Universidad Nacional Agraria La Molina

Modelación hidrodinámica unidimensional de ríos con geometría de cauces compleja

Eduardo A. Chávarri Velarde (UNALM)

Alain Crave (IRD)

Abel Mejia Marcacuzco (UNALM)

Marie Paule Bonnet (IRD)

Tabatinga (Brasil) / Leticia (Colombia) , Octubre - 2009

Instituto de Investigación para el Desarrollo

HIPOTESIS• Es posible modelar los

hidrogramas de caudales y profundidades de agua mediante un modelo hidrodinámico unidimensional de tránsito de flujo a lo largo de una geometría natural de cauces compleja, como son los ríos trenzados de la cuenca Amazónica.

IntroducciónEs conocido que las ecuaciones de SaintVenant son frecuentemente aplicadas atramos rectos de ríos o canales pero rara veza tramos enteros de un río. Ello debido aque existen marcadas discontinuidades enlas características geométricas e hidráulicasdel curso de agua.Típicos ejemplo son las confluencias en las cuales la sección transversalcambia de manera frecuente. Estos incidentes geométricos son locales yrequieren leyes hidráulicas específicas relacionadas a las ecuacionesdiferenciales de flujo no permanente.Sin embargo es factible pensar que un modelo hidrodinámico de un río puedaser considerado como formado por un conjunto de tramos en cada uno de loscueles la hipótesis de Saint Venant es valida y esta ligada a puntos especialesdonde se introducen ecuaciones particulares. Estos puntos por analogía con lascondiciones de borde externas se conocen como condiciones de borde internas.

ObjetivosConstruir y validar un modelo hidrodinámico 1D que simule la geometríadel cauce de ríos trenzados con presencia de múltiples convergencia ydivergencia.Utilizar el método de linealización de las ecuaciones de Saint Venantmediante la aproximación de Preissmann, con el objeto de superar ladificultad impuesta por la naturaleza cuasilineal de dichas ecuaciones.Presentar una aplicación teórica con el objeto de evaluar la importancia quetiene el considerar condiciones de borde internas en modelos hidrodinámicosde ríos como los pertenecientes a la cuenca Amazónica.

MetodologíaEcuaciones de continuidad y conservación del momento de Saint Venant

(Tramos rectos)La ecuación de continuidad [LT-1]

Donde: y: Profundidad de agua [L]Q : Caudal [L3T-1]q : Caudal de aporte lateral [L3T-1]b : Ancho del cauce [L]x : Distancia longitudinal a lo largo del tramo [L]t : Tiempo [T]

La ecuación de conservación del momento [L3T-2]

DondeSf: Pendiente de friccióng: Gravedad [LT-2]v : Velocidad del flujo lateral en la dirección principal del flujo en el tramo del río.σ : Factor de la técnica: Local Partial Inertial (Fread, 1986)β : Coeficiente de Boussinesq

xbq

xQ

bty

∂=

∂∂

+∂∂ 1

qvgASfxygA

AQ

xtQ ββσσ =+

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂ 2

MetodologíaEcuaciones de continuidad y conservación del momento de Saint Venant

(Tramos ramificados: Singularidades o Condiciones de borde internas)La ecuación de continuidad [LT-1]

Donde: y: Profundidad de agua [L]Q : Caudal [L3T-1]q : Caudal de aporte lateral [L3T-1]b : Ancho del cauce [L]x : Distancia longitudinal a lo largo del tramo [L]t : Tiempo [T]

La ecuación de conservación de energía [L]

Donde:

A: Área transversal [L2]g: Gravedad [LT-2]σ : Factor de la técnica: Local Partial Inertial (Fread, 1986)

xbq

xQ

bty

∂=

∂∂

+∂∂ 1

2

3

333

2

1

111 2

121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

i

iii

i

iii A

Qg

yAQ

gy σσ

2

3

333

2

2

222 2

121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

i

iii

i

iii A

Qg

yAQ

gy σσ

Según la literatura es posible utilizar hasta 03 relaciones:

213 iii QQQ +=

213 iii YYY +=

Para evaluar la aplicabilidad del modelo se comparó los resultados de simular 02 tiposde geometrías: simple y compleja.Las características principales de los hidrogramas de ingreso y salida fueron:

Aplicación teórica

Según la literatura el gradiente del hidrograma influye en el termino de aceleracióninercial

tu

g ∂∂1

ΔQ [m3/s] ΔQ/Δt [m3/s2]1.0543 0.00001221.0515 0.00001221.1000 0.00001271.0907 0.00001261.0835 0.00001251.0770 0.00001251.0714 0.00001241.0800 0.00001251.0833 0.00001251.0256 0.00001190.9750 0.00001131.0256 0.00001191.0833 0.00001251.0800 0.00001251.0714 0.00001241.0770 0.00001251.0835 0.00001251.0907 0.00001261.1000 0.00001271.0515 0.00001221.0543 0.0000122

.Valores mayores a 0.015 m3/s2 pueden causar pobre estimación de larelación entreΔv y Δt, creando inestabilidad al modelo.

Aplicación TeóricaCondiciones geométricas e hidráulicas

•Pendiente = 0.06/1000 (Según la literatura se ha demostrado numéricamente que la curva Q(y) presenta gran histeresis cuando la pendiente es mayor a 0.1/1000.

•Ancho medio = 300.0 m.

•Coeficiente de Manning=0.020

Condiciones iniciales

•Velocidad promedio=1.252 m/s

•Profundidad de agua promedio = 5.81 m.

Resultados….

12346 57810 91112131415L=14000 m.

12346 57810 91112131415 12346 57810 91112131415L=14000 m.

Resultados….

12346 57

8

10 91112131415

L=14000 m.

12346 57

8

10 91112131415

L=14000 m.

Hidrogramas en puntos de control

5.5

5.7

5.9

6.1

6.3

6.5

6.7

6.9

7.1

7.3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Tiempo (Dias)

Prof

undi

dad

de a

gua

(m)

1

2

34

5

6

9

10

1214

Tiempo al pico (días)

Caudal pico (m3/s)

Tiempo al pico (días)

Profundidad máxima (m)

Tiempo al pico (días)

Caudal pico (m3/s)

Tiempo al pico (días)

Profundidad máxima (m)

Simple 300 0.02 0.06/1000 9.994 4000 9.992 8.5 10.219 3995.87 10.204 7.2Compleja 300 0.02 0.06/1000 9.997 4000 9.997 8.4 10.219 3996.17 10.219 7.2

Nodo 15 Nodo 01Caudal Profundidad de agua Caudal Profundidad de aguaGeometria Ancho

(m)Coeficiente Manning (n) Pendiente (s)

Resultados….

CASOS DEFINIDOS PARA INCORPORAR LAS CONDICIONES DE BORDE INTERNO

(Presencia de Islas)

Metodología para linealizar las ecuaciones de Saint Venant mediante el Esquema de Preissmann

Las aproximaciones de las derivadas en el tiempo y espacio son:

Cuando ψ=0.5, la ecuación, se conoce como el esquema de Preissmann de 4puntos en el cual la derivada en el tiempo se aproxima como:

y el coeficiente θ tiene valores entre 0.5 y 1.0.

En nuestro caso se ha encontrado que el modelo resulta mas estable cuando ψ =0.7 y θ = 0.7

A pesar de que el modelo es condicionalmente estable, se utiliza el criterio deCourant-Friedricks-Lewy (CFL) para definir el paso de tiempoΔt

gYcxtc =≤

ΔΔ ,1