Presentacion Analisis Alterna

1Tema 6. Anlisis de Circuitos en Rgimen Sinusoidal Permanente

6.1 Introduccin

6.2 Fuentes sinusoidales

6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable

6.4 Fasores

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C

6.6 Impedancia y admitancia

6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores

6.8 Potencia instantnea y potencia media

6.9 Mxima transferencia de potencia media. Adaptacin conjugada

V

I A

B

ThZ

ThV LZ

Jos A. Pereda, Dpto. Ing. de Comunicaciones, Universidad de Cantabria.

2Bibliografa Bsica para este Tema:

[1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentos de circuitoselctricos, 3 ed., McGraw-Hill, 2006.

[2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, Introduction to electric circuits,7th ed., John Wiley & Sons, 2006.

Sadiku Temas 9, 10 y 11Dorf Tema 10 y 11

http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm

- Esta presentacin se encuentra, temporalmente, en:

36.1 Introduccin- En este tema estudiaremos la respuesta de circuitos con fuentes

sinusoidales

- Una seal sinusoidal es aquella que se expresa matemticamentemediante una funcin seno o coseno

- Las fuentes de tensin/corriente sinusoidales tambin se denominanfuentes de tensin/corriente alterna

- Los circuitos excitados por fuentes sinusoidales se denominancircuitos de corriente alterna (circuitos de AC)

- En el mundo de la electrnica y las telecomunicaciones las sealessinusoidales son muy importantes, ya que son seales fciles degenerar y transmitir

- Adems, mediante el Anlisis de Fourier, una seal peridica puedeexpresarse mediante una suma de seales sinusoidales.

46.1 Introduccin

- En este tema abordaremos slo el estudio del estado estacionario(respuesta permanente)

- Una fuente sinusoidal produce tanto respuesta transitoria comoestacionaria

- La respuesta transitoria se extingue con el tiempo. En consecuencia,un tiempo despus de haber encendido las fuentes, slo tenemosen el circuito la respuesta estacionaria.

5- : argumento o fase [rad] o [grados]

6.2 Fuentes sinusoidales- Consideramos la tensin: )sin()( tVtv m

mVt

- : amplitud de pico

- : frecuencia angular [rad/s]

)sin()( tVtv m

- Son funciones que se repiten cada con n enteron 2


)sin()( tVtv m - Si representamos v(t) frente a t:

- La seal se repite cada entero con nnTt - El intervalo de tiempo T se denomina periodo y vale

2T

)()sin()2sin( ))(sin())(sin()( 2

tvtVntVntVnTtVnTtv

mm

mm

)()( tvnTtv


- El inverso del periodo se denomina frecuencia f: T

f 1

fT

22 - Entonces:

- Normalmente la frecuencia angular se mide en rad/sy la frecuencia en hercios -> Hz

)sin()( 0 tVtv m- La forma ms general de la senoide es:siendo la fase inicial [rad]0

81. --> est adelantada (ver dibujo)


- Comparando las seales y)sin()(1 tVtv m )sin()( 02 tVtv m- Si las seales estn desfasadas00

00 )(2 tv2. --> est atrasada00 )(2 tv

96.2 Fuentes sinusoidales- Una sinusoide puede expresarse empleando tanto las funciones seno

como coseno

- Basta tener en cuenta las identidades:

)sin()cos()cos()sin()sin( ABBABA )sin()sin()cos()cos()cos( BABABA

)cos()cos()sin( 22 )sin()sin()cos( 22

- Tambin son de inters las siguientes igualdades:

10

-Ejemplo 1: Determinar la amplitud, fase inicial, periodo y frecuencia de la sinusoide A&S-3 Ej 9.1)1050cos(12)( ttv

- Fase inicial: V 12mV

rad/s 50

- Amplitud:

- Frecuencia angular:

Solucin:

100

- Periodo:

- Comparamos la sinusoide del enunciado con la forma general

)cos()( 0 tVtv m

s 0.1265022

T- Frecuencia:

Hz 958.72

f

11

-Ejemplo 2: Calcular el ngulo de desfase entre las tensionesy

A&S-3 Ej 9.2

)50cos(10)(1 ttv

Solucin:

)10sin(12)(2 ttv

- Para comparar 2 sinusoides debemos expresarlas mediante la misma funcin matemtica (por ejemplo el coseno) y ambas con amplitud positiva

)230cos(10 )18050cos(10

)50cos(10)(1

tt

ttv

)260cos(12 )27010cos(12

)10sin(12)(2

tt

ttv

- se adelanta 30)(2 tv

50

10

12

6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable- Consideramos un circuito RL con una

fuente de tensin sinusoidal:

R

)( S tv L)(ti)cos()( S tVtv m - Aplicamos la KVL a la malla:

)cos(dd tVRiti L m

(con A y B ctes a determinar)

- En un circuito lineal todas las tensiones y corrientes en estado establetienen la misma frecuencia que la fuente, por tanto:

)cos()( 0 tIti m- Conviene expresar i(t) en la forma:

)sin()cos()]sin()sin()cos()[cos()( 00 tBtAttIti m

(con y ctes a determinar)

?)(ti

mI 0

13


- Igualamos los coefs. en coseno:

- Para calcular A y B, sustituimos en la ec. diferencial:)(ti

)cos()sin()cos()cos()sin( tVtBtARtBtA L m mVRALB

- Igualamos los coefs. en seno: 0 RBLA- Resolviendo para A y B: 22 LR

RVA m 22 LRLVB m

)cos( 0mIA )sin( 0mIB

AB /tan 10 22 BAIm

- La relacin entre los dos conjuntos de incgnitas es:

)cos(dd tVRiti L m

- Resulta:

14


- En este problema hemos calculado la respuesta en estado estacionariode un circuito con un nico elemento de almacenaje (la autoinduccin)

- Para circuitos con varios elementos de almacenaje, el mtodo declculo empleado (solucin directa en el dominio del tiempo) secomplica mucho

- Una alternativa ms sencilla pasa por introducir el concepto de fasorque veremos en el apartado siguiente

22 LRVI mm RL /tan 10 AB /tan 10

22 BAIm

- La solucin para y es: mI 0

15

6.4 Fasores- Las seales sinusoidales pueden representarse fcilmente mediantefasores

Un fasor es un nmero complejo que representa la amplitud y lafase de una seal sinusoidal

- Los fasores permiten analizar de forma sencilla circuitos linealesexcitados por fuentes sinusoidales

- La idea de la representacin fasorial se basa en la identidad de Euler:

sincos je j 1con j- Se observa que: je Recos

je Imsin

16

6.4 Fasores- Dada una seal sinusoidal )cos()( tVtv m- Se observa que )(Re)cos()( tjmm eVtVtv- luego tjjm eeVtv Re)( - alternativamente tjetv VRe)(

- V es la representacin fasorial de la seal sinusoidal v(t)

V jmeV- donde

- Un fasor es una representacin compleja de la magnitud y fase deuna seal sinusoidal de frecuencia conocida

- Cuando expresamos una seal sinusoidal mediante un fasor,el trmino est implcitamente presentetje

V mV

17

6.4 Fasores- Entonces, tenemos dos formas de representar una seal sinusoidal:

Dominio del tiempo Dominio de fasorial(o dominio de la frecuencia)

)cos()( tVtv m V jmeV

- Clculo de v(t) conocido V: se multiplica el fasor V por el factor detiempo y se toma la parte real

tjetv VRe)( tje

- Clculo de V conocido v(t): se expresa v(t) como un coseno y se formael fasor a partir de la amplitud y la fase de la senoide

V jmeV)cos()( tVtv m

-Ejemplo 3: Calcular la suma de las corrientes e

A&S-3 Ej 9.6

)30cos(4)(1 tti

Solucin:

