Presentacion análisis numérico 5 a

ANÁLISIS NUMÉRICOING. GIORDANO AVELLANEDA A.

AJUSTE DE CURVASREGRESIONES E INTERPOLACIONES

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REGRESIONESIntroducción

INTRODUCCIÓN

Cuando se realizan mediciones experimentales a fenómenos físicos (que pueden ser descritos por modelos matemáticos), es de esperarse que los resultados registrados sigan el comportamiento de las formulas que los describen, no obstante factores como la precisión de los instrumentos, factores externos, irregularidades en la geometría de los elementos, variaciones en las propiedades mecánicas, dan lugar a errores que dificultan la compresión de los mismos.

Las regresiones, permiten obtener curvas con el mínimo error que pasen cerca (o por) los puntos registrados, facilitando el análisis de los datos y permitiendo el uso de dichas funciones para predecir nuevos datos o nueva información a partir del análisis de las funciones generadas.


INTRODUCCIÓN

En la ingeniería, es común el uso de modelos matemáticos ya tengan una base “teórica” o “empírica” para la evaluación, cálculo y solución de diferentes problemas, las regresiones no solo facilitan en análisis de datos sino que además permiten la formulación de estos modelos, un ejemplo de esto puede ser la expresión definida para el cálculo del módulo de elasticidad del concreto:

En general: Ec=constante*f’c0.5, la NSR-10 en el apartado C.8.5 permite el uso de: Ec=4700*raíz(f’c) o en caso de no contar con información del agregado: 3900*raíz(f’c) como expresión general, donde Ec y f’c están en MPa, (f’c es la resistencia del concreto a los 28 días).


INTRODUCCIÓN

Esta expresión fue producto de una regresión a partir de una nube de puntos construida con datos de laboratorio a nivel nacional:

Gráficos experimentales de la variación y comportamiento del módulo de elasticidad [1]

REGRESIONESMínimos Cuadrados

Mínimos Cuadrados caso lineal:

El método de mínimos cuadrados consiste en la minimización de la suma de los cuadrados de los residuos entre la “y” medida y la “y” de la función ajustada.

Sea yi=y experimental, y=a1x+a0 la función obtenida de la regresión:

ei2=(yi – (a1xi+a0))2, esta expresión representa el cálculo del cuadrado del error

entre el valor real y el valor de la curva ajustada para un punto (xi, yi), la deducción del método surgiría entonces de minimizar esta función.

*Para minimizar una función se utiliza la derivada.


Mínimos Cuadrados

Donde x y y son las medias de x y y


Cuantificación del error

Coeficiente de correlación


Ejercicio 1:

La siguiente tabla presenta el aumento del flujo vehicular en horas pico durante los últimos 10 años para una carrera principal:

Año Cantidad/hr2005 321712006 344352007 353732008 365912009 383852010 390682011 403372012 408532013 426442014 44920


Ejercicio 2:

Es posible realizar regresiones a funciones que no tienen un comportamiento lineal, “linealizando las mismas”, a continuación se presenta la respuesta a un sistema de un grado de libertad, el valor ξ corresponde a la relación de amortiguamiento del sistema, y es en función de este que disminuye la amplitud de la oscilación:

Al aplicar logaritmo a la amplitud (desplazamiento), se linealiza la función entonces se tendría una fórmula de la forma: ln(X)=ξ*wn*t, cuando se calcule la regresión entonces, la pendiente será igual a ξ*wn, wn es la frecuencia natural, es decir 2π/t, y t es el periodo, es decir la distancia entre picos.

REGRESIONESMínimos Cuadrados Regresión Polinómica

Mínimos Cuadrados regresión polinómica:

Del mismo modo que se generó el procedimiento para la regresión lineal, es posible realizar regresiones de mayor grado, las siguientes expresiones, indican como calcular los coeficientes para un polinomio de grado n, producto de la regresión aplicada a una serie de datos:

Es importante recordar que una regresión de mayor grado no implica necesariamente una mejor aproximación, el uso de análisis dimensionales y la formulación matemática de los escenarios, eventos o fenómenos físicos estudiados permite entender el tipo y grado de la función esperada para la regresión.

