Primaria

PROBLEMAS SOBRE EDADES

PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS

PROBLEMAS PARA RESOLVER MENTALMENTE

PROBLEMAS SOBRE RELOJES

PROBLEMAS SOBRE PESAS Y PESADAS

PROBLEMAS SOBRE PARENTESCOS

PROBLEMAS SOBRE MÓVILES - DISTANCIAS - VELOCIDADES

PROBLEMAS SOBRE CRIPTOGRAMAS

CONTEO DE FIGURAS

SUMAS Y RESTAS - PROBLEMAS

CONJUNTOS - PROBLEMAS

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

RAZONAMIENTO LÓGICO

PLANTEO DE ECUACIONES

OPERADORES

CONJUNTOS – OPERACIONES

NÚMEROS NATURALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

PROBLEMAS SOBRE EDADES

1. Si el triple de la edad que tendré dentro de 6 años, le

restamos el doble de la edad que tenía hace 3 años, resultaría

el cuádruple de mi edad. ¿Qué edad tengo?

2. El año en que nació Jorge representa el cuadrado de la edad

que tuvo en el año 1980. ¿Qué edad tiene actualmente?

3. Rodolfo tiene 25 años y su hija 5 años. ¿Dentro de cuántos

años la edad de Rodolfo será el triple de la edad de su hija?

4. A Manuel se le pregunta por su edad y este responde: “Si

restas a la dad que tendré dentro de 18 años, la edad que

tuve hace 5 años, obtendrás mi edad”. ¿Cuántos años tiene

Manuel?

5. Yo tengo el quíntuple de la edad que tenías cuando yo tenía la

edad que tienes. Si la suma de nuestras edades es 72 años

¿qué edad tienes?

6. La edad de Giovanni dentro de seis años será un cuadrado

perfecto. Hace 24 años su edad era la raíz de ese cuadrado

perfecto. ¿Qué edad tuvo Giovanni hace 15 años?

7. Carlos le dice a Raúl: “Yo tengo el triple de la edad que tú

tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú

tengas la edad que yo tengo”, ¿qué edad tendrás entonces?

8. ¿Qué edad tendrá Carlos en el año 2.000 sabiendo que esa

edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de

nacimiento?

9. "Yo tenía n años en el año n²", gustaba decir el Sr. Gómez a

sus amigos. Bien, ¿cuándo nació? Hablaba en el siglo XX.

10. Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor que era hace

dos años. Y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor

que era hace tres años. ¿Quién es mayor, el niño o la niña?

11. En una lápida podía leerse esta inscripción: «Aquí yace Pío

Niro, muerto en 1971, vivió tantos años como la suma de las

cifras del año de su nacimiento». ¿A qué edad murió?

12. La edad de Juan es 1/6 la de su padre. La edad del padre

dividida por 2, 3, 4, 6 y 8 da de resto 1; pero al dividirla por 5

da de resto cero. ¿Qué edad tiene Juan?

13. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. Pero hace cinco

años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene?

14. Mi hermano me lleva 8 años. ¿Dentro de cuántos años su edad

será el doble que la mía, si hace tres años era el triple?

15. El famoso cuadro Las Meninas fue pintado por Velázquez en

1656, a los 57 años de edad, después de vivir 34 años en

Madrid, donde se había instalado a los 4 años de casado. ¿A

qué edad se casó?

16. El capitán dice a su hijo: tres veces el cuadrado de tu edad

más 26 años dan el cuadrado de mi edad. ¿Cuál es la edad del

capitán?

17. Carlos frisa en la cuarentena. Si se escribe tres veces

seguidas su edad se obtiene un número que es el producto de

su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus cuatro

hijos. ¿Qué edad tiene cada uno de los miembros de la

familia?

18. Abuelo: Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto días. Mi

nieto tiene tantos meses como yo años. Los tres juntos

tenemos exactamente 100 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

19. Si multiplicamos por 3 los años que yo tenga dentro de 3 años

y restamos el triplo de los que tenía hace tres años se

obtendrán los años que tengo ahora. ¿Qué edad tengo ahora?

20. Pedro lleva ahora en el sindicato el doble de años que Joaquín.

Hace dos años llevaba el triple de años. ¿Cuántos años lleva

cada uno en el sindicato?

21. Si en 1.974 María tuvo la cuarta parte de la edad de su

madre, y en 1.984 la mitad, ¿qué edad tendrá cada una de

ellas en 1.994?

22. A una estrella de cine le preguntan qué edad tiene y contesta:

"Si al doble de los años que tengo, le quita el duplo de los que

tenía hace diez años, el resultado será mi edad actual.

¿Cuántos años tiene?

23. La edad de Juan es mayor que la de su hermano Antonio en 5

años; Francisco tiene tantos años como los dos juntos, y entre

los tres suman en total 70 años. ¿Qué edad tiene cada uno de

ellos?

24. Un hombre fue metido en la cárcel. Para que su castigo fuera

más duro no le dijeron cuánto tiempo tendría que estar allí

dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente, y el preso

le había caído bien.

Preso: Vamos, ¿no puedes darme una pequeña pista sobre

el tiempo que tendré que estar en este lugar?

Carcelero: ¿Cuántos años tienes?

Preso: Veinticinco.

Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día

naciste?

Preso: Hoy es mi cumpleaños.

Carcelero: Increíble. ¡También es el mío! Bueno, por si te

sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el

día en que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese

día saldrás. ¿Cuánto tiempo dura la condena del preso?

25. El cura: He encontrado en el pueblo tres personas cuyo

producto de edades es 2450. La suma de sus edades es igual

al doble de la de usted. ¿Cuáles son esas edades?

El sacristán: Solamente con esos datos no puedo

responder a su pregunta.

El cura: Bueno, una de esas tres personas es mayor que

yo.

¿Cuál es la edad del cura?

26. Las sumas respectivas de las cifras que forman los años de

nacimiento de Juan y Pedro son iguales. Sabiendo que sus

edades empiezan por la misma cifra, ¿cuál es su diferencia de

edad?

27. Rita y Carlos se casaron hace 6 años cuando sus edades

estaban en la proporción de 13 a 11. Tuvieron su primer hijo

hace 4 años cuando sus edades estaban en la proporción de 7

a 6. Si su hijo terminara la enseñanza secundaria a los 15

años, ¿qué edad tendrá entonces su padre?

28. Carlos dirigiéndose a Juan: "Mi edad es el doble de la que tú

tenías cuando yo tenía la que tú tienes. Cuando tú tengas la

edad que yo tengo, tendremos entre los dos 63 años."

Adivinar las edades de Carlos y Juan.

29. Pedro dice un día a Manolo: "Mi edad es el triple de la que tú

tenías cuando yo tenía la que tú tienes. Cuando tú tengas la

edad que yo tengo, tendremos entre los dos 77 años."

Adivinar las edades de Pedro y Manolo.

30. Don Sixto le dice a Don Pedro: "Yo tengo el doble de la edad

que usted tenía cuando yo tenía la que usted tiene. La suma

del triple de la edad que usted tiene con la que yo tendré

cuando usted tenga la edad que yo tengo, es 280. Cuáles son

las edades de Don Sixto y de Don Pedro?

31. Una pareja de matemáticos; marido y mujer, mantienen el

siguiente diálogo:

El: ¿Te das cuenta de que mi edad sólo fue múltiplo de la

tuya una vez?

Ella: Es verdad, y es una pena que no nos conociéramos

entonces, porque no volverá a suceder.

El: Pero la edad de nuestro hijo es el máximo común

divisor de las nuestras.

Ella: Y el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el

año en que estamos.

¿En qué año nacieron él, ella y su hijo?

PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS

1. En la decena: 531, 532, ..., 540, no hay ningún número primo.

¿Podría Vd. encontrar una decena menor en la que tampoco

haya ningún número primo?

2. ¿Qué tienen de extraño las siguientes fracciones: 19/95,

26/65, 16/64?

3. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos,

pero hay una cantidad finita de ellos. Multipliquémoslos todos

entre sí. No, no se ponga a multiplicar; imagine que alguien ya

hizo esa multiplicación por Vd. Llamemos al resultado P.

a) ¿Con qué cifra del 0 al 9 termina P?

b) La segunda cifra (la de las decenas), ¿es par o impar?

4. Soy capicúa, del 2 al 10 sólo hay un divisor mío, tengo cuatro

cifras, pero algunos me ven como si fuera un 9. ¿Qué número

soy?

5. 5. DIVISIONES EXACTAS. Escoge un número de tres

cifras y forma otro repitiendo el primero. Por ejemplo:

234234. Divide este número entre 7; después el cociente

entre 11 y, por último, el nuevo cociente entre 13. Obtienes

divisiones parciales exactas y al final tu número inicial,

¿verdad? ¿Por qué?

6. Mi hijo ha aprendido a contar según una base no decimal, de

manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. ¿Cuál es

esta base?

7. ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5 y 6 da

respectivamente los restos 1, 2, 3, 4 y 5?

8. Las nueve cifras de los tres números abc def ghi son

distintas. El segundo es el doble del primero, y el tercero es

triple del primero. Encontrar los tres números.

9. El producto de cuatro números enteros consecutivos es

3.024. ¿Cuáles son estos números?

10. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y, con 8

divisores?

11. Al hacer el siguiente producto:

15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2

y tomar nota del resultado: ͳ͵ Ͳ Ͷ ͲͲͲ una de las cifras

(la 5ª) quedó borrosa y no sabemos exactamente cuál es.

¿Podría Vd. averiguarla, sin necesidad de repetir la operación?

12. Encontrar 10 números consecutivos que no sean primos.

13. Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en

3, de 5 en 5, de 6 en 6, de 10 en 10, de 15 en 15 y los 30

enfilados; es decir; de 8 formas diferentes sin que existan

números desiguales de soldados en las líneas. ¿Cuál es el

menor número de soldados que debe tener una compañía para

poder desfilar de 64 formas diferentes?

14. Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las operaciones

habituales: (+, -, x, /, , !, potencias, etc.) expresar todos los

números del 1 al 10.