)20sin(5)(2 tti

- Realizaremos la suma en el dominio de la frecuencia

)30cos(4)(1 tti )27020cos(5)20sin(5)(2 ttti

301 4I

je250

2 5Ije

20

A 3.218j2.699 1.75454III 56.982503021jjj eee

- En el dominio del tiempo resulta

A 3.218I 56.98jeA )56.98cos( 3.218

]3.218Re[]IRe[)( )56.98(

teeti tjtj

19

6.4 Fasores

- Derivacin:

- Integracin:

)cos()( tVtv m

- En el dominio del tiempo

)cos()sin(dd

2 tVtV

tv

mm

V V

2 jeVjeV jmjm - Representacin fasorial del resultado:- Luego

- Suponemos

V d

)(d jttv dominiodel tiempo dominio dela frecuencia

- Anlogamente

V d)( jttv dominiodel tiempo dominio dela frecuencia

20

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- En este apartado veremos como expresar la relacin V-I de

R, L y C en el dominio de la frecuencia- Resistencia:

v

i R

V

I RDominio temporal Dominio frecuencial

)cos( tIi m- Suponemos

- Ley de Ohm: Riv )cos( tRIRiv m

I jmeI

V jmeRI

IV RLey de Ohm

- En una resistencia, la tensin y la corriente estn en fase!

21

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Resistencia:

- Diagrama fasorial para la resistencia

V

I R

V jmeRI I jmeI

- En una resistencia, la tensin y la corriente estn en fase!

22

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Bobina:

Dominio temporal Dominio frecuencial

)cos( tIi m- Suponemos

- Relacin v-i:

I jmeI

V )( 2 jmeLI

- La tensin est adelantada respecto de la corriente en 90

v

i L

V

I L

tiLv

dd

)sin(dd tLItiLv m

)cos( 2 tLIv m V jmeLIj

IV Lj

23

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Bobina:

- Diagrama fasorial para la bobina

V

I L

V )( 2 jmeLI

I jmeI

- La tensin est adelantada respecto de la corriente en 90

24

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Condensador:

Dominio temporal Dominio frecuencial

)cos( tVv m- Suponemos

- Relacin v-i:

V jmeVVI Cj d

d tvCi

v

i C

V

I C

)sin(dd tCV

tvCi m

- La tensin est retrasada respecto de la corriente en 90

I jmeCVj)cos( 2 tCVi m

I )( 2 jmeCV I1V Cj

25

6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Condensador:

- Diagrama fasorial para el condensador

V

I C

V jmeV I )( 2

jmeCV

- La tensin est retrasada respecto de la corriente en 90

26

6.6 Impedancia y admitancia- En el apartado anterior hemos obtenido la relacin tensin-corriente

en el dominio de la frecuencia para R, L y C:

- Estas expresiones recuerdan a la ley de Ohm (son relaciones V/I algebraicas)

I1V Cj IV Lj IV R

La impedancia Z de elemento de circuito es el cociente entre latensin fasorial V y la corriente fasorial I

- Definicin de impedancia:

- Matemticamente:

V

I Z

IV Z

- Se mide en Ohmios- La impedancia NO es un fasor!

27

6.6 Impedancia y admitancia- Impedancia para los elementos R, L y C vale:

Cj

CjC 1ZLjL ZRR Z

- La impedancia es una funcin compleja de la frecuencia.- En general:

XRZ j- La parte real de la impedancia se denomina resistencia R

reales)son X ,(R

- La parte imaginaria de la impedancia se denomina reactancia X- Si X > 0 se dice que la reactancia es inductiva- Si X < 0 se dice que la reactancia es capacitiva

- En los circuitos de AC la impedancia juega un papel anlogo a laresistencia en los circuitos de DC

28

6.6 Impedancia y admitancia- A veces resulta til trabajar con el inverso de la impedancia,

conocido como admitancia Y:

Z1Y

- Se mide en Siemens (S) o mhos

- En general, la admitancia es una funcin compleja de la frecuencia:

BGY j- La parte real de Y se denomina conductancia G

reales)son B ,(G

- La parte imaginaria de Y se denomina susceptancia B

29

6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.1 Leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial

Las leyes de Kirchhoff son vlidas en el dominio de la frecuencia,donde deben expresarse en forma fasorial

0 V1

M

mm 0 I

1

N

nn

- En consecuencia, todas las tcnicas de anlisis estudiadas paracircuitos de continua pueden extenderse directamente al caso de circuitos de alterna simplemente empleando fasores.

- Como ejemplo consideramos el circuito RL analizado previamente enel dominio del tiempo

30

6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.1 Leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial

- Volvemos al circuito RL con una fuente de tensinsinusoidal:

)cos()( S tVtv m - Aplicamos la KVL a la malla y resolvemos:

IIVS LR ZZ

0SV

jmeV

R

LISV

RR ZLjL Z

jmm

eZV

LjRV

||I

222|| LRZ RL /tan 1

0

||I jm e

ZV 0con

- En el dominio del tiempo:

)( 00||

Re||

Re]IRe[)( tjmtjjmtj eZ

VeeZ

Veti

)cos(||

)( 0 tZVti m

- Hemos obtenido i(t) de forma mucho ms sencilla que resolviendodirectamente en el dominio del tiempo !!

31

6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.2 Asociacin de impedancias- Asociacin de impedancias en serie:

N

nnN

121eq ZZZZZ

V 1V

I1Z

2V A

B

2Z

NV NZ

A

B

eqZ

V

I

32

6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.2 Asociacin de impedancias- Asociacin de impedancias en paralelo:

N

n nN 121eq Z1

Z1

Z1

Z1

Z1

N

nnN

121eq YYYYY

1IV

IA

B

NZ1Z

2Z

2I NI

A

B

eqZ

V

I

Z1Y

nn

33

-Ejemplo 4: Calcular la impedancia de entrada del circuito de la figura suponiendo que funciona a = 50 rad/s A&S-3 Ej 9.10

34

Solucin:

1Z

3Z2Zin Z

1010250

1Z 31 jj

Cj 2310503

13Z 22 jj

Cj 1082.0508Z 23 jjLjR

811)108()23( 10

ZZZZZ)Z||Z(Z Z

32

321321in

jjjj

07.1122.3 Zin j- Operando

35

-Ejemplo 5: Determinar v0(t) en circuito de la figura. A&S-3 Ej 9.11

36

Solucin:

- En primer lugar transformamos el circuito al dominio de la frecuencia

)154cos(20)( S ttv 15|20VS rad/s 4

25

101041Z 3

j

jCjC mF 10

H 5 2054Z jjLjL

- Fuente:

- Condensador:

- Bobina:

37

- Asociamos las impedancias en paralelo:

10020252025

ZZZZZ||ZZ2

jjjjj

CL

CLCL

V 15.1762.11620100

)20(62.116

100)20(10060

100VZZ

ZV

96.15)04.591590(

1504.59

9015

21

20

jj

jj

jj

S

ee

ee

eej

j

V )96.154cos(17.15)( 0 ttv

60Z1

CL Z||ZZ2 SV 0V

- Aplicando la frmula del divisor de tensin:

tjetv 00 VRe)(

38

6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.3 Anlisis de nudos y de mallas

- La resolucin de circuitos de alterna puede hacerse segn los siguientes pasos:

1- Se transforma el circuito del dominio del tiempo al dominio fasorial (o de la frecuencia)

2- Se resuelve el circuito aplicando las tcnicas estudiadas enlos temas 1-3 (anlisis de nudos, anlisis de mallas,superposicin, etc)

3- Se transforma la solucin obtenida al dominio del tiempo

- A continuacin veremos algn ejemplo de anlisis nodal y de mallas.

39

- Ejemplo 5: Determinar ix en el circuito de la figura utilizando anlisis nodal. A&S-3 Ej 10.1

40

Solucin:

- En primer lugar transformamos el circuito al dominio de la frecuencia

)04cos(20 t 0|20 rad/s 4H 1 414 jjLj H .50 25.04 jjLj

5.2

1.041 jjCjF .10

Circuito problema en el dominio de la frecuencia

41

- Resolvemos en el dominiode la frecuencia medianteanlisis de nudos

- Nudo 1:

4VV

5.2V

10V20 2111

jj

- Nudo 2:

2V

4VV2 221

jjI x

V 97.18618V 43.181je + j

V 91.1344213V 3.1982je.j.

5.2VI 1jx

- Se obtiene el siguiente sistema:

- Cuya solucin es:

- Entonces:

A 59.77.2+ 2.4 5.2

VI 4.1081 jx ejj

- En el dominio temporal:

A )4.1084cos(59.7)( ttix20V5.2V)5.11( 21 jj0V151V1 21

tjxx eti IRe)(

42

- Ejemplo 6: Calcular I0 en el circuito de la figura aplicando anlisis de mallas. A&S-3 Ej 10.3

43

Solucin:

- Malla 1:

- Malla 2:

- Malla 3:A 5I3

0)2)(II(10)II(I8 21311 jj

0204I)2)(II()2)(II( 9023212 jejj

- Se obtiene el siguiente sistema:

50I2I)88( 21 jjj 30I)44(2I 21 jjj

A 12.6I 22.352je

- Resolviendo:

A12.6 12.6

12.6II

38.144

18022.35

22.3520

j

j

j

ee

e

- Luego,

44

6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.4 Circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton

circuito linealde dos

terminales

A

B

A

B

Th ZThV

Circuito original

Equivalente de Thevenin

A

B

N ZNI

Equivalente de Norton

ThN ZZ NThTh IZV

- Los teoremas de Thevenin y Norton se aplican a los circuitos dealterna de forma anloga a como se hace en los de continua

45

6.8 Potencia instantnea y potencia media- Potencia instantnea:- Segn se defini en el Tema 1, la potencia absorbida o suministrada

por un elemento es el producto de la tensin entre los extremos delelemento por la corriente que pasa a travs de l

vi

)()()( titvtp - La potencia instantnea p(t) representa la potencia para cualquier

instante de tiempo t- Supongamos un circuito en estado sinusoidal permanente.

46

6.8 Potencia instantnea y potencia media- Potencia instantnea en estado sinusoidal permanente:- Supongamos un circuito en estado sinusoidal permanente- La tensin y la corriente en los terminales del circuito sern de la

forma:

)cos()( im tIti )cos()( vm tVtv

- La potencia instantnea vale

)cos()cos()()()( ivmm ttIVtitvtp - Aplicando la identidad: )cos()cos()cos()cos( 21 BABABA - resulta

fuentesinusoidal

red linealpasiva)( tv

)(ti

)2cos()cos()( 2121 ivmmivmm tIVIVtp

47

6.8 Potencia instantnea y potencia media- La potencia instantnea tiene dos partes:

)2cos()cos()( 2121 ivmmivmm tIVIVtp parte constante parte dependiente del tiempo

- La parte constante depende de la diferencia de fases- La parte temporal tiene frecuencia doble, 2 - p(t) es positiva parte del ciclo y negativa la otra parte

- Si p(t) > 0, el circuito absorbe potencia- Si p(t) < 0, la fuente absorbe potencia

48

6.8 Potencia instantnea y potencia media- Potencia media:- La potencia instantnea cambia con el tiempo, por tanto es difcil de

medir. - Definicin de potencia media

Es el promedio de la potencia instantnea a lo largo de un periodo

d)(1 0 T ttpTP

- Matemticamente:

- En el laboratorio la potencia media se mide con el vatmetro - Recordando que la potencia instantnea vale

)2cos()cos()( 2121 ivmmivmm tIVIVtp - y sustituyendo en la definicin de P, se obtiene

T ivmmT ivmm ttIVTtIVTP 0 210 21 d)2cos(1d)cos(1

49

6.8 Potencia instantnea y potencia media- Integrando

T ivTmmTTivmm ttIVtIVP 01210121 d)2cos(d)cos( 1 0

- queda )cos(21 ivmmIVP - expresin que no depende del tiempo

-Tambin se puede calcular la potencia media a partir de los fasores tensin y corriente )cos()( vm tVtv V vjmeV

)cos()( im tIti I ijmeI - Se observa que

)sin()cos( VI

21

21

21*

21

ivivmm

jmm

jm

jm

jIVeIVeIeV iviv

- Entonces )cos(VIRe 21*21 ivmmIVP

50

6.8 Potencia instantnea y potencia media- Consideramos 2 casos particulares de inters:

1. Circuito puramente resistivo (R): iv 0|I| )cos( 221

221

21

21 RRIIVIVP mmmivmm

- La potencia media para un circuito resistivo essiempre positiva (absorbe energa)

2. Circuito puramente reactivo (L o C): 2 iv

0)cos( )cos( 22121 mmivmm IVIVP- La potencia media para un circuito puramente reactivo es

siempre nula (no absorbe energa)

51

- Ejemplo 7: En el circuito de la figura, calcular las potencias mediassuministrada por la fuente y disipada por la resistencia A&S-3 Ej 11.3

52

Solucin:

*ff21f IVRe P *RR21R IVRe P- Para calcular las potencias medias

emplearemos las frmulas fasoriales:

- Comenzamos calculando la corriente:

A 118.1??24

5ZVIII 57.56

30

Rfj

j

ej

e V 5V 30f

je

- La potencia media suministrada por la fuente vale:

W5.2)57262.795cos(59.5Re

118.15ReIVRe 57.26

21

57.563021*

ff21

f

.e

eePj

jj

- La tensin en la resistencia vale:V 472.4118.14IV 57.5657.56fR

jj eeR - La potencia media disipada en la resistencia es:

W5.2118.1472.4ReIVRe 57.5657.5621*RR21R jj eeP

53


circuito linealde dos

terminalesV

I A

B

LZ V

I A

B

ThZ

ThV LZ

- En este apartado vamos a generalizar al caso de circuitos de alterna, el teorema de mxima transferencia de potencia visto en el tema 3:

En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, la transferencia de potencia media a la carga es mxima cuando la impedancia de carga ZL es igual al complejo conjugado de la impedancia del equivalente Thevenin del circuito fuente ZTh

Z Z *Thmax LPP

54

8|V|

Th

2Th

max RP


V

I A

B

ThZ

ThV LZ

- Demostracin- Partimos del equivalente Thevenin

del circuito fuente

LZZVI

Th

Th

- Para encontrar el mximo derivamos e igualamos a cero:

; 0P ThXXX LL

- La potencia media mxima resulta:

2Th

2Th

2Th2

21

)()(2/|V||I|

LL

LL XXRR

RRP LLL jR X Z

ThThTh X Z jR

2Th

2Th )( 0

P LLL

XXRRR

- Resulta:

Th XX L Th RRL *

ThZZ L (Adaptacin Conjugada)

55

-Ejemplo 8: Determinar la impedancia de carga ZL que maximiza la potencia media absorbida del circuito. Cunto vale dicha potencia mxima? A&S-3 Ej 11.3

56

Solucin:

- Comenzaremos calculando el equivalentede Thevenin del circuito fuente

- Impedancia de entrada:

467.4933.2 5)jsin(10.31)31.10cos(2.983

52.983

5416.13

40

5684)68(4

5)]68(||4[ Z

31.10

57.26

87.36

Th

jj

je

je

e

jjj

jj

j

j

j

57

- Tensin de Thevenin:- Por divisin de tensin

V 45.7416.13

100

10684

68V

31.1057.26

87.36

Th

jj

j

ee

ej

j

47.499.2ZTh j

ThV LZ- La impedancia de carga deber ser:

47.493.2ZZ *Th jL

W37.293.28)45.7(

8|V| 2

Th

2Th

max RP

- Para esta impedancia de carga, la potencia media disipada es:

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