REGRESIONESMínimos Cuadrados Regresión lineal múltiple

Mínimos Cuadrados regresión lineal múltiple:

Ya estudiamos como realizar una regresión cuando se tiene una variable dependiente “y” y una variable independiente “x”, pero que ocurre cuando y(x1,x2,x3,…,xn)?, al igual que como ocurrió con la regresión polinómica y como se demostró para la regresión lineal, la expresión para generar los coeficientes de “a” puede expresarse como sistema de ecuaciones lineales:

Caso para y(x1, x2) [2]

REGRESIONESMínimos Cuadrados Regresión lineal múltiple

Ejercicio 3:

Ejercicio 17.17 Tomado de [2]

INTERPOLACIÓNIntroducción

Interpolación:

En ingeniería, es común contar con una serie de datos resultado de procedimientos experimentales y muestreos a partir de los cuales se deben generar nuevos datos (ya sea dentro de los rangos de los datos originales “Interpolación” o proyecciones fuera de estos “Extrapolación”) ó construir funciones que permitan hacer continuo el fenómeno que se esta midiendo.

Los métodos de interpolación permiten la generación de curvas que pasan por los puntos tomados como referencia y permiten realizar un pronóstico del valor para nuevos puntos.

INTERPOLACIÓNInterpolación polinomial de Newton

Interpolación polinomial de Newton (en diferencias finitas divididas):

Existe variedad de formas alternativas para realizar interpolaciones polinomiales, entre estas, la interpolación polinomial de Newton es una de las más populares.

La forma más simple de unir dos puntos e interpretar lo que ocurre entre estos surge de trazar una linea recta entre estos, esto sería “interpolación lineal” cuya fórmula ya fue presentada en temas anteriores:

f1(x)=f(x0)+(f(x1)-f(x0))*(x-x0)/(x1-x0)

El término (f(x1)-f(x0))/(x1-x0), además de ser la pendiente de la recta de interpolación, es una aproximación en diferencia dividida finita a la primera derivada de la función de interpolación, se concluye entonces, que entre menor sea el intervalo, mejor será la aproximación estimada.

El polinomio de segundo grado (que requiere tres puntos para su conformación), puede ser evaluado a partir de:

*Puede demostrarse que existe un único polinomio de grado n que pasa por n+1 puntos.

INTERPOLACIÓNInterpolación polinomial de Newton

Interpolación polinomial de Newton:

Generalizando, es posible calcular el polinomio de grado n para n+1 términos como [2]:

Donde:

INTERPOLACIÓNPolinomios de interpolación de Lagrange

Polinomios de interpolación de Lagrange:

En teoría, el polinomio de interpolación de Lagrange es sencillamente una reformulación del polinomio de Newton, con lo cual se evita el cálculo de diferencias finitas divididas.

La expresión, relativamente sencilla proviene de la sumatoria del producto de cada uno de los coeficientes Li con su respectivo f(xi) donde: Li: es calculado a partir de la productoria definida por [2]:

INTERPOLACIÓNTrazadores splines

Trazadores splines:

Los métodos vistos hasta ahora, permitían generar polinomios de grado n para realizar la interpolación entre n+1 puntos, sin embargo este tipo de cálculo, en algunos casos lleva a resultados erróneos debido a errores de redondeo y puntos lejanos.

Un procedimiento podría realizarse a partir del uso de polinomios de grado inferior en subconjuntos de datos, estos polinomios se conocen por el nombre de trazadores o splines.


Trazadores de primer orden:

Los trazadores de primer orden (lineales), son básicamente una interpolación lineal entre cada par de puntos, en algunos casos pueden ser incluso mas certeros que los polinomios de interpolación vistos:


Trazadores de segundo grado:

Para asegurar que las derivadas m-ésimas sean continuas en los nodos, se debe emplear un trazador de un grado de almenos, m+1.

En la práctica se emplean con más frecuencia los trazadores cúbicos que aseguran continuidad en la primera y segunda derivada (aunque las derivadas de mayor orden podrían ser discontinuas cuando se usan estos trazadores, usualmente no pueden detectarse de forma visual motivo por el cual pueden ser ignoradas).



De manera general, para cada intervalo, el polinomio se representa como fi(x)=aix2+bix+ci

Los valores de la función de polinomios adyacentes deben ser iguales en los nodos interiores

Además la primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos



Para un conjunto de n+1 datos, tendriamos 3n incognitas, (habrian n intervalos cada uno con 3 incognitas a, b, c).

Con las relaciones presentadas en la diapositiva anterior, tenemos 2n condiciones, esto implica que aun requerimos n condiciones más para establecer el sistema de ecuaciones que queremos solucionar, esto se logra con el uso de la primera derivada:

F’(x)=2ax+b

Esto proporciona n-1 condiones más, a menos que se conozca algún tipo de condición adicional, se debe realizar una elección arbitraria para calcular las constantes. Una opción puede ser suponer que en el primer punto, la segunda derivada es 0 (esto implicaría que los dos primeros puntos de nuestra interpolación quedarán unidos por una recta).


Trazadores cúbicos:

Los trazadores cúbicos como su nombre lo indica, se componen por funciones de 3er grado de la forma f i

(x)=aix3+bix2+cix+di.

Debido a que estos se componen de funciones de 3er grado, se tiene para n+1 datos, 4*n incógnitas (y por esto mismo se requiere de 4*n ecuaciones).

(2*n-2) condiciones asociadas la condición de “los polinomios evaluados en los puntos interiores deben ser iguales a los respectivos valores de dichos puntos”.

(2) El primer y último polinomio deben pasar por los puntos externos.

(n-1) Las primeras derivadas deben ser continuas en los nodos internos.

(n-1) las segundas derivadas deben ser continuas en los nodos internos.

(2) Las segundas derivadas en los extremos deben ser iguales a “0” (esta condición es asignada arbitrariamente por quien realiza el ajuste)

Esta condición en los extremos lleva a lo que se denomina “trazador natural”.

GRÁFICOS EN MATLABHerramientas para graficar

Como lo hemos visto con anterioridad, MATLAB, está enfocado principalmente al trabajo con matrices, por lo tanto no es de extrañar que los argumentos principales de las funciones para graficar, sean de este tipo.

Las matrices argumentos, contienen las posiciones, de puntos por donde pasará la línea o la superficie.

Estas matrices pueden ser generadas, por medio del operador “ : ” , o con el comando “linspace”


Procedimiento:

1- preparar los datos.

2- crear una ventana para colocar la gráfica.

3- llamar a la función que hace la gráfica.

4.-Establecer las características de las líneas y de los marcadores.

5-establecer las propiedades de los ejes.

6-construir las etiquetas y anotaciones necesarias.


Preparación de los datos.

Observación:Probar la entrada de datos con el comando Linspace.

Seleccionar la ventana de gráficación y la posición de la gráfica dentro de la misma.

>> x = 0:0.1:10;

>> y = sin(x) +cos(x.^2);

>> figure(1);


Llamado de la función de graficación.

Establecer las características de la línea y marcadores.

>> h = plot(x,y,x,y);

Para cambiar el grosor de la línea>> set(h,'LineWidth',2)

Para cambiar el estilo de la línea>> set(h,{'LineStyle'},{'--';'.'})

Para cambiar el color>> set(h,{'Color'},{'r';'b'})

Para cambiar el tamaño del marcador>> set(h,'MarkerSize',16)


Colores Líneas Marcadores


Establecer las propiedades de los ejes.

Construir las etiquetas y anotaciones necesarias en la gráfica.

Guardar la gráfica

>> axis([0 10 -2.5 2.5])>> grid on

>> xlabel('Tiempo')>> ylabel('Amplitud')>> legend(h, 'Línea continua',‘Puntos')>> title(‘Función Trigonométrica')

>> saveas(figure(1), 'Ejemplo-grafica.bmp')


Ejercicio 1

Cambiar el ancho de la línea a 3 .

Cambiar colores del gráfico a rojo.

Cambiar el marcador y el tamaño del marcador a x tamaño 15.

Cambiar escala de los ejes (0-20; -100 a 100)

Colocar titulo de los ejes, legenda y cuadricula.

