ฟ
๐ด๐(2) = 2๐ด cos๐ฟ
2
N=6
๐ด๐(6) = expresion analitica?
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
๐ฟ
N=6
A
El teorema de la pizza.
A
๐ฟ ๐ โ ๐ฟ
๐ โ ๐ฟ
2
bisectriz
๐ โ ๐ฟ
2
๐ฅ
๐ โ ๐ฟ
2+
๐ โ ๐ฟ
2+ ๐ฅ = ๐
Como en todo triangulo: la suma de sus angulos debe ser ๐
๐ฅ = ๐ฟ
Ya encontramos graficamente Arโฆ habra una manera de obtener una expresion analitica?
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
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Por el teorema de la pizza.
A/2
๐ฟ
๐ฟ
๐ฟ/2
๐ด
2= ๐ sin
๐ฟ
2
๐ =๐ด
2 sin๐ฟ2
Los puntos van definiendo un poligono inscripto en una circunferencia de radio r
r
N=6
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
A
r
๐ =๐ด
2 sin๐ฟ2
๐ฟ
๐๐ฟ ๐ด๐
2= ๐ sin
๐๐ฟ
2
๐ด๐ (๐ฟ) = ๐ดsin
๐๐ฟ2
sin๐ฟ2
Amplitud de la onda resultante
๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
Irradiancia resultante en
funcion del desfasaje entre fuentes ๐ฟ
๐ธ๐ = ๐ด๐ cos ๐ผ๐(๐ก)
N=6
๐ผ๐(๐ก)
๐ผ๐ = ๐ด๐ 2 cos2 ๐ผ๐(๐ก)
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
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๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ
๐ผ๐ /๐ผ0 N=10
Maximos principales
Minimos
Maximos secundarios
El patron de maximos y minimos tiene mucha estructura relacionada con la geometria de las fuentes. En esto se basan las aplicaciones derivadas de solucionar el problema inverso que mencionabamos antes
2๐ โ2๐
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ
๐ผ๐ /๐ผ0 N=10
Maximos principales
Minimos
Maximos secundarios
Animemonos!
2๐ โ2๐
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
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๐ฟ
๐ผ๐ /๐ผ0
๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ
sin2 ๐๐ฟ
2โ
๐๐ฟ
2
2 y sin2 ๐ฟ
2โ
๐ฟ
2
2
๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
๐๐ฟ2
2
๐ฟ2
2
๐ผ๐ /๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ
2= 0
sin2๐ฟ
2= 0 ๐ผ๐ (๐ฟ = 0) = ๐ผ0๐
2
Maximos principales se producen cuando se anula el denominador (y por tanto tambien el numerador):
๐ฟ = ๐2๐
๐
๐ฟ = 2๐๐ ๐ฟ
2= ๐๐
๐๐ฟ
2= ๐๐
(si se cumple esto, se cumple lo de arriba: m=2*n*N)
Vemos cuanto valen los max: Si ๐ฟ โ 0
N=10
2๐ โ2๐
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ
๐ผ๐ /๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ
2= 0
sin2๐ฟ
2โ 0
Minimos se producen cuando se anula el numerador, pero no el denominador:
๐ฟ = 2๐๐
๐
๐ฟ โ 2๐๐ ๐ฟ
2โ ๐๐
๐๐ฟ
2= ๐๐ ๐ฟ๐๐๐ =
2๐
๐, 2
2๐
๐, 3
2๐
๐,โฆ , (๐ โ 1)
2๐
๐
Tengo N-1 minimos entre 2 maximos cualesquiera.โฆcontando minimos puedo saber cuantas fuentes tengo!
N=10
2๐ โ2๐
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
N=100
Cual es el sentido โgeometricoโ?
Si cada โporcionโes 2pi/n, n porciones suman?
๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ =2๐
๐
2๐
๐
4๐
๐
6๐
๐
๐ฟ
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + (๐ต โ ๐)๐น + ๐ค๐ก + ํ
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
N=100
2
n
4
n
6
n
3
n
5
n
Para N suficientemente grande, la intensidad del segundo maximo (primero secundario) es un 5% del valor del pico
central. Esto es independiente de N
sin2 ๐๐ฟ
2= 1
Maximos secundarios se producen en maximos del numerador:
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + ๐ต๐น + ๐ค๐ก + ํ
๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ =(2๐ + 1)๐
๐
๐๐ฟ
2= 2๐ + 1 ๐/2
๐ผ๐ (๐ฟ = 3๐/๐) = ๐ผ01
sin2 3๐2๐
~๐ผ0๐2
2
3๐
2
๐ผ๐ ๐ฟ =3๐
๐~๐ผ0๐
22
3๐
2
~0.05 ๐ผ0๐2
๐ = 1,2,โฆ
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๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
Ya entendimos como funciona la intensidad emitida de acuerdo al desfasaje
๐ฟ
๐ (๐ฟ) = ๐ด cos ๐๐ + ๐ค๐ก + ํ +๐ด cos ๐๐ + ๐น + ๐ค๐ก + ํ + ๐ด cos ๐๐ + ๐๐น + ๐ค๐ก + ํ + โฏ+ ๐ด cos ๐๐ + ๐ต๐น + ๐ค๐ก + ํ
A que direccion en particular corresponde un desfasaje dado?
๐
๐ฟ = ๐ ๐ sin ๐
Maximos (๐ฟ = 2๐๐)
๐ ๐ sin๐๐๐๐ฅ = 2๐๐
sin๐๐๐๐ฅ =2๐๐
๐ ๐= ๐
๐
๐
d Notar que si ๐/d>1 tengo un unico maximo (!) correspondiente a m=0
Fuentes en fase
๐ = 0 maximo de orden cero (m=0)
๐ ๐ sin๐๐๐๐
๐ฟ๐๐๐
=2๐
๐
๐ฟ๐๐๐ =2๐
๐
๐ฟ = 2ฯ/๐
๐๐๐๐
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Maximos (๐ฟ = 2๐๐)
๐ ๐ sin๐๐๐๐ฅ = 2๐๐
sin๐๐๐๐ฅ =2๐๐
๐ ๐= ๐
๐
๐
๐ฟ
El ancho de la campana principal resulta de analizar los primeros minimos a izq y derecha
2๐
๐ โ
2๐
๐
ฮ๐ฟ
Minimos (๐ฟ = ยฑ2๐/๐)
๐ ๐ sin๐min ยฑ = ยฑ2๐
๐ sin๐min ยฑ = ยฑ
๐
๐๐
Notar que si ๐ < ๐ se produce un unico maximo correspondiente m=0
๐ < ๐ para que haya un unico maximo Cuantas mas fuentes mas angosto ese maximo
๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ = ๐ ๐ sin ๐
La campana de difraccion
( )s e nd
( )s e n
D
( )s e n
n d D
Lo mejor de los dos mundos โฆ un mรกximo central angosto sin mรกximos laterales.
Nuevamente una estrategia de borrado constructiva. Para eliminar los mรกximos laterales, agregar mas fuentes.
En tรฉrminos del problema inverso, de adivinar la fuente que emite (o la textura del material
que difracta la luz) a partir del espectro. Hay algรบn problema?
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La rendija
En una rendija de ancho D sobre la que incide luz Cuantas fuentes hay?
