Presentación Lógica Matamáticas
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7/25/2019 Presentacin Lgica Matamticas
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Lgica Proposicional
Profesor: Oswaldo Aruz Arroyo
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7/25/2019 Presentacin Lgica Matamticas
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Universidad de GuayaquilAgenda
Proposiciones Simples
Conectivos y proposiciones compuestas.
Tablas de verdad
Construccin de tablas de verdad para
proposiciones compuestas
Formas derivadas del condicional
Simbolizacin
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Universidad de GuayaquilProposicin
Es un enunciado alcual se le puede
asociar el concepto
de verdaderoo falso,
pero no ambos.
Ejemplos:
La luna es cuadrada
7 es un nmero primo
Las araas son
mamferos
Son proposiciones? Qu hora es?
Por favor, cierre lapuerta
El 6 de abril de 1876 fuesbado
Dice el Presidente:
Todos en este pas sonunos mentirosos y estoes verdad
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Universidad de GuayaquilProposiciones compuestas
Conectivos
Conocido el valor de verdad de ciertasproposiciones, la lgica establece el valor
de verdad de otras relacionadas con stas.
A stas ltimas se les conoce como
proposiciones compuestas
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Universidad de GuayaquilNegacin
Si p es unaproposicin, entonces
no p es la negacin
de p y se denota por:
~ p
Ejemplo:
p: Hoy es martes
~ p: Hoy no es martes
Qu sucede con lanegacin de p,
siendo p verdadero?
Qu sucede con lanegacin de p,
siendo p falso?
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Universidad de GuayaquilNegacin
Esto lo podemosescribir de una
manera
compacta,
utilizando una tabla
A esta tabla se le
llama tabla de
certeza de lanegacin
p ~ p
V F
F V
Posibilidades para la proposicin p
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Universidad de GuayaquilNegacin
Como sinnimosde no, se utilizanlas siguientes expresiones:
No es cierto que ..
No es el caso que
Es falso que
No sucede que.
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Universidad de GuayaquilConjuncin
Si p y q sonproposiciones, se
llama conjuncin de p
y q a la proposicin
compuesta p y q yse denota por:
p q
Ejemplos:p: Hoy es martes
q: La luna es cuadrada
r: maana es mircoles
p q :Hoy es martes y
la luna es cuadrada
p r :Hoy es martes y
maana es mircoles
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Universidad de GuayaquilConjuncin
Para construir latabla de p q,
debemos considerar
las diferentes
alternativas devalores de verdad
para p y para q:
Cules son ?
Ambas verdaderas
una V y la otra F
ambas falsas
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Universidad de GuayaquilConjuncin
Se toman como sinnimos de la conjuncin:
Adems
Pero Sin embargo
Aunque
Tambin
AnA la vez
No obstante
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Universidad de GuayaquilConjuncin: p ^ q
Lus estudia ,ademsde trabajar
Lus estudi perono aprob
Lus canta, sin embargo no baila
Lus jug futbol aunque estaba lesionado
Lus juega futbol , tambinJos
Lus sali, anno llega
Lus cocina a la vez que canta Lus viajar no obstante est sin visa
Lus canta , no baila.
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Universidad de GuayaquilDisyuncin Inclusiva
Si p y q sonproposiciones,
se llama
disyuncin de
p y q a la
proposicin
compuesta p
o q y sedenota por:
p
q
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Universidad de GuayaquilDisyuncin
Sercantante o futbolista
p: Sercantante
q: Serfutbolista
Simbolizacin:
p q
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Universidad de GuayaquilCondicional
Si p y q sonproposiciones, se
llama condicional de p
y q a la proposicin
compuesta si p,entonces q y se
denota por:
p q
Ejemplos: Si no llueve
(entonces) iremos a la
playa
Si me gano la lotera
(entonces) me voy de
viaje
Si no estudio(entonces) no
aprobar Lgica
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Universidad de GuayaquilCondicional
Veamos la tabladel condicional:
p q
Conviene pensar en
una promesa ..... Si
no llueve (entonces)iremos a la playa
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
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Universidad de GuayaquilCondicional
El condicional es falso,slo cuando el
antecedente es
verdadero y el
consecuente es falso;es decir, cuando la
promesa no se
cumple.
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
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Universidad de GuayaquilCondicional
El condicional es muyimportante en
matemticas, porque
los Teoremas se
expresan en formacondicional.
Un Teorema ser un
condicional verdaderocon hiptesis verdadera
p q p q
V V V
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Universidad de GuayaquilCondicional
Algunas expresiones del lenguaje que indican lapresencia de un condicional (p q), son las
siguientes:
pes condicin suficiente para q
Si p, q
qsip
Que psupone que q
Cuando p, q
qes condicin necesaria para p
En caso de que pentonces q
q slo si p
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Universidad de GuayaquilCondicional y Teoremas
En los Teoremas, al antecedente delcondicional (p) se le llama Hiptesis y al
consecuente (q) se le llama Tesis o Conclusin
Los Teoremas requieren de una demostracin;
es decir, partiendo de una hiptesis verdadera,
hay que demostrar que la Conclusin es
verdadera.
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Universidad de GuayaquilTablas de verdad
Recordemos que el valor de certeza de unaproposicin compuesta depende de los
valores de certeza de las proposicionessimples que la componen
Para analizar los valores de certeza de una
proposicin compuesta, representamostodas las posibilidades de valores de verdadde las proposiciones simples, en un arreglode tabla
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Universidad de GuayaquilEjemplo con 2
proposiciones simples
Construyamos la tabla de verdad para
la siguiente proposicin :(pq)(p~q)
4 filas de posibilidades
p q
V V
V F
F V
F F
pq p~q
V F
F V
F V
F V
~q
F
V
F
V
(pq)(p~q)
F
F
F
F
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Universidad de GuayaquilEjemplo con 3
proposiciones simples
Cuntasposibilidades
tendremos?
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
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Universidad de GuayaquilEjemplo con 3
proposiciones simples
p q r
V V VV V F
V F V
V F F
F V VF V F
F F V
F F F
rp qp ~(qp)
V V FV V F
V V F
V V F
V V FF V F
V F V
F F V
(r p) ~(qp)
FF
F
F
FF
V
F
Hacer la tabla de certeza para: (rp) ~(qp)
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Universidad de GuayaquilEn resumen
Una tabla de verdad para proposicionescompuestas que contienen:
1 proposicin simple tendr 2 filas
2 proposiciones simples 3 proposiciones simples
4 proposiciones simples
razonando inductivamente..
n proposiciones simples
4 = 22
filas8 = 23filas
16= 24filas
2
n
filas
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7/25/2019 Presentacin Lgica Matamticas
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Universidad de GuayaquilFormas de expresar un
condicional.
Si es Chiclayano, es Peruano (pq)
Es Peruano, siempre que sea Chiclayano
Es Peruano si es Chiclayano
Es suficiente que sea Chiclayano para que seaPeruano
Siempre y cuando sea Chiclayano, serPeruano.
Es necesario que sea Peruano para serCliclayano
TODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZANCOMO: pq
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Universidad de GuayaquilPartes de un condicional
pq
antecedente
Condicinsuficiente
consecuente
Condicinnecesaria
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Universidad de GuayaquilFormas derivadas del
condicional
Dado el condicional directo: p q, el condicional~ p ~q se llama contrarioy loexpresaramos: si no p, entonces no q
Directo: p qSi repruebo el examen, entonces me enojar
bastante
Contrario: ~ p ~q
Si norepruebo el examen, entonces nomeenojar bastante
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Universidad de GuayaquilFormas derivadas del
condicional
Dado el condicional directo: p q, el condicionalq p se llama recprocoy lo expresaramos:
si q, entonces p
Directo: p
qSi repruebo el examen, entonces me enojar
bastante
Recproco: q p
Si me enojo bastante, entonces reprobar el
examen
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Universidad de GuayaquilFormas derivadas del
condicional
Dado el condicional directo: p q, el condicional~ q ~p se llama contrarrecprocoy lo
expresaramos: si no q, entonces no p
Directo: p q
Si repruebo el examen, entonces me enojar
bastante
Contrarrecproco: ~ q ~p
Si nome enojo bastante, entonces norepruebo elexamen
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Universidad de GuayaquilFormas derivadas
p q q p
~ p ~ q ~ q ~ p
Directo Recproco
Contrario Contrarrecproco
recprocos contrarios
contrarrecprocos
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Universidad de GuayaquilEjemplo
Hallar las formas derivadas del siguientecondicional:
Si un nmero es par, entonces es mltiplode 4. . Vo F?
Falso (contraejemplo: 2)
Recproco:
Si un nmero es mltiplo de 4 entonces espar. ..V o F?
Verdadero!
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Universidad de GuayaquilEjemplo
Directo: p qSi un nmero es par, entonces es mltiplo
de 4.
Contrario: ~ p ~ q Si un nmero noes par, entonces noes
mltiplo de 4
Verdadero!
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Universidad de GuayaquilEjemplo
Directo: p q
Si un nmero es par, entonces es mltiplode 4.
Contrarrecproco: ~ q ~ p
Si un nmero no es mltiplo de 4,entonces no es par
Falso.. 2 no es mltiplo de cuatro y es
par (antecedente verdadero, consecuente falso)
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Universidad de GuayaquilEjercicios
1. Escribir las formas derivadas para:a) (r ~q) p.
b)Si yo digo s, ella dice no.
2. Construye una proposicin verdaderaque incluya un condicional, una
conjuncin, una disyuncin y una
negacin (no necesariamente en eseorden), que conste de las componentes
p, q y r con todas ellas falsas.
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Universidad de GuayaquilEjercicios
Escribe el recproco, el inverso y elcontrarrecproco de cada una de las
proposiciones siguientes:
Si q, entonces r ~ p (~ q )
~p~ (r q )
El sol brilla si ests feliz. Si tu automvil no tiene aire acondicionado,
no tendrs amigos.