GRÁFICOS EN MATLABVarias Gráficas en la misma Figura

>> x=linspace(0,2*pi,300);

>> y=sin(x);

>> z=sin(x+pi/3);

>> figure(2);

>> h1=plot(x,y,'r',x,z,'b');

>> grid on;

GRÁFICOS EN MATLABFunciones divididas por intervalos

GRÁFICOS EN MATLABFunciones gráficas elementales

plot gráfico con escala lineal en ambos ejes

loglog gráfico con escala logarítmica en ambos ejes

semilogx gráfico con escala logarítmica en el eje x y escala lineal en el eje y

semilogy gráfico con escala logarítmica en el eje y y escala lineal en el eje x

plotyy gráfico con escala lineal en ambos ejes y con dos ejes y (uno a la derecha y uno a la izquierda

GRÁFICOS EN MATLABFunciones gráficas elementales

>> semilogx(1:100,'+')

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

100

101

102

100

101

102

>> loglog(1:100,'+')

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

0

101

102

>> semilogy(1:100,'+')

GRÁFICOS EN MATLABGráfico con dos ejes Y

GRÁFICOS EN MATLABGraficación múltiple

GRÁFICOS EN MATLABInterprete TEX

GRÁFICOS EN MATLABGráfica de barras agrupadas

>> Y = [5 2 18 7 39 8 65 5 54 3 2];

>> bar(Y)

¿Qué sucede con “bar3”?

Revisar:

>> bar(Y,'stack')

>> barh(Y,'stack')

GRÁFICOS EN MATLABHistogramas

>> y = randn(10000,1);>> hist(y)

GRÁFICOS EN MATLABGráfica de Áreas

>> y= [5 2 1; 8 7 3; 9 8 6; 5 5 5; 4 3 2]

y =

5 2 1 8 7 3 9 8 6 5 5 5 4 3 2

>> area(y)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

GRÁFICOS EN MATLABGráficos en coordenadas polares

>> theta=linspace(-pi,pi,100);>> r=2-4*cos(theta);>> polar(theta,r)

Ver cambios de coordenadas polares a cartesianas

Comando pol2cart

GRÁFICOS EN MATLABGráficas en 3D

Se generan de una manera similar a las curvas en el plano, con la diferencia de que aquí se utilizan los comandos plot3 o comet3, también existe un comando quiver3 para dibujar vectores velocidad sobre las curvas.

>> t = 0:pi/50:10*pi;>> plot3(sin(t),cos(t),t)>> axis square; grid on

GRÁFICOS EN MATLABCurvas de nivel

Dada una función z = f(x; y), las curvas sobre el plano XY , determinadas por f(x; y) = k, donde k es una constante se llaman curvas de nivel.

Vamos a representar la gráfica de la función

• Creamos el mallado[x,y]=meshgrid(-2:.1:2);

• Sustituimos en la función, para calcular los valores de z.z=x.^2+y.^2;

• Creamos la curva usando cualquiera de los comandos.contour(x,y,z,10) % dibuja 10 curvas de nivelcontour3(x,y,z,10) % lo mismo, pero en el espaciopcolor(x,y,z),colorbar

GRÁFICOS EN MATLABCurvas de nivel

GRÁFICOS EN MATLABSuperficies en el espacio

GRÁFICOS EN MATLABSuperficies 3D

Comando “mesh”: Dibuja superficies 3D

>> [X,Y] = meshgrid(-8:.5:8);>> R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps;>> Z = sin(R)./R;>> mesh(Z)

GRÁFICOS EN MATLABSuperficies en el espacio

Comando “surf”:

>> [x,y] = meshgrid([-2:.2:2]);>> Z = x.*exp(-x.^2-y.^2);>> surf(x,y,Z,gradient(Z))>> colorbar

Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA

[1] Ruiz, D. (2007), Propuesta de modificación de la ecuación para la estimación del módulo de elasticidad del concreto en función de la resistencia a la compresión para Bogotá. Revista de la Escuela Colombiana de Ingeniería N°67 Julio - Septiembre. pp 7-15.

[2] Steven C. Chapra , métodos numéricos para ingenieros 5ta edición, MCGRAW-HILL / Interamericana de México, 2007

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Engineering

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