La rendija
๐ผ๐ (๐ฟ) =๐ด2
2
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ
๐ฟ = ๐ ๐ sin ๐ ๐
๐ โ ๐ = ๐๐ก๐ = ๐ท
๐ โ ๐ด = ๐๐ก๐
lim๐ โ โ Tengo muchisisimas fuentes (Huygens)
lim๐ โ 0 Infinitamente cerca unas de otras
lim๐ด โ 0 Cada una emite una amplitud diferencial
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Tomando limites para entender la rendija
๐ผ๐ (๐ฟ) =๐ด2
2
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ = ๐ ๐ sin ๐
๐ โ ๐ = ๐๐ก๐ = ๐ท
๐ โ ๐ด = ๐๐ก๐
lim๐ โ โ Tengo muchisisimas fuentes (Huygens)
lim๐ โ 0 Infinitamente cerca unas de otras
lim๐ด โ 0 Cada una emite una amplitud diferencial
๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐(๐ฟ) = lim๐โโ๐โ0๐ดโ0๐๐=๐ท๐๐ด=๐๐ก๐
๐ด2
2
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
=๐ด2
2
sin2 ๐๐ ๐ sin ๐2
sin2 ๐ ๐ sin ๐2
=๐ด2
2
sin2 ๐ ๐ท sin ๐2
sin2 ๐ ๐ sin ๐2
~๐ด2
2
sin2 ๐ ๐ท sin ๐2
๐ ๐ sin ๐2
2 =๐ด2
2
sin2 ๐ ๐ท sin ๐2
๐ ๐๐ sin ๐2๐
2 =(๐ด๐)2
2
sin2 ๐ ๐ท sin ๐2
๐ ๐ท sin ๐2
2
(no prigunto cuantos sonโฆsino que vayan saliendo)
sin ๐ผ~๐ผ ๐ผ โ 0
Tomando limites para entender la rendija
๐ผ๐ (๐ฟ) =๐ด2
2
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ = ๐ ๐ sin ๐
๐ โ ๐ = ๐๐ก๐ = ๐ท
๐ โ ๐ด = ๐๐ก๐ = ๐
lim๐ โ โ Tengo muchisisimas fuentes (Huygens)
lim๐ โ 0 Infinitamente cerca unas de otras
lim๐ด โ 0 Cada una emite una amplitud diferencial
๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ =๐2
2
sin2 ๐ ๐ท sin ๐2
๐ ๐ท sin ๐2
2 = lim๐โโ๐โ0๐ดโ0๐๐=๐ท๐๐ด=๐๐ก๐
๐ด2
2
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
=๐2
2
sin2 ๐ฝ
ฮฒ2
๐ฝ =๐ ๐ท sin ๐
2
๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ =๐2
2
sin2 ๐ฝ
ฮฒ2
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N fuentes vs 1 rendija
๐ผ๐ (๐ฟ) = ๐ผ0
sin2 ๐๐ฟ2
sin2 ๐ฟ2
๐ฟ = ๐ ๐ sin ๐
๐ฟ
(minimos ๐ฝ = ยฑ๐)
๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ =(๐ด๐)2
2
sin2 ๐ฝ
ฮฒ2
๐ฝ =๐ ๐ท sin ๐
2
lim๐ โ โ
lim ๐ โ 0
lim ๐ด โ 0
๐ 2๐ โ2๐ โ๐
๐ = 10
๐ ๐ท sin ๐๐๐๐
๐= ยฑ๐ sin ๐๐๐๐ = ยฑ
๐
๐ท
Ancho campana (minimos ๐ฟ = ยฑ2๐/๐)
๐ ๐ sin๐min ยฑ = ยฑ2๐
๐ sin๐min ยฑ = ยฑ
๐
๐๐
2๐
๐
4๐
๐
6๐
๐ โ
4๐
๐ โ
2๐
๐ ๐ฝ
Entendamos los minimos de la rendija
๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ =๐2
2
sin2 ๐ฝ
ฮฒ2=
๐2
2sinc2 ๐ฝ
con ๐ฝ =๐ ๐ท sin ๐
2
Ancho de la campana de difraccion: primeros minimos a izq y derecha
๐ฝ = ยฑ๐
๐ ๐ท sin ๐๐๐๐
๐= ยฑ๐
๐ท sin ๐๐๐๐ = ยฑ๐
๐๐๐๐
๐ท
๐ฝ ๐ 2๐ โ2๐ โ๐
El minimo se produce porque en esta direccion, por cada fuente secundaria hay otra que emite a contrafase
manera รฑoรฑa de
escribir sin2 ๐ฝ
ฮฒ2
๐๐๐๐
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Lo que acabamos de resolver es esto
๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ =๐2
2
sin2 ๐ฝ
ฮฒ2 =๐2
2sinc2 ๐ฝ con ๐ฝ =
๐ ๐ท sin ๐
2