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Alumna: Karen Yojaira Díaz Trujillo

Vector de Medias

Dada una variable estadística n-dimensional  (X1,X2,X3,...,Xn), llamaremos vector de medias al vector columna formado por las medias de las distribuciones marginales de cada variable por separado.

nx

x

x

M...2

1

Su expresión a partir de la matriz de datos es:

1

11

1 nxxn

x

11 'Xn

x

Escribiendo la matriz X en términos de sus vectores fila, que son vectores de dimensión 1xp que contienen los valores de las p variables en cada elemento de la muestra, estos vectores son las columnas de X’, y se tiene que:

Matriz de varianza-Covarianzas

Varianza: es la medida de la suma de los cuadrados de las desviaciones de una variable con respecto a su media. Por tanto cuanto mayor sea esta medida, menos representativa de la realidad será la media de dicha variable.

Covarianza: se mide como el valor que se espera de los productos de las desviaciones de dos variables aleatorias respecto a sus correspondientes medias.

Cuando la distribución multidimensional estudiada tiene una dimensión superior a 2 es posible definir indicadores (basados en los momentos) que consideren a la totalidad de las variables, en la práctica basta con analizar la totalidad de las variables por parejas para poder contar con toda la información indispensable para manejarse adecuadamente con una distribución multidimensional.

Dada una distribución de frecuencias multidimensional nos interesará, por un lado conservar los indicadores univariantes de cada distribución marginal (medias, varianzas, etc., de cada variable por separado) y considerar además algunos indicadores (bivariantes), de cada pareja de variables posible.

Es en este sentido que el indicador mas importante es la covarianza.

Propiedades:

1. La covarianza es el momento central de orden 1,1 de la distribución bidimensional.

2. Es invariante ante los cambios de origen en cualquiera de las dos variables.

3. Sin embargo depende de los cambios de unidad. Si se cambia de unidad de medida en ambas variables la covarianza se modifica proporcionalmente a ambos cambios.

La covarianza entre dos variables (xj,xk) se calcula con:

))((1

1kikj

n

iijjk xxxx

nS

Y mide su dependencia lineal.La matriz de varianza covarianza puede definirse como:

ti

n

ii XXXX

nS ))((

1

1

Es una matriz cuadrada y simétrica que contiene en la diagonal las varianzas y fuera de la diagonal las covarianzas entre las variables. Al multiplicar los vectores:

211

112

11

11

11

)())((

))(()(

,,

pipipip

pipii

ipi

pip

i

xxxxxx

xxxxxx

pxxxx

xx

xx

La matriz de varianza y covarianzas simétrica de orden p tiene la forma:

221

2221

11221

...

............

......

...

nnn

n

SSS

SS

SSS

S

Interpretación de la covarianza

Si hay dependencia directa, es decir, a grandes valores de x1 corresponden grandes valores de x2.Si una covarianza 0 se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas.Si hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x1 corresponden pequeños valores de x2.

Propiedades1. La matriz de varianzas-covarianzas es simétrica respecto a su diagonal principal.2. La matriz de varianzas-covarianzas es definida positiva.3. El determinante de la matriz de varianzas-covarianzas (también llamado determinante de momentos) es siempre no negativo L mayor o igual a   04. En el caso bidimensional tendremos:det V =   L = S2

x1 S2x2 - (Sx1x2)2

021xxS

021xxS

021xxS

Ejemplo

Las observaciones corresponden a distintas acciones que cotizan en el mercado continuo español y las variables a tres medidas de rentabilidad de estas acciones durante un período de tiempo.Las variables son : X1 es la rentabilidad efectiva por dividendos, X2 es la proporción de beneficios que va a dividendos y X3 el ratio entre precio por acción y beneficios.

Obs X1 X2 X31 3.4 89.7 30.22 5.1 55.7 9.93 4.5 52.3 11.54 3.5 47 11.25 5.9 42.7 76 5.1 30.6 6.97 4.6 64.4 11.88 5 51 9.69 3.2 54.4 14.710 3.4 45.7 13.211 6.5 39.9 5.212 4.4 40.3 13.713 5.1 52.4 1114 5.8 43.9 815 4.6 52.8 14.416 7.2 65.8 7.8

Obs X1 X2 X317 7.2 58.1 7.718 4.4 58.5 12.119 7.8 84.3 1120 16 96.5 621 16.7 100 6.822 15.2 92.3 5.223 17.5 99.9 6.824 16.2 93.5 6.125 14.7 100 6.626 15.3 99.9 5.927 15.8 100 6.928 18.3 96.3 5.729 15.9 100 6.130 16.1 92.5 6.131 9.7 87.6 7.732 6.9 53.6 6.633 14.4 87.8 5.234 14.9 34.5 4.69

Exel