Perlas e incógnitas

En estas diapositivas se muestra un problema extraido de la obra El hombre que calculaba de Malba Tahan, con motivo de hacer una atractiva introducción al estudio del Álgebra y a los métodos de resolución de ecuaciones propios de 4º ESO y 1º y 2º de Bachillerato, además como motivación y ejercicio de la practica matemática como ejercicio conjunto de razonamiento lógico y creatividad.

Conociendo al autor

Malba Tahan, entre otros, es el pseudónimo de Julio César de Mello y Souza, profesor y escritor brasileño (1895-1974). Durante su vida escribio alrededor de 120 libros, incluyendo cuentos, textos de divulgación y enseñanza de las Matemáticas, así como inovadores desarrollos pedagógicos.

Conociendo la obra

El hombre que calculaba fue escrito en 1938. En el año 2001 llegó a su 54a edición. En él, el autor pone en boca de Beremiz Samir una serie de problemas matemáticos combinados con una delicada redacción y poniendo en manifiesto el interes de Mello y Souza por la culturas de Oriente Medio.

EnunciadoUn rajá dejo un cierto número de perlas como herencia a sus hijas y bajo las siguientes condiciones para su reparto. A la hija mayor se le dejaria tomar una perla y después se le adjudicaria una septima parte de lo que quedase. A la segunda, tomar dos perlas y otro septimo de lo que quedase. Y así sucesivamente para el resto de las hijas. Las más jovenes presentaron sus quejas al juez, ya que, según ellas, recibirían menos que las primeras.

El juez, habil en la resolución problemas, concluyó que el reparto era justo, pues a cada hija le correspondía el mismo número de perlas que al resto de sus hermanas.

¿Cúal es el número de perlas y el número de hijas?

Definiendo una estrategia

Aunque este problema tiene un enunciado propenso a aplicarle los métodos de la Aritmética, vamos a darle un enfoque algebraico, considerando y trabajando en todo momento con el número total de perlas que forman esta misteriosa herencia.

La ventaja de seguir este método, además de reducir mucho el número de variables es que presenta una sorpresa en su solución.

Pasemos a plantear la solución. Lo primero que hemos de hacer es definir una incognita. En este problema se nos presenta dos, el número de perlas que consta la herencia y el número de hijas que tiene el rajá.

Sabemos que el reparto es equitativo, siendo la cantidad de perlas herada por cada hija igual a la de las otras, luego empezaremos definiendo el número de perlas que reciben la primera y segunda hija en función del número de perlas en total.

Definimos x como el número de perlas que forma la herencia y n al número de hijas del rajá. Tal como se plantea el enunciado, podemos expresar el número de perlas que han extraido la primera y segunda hija. Según esto, la primera coge una perla y una septima parte de las que queda, que son todas menos la que ha sustraido.

En términos algebraicos, podríamos decir que ha cogido una perla más una septima parte de x-1 (donde hemos tenido en cuenta la perla que ha cogido con anterioridad)

Ahora toca usar el lenguje matemático. Así pues, todo lo anterior indica con seguridad que el número de perlas de la herencia asociadas a la hija mayor es de:

nº de perlas de la primera hija : 1+17(x−1)

Aplicando este proceso a la segunda hhija, sabemos que ha tomado dos perlas más un septimo de lo que quedaba. Tenemos que definir, como antes, esta cantidad. De las x perlas iniciales hay que restarles las adjudicadas a la hija mayor menos las dos que tomo la segunda con anterioridad. Así pues:

nº de perlas de la segunda hija : 2+17(x−

(6+ x)7

−2)

Ahora, como todas las hijas reciben el mismo número de perlas, la herencia correspondiente de la primera y segunda hija han de ser iguales. Así pues:

1+17(x−1) = 2+

17(x−

(6+ x)7

−2)

(x+ 6)

7= 2+

17(7x7

−(6+ x+ 14)

7)

(x+ 6) = 14+(6x−20)

77x+ 42 = 98+ 6x−207x−6x = 98−20−42

x = 36

Con un poco de reflexión, el lector habrá ciado en la cuenta que para resolver el problema se han recurrido a los métodos de igualación y reducción de expresiones, muy frecuentes en la resolución de problemas con una y dos incógnitas, y es exactamente lo que se ha hecho.

Los métodos algebraicos anteriores, aunque se pueden considerar muy simples en su definición, son herramientas muy poderosas que nos permiten acercarnos a la solución de cualquier problema surgido en las muchas ramas de las ciencias Matemáticas.

Calculemos el números de hijas del rajá, n. Según las condiciones del enunciado, este ha de ser tal que si dividimos el número de perlas entre el número de hijas nos ha de dar la cantidad de perlas que recibe cada hija. Veamos primero este número, que es calculable con los datos y la información que tenemos.

Si x=36 perlas, y sabiendo lo que recibe, por ejemplo, la primera hija, tenemos que:

1+17(36−1) = 1+ 5 = 6

Y al ser la cantidad de perlas que recibe cada hija igual a la de las otras y las consideraciones entabladas en las diapositivas anteriores podemos concluir con mucha seguridad que el numero buscados es:

36 = 6⋅nn = 6 hijas tiene el rajá

Observaciones

La belleza de los enunciados de la obra de Malba Tahan radica no solo en la originalidad de los métodos de resolución de los problemas numéricos, sino también en su contenido.

La solución de este problema pasa por un tipo de número denominado perfecto. Estos números poseen la propiedad de expresarse como suma de sus divisores. Así pues, vemos que 6=1+2+3 y 36=62, siendo el cuadrado de un número perfecto.

BibliografiaAlgunos títulos acordes con los contendos aqui tratados son los siguientes:

● El enigma de Fermat. Tres siglos de desafio a la matemática. Albert Violant, ed. RBA

● Los números primos. Un largo camino al infinito, Enrique Gracián, ed. RBA.

● Pasiones, piojos, dioses... y matemáticas, A.J.Durán, ed. Barcelona, Destino.