Se puede usar la notación anglosajona 0'3=.3=3/10.

También se admite: 0,3 período=0,3333...=3/9.

15. Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las operaciones

habituales: (+, -, x, /, , !, potencias, etc.) expresar todos los

números del 1 al 10.

Se puede usar la notación anglosajona 0'5=.5=5/10.

También se admite: 0,5 período=0,5555...=5/9.

16. Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas. Éstas sólo

podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y

( ).

17. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 escribe dos números de tres

cifras cada uno cuyo producto sea lo mayor posible. Hay que

usarlas todas.

18. Encontrar dos números tales que el producto de la suma por el

producto sea igual a 29.400.

19. Buscar un divisor distinto de él mismo y de la unidad del

número 11.111.111.111.111.111 (hay 17 unos).

20. ¿Cuál es el mayor múltiplo de 11 formado por las nueve cifras

significativas sin que se repita ninguna? ¿Y el menor?

21. Tomamos un número de tres cifras, de modo que no sean las

tres iguales; por ejemplo 637. A continuación formamos otro

número, ordenando las cifras de mayor a menor. Resulta 763.

Formamos otro, ordenándolas de menor a mayor. Resulta 367.

Restamos 763 - 367 = 396. A este último número le damos la

vuelta, 693, y sumamos los dos últimos: 693 + 396 = 1.089.

Repetimos con 475 ----> 754 - 457 = 297, 297 + 792 =

1.089.

¿Qué misterio es éste? ¿Será verdad que partiendo de

cualquier número resulta siempre 1.089? ¿Por qué?

22. Escoge un número cualquiera de tres cifras, no todas iguales;

por ejemplo, 373. Construye otro ordenando sus cifras de

mayor a menor: 733. Ahora las ordenas de menor a mayor:

337. Resta: 733-337=396. Repite la operación unas cuantas

veces con este resultado y los sucesivos. ¿Qué observas?

¿Qué pasa con un número de dos o cuatro cifras al hacer un

proceso semejante? ¿Cuál es la razón?

23. Consiga una hoja de papel, recorte de ella un cuadrado de

aproximadamente 20 centímetros de lado. Doble el papel al

medio cuatro veces, de modo que al desdoblarlo los pliegues

formen una cuadrícula de 16 cuadrados pequeños. Ahora

marque bien cada pliegue hacia adelante y hacia atrás, para

que el papel se doble fácilmente en cualquier dirección.

Numere los cuadrados de 1 a 16 como se muestra en la

ilustración:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

24. Doble el papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del

tamaño de uno de los cuadrados pequeños. Su modo de

doblarlo puede ser tan complicado como quiera; puede incluso

meter pliegues dentro de pliegues.

Teme unas tijeras y corte los cuatro bordes del paquete final

para que le queden 16 cuadrados separados. Algunos de los

cuadrados tendrán un número arriba, otros un número abajo.

Sin dar la vuelta a ninguno de los cuadrados, desparrámelos

sobre la mesa. Sume todos los números que hayan quedado

boca arriba y escriba el resultado. El número que Vd. ha

escrito, ¿será el 68? ¡Qué extraña coincidencia! ¿Verdad?

25. Ocurrió el 18 de noviembre de 1994 en una clase de

Matemáticas de 1º de BUP de un instituto de Salamanca.

Profesor de matemáticas: Simplifica la fracción

26666/66665.

Alumno: Quito un 6 del numerador y otro del denominador

y queda 2666/6665.

Profesor: Está bien. Pero puedes hacer algo mejor.

Alumno: Es cierto; todavía puedo simplificar tres veces el

6 y quedará: 26666/66665 = 2666/6665 = 266/665 = 26/65

= 2/5.

Profesor: ¡Bravo! ¡Te pongo un diez! ¡Puedes sentarte!

Profesor: (Dirigiéndose a toda la clase) El método de

simplificación empleado por vuestro compañero es poco

ortodoxo y sin embargo los resultados son exactos. Encontrar

una fracción de la misma forma que pueda simplificarse de la

misma manera y que sea equivalente a 1/2. Otra equivalente a

1/4. Otra equivalente a 1/5. ¿Qué relación cumplen a, b y c en

las fracciones que pueden simplificarse de la forma indicada?

26. 25. CURIOSA PROPIEDAD (1). 173=4.913. Si ahora sumamos

las cifras del resultado 4+9+1+3, volvemos a tener el 17. Lo

mismo ocurre con el 18. 183=5.832. 5+8+3+2=18. No muy lejos

de ellos hay otros dos números, consecutivos, cada uno de los

cuales goza de la misma propiedad. ¿Cuáles son?

27. 26. CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. Los números del 2 al 9

pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada

dígito, excepto el 0, aparece una y sólo una vez. Por ejemplo:

2=13458/6729, 4=15768/3942. Encuentre fracciones

similares que den por resultado 3, 5, 6, 7, 8 y 9.

28. 27. CURIOSA PROPIEDAD (2). 12²=144, 21²=441. 13²=169,

31²=961. Encontrar otro número de dos cifras que cumpla la

misma propiedad.

29. 28. DELANTE Y DETRÁS. En el resultado del producto

41096 x 83 = 3410968 se ha colocado el 3 delante y el 8

detrás y el producto es correcto. Encontrar otros productos

que produzcan el mismo efecto, con el multiplicador de dos

dígitos y el multiplicando con las cifras que se quiera.

30. 29. CURIOSA PERSISTENCIA DEL 5.

8 - 3 = 5

78 - 23 = 55

778 - 223 = 555

7778 - 2223 = 5555

...................

82 - 32 = 55

782 - 232 = 55 555

7782 - 2232 = 555 555

77782 - 22232 = 55 555 555

..........................

31. 30. NOTABLE SUCESIÓN DE CUADRADOS.

12 = 1

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

1111112 = 12345654321

11111112 = 1234567654321

111111112 = 123456787654321

1111111112 = 12345678987654321

92 = 81

992 = 9801

9992 = 998001

99992 = 99980001

999992 = 9999800001

9999992 = 999998000001

99999992 = 99999980000001

999999992 = 9999999800000001

9999999992 = 999999998000000001

32. 31. ESCRITURA DEL CIEN (2). Escribe el número 100

empleando cinco cifras iguales. Éstas sólo podrán estar

separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ).

33. 32. EL NÚMERO 25.

1. El producto de cualquier número entero por 100 da

como resultado el citado número con dos ceros más a su

derecha.

2. El cociente de 100 entre 4 da como resultado el

número 25.

3. El producto de cualquier número por 25 se puede

obtener dividiendo entre 4 el citado número con dos ceros

más a su derecha.

Ejemplo: 357419 x 25 = 8935475. Lo hemos obtenido

así: 35741900 : 4 = 8935475.

34. 33. EL NÚMERO 142.857.143.

1. El producto de cualquier número de 9 cifras por

1.000.000.001 da como resultado el citado número de 9 cifras

duplicado.

2. El cociente de 1.000.000.001 entre 7 da como

resultado el número 142.857.143.

3. El producto de cualquier número de 9 cifras por el

142.857.143 se puede obtener dividiendo el citado número de

9 cifras duplicado entre 7.

Ejemplo. 987.542.937

x 142.857.143

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1 4 1 0 7 7 5 6 2 5 6 9 6 4 8 9 9 1

Lo hemos obtenido así: 987.542.937.987.542.937 : 7 =

141.077.562.569.648.991

35. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. Todavía lo

practican algunos árabes de ciertas regiones. En el ejemplo se

muestra el producto de 346 x 2674 = 925204.

36.

37. Realiza por este método los siguientes productos: a) 789 x

1358. b) 5432 x 9876. c) 1234 x 56789.

38. ERROR MECANOGRÁFICO. Una mecanógrafa inexperta

estaba copiando un libro de matemáticas, donde debía

escribir 5423, escribió 5423, que es muy distinto. ¿Podría Vd.

encontrar otras cuatro cifras, para que ambos modos de

escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error

mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado).

39. AÑO DE NACIMIENTO. Restad a vuestro año de nacimiento

la suma de las cuatro cifras que lo componen. Obtendréis así

un resultado divisible por 9. ¿Por qué?

40. MÚLTIPLO DE 9. ¿Qué condición ha de cumplir un número

para que al restarle la suma de sus cifras el resultado sea

múltiplo de 9?

41. FECHAS INDETERMINADAS. En España, fechas como 6 de

diciembre de 1977 suelen abreviarse 6-12-77; pero en otros

países, como EE.UU., se da primero el mes y luego el día,

escribiéndose 12-6-77. Si desconociésemos cuál de ambos

sistemas se ha utilizado, ¿cuántas fechas quedarían

indeterminadas en la notación abreviada?

42. OBREROS DE SIEMPRE. Dos albañiles se reparten en dos

partes, no exactamente iguales, pero semejantes, a ojo de

buen cubero, un montón de 100 ladrillos. El primero los va

disponiendo en hileras de 5 ladrillos, y el segundo los coloca

en columnas de 7 ladrillos. Cuando terminan su montón al

primero le quedan dos ladrillos sin colocar, y al segundo le han

sobrado 4. ¿Cuántos ladrillos había tomado cada uno?

43. VENTA DE PELOTAS. Por la venta de una partida de pelotas

un señor obtiene 60.377 ptas. El precio de cada pelota fue

inferior a 200 ptas. ¿Cuántas pelotas vendió?

44. EL NÚMERO MÁGICO 481. Escoge un número cualquiera de

dos cifras, por ejemplo, 26. Construye el número siguiente: 26

+ 26x20 = 546. Ahora, el número 546 le multiplicamos por el

dicho 481: 546x481 = ... ¿Qué se obtiene?

Otro ejemplo: 47 + 47x20 = 987. Ahora: 987x481 = ...

¿Qué se obtiene?

45. CUADRADO PERFECTO. Hallar una base de numeración

distinta de 10 en la que 121 sea cuadrado perfecto.

46. EL MENOR TRIPLETE. Hallar el menor triplete de números

enteros tales que el mayor sea múltiplo del menor y que sus

tres cuadrados estén en progresión aritmética.

47. 44. QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Halla el número n

sabiendo que n5 es un número de 7 cifras acabado en 7.

48. A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. ¿En qué cifra termina

783578?

49. TRES AGUJAS EN UN PAJAR. El número primo 37 es un

divisor de 999. ¿Puede Vd. encontrar tres números más que

tengan todas sus cifras iguales y sean múltiplos de 37?

50. CABRAS Y OVEJAS. Un campesino tenía un rebaño de

animales formado por cabras y ovejas. El número de ovejas

multiplicado por el número de cabras da un producto que

reflejado en el espejo, muestra el número de animales del

rebaño. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el rebaño?

51. A²+2=B3. Hallar un cuadrado que se convierta en un cubo al

sumarle 2.

52. EL CORRAL DE PALOMO. El carpintero que construyó el

corral para las ovejas de Palomo descubrió que podía

ahorrarse dos postes si el campo a cercar fuera cuadrado en

lugar de rectangular.

De cualquiera de las dos maneras servirá para el mismo

número de ovejas, pero si es cuadrado habrá un poste donde

atar a cada oveja.

¿Cuántas ovejas había en el famoso rebaño?

Se supone que en ambas forman los postes estaban

separados por iguales distancias, que las áreas del corral

cuadrado y del rectangular eran iguales, y que el rebaño

estaba formado por menos de tres docenas de ovejas.

53. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un

rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran

singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en

dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3,

de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más

pequeño que se ajusta a estas condiciones?

54. EL NÚMERO MÁGICO 153. En el evangelio, según San Juan,

(cap. 21, versículo 11), se lee que: «Los discípulos no habiendo

pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la

tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo

la red, la cual cuando Simón Pedro, la levantó y la trajo a

tierra estaba llena de grandes peces en número 153 y siendo

tantos la red no se rompió». Por esto el número 153 se

consideró en la antigüedad como número mágico, buscándose

distintas propiedades del mismo. Por ejemplo:

Es un número triangular: 1 + 2 + 3 + ... + 17 = 153.

1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153.

13+ 33 + 53 = 153.

Si se parte de un número natural cualquiera que sea

múltiplo de 3 y se suman los cubos de sus cifras. Al resultado,

que será también un múltiplo de 3, se aplica la misma

operación. Continuando de esta manera se llegará al número

153. Ejemplos:

252 - 141 - 66 - 432 - 99 - 1458 - 702 - 351 - 153.

1998 - 1971 - 1074 - 408 - 576 - 684 - 792 - 108 - 513 - 153.

Por eso se dice que el número 153 es un agujero negro

(respecto de la suma de los cubos de sus cifras) en el sentido

de que al llegar a él ya no se puede salir más.

55. MAYOR CUADRADO. ¿Cuál es el mayor cuadrado que se

puede escribir con las diez cifras tomadas una vez cada una?

56. ¿SERÁ CUADRADO? ¿Puede ser cuadrado un número formado

con las nueve cifras significativas en un orden cualquiera?

57. LA CIFRA PERDIDA. El producto de 53.928.719.937 por

376.648 es 20312144*06831176. ¿Puede hallar Vd. la cifra

que falta sin efectuar la multiplicación?

58. LOS REPOLLOS DE LA SEÑORA GARCÍA. La señora García

tiene ahora una plantación cuadrada de repollos más grande

que la que tenía el año pasado, y que por lo tanto tendrá 211

repollos más. ¿Cuántos matemáticos y agricultores lograrán

determinar el número de repollos que tendrá este año la

señora García?

59. REGALO MILLONARIO. Imaginemos que un millonario se

ofrece a regalarle a Vd. las monedas de una peseta que sea

capaz de llevarse, a condición de contarlas una por una y sin

detenerse. Podrá Vd. llevarse todas las que haya contado

hasta que se pare. Supongamos que cuenta una moneda por

segundo. ¿Cuántas cree Vd. que podrá llevarse en realidad?

60. MONETARIO. En la República de Bizarria existe un curioso

sistema monetario. Tienen allí solamente dos valores de

monedas, de 7 centavos y de 10 centavos. La pregunta que

hacemos también es extraña pero admite una solución simple.

¿Cuál es la mayor suma de centavos que no se puede abonar

exactamente con tales monedas?

61. SE LLEGA SIEMPRE AL 1. Toma un número natural cualquiera.

Si es impar multiplícalo por 3 y añádele 1. Si es par, toma la

mitad. Repitiendo la operación sucesivamente se llega siempre

al número 1. Así:

12 - 6 - 3 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.

100 - 50 - 25 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 -

17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.

Esto ha sido comprobado con calculadoras hasta

números muy grandes, pero no se tiene una demostración de

que el hecho sea general.

62. SOBRE NÚMEROS DE DOS CIFRAS. ¿Qué número de dos

cifras es el cuadrado de la cifra de sus unidades?

63. SIEMPRE EXACTO: Encontrar los menores 9 números

consecutivos (mayores que 10), el primero terminado en 1 y el

mayor terminado en 9, de manera que al dividirse por su

última cifra el resultado de siempre exacto. Ejemplo: 31/1 sí,

32/2 sí, 33/3 sí, 34/4 no, 35/5 sí, 36/6 sí, 37/7 no, 38/8 no,

y 39/9 no.

64. FECHAS CAPICÚAS. El día 18 de septiembre de 1981, en una

emisora de radio, el presentador cayó en la cuenta de que tal

fecha (18-9-81) era capicúa. Esto le dio lugar a lanzar en

antena la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las dos fechas

capicúas más cercanas entre sí del siglo XX? ¿Podrá Vd.

adivinarlas?

65. TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. ¿Qué tres números

enteros consecutivos y positivos, multiplicados entre sí, dan

un total igual a quince veces el segundo de ellos?

66. VAYA BOLETO. El otro día compré un boleto de lotería

capicúa. Si sumaba sus cinco cifras daba el mismo resultado

que si las multiplicaba. La primera cifra de la izquierda era la

edad de mi hermana pequeña, las dos siguientes la edad de la

mediana, y las dos últimas la edad de la mayor, que le lleva

más de un año a la mediana. ¿Cuál era la numeración del

boleto?

67. MCD y mcm. Hallar dos números enteros positivos, x e y, tales

que el producto de su MCD y su mcm sea el producto xy.

68. EL TELÉFONO DE MI COLEGA. Le pedí a mi colega Sátur su

número de teléfono. Como es profesor de matemáticas me

contestó diciendo: «El número que forman las cifras de las

posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto, al igual que el de las

posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. La tres primeras

cifras forman un cubo perfecto, igual al producto de los otros

cuatro dígitos». ¿Podría Vd. llamar por teléfono a mi colega

Sátur?

69. FACILEMA. ¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al

doble del producto de sus cifras?

70. PAR = DIEZ. Si el par es diez, ¿cuál es la decena?

71. CURIOSA RAÍZ CUADRADA. Calcula la raíz cuadrada del

número 123.456.789. Observa el resultado y el resto.

72. NUMEROS PRIMOS. Demostrar que hay infinitos números

primos.

73. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA

(1). Una propiedad muy conocida del número 12.345.679 es

que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con

sólo la cifra 1, esto es el número 111.111.111. Por lo tanto al

multiplicarlo por 18 (que es 9x2), por 27 (que es 9x3), por 36,

etc., se obtienen también productos notables, a saber:

12.345.679 x 9 = 111.111.111

12.345.679 x 18 = 222.222.222

12.345.679 x 27 = 333.333.333

12.345.679 x 36 = 444.444.444

12.345.679 x 45 = 555.555.555

12.345.679 x 54 = 666.666.666

12.345.679 x 63 = 777.777.777

12.345.679 x 72 = 888.888.888

12.345.679 x 81 = 999.999.999


(2). De no conocer el multiplicando, podríamos haber

intentado hallarlo sin más que dividir por 9 el número 11111...,

bajando después de cada resto un uno, en vez de un cero,

hasta que la división fuese exacta.

Investiguemos, de este modo, cuál es el número que

multiplicado por 7, da un producto escrito sólo con las cifras

1:

111.111 : 7 = 15873. Por consiguiente, resultará:

15.873 x 7 = 111.111

15.873 x 14 = 222.222

15.873 x 21 = 333.333

15.873 x 28 = 444.444

15.873 x 35 = 555.555

15.873 x 42 = 666.666

15.873 x 49 = 777.777

15.873 x 56 = 888.888

15.873 x 63 = 999.999


(3). ¿Cuál es el número que, multiplicado por 49 da un

producto que se escribe con sólo las cifras 1?

76. LOS 4 SON PRIMOS. ADDD, AACA, BCDB y BDAC son cuatro

números primos. ¿Cuáles son?

77. TRES CIFRAS Y EL 30. Es fácil escribir el 30 con tres

seises: (30=6x6-6) ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres

cifras iguales? Busca todas las soluciones.

78. LA CONJETURA CAPICÚA. Para obtener un número capicúa a

partir de otro número se invierte el orden de sus cifras y se

suman el número dado y el invertido. Este proceso se continúa

las veces que sean necesarias hasta obtener un capicúa. Por

ejemplo:

Partiendo del 78.

78 + 87 = 165.

165 + 561 = 726.

726 + 627 = 1353.

1353 + 3531 = 4884 CAPICÚA.

La conjetura capicúa dice que, aplicando el proceso

anterior a un número natural cualquiera, se obtiene un número

capicúa en un número finito de pasos.

Partiendo del número 89 es necesario dar 24 pasos para

conseguir el número 8.813.200.023.188. ¿Existirá algún

número que sea excepción de la conjetura? El matemático

ruso Boris A. Kordemsky ensayó en computadoras con el

número 196, sometiéndolo a miles y miles de pasos, y no ha

conseguido todavía ningún número capicúa.

Siguiendo los pasos anteriores halla los capicúas

correspondientes a 84, 75 y 86.

79. TIRO CON ARCO (1). ¿Cuántas flechas hacen falta para

hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [40-39-24-23-

17-16]

80. TIRO CON ARCO (2). ¿Cuántas flechas hacen falta para

hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [11-13-31-33-

42-44-46]

81. TRES CIFRAS Y EL 24. Es fácil escribir el 24 con tres ochos:

(24=8+8+8). ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras

iguales? Busca todas las soluciones.

82. 79. SOLDADOS COMBATIVOS (1). Cierto número de

soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el

camino se les unió un extraño, y entonces formaron

exactamente 13 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos

soldados fueron a la batalla?

83. SOLDADOS COMBATIVOS (2). Cierto número de soldados se

dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les

unió un extraño, y entonces formaron exactamente 113

cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la

batalla?

84. EL NÚMERO 987.654.321. Con el número 987.654.321 se

obtienen productos con todas sus cifras, más el 0,

permutadas:

987.654.321 x 2 = 1.975.308.642

987.654.321 x 3 = 2...................3

987.654.321 x 4 = 3...................4

987.654.321 x 5 = 4...................5

987.654.321 x 6 = 5...................6

987.654.321 x 7 = 6...................7

987.654.321 x 8 = 7...................8

85. DEL TEOREMA DE FERMAT. La revista Time del 7 de marzo

de 1938 daba cuenta de que un tal Samuel Isaac Krieger

afirmaba haber descubierto un contraejemplo para el

teorema magno de Fermat, que sigue en nuestros días

pendiente de confirmación. Krieger hizo saber que su ejemplo

era de la forma 1324n + 791n = 1961n, siendo n un cierto

entero positivo mayor que 2, que Krieger se negaba a revelar.

Un periodista del New York Times, decía Time, pudo

demostrar fácilmente que Krieger estaba equivocado. ¿De qué

manera?.

86. A LA CAZA DEL 53. Con 5 cincos, 3 treses y los signos

matemáticos +, -, x, : y () formar expresiones matemáticas

que sean igual a 53.

87. DIANA (1). En una diana están los números 1, 2, 3, 5, 10, 20,

25 y 50. ¿Cómo se pueden conseguir 96 puntos con tres

dobles?

88. DIANA (2). En una diana están los números 3, 5, 11, 13 y 19.

¿Cómo se pueden conseguir 50 puntos con el menor número de

impactos?


¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con el menor número

de impactos?


¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con seis impactos?

91. AABB=(CD)². Hallar un cuadrado de la forma N = aabb.

92. BCD = (CD)². Hallar un número de cuatro cifras que sea el

cuadrado del número formado por sus dos últimas cifras.

93. A²+B²+C²=D². Hallar tres cuadrados cuya suma sea otro

cuadrado.

94. A3+B3+C3=D3. Hallar tres cubos cuya suma sea un cubo.

95. A²+(A+1)²=B4. Hallar dos números consecutivos tales que la

suma de sus cuadrados sea una potencia de 4.

96. PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes productos

tienen la particularidad de que en cada uno de ellos entran

cada una de las nueve primeras cifras significativas sólo una

vez. [Pueden ser útiles para comprobar si lucen bien todas las

cifras de una calculadora]

483 x 12 = 5796

138 x 42 = 5796

297 x 18 = 5346

198 x 27 = 5346

¿Podría encontrar Vd. alguno más?

97. CUADRADOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes cuadrados

tienen todas sus cifras diferentes:

132 = 169

362 = 1296

2862 = 81796

3222 = 103684

10272 = 1054729

69012 = 47623801

101242 = 102495376

320432 = 1026753849

¿Podría encontrar Vd. alguno más?

98. PRODUCTOS POR EL NÚMERO 8.

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

99. PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9.

1 x 9 + 2 = 1

12 x 9 + 3 = 11

123 x 9 + 4 = 111

1234 x 9 + 5 = 1111

12345 x 9 + 6 = 11111

123456 x 9 + 7 = 111111

1234567 x 9 + 8 = 1111111

12345678 x 9 + 9 = 11111111

123456789 x 9 + 10 = 111111111

100. OTROS PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9.

0 x 9 + 8 = 8

9 x 9 + 7 = 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5 = 8888

9876 x 9 + 4 = 88888

98765 x 9 + 3 = 888888

987654 x 9 + 2 = 8888888

9876543 x 9 + 1 = 88888888

98765432 x 9 + 0 = 888888888

987654321 x 9 - 1 = 8888888888

101.CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). Encontrar un número de

diez cifras diferentes que, multiplicado por 2, dé otro número

de diez cifras diferentes.

102. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). 3485x2 = 6970x1 =

6970, es el resultado menor que se puede obtener separando

los diez dígitos en dos grupos para hacer dos productos que

den el mismo resultado. Dividir los diez dígitos en dos grupos

de cinco, y disponerlos para formar dos multiplicaciones que

den el mismo producto y el más alto posible.

Nota. Los segundos factores pueden tener dos cifras.

103. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). 78 x 345 = 26.910. Hay

muchos conjuntos de números de dos, tres y cinco cifras

respectivamente que tienen la particularidad mostrada en el

ejemplo utilizando las diez cifras. Pero hay un conjunto, y sólo

uno, en la que los números cuentan con la particularidad

adicional de que el segundo es múltiplo del primero. ¿Cuáles

son los tres números que buscamos?

104. CURIOSOS CUADRADOS INVERTIDOS. Los siguientes

pares de cuadrados perfectos y sus raíces están formados

por las mismas cifras escritas en orden inverso:

122 = 144, 212 = 441

132 = 169, 312 = 961

1222 = 14884, 2212 = 48841

¿Podría encontrar Vd. algunos más?

105. CINCO CONSECUTIVOS. Encuentre Vd. cinco números

naturales consecutivos tales que la suma de los cuadrados de

los dos mayores sea igual a la suma de los cuadrados de los

otros tres.

106. ORDENANDO NÚMEROS. Ordenar los números del 1 al 9 de

modo que el nombre de cada número tenga una y solamente

una letra en común con el nombre del anterior.

107. LA PROPORCIÓN MALIGNA. En el ejemplo se muestra una

solución a la proporción a/b=c/d con las siguientes

restricciones:

- El número a ha de ser de una cifra, el b de dos

cifras, el c de tres y el d de cuatro.

- Entre los cuatro números no se puede repetir ninguna

cifra. Es decir, aparecerán las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y

9 una vez y sólo una vez.

Ejemplo: 1/26=345/8.970.

¿Habrá muchas más?

108. BILLETES CAPICÚAS. En la taquilla del tren hay un rollo de

100.000 billetes numerados del 00000 al 99999.

a) ¿Cuántos capicúas tendrá el rollo?

b) ¿Cuáles serán los que están más cerca entre sí?

c) ¿Cuáles serán los que están más separados entre sí?

d) ¿Cuál será la cantidad mínima de billetes ordenados

que pueden albergar tres capicúas?

e) ¿Cuál es la cantidad mínima de billetes que tenemos

que comprar para estar seguros de que compramos tres

capicúas?

109. CINCO CIFRAS SEGUIDAS. Poner en lugar de los * cinco

cifras consecutivas (aunque no hace falta ponerlas en orden)

para que se verifique la igualdad: * * x * = * *

110.SENCILLO, DOBLE Y TRIPLE. Se han acomodado los números

del 1 al 9 en un cuadrado 3x3 con las siguientes condiciones:

1 9 2

3 8 4

5 7 6

- El número de tres cifras de la segunda fila (384) es el doble que el

de la primera (192).

- El de la tercera fila (576) es el triple que el de la primera (192).

¿Será Vd. capaz de encontrar otras disposiciones con esas

mismas condiciones?

Para animarle le doy otra: 219-438-657.

111. EL TELÉFONO DE MI AMIGO EL VALENCIANO. Según mi

amigo, es el único que no repite ninguna cifra, no contiene el

cero, es par y además las dos primeras cifras constituyen un

múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, y así

sucesivamente hasta el total que es múltiplo de 7. ¿Cuál es el

número de teléfono de mi amigo?

Observación: En Valencia los teléfonos tienen 7 cifras y

comienzan por 3.

112.EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. Es de 10 cifras,

la primera es múltiplo de 1, las dos primeras cifras forman un

múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, las cuatro

primeras un múltiplo de 4, etc. ¿Cuál es el número de teléfono

de mi amigo americano?

113.SUMAS EN TRIÁNGULO. Disponer los números naturales del

1 al 9 formando un triángulo y sumarlos. El número resultante

de la suma ha de ser capicúa.

Una posible solución sería: 8

9 6 4

1 7 5 3 2

-----------------

2 7 9 7 2

¿Podrá Vd. encontrar más?

114.PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (1). 159 x 48 =

7632. Encontrar otras parejas de números que, al

multiplicarlos, aparecen en el resultado todos los dígitos una y

sólo una vez.

115.PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (2). 16 583 742

x 9 = 149 253 678. Encontrar otros productos en los que

todos los dígitos aparezcan una y sólo una vez a cada lado del

signo igual.

116.PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (3). Con los nueve

dígitos, sin repetirlos, formar tres números de tres dígitos,

de manera que el producto de los tres dé un resultado

formado también por los nueve dígitos, sin repetirse. Hay

varias soluciones posibles, pero pedimos que encuentre dos: la

que da el resultado máximo y la que da el resultado mínimo.

117.LOS UNOS Y LOS DOSES. Restando de 11 el 2 se obtiene 9

que es un cuadrado. Restando de 1111 el 22 se obtiene 1089

que también es un cuadrado perfecto. Lo curioso es que

siempre que formemos un número con una cantidad par de

unos y otro con la mitad de doses, al restar del primero el

segundo obtenemos un cuadrado perfecto. ¿Cree Vd. que esta

afirmación es cierta?

118.EL MENOR NÚMERO (2). ¿Cuál es el menor número que,

dividido por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 da respectivamente los

restos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8?

119.COLOCANDO SIGNOS. Coloque entre cada dos cifras el

signo de la operación aritmética que sea necesario. Está

permitido utilizar paréntesis.

120. (1 + 2) : 3 = 1

1 2 3 4 = 1

1 2 3 4 5 = 1

1 2 3 4 5 6 = 1

1 2 3 4 5 6 7 = 1

1 2 3 4 5 6 7 8 = 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1

118. ...

120 DOBLE SUMA. En la figura adjunta

aparecen los números del 1 al 9, distribuidos

de un modo curioso: así como están forman una

suma perfecta (583+146=729) y si Vd. gira la

hoja noventa grados en sentido horario,

forman otra suma perfecta (715+248=963).

Encuentre otra disposición de los números que

cumpla la misma condición.

PROBLEMAS PARA RESOLVER MENTALMENTE

Problemas para resolver mentalmente, sin lápiz ni papel y en

un tiempo prefijado, generalmente unos pocos segundos.

1. PERROS, GATOS Y LOROS. ¿Cuántos animales tengo en casa,

sabiendo que todos son perros menos dos, todos son gatos

menos dos, y que todos son loros menos dos?

2. MENUDA RAZA DE GIGANTES. En el Libro del Delirium

Tremens se habla de una raza de gigantes muy especial. Da la

casualidad que la altura media de estos gigantes es diez

metros más que la mitad de su altura. Sin pensarlo dos veces,

¿cuánto miden?

3. EL PESO DE UN LADRILLO. Si un ladrillo se equilibra con

tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo,

¿cuánto pesa un ladrillo?

4. LA CUADRILLA. Una cuadrilla de segadores está compuesta

por sus tres cuartas partes más tres cuartos de hombre.

¿Cuántos hombres componen la cuadrilla?

5. ACABÓ LA GUERRA. De 138 soldados vueltos del frente, casi

el 43% perdió un ojo y el 50% de los restantes perdió ambos

ojos. ¿Cuántos ojos quedaron?

6. PROPINAS AL ACOMODADOR. En un cine hay 1.300

espectadores. El 13% de ellos le ha dado 5 ptas. de propina al

acomodador. Del 87% restante, la mitad le ha dado 10 ptas. y

la otra mitad, nada. ¿Cuánto dinero recibe el acomodador?

7. ¿CUANTOS NUEVES? En una calle hay 100 edificios. Se

llama a un fabricante de números para que ponga números a

todas las casas del uno al cien; éste tendrá que encargar los

números para hacer el trabajo. ¿Cuántos nueves necesitará?

8. ¿CUANTO BENEFICIO? Un comerciante compró un artículo

por 7 ptas., lo vendió por 8, lo volvió a comprar por 9 y lo

vendió finalmente por 10. ¿Cuánto beneficio sacó?

9. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. ¿Cuánto valen 10 agujas de

coser a 1000 ptas. el millar?

10. PILOTO DE FORMULA 1. Un piloto de Fórmula 1 completó una

vuelta del circuito del Jarama en un minuto veintitrés

segundos. A este ritmo, ¿cuánto habrá de tardar en

completar 60 vueltas?

11. LOS TANTOS POR CIENTO. ¿Qué es más, el 25% de 75 o el

75% de 25?

12. EL PRECIO DE LA BOTELLA. Una botella de vino cuesta 10

dólares. El vino cuesta nueve dólares más que la botella.

¿Cuánto cuesta la botella?

13. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. Una botella cuesta 30 ptas. más

que su tapón. Los dos juntos cuestan 50 ptas. ¿Cuánto cuesta

cada uno?

14. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. Una botella y su tapón

pesan 1 Kg. y 10 gramos. La botella pesa 1 Kg. más que el

tapón. ¿Cuánto pesa la botella? ¿Y el tapón?

15. EL MISMO DINERO. Arturo y Benito tienen la misma

cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene que dar Arturo a Benito

para que Benito tenga 10 ptas. más que Arturo?

16. ENTRE PASTORES. Un pastor le dijo a otro: «Si te regalo

una de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo.

Pero si tú me das una de las tuyas, tendríamos las mismas».

¿Cuántas ovejas tenía cada uno?

17. ANTONIO, PEDRO Y LOS LIMONES. Antonio y Pedro se

encuentran teniendo cada uno de ellos una carga de limones.

Antonio: Si me das tres limones, tendremos cada uno la misma

carga. Pedro: Si tú me das seis limones, tendré el doble de los

que te quedan. ¿Cuántos limones llevaba cada uno?

18. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. Un viajante recorrió en

coche 5000 Km., permutando regularmente las ruedas

(incluida la de repuesto) para que todas sufrieran igual

desgaste. Al terminar el viaje, ¿durante cuántos kilómetros

ha sido utilizada cada rueda?

19. ESCRIBIENDO A MAQUINA. Carmen pulsa 50 caracteres

cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el

mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para

pulsar 360 caracteres en total?

20. ¿CUANTA TIERRA? Cierto pequeño granjero no tenía dinero

para pagar sus impuestos. Como consecuencia, el recaudador

real de impuestos le quitó un décimo de sus tierras. Al

granjero le quedaron 10 Ha. ¿Cuánta tierra tenía al principio?

21. DOMINÓ. Del juego del dominó se separan las fichas que

tienen un 6. Quieres colocar sobre la mesa las 21 fichas que

quedan siguiendo las reglas del juego, es decir el 2-3 puede ir

empalmado con el 3-5, éste con el 5-4, etc,... ¿podrás hacerlo?

22. LA AMEBA. Una ameba se divide en dos (y así se reproduce)

exactamente cada minuto. Dos amebas en un tubo de ensayo

pueden llenarlo por completo en dos horas. ¿Cuánto tiempo le

llevará a una sola ameba llenar otro tubo de ensayo de la

misma capacidad?

23. MANOS Y DEDOS. En una mano hay 5 dedos, en 2 manos hay

10 dedos, ¿Cuántos dedos hay en 10 manos?

24. ¿QUÉ HORA SERÁ? ¿Qué hora será, si quedan del día la

tercera parte de las horas que han pasado?

25. DOCENAS DE HUEVOS. Hallar la diferencia entre media

docena de docenas de huevos y seis docenas de huevos.

26. EL PRECIO DEL OBJETO. Por un objeto se pagan 9 duros más

la mitad de lo que vale. ¿Cuánto vale el objeto?

27. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. Si un pastor tiene 15 ovejas

y se le mueren todas menos nueve, ¿cuántas le quedan?

28. En muchos problemas es muy importante comprender

exactamente lo que se pide hallar, antes de intentar

calcularlo. Si una primera interpretación de un problema

conduce a contradicciones, o bien la pregunta carece de

solución, o bien el problema no se ha comprendido

correctamente.

29. OTRO LADRILLO. Si un ladrillo pesa 2 kg. y medio ladrillo.

¿Cuánto pesa un ladrillo y medio?

30. LA ALTURA DEL ÁRBOL. ¿Qué altura tiene un árbol, que es

2 metros más corto que un poste de altura triple que la del

árbol?

31. ENTRE PASTORES. Un pastor le dijo a otro: si te regalo una

de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pero si

tú me das una de las tuyas, tendríamos las mismas. ¿Cuántas

ovejas tenía cada uno?

32. DÍAS Y SEGUNDOS. ¿Cuántos días hay en 43.200 segundos?

33. ESCALA DE ESTATURAS. Pedro tiene la estatura que tendrá

Juan cuando crezca lo que le falta a Antonio para tener la

estatura de Pedro. ¿Qué relación hay entre las estaturas de

Pedro, Juan y Antonio?

34. PINTANDO UN CUBO. ¿Cuál es el mínimo número de colores

para pintar un cubo de forma que dos caras adyacentes no

tengan el mismo color?

35. DINERO DE JUAN Y PEDRO. Juan: Si me das 3 ptas. tendré

tantas como a ti te quedan. Pedro: Si tú me das 6 tendré el

doble de las que a ti te quedan. ¿Cuánto dinero tienen Juan y

Pedro?

36. EL CUBO PINTADO. Un cubo de madera de 30 cm. de lado se

pinta completamente de rojo; luego se sierra en 27 cubitos de

10 cm. de lado cada uno. ¿Cuántos serán los cubitos serrados

que presentarían sólo dos caras pintadas?

37. EL CEREZO. A un cerezo subí, que cerezas tenía, ni cerezas

toqué, ni cerezas dejé. ¿Cuántas cerezas había?

38. OTRO CEREZO. A un cerezo trepé, que con cerezas hallé, yo

cerezas no comí, mas cerezas no dejé. ¿Cuántas cerezas

había?

39. JUGANDO AL AJEDREZ. Tres amigos jugaron al ajedrez. En

total jugaron tres partidas. ¿Cuántas partidas jugó cada uno?

40. LO DE LA SARDINA. A real y medio la sardina y media,

¿cuánto costarán siete sardinas y media?

41. 40. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. Docena y

media de huevos cuestan dieciséis duros y medio. ¿Cuánto

costarán 18 huevos?

42. LO DE LOS ARENQUES. Si un arenque y medio cuesta tres

medios peniques, ¿cuánto costarán doce arenques?

43. PAN, PAN Y PAN. Pan, pan y pan, pan y pan y medio, cuatro

medios panes, y tres panes y medio, ¿cuántos panes son?

44. MEDIAS MEDIAS. Cuatro medios pares de medias medias,

¿cuántos pares de medias son?

45. LAS CERVEZAS. Si un hombre y medio beben una cerveza y

media en un día y medio, ¿cuántas cervezas beberán seis

hombres en seis días?

46. LOS TATUADORES. Dos tatuadores y medio pueden tatuar

dos sirenas y media, en los brazos de dos marineros y medio

en dos horas y media. ¿Cuántos tatuadores se necesitarán

para tatuar 24 sirenas, en los brazos de 24 marineros en 24

horas?

47. NIÑOS Y MOSCAS. Si tres niños cazan tres moscas en tres

minutos. ¿Cuánto tardarán treinta niños en cazar treinta

moscas?

48. A MODO DE CHIMENEAS. Dos fumadores consumen 3

cajetillas diarias. ¿Cuántos fumadores de las mismas

características serán necesarios para consumir 90 cajetillas

en 30 días?

49. LA TORRE EIFFEL. La torre Eiffel tiene 320 metros de

altura y pesa 7.000 toneladas. Si construyéramos un modelo

perfectamente a escala, con el mismo material y que tuviera

la mitad de su altura, ¿cuánto pesaría?

50. MILÍMETROS CUADRADOS. Supongamos un cuadrado de un

metro de lado, dividido en cuadraditos de un milímetro.

Calcule mentalmente qué longitud se obtendría si colocásemos

todos los cuadraditos en línea, adosados unos a otros.

51. LAS 16 CERVEZAS. Cuatro amigos se reúnen en un bar y

consumen entre todos 16 cervezas. Cuando piden la cuenta

pretenden pagar cada uno lo suyo. ¿Cuántas cervezas debe

pagar cada amigo sabiendo que cada uno de ellos tomó dos

cervezas más y/o dos cervezas menos que otro?

52. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Los lados

iguales de un triángulo isósceles miden 4 cm. ¿Qué longitud

deberá tener el tercer lado para conseguir que el triángulo

tenga la máxima área posible?

53. LOS GATOS DE MARGARITA. Cuando se le pregunta a la

vieja Margarita con cuántos gatos vive, responde

melancólicamente: "Con los cuatro quintos de mis gatos más

cuatro quintos de gato." ¿Con cuántos gatos vive Margarita?

54. 53. LAS FOCAS DEL ZOO. Estuve el otro día en el zoológico.

Vi focas pero no había muchas. Sólo siete octavos de las focas

más siete octavos de foca. ¿Cuántas focas había?

55. CONEJOS Y PALOMAS. En una jaula con conejos y palomas,

hay 35 cabezas y 94 patas. Con estos datos, ¿cuántas aves

hay exactamente?

56. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? Entre Pedro, Luis y Antonio tienen

500 ptas. Sabiendo que Antonio tiene doble que Luis y éste

tres veces más que Pedro, ¿cuánto tiene Pedro?

57. MULAS Y BURROS. Se han vendido 9 burros y 7 mulas y se

ha cobrado por ellos 75.000 duros. Sabiendo que los burros

los pagan al doble que las mulas, ¿a qué precio se vendieron

cada uno de ellas?

58. EL TIRO AL BLANCO. Cada vez que un tirador da en el

blanco gana 500 puntos, y cada vez que falla pierde 300.

Sabiendo que después de 15 disparos obtuvo 2.700 puntos,

¿cuántas veces hizo diana exactamente?

59. ¡OJO QUE ES UN CIRCUITO! Un caracol tarda una hora y

veinte minutos en recorrer un circuito en sentido horario,

pero cuando hace ese mismo camino en sentido contrario sólo

tarda 80 minutos. ¿A qué se debe esa diferencia?

60. CURIOSA PELÍCULA. Mi amigo Bonifacio, rabioso aficionado

al cine descubrió que una película de Buñuel duraba una hora y

veinte minutos, los días pares, y sólo ochenta minutos, los

impares. ¿A qué será debido?

61. EL GRAN CHOQUE. Dos naves espaciales siguen trayectorias

de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 km. por minuto y la

otra a 12 km/minuto. Suponiendo que en este momento están

exactamente a 5.000 km. de distancia, ¿cuánto distarán una

de otra un minuto antes de estrellarse?

62. TRABALENGUAS. Con cada bote de detergente la casa

fabricante incluye un cupón de regalo. Una vez reunidos 10

cupones, el cliente puede canjearlos por un nuevo bote de

detergente. ¿Cuántos cupones vale un bote de detergente?

63. LA GALLINA PONEDORA. Una gallina pone dos huevos en

tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas

pongan dos docenas de huevos?

64. ¿CUANTA AGUA SE DERRAMÓ? La tripulación de un barco

hundido tenía agua sólo para trece días, un litro al día por

persona. El quinto día se derramó algo de agua sin querer y

murió uno de los hombres. El agua duró exactamente lo que se

esperaba. ¿Cuánta agua se derramó?

65. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. En un rectángulo,

el largo es el doble del ancho y el perímetro es de 360 m.

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

66. LOS CHICOS DE LA FERIA. A la feria benéfica de la escuela

cada chico debía concurrir con un adulto. Los adultos pagan 2

dólares y los chicos 1 dólar de entrada. Se recaudaron 180

dólares. ¿Cuántos chicos fueron a la feria?

67. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA.. Tengo igual cantidad de monedas

de 5 ptas. que de 1 pta. y entre las dos tengo 90 ptas.

¿Cuántas monedas de cada clase tengo?

68. MITOLOGÍA. ¿Cuántas extremidades tienen 3 centauros?

69. EN DOS DADOS. ¿Cuántos puntos hay en total en un par de

dados?

70. ¿SABES DIVIDIR? Supón que divides once millares, once

cientos y once entre tres. ¿qué resto te queda?

71. PARES CONSECUTIVOS. La suma de dos números pares

consecutivos es 66. ¿Cuáles son esos números?

72. BOLI Y LÁPIZ. Si un bolígrafo cuesta 30 ptas. más que un

lapicero y las dos cosas juntas cuestan 100 ptas., ¿cuánto

cuesta cada una?

73. LOS OCHOS. En cierta localidad castellana existe una calle

que tiene cien casas. Quieren numerarlas en la fachada con

los números del uno al cien. ¿Cuántos ochos habrá que pintar?

74. EL ÁRBOL. El tronco de un árbol mide 20 metros más que la

mitad de su altura. ¿cuánto mide en total?

75. FAMILIA COMIENDO. Una familia se reúne para comer. Si

cada miembro de la familia come seis chorizos, sobrarán

cinco, pero si cada uno come siete faltarán ocho. ¿Cuántos

miembros componen la familia?

76. EL PALO Y LA VARA. ¿Qué altura tiene un palo que es cinco

metros más corto que una vara de doble altura que el palo?

77. LAS CAJAS. Se tienen tres cajas, individuales y separadas de

igual tamaño. Dentro de cada caja hay otras dos más pequeñas

y en cada una de éstas otras cuatro aún menores. ¿Cuántas

cajas hay en total?

78. AÑOS BISIESTOS. ¿Cuántos años bisiestos hay entre el año

1000 y el año 2000 ambos inclusive?

79. DECEPCIÓN TRIANGULAR. ¿Cuál es el área del triángulo de

lados 94, 177 y 83?

80. PIENSE DESPACIO. ¿Qué número multiplicado por 3 es los

3/4 de 120?

81. DIVIDIENDO Y SUMANDO. Si Vd. divide 30 por un medio y

le suma al resultado 10, ¿cuánto le da?

82. LAS OVEJAS DEL CORRAL. Un pastor tiene 17 ovejas; si

todas menos 9 se le escapan del corral, ¿cuántas le quedan en

el corral?

83. BUSCANDO, BUSCANDO. Buscar un número que multiplicado

por el doble de 3 nos dé 5.

84. EL GANADERO Y EL PIENSO. Un ganadero tiene pienso para

alimentar una vaca durante 27 días y si fuera una oveja para

54 días. ¿Para cuántos días tendría si tuviese que alimentar a

la vaca y a la oveja?

85. MULTIPLICANDO. ¿Qué dos números naturales que hay que

multiplicar entre sí para que su producto sea 47?

86. DOCENAS DE SELLOS. Si en una docena hay doce sellos de

seis centavos, ¿cuántos sellos de dos centavos hay en una

docena?

87. MÚLTIPLOS PRIMOS. De todos los múltiplos de un número

primo, ¿cuántos son primos?

88. EN ROMANOS. Operando en números romanos, ¿cuánto vale

C - LXXIX?

89. LA HORA. ¿Qué hora es cuando faltan 90 minutos para la

una?

90. PROBABLE COLISIÓN. Dos lentos trenes van por la misma

vía en sentido contrario, uno al encuentro del otro. Les separa

una distancia de 87 km. Un tren va a 25 km/h y el otro a 35

km/h. ¿A qué distancia estarán un minuto antes de colisionar?

91. PRODUCTO TOTAL. Si AxB=24; CxD=32; BxD=48 y BxC=24,

¿Cuánto vale AxBxCxD?

92. LOS MÚLTIPLOS. ¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 1000 y

2000 ambos inclusive?

93. SUPERTRUCO DE MAGIA. Piensa un numero del 2 al 9.

Multiplícalo por 9. Suma los dos dígitos del resultado. Réstale

5. ¿Qué resultado se obtendrá?

94. PAR O IMPAR. El cuadrado de un nº natural impar, ¿es par o

impar?

95. MEDIO METRO. ¿Qué es mayor medio metro cuadrado o la

mitad de un metro cuadrado?

96. CON CUATRO NUEVES. ¿Cómo se deberían colocar 4 nueves

para que sumen 100?

97. CON CUATRO UNOS. ¿Cuál es el mayor número que puede

escribirse con cuatro unos?

98. CON SEIS UNOS. Escribe 24 con seis unos y las operaciones

elementales.

99. GASTANDO. Tenía 57 ptas. y me he gastado todas menos 12.

¿Cuántas me quedan?

100. CONTESTE MUY RÁPIDO. Imagínese participando en una

carrera ciclista. Si en un momento determinado adelanta Vd.

al segundo, ¿en qué lugar se colocaría?

101.CONTESTE EN 2 SEGUNDOS. Imagínese participando en una

carrera ciclista. Si en un momento determinado adelanta Vd.

al último, ¿en qué lugar se colocaría?

102. BEBIENDO. Seis hombre beben cerveza en un bar. En total

bebieron 21 vasos. Si cada uno de ellos ha bebido distinto

número de vasos. ¿Cuántos ha bebido cada uno?

103. HOYOS Y CANICAS. El otro día jugando a las canicas me

sucedió lo siguiente: si ponía una canica en cada hoyo me

sobraba una canica y si ponía dos canicas en cada hoyo me

faltaban dos canicas. Ya no recuerdo cuántas canicas tenía ni

cuántos hoyos había en el suelo, ¿me podría ayudar Vd.?

104. 120 CON 4 OCHOS. ¿Sabría Vd. escribir 120 con ocho

ochos?

105. CUMPLEAÑOS. ¿Cuántos "cumpleaños" puede celebrar una

persona que viva 50 años?

106. LAS 3 PASTILLAS. Un médico le receta a Vd. 3 pastillas y

le dice que se tome una cada media hora, ¿cuántos minutos le

duran a Vd. las pastillas?

107. BORRANDO CIFRAS. Borra 10 cifras del número

12345123451234512345 de manera que el número que quede

sea lo más grande posible.

108. LOS TORNILLOS. En un saco hay 24 kg. de tornillos, ¿cómo

podemos pesar 9 kg. usando una balanza?

109. ARRANCANDO HOJAS. A mi hijo de cuatro años le ha dado

últimamente por arrancar tacos de hojas de los libros. El otro

día, la primera página que arrancó estaba numerada con el 183

y la última con un número escrito con las mismas cifras en

otro orden. ¿Cuántas páginas, no hojas, arrancó?

110. CUATRO LUNES, CUATRO VIERNES. En un mes de enero de

cierto año hay exactamente cuatro VIERNES y cuatro

LUNES, ¿En qué día de la semana cae el 20 de enero?

111. ¿CUÁNTOS GATOS? Una habitación tiene cuatro rincones.

En cada rincón hay sentado un gato. Frente a cada gato hay

sentados tres gatos. En cada rabo hay sentado un gato.

¿Cuántos gatos hay en total en la habitación?

112.SIN PAPEL NI BOLI. ¿Cuál es el valor de 19 x 13 + 13?

113.LAS FLORES. ¿Cuántas docenas salen con 180 flores?

114.EDAD DE LUIS. El cuadrado de la edad de Luis es la cuarta

parte del cuadrado de la edad de Juan que es la mitad de 20.

¿Cuál es la edad de Luis?

115.EL CUADRADO. Un cuadrado tiene 144 m2. de área. ¿Cuál es

su perímetro?

116. MINUTOS. ¿Cuántos minutos son 6 horas y media, 25

minutos y 120 segundos?

117.PRODUCTO DE DEDOS. Tome el número de sus dedos de las

manos, multiplíquelo por el número de dedos de sus pies,

divida el resultado por 1/2 y sume el número de meses del

año. ¿Qué número obtiene?

118.LA FAMILIA. Una madre y un padre tienen 6 hijos y cada hijo

tiene una hermana. ¿Cuántas personas componen la familia?

119.NARANJAS. Juan compró un kilo de plátanos el lunes y se

comió la tercera parte de ellos. El martes se comió la mitad

de los que le quedaban. El miércoles se comió los dos que le

quedaban. ¿Cuántos plátanos compró el lunes?

120. BUÑUELOS. A Carlos le encantan los buñuelos. Puede

comerse 32 en una hora. Su hermano se comería los 32 en 3

horas. ¿En cuánto tiempo se comerían 32 buñuelos entre los

dos?

121.GRANDE, GRANDE. ¿Cuál es el mayor número que se puede

escribir solamente con dos dígitos?

122. EL FRUTERO. El frutero vendió en el mercado, la mitad de

los melones que llevaba más medio melón. Después se comió el

melón que le quedó. ¿Cuántos melones llevó al mercado.

123. EL TONEL. Un tonel, lleno de vino tiene un peso de 35 kg.

Cuando está lleno hasta la mitad, pesa 19 Kg. ¿Cuánto pesa el

tonel vacío?

124. LAS NUECES. Alicia, Benito, Carlos, David y Enrique

conjeturaban sobre el numero de nueces que había en un

tarro. Alicia decía que 30, Benito pensaba que 28, Carlos

conjeturaba que 29, David conjeturaba que 25, y Enrique

decía que 26. Dos se equivocaron en una nuez, uno se equivoco

en 4, y otro en 3. Pero uno acertó.

¿Cuántas nueces había en el tarro?

125. EL ESTABLO. En un establo hay gallos y caballos. Entre

todos hay 22 cabezas y 72 patas. ¿Cuántos gallos y cuántos

caballos hay en el establo?

126. EDADES. Las edades del padre y del hijo suman 66. La edad

del padre es la edad del hijo invertida. ¿Qué edades tienen?

(3 soluciones posibles)

127. ANIMALES DOMÉSTICOS. Todos los animales domésticos

de mi vecina son perros menos uno, y todos son gatos menos

uno. ¿Cuántos perros y gatos tiene mi vecina?

128. NÚMERO DE 4 CIFRAS. Halla el número de cuatro cifras

tal que:

La 2ª cifra menor que la 4ª.

La 4ª 2/3 de la 1ª.

La 1ª 2/3 de la 3ª.

La 3ª triple que la 2ª.

129. LOS PASEOS DEL PERRO. Mi hermano saca a pasear a su

perro tres veces al día. Cada paseo dura 13 minutos. ¿Cuántas

veces saca a pasear al perro en un año?

130. LOS GATOS. En una habitación cuadrada hay 2 gatos en

cada rincón. Enfrente de cada gato hay 2 gatos y al lado de

cada gato hay un gato. ¿Cuántos gatos hay en la habitación?

131. OTRO NÚMERO DE 4 CIFRAS. Halla el número de cuatro

cifras tal que:

La 1ª cifra es 1/3 de la 2ª.

La 3ª es la suma de la 1ª y la 2ª.

La 4ª es tres veces la 2ª.

132. SUMA DE CONSECUTIVAS. ¿Qué tres números

consecutivos suman 9.000?

133. PANES Y HORAS. ¿Qué es mayor, los panes que hay en 13

docenas o las horas de una semana?

134. LOS CERDOS. Juan y Benito tienen cerdos. Juan: Si me das

2 cerdos tuyos tendremos el mismo número de cerdos. Benito:

Si me los das tú a mí, yo tendré el doble. ¿Cuántos cerdos

tiene cada uno?

135. LOS TRESES. Si escribimos todos los números

comprendidos entre 300 y 400, ¿cuántas veces aparece el

dígito 3?

136. QUEBRADOS. ¿Qué número es 2/3 de la mitad de 1/4 de

240?

137. MÁS QUEBRADOS. ¿Qué número es 2/3 del doble del

triple de 5?

138. LOS SALUDOS. Cuatro personas se saludan con un apretón

de manos. ¿Cuántos apretones de manos hubo?

139. LOS PINTORES. Un pintor puede pintar una habitación en 4

horas, otro pintor puede pintarla en horas. ¿Cuánto tiempo

tardarían si la pintasen trabajando juntos?

140. PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS. Para estimular a su hijo

en el estudio de las matemáticas, un padre acuerda pagar a su

hijo 8 céntimos de euro por cada problema solucionado

correctamente. También le quitará 5 céntimos por cada

incorrecto. Al final de los 26 problemas quedaron en paz.

¿Cuántos problemas solucionó el hijo correctamente?

141.LA TELA COLOREADA. Un trozo de tela se colorea como

sigue: 3/4 partes de negro, los 80 cm restantes de rojo.

¿Cuánto mide el trozo de tela?

142. LARGO PRODUCTO. ¿Cuál es el producto de todos los

números enteros no negativos menores que 10?

143. OTRO NÚMERO. Halle el número que es la mitad de 1/4 de

1/10 de 400.

144. CUADRADOS PERFECTOS. ¿Cuántos números que sean

cuadrados perfectos hay entre 1 y 1.000.000, ambos

incluidos?

Ejemplos: 16=4*4, 121=11*11

145. MENUDA ESCAVADORA. Si un hombre tarda una hora en

cavar un agujero de dos metros de largo por dos metros de

ancho por dos metros de profundo, ¿cuánto tiempo tardaría el

mismo hombre en cavar un agujero de cuatro metros de largo

por cuatro metros de ancho por cuatro metros de profundo?

Se asume que cava a la misma velocidad.

146. LOS NEUMÁTICOS. Antonio recorrió con su bicicleta 300

km. Tres neumáticos fueron utilizados por igual para recorrer

dicha distancia. ¿Cuántos kilómetros fue utilizado cada

neumático?

147. HALTEROFILIA. Fernando puso un disco de 25 kg. en cada

extremo de la barra, otro disco de 10 kg. en cada extremo, y

tres discos de 2 kg. en cada extremo. Después, tras unos

segundos de concentración levantó todo el conjunto sobre su

cabeza. ¿Qué peso total levantó Fernando sobre su cabeza?

148. MADERERO CORTADOR. El maderero cobra 5 euros por

cortar un tronco de madera en dos pedazos. ¿Cuánto cobrará

por cortarlo en cuatro pedazos?

149. LA RUEDA DE LA BICI. Una rueda de mi bicicleta tiene 21

radios. ¿Cuántos espacios hay entre los radios?

150. CERDOS Y PALOMAS. En una jaula del zoo hay un total de

30 ojos y de 44 patas. ¿Cuántos cerdos y palomas hay en la

jaula?

151.UN EURO. ¿Cómo se puede conseguir exactamente un euro

con 50 monedas?

152. EL CUENTAKILÓMETROS. El cuentakilómetros de mi coche

muestra 72927 km. que es un número palíndromo. ¿Cuántos

km. debo recorrer, como mínimo para poder ver otro

palíndromo en el cuentakilómetros?

153. BOLSAS DE CARAMELOS. Mi hermano tiene cinco bolsas de

caramelos. Cuatro bolsas tienen un total de 84 caramelos. La

5ª bolsa contiene cuatro caramelos menos que el promedio de

las cinco bolsas. ¿Cuántos caramelos hay en la 5ª bolsa?

154. EMPACHO DE MANZANAS. Yo comí 6 manzanas, mi

hermano comió 4, mi primo comió 8 y tiramos 2 que estaban

malas. Habíamos comprado 2 bolsas con 18 manzanas cada

una, y dejamos las más grande para mi mamá. ¿Cuántas

podemos comer todavía cada uno?

155. LAS MUÑECAS. Tres personas están haciendo muñecas de

papel. Benito tarda 30 minutos en hacer cada una. Teresa 60

minutos y Andrés 90 minutos. Comienzan a la vez, y descansan

cuando terminan al mismo tiempo de hacer cada uno su

respectiva muñeca. ¿Cada cuánto tiempo descansan?

156. DOBLE Y MITAD. ¿Cuál es el doble de la mitad del doble de

2?

157. EN UN MILENIO. ¿Cuántos siglos hay en un milenio?

158. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. Carmen pulsa 50 caracteres

cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 e

mismo tiempo.

¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360

caracteres en total?

159. OTRA VEZ EL ORIGINAL. El precio de un artículo estaba

rebajado un 20% para su venta. ¿Qué tanto por ciento debe

aumentarse el precio del artículo para que de nuevo tenga el

precio original?

PROBLEMAS SOBRE RELOJES

Para la resolución de los problemas relativos a relojes se suelen usar

razonamientos matemáticos.

. Tres personas están haciendo muñecas de

papel. Benito tarda 30 minutos en hacer cada una. Teresa 60

minutos y Andrés 90 minutos. Comienzan a la vez, y descansan

cuando terminan al mismo tiempo de hacer cada uno su

muñeca. ¿Cada cuánto tiempo descansan?

. ¿Cuál es el doble de la mitad del doble de

. ¿Cuántos siglos hay en un milenio?

. Carmen pulsa 50 caracteres

cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el

¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360

. El precio de un artículo estaba

rebajado un 20% para su venta. ¿Qué tanto por ciento debe

uevo tenga el

Para la resolución de los problemas relativos a relojes se suelen usar

1. EL MINUTERO TRES VECES MENOS. Miro el reloj. A partir de

ahora la aguja de las horas va a tardar justo el triple de tiempo que el

minutero para llegar al número 6. ¿Qué hora es?

2. OJO AL MINUTERO. Entre las 12 del mediodía y las 12 de la

noche, ¿cuántas veces pasa el minutero sobre la aguja horaria?

3. SONÓ EL DESPERTADOR. Mi tío estaba tan cansado que se

acostó a las 9 de la noche, con la intención de dormir hasta las 10 de

la mañana del día siguiente. Para ello puso su despertador a las 10.

Unos 20 minutos después de acostarse ya estaba dormido. ¿Cuánto

pudo descansar antes de que el despertador sonase?

4. A LAS TRES Y DIEZ. Siendo las tres en punto, el ángulo formado

por la aguja horaria y el minutero del reloj es de 90 . ¿Cuánto medirá

el ángulo diez minutos después?

5. EL RELOJ DE PARED. Pepe tiene en casa un reloj de pared que

toca la campana del siguiente modo: a la hora exacta, tantas

campanadas como el número de la hora, (Ej. a las 4 da cuatro

campanadas), a los 15, 30 y 45 minutos da una campanada.

Un día Pepe vuelve a casa, al entrar oye una campanada, pasado

un rato otra, pasado otro rato, otra, y así desde que entró; oye ocho

veces una campanada, ¿Qué hora era cuando entró?

6. RELOJES DE ARENA. Disponiendo de un reloj de arena de 7

minutos, y de otro de 11 minutos, ¿cuál es el método más rápido para

controlar la cocción de un huevo, que debe durar 15 minutos?

7. OTROS DOS RELOJES DE ARENA. ¿Cuál es el método más

rápido para cronometrar 9 minutos, disponiendo de un reloj de 4

minutos y otro de 7 minutos?

8. LOS DOS RELOJES. Puse en marcha dos relojes al mismo tiempo

y descubrí que uno de ellos se atrasaba dos minutos por hora y que el

otro se adelantaba un minuto por hora. Cuando volví a fijarme, el que

se adelantaba marcaba exactamente una hora más que el otro.

¿Durante cuánto tiempo habían estado funcionando estos dos

relojes?

9. APAGÓN DE LUZ. Estando Vd. ausente, por ejemplo, 10 horas de

su casa, conoce algún procedimiento rápido para saber si en ese

período de tiempo se ha producido algún apagón de luz y en caso

afirmativo a qué hora.

10. EL CAFÉ ESTÁ SERVIDO. El café se sirve entre la 1 y las 2,

cuando las agujas del reloj forman un ángulo cuya bisectriz pasa por

el centro del 12. ¿Qué hora es exactamente entonces?

11. EL RELOJ QUE SE PARABA. Un hombre no tenía reloj de

pulsera ni de bolsillo, pero tenía un reloj de pared muy exacto que

sólo se paraba cuando se olvidaba de darle cuerda. Cuando esto

ocurría, iba a casa de un amigo suyo, pasaba la tarde con él y al volver

a casa ponía el reloj en hora. ¿Cómo es posible esto sin saber de

antemano el tiempo que tardaba en el camino?

12. LOS RELOJES DE ANTONIO Y JUAN. Antonio y Juan quieren

tomar, con el tiempo justo, el tren de las once. El reloj de Antonio se

atrasa 10 minutos, pero él cree que se adelanta 5. El reloj de Juan se

adelanta 5 minutos, pero el cree que se atrasa 10. ¿Quién llegará

antes a la estación?

13. ENTRE LAS 11, LAS 12 Y LA 1. La aguja grande de un reloj está

entre las 11 y las 12 y la aguja pequeña entre las 12 y la 1. Las dos

agujas forman con la dirección de las 12 el mismo ángulo. ¿Qué hora

marca el reloj?

14. EN LA CANTINA. Los entremeses se sirven entre las 7 y las 8,

cuando las dos agujas del reloj están equidistantes de la cifra 6. El

postre llega cuando la aguja grande ha cogido a la pequeña. ¿Cuánto

tiempo hay, en esta cantina, para comer los entremeses y el plato

principal?

15. LAS AGUJAS DE MI RELOJ. Son más de las 3 h. y 20 m., pero

no son las 3 h. y 25 m. Observo la situación de las agujas de mi reloj.

Después giro las agujas sin romper el mecanismo y llego a poner

exactamente la grande en el lugar anterior de la pequeña, mientras

que ésta ocupa el lugar que la grande ocupaba anteriormente. ¿Qué

hora es exactamente?

16. LAS TRES MANECILLAS DEL RELOJ. En un reloj con

segundero, minutero y horario concéntricos, las tres manecillas

coinciden a las 12 en punto. ¿Habrá algún otro momento en que las

tres manecillas vuelvan a superponerse exactamente?

17. ¿QUIEN ES MAYOR ANA O CARLOS? Ana o Carlos nació en

1842, pero no os diré quién. El otro nació en 1843 ó en 1844. Ella

nació en el mes de marzo. Cada uno de ellos tiene un reloj. Ninguno de

los dos relojes funciona a la perfección. El de Ana se atrasa diez

segundos cada hora, y el de Carlos se adelanta diez segundos cada

hora. Un día de enero los dos pusieron sus relojes en hora

exactamente a las doce del mediodía. Los relojes no volvieron a

marcar la misma hora hasta el día que Ana cumplió 21 años. ¿Quién es

mayor Ana o Carlos?

18. POLICÍA MATEMÁTICO. Transeúnte: Vaya mañana más

fresquita que tenemos. ¿Puede Vd. decirme qué hora es? Policía:

Sume un cuarto del tiempo que hay entre la medianoche y ahora a la

mitad del tiempo que hay entre ahora y la medianoche, y sabrá usted

la hora correcta.

¿Puede Vd. calcular la hora exacta en la que ocurrió esta

intrigante conversación?

Hay problemas (los 3 siguientes) cuya solución no es la que

parece evidente. Es decir, que lo que a primera vista se presenta

como cierto es en realidad falso.

19. EL RELOJ DE CUCO. Un reloj de cuco tarda 5 segundos en dar

las 6. ¿Cuánto tardará en dar las 12?

20. CAMPANADAS DE OTRO RELOJ. Un reloj tarda 6 segundos en

dar las seis. ¿Cuánto tiempo tardará en dar las once?

21. DOS RELOJES. Ana tiene un reloj, y Carlos tiene otro. Los dos

dan la hora. El de Ana da la hora más deprisa que el de Carlos; de

hecho, el reloj de Ana da 3 campanadas en el mismo tiempo que el de

Carlos da 2. Un día, a una determinada hora, los dos relojes

comenzaron a sonar al mismo tiempo. Cuando el reloj de Ana hubo

terminado de dar la hora, el reloj de Carlos dio dos campanadas más.

¿A qué hora ocurrió esto?

22. LA DIVISIÓN DE LA ESFERA. La esfera de un reloj se le

divide en 1.500 partes iguales. A cada parte se le denomina "minuto

nuevo", cada "hora nueva" estará constituida por "100 minutos

nuevos". ¿Qué hora marcará el nuevo reloj cuando uno antiguo indique

las 3 horas y 48 minutos?

PROBLEMAS SOBRE PESAS Y PESADAS

Problemas relativos a pesas y pesadas. Suelen ser muy interesantes.

En su resolución se usan razonamientos matemáticos.

1. LAS PESAS DEL MERCADER. Un mercader tenía una pesa de 40

Kg. que se le cayó, rompiéndose en 4 pedazos cuyos pesos respectivos

eran números exactos de kilos, y por medio de los cuales podía pesar

cualquier carga que fuese; asimismo, un número exacto de kilos

comprendido entre 1 y 40 ambos inclusive. Determinar el peso de

cada uno de los 4 pedazos en que se rompió la pesa inicial.

2. LAS 30 MONEDAS DE ORO. Como cada año, un rey espera que

cada uno de sus 30 vasallos le entregue 30 monedas de oro. Pero sabe

que uno de ellos ha adoptado la triste costumbre de darle monedas de

9 gr. y no de 10 como él ordena. ¿Cómo podrá, con una sola pesada,

identificar al culpable, con el fin de cortarle la cabeza?

3. CON SÓLO DOS PESAS. El juego de pesas de una balanza

consta sólo de dos pesas, una de 10 gramos y la otra de 40 gramos. En

sólo tres pesadas, separa 1.800 gramos de semillas en dos bolsas de

400 y 1.400 gramos.

4. ENGAÑANDO A LA BALANZA. Cinco gruesas niñas que

descubrieron que pesándose de a dos e intercambiándose de a una por

vez, podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda.

Encontraron que de a pares pesaban 129 kilos, 125, 123, 122