República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación

SuperiorInstituto Universitario Politécnico “Santiago

Mariño”Sede Barcelona – Puerto la Cruz

Ing. Industrial

VectoresProfesor: Pedro Beltrán

Bachiller: Josue MatosC.I: 26.249.154

Barcelona, 2017

En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Identificar un vector, veamos la siguiente figura:

Esta figura nos muestra un sistema de coordenadas espaciales (y, x, z) y un vector V . Entonces, podemos decir que básicamente, un vector es una flecha, la cual nos indica una dirección . En este caso, la flecha expresa el sentido positivo del vector.

Un Vector es un segmento de recta orientado que posee una dirección, un sentido y una longitud o módulo.

Vectores

Características de VectoresUn vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen: también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo: es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección: viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Suma de VectoresPara sumar dos vectores

libres vector “u” y vector “v” se escogen como

representantes dos vectores tales que el extremo de uno

coincida con el origen del otro vector.

Propiedades de la suma de vectores

1) Asociativa: u + (v + w ) = (u + v ) + w

2) Conmutativa: u + v = v + u

3) Elemento neutro: u + 0 = u

4) Elemento opuesto: u + (− u) = 0

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en

común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los

vectores.Para sumar dos vectores se

suman sus respectivas componentes.

Resta de Vectores

Para restar dos vectores libres vector “u” y vector “v” se suma vector “u” con el opuesto de vector “v”

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo: La diferencia de dos vectores A y B se define como

A - B = A + (-B)

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores, pero vectores con sentidos

opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

Productos

Producto escalar: El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Producto vectorial: El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

Producto mixto: El producto mixto de los vectores u, v y w es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

Angulo: El ángulo que forman dos vectores u y v viene dado por la expresión:

Ejemplo:

Cosenos directores: En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector u = (x, y), a los cosenos de los ángulos que forma el vector u con los vectores de la base.

Aplicaciones en Geometría AnalíticaCoordenadas de un punto medio en un segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

Condición para que tres puntos estén alineadosLos puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

Simétrico de un punto respecto de otro

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

Coordenadas del baricentro

Baricentro o centro de gravedad de un

triángulo es el punto de intersección de sus medianas. Las coordenadas del baricentro son:

División de un segmento en una relación dada

Dividir un segmento AB en una relación

dada r es determinar un punto P de la recta

que contiene al segmento AB, de modo que las dos

partes, PA y PB, están en la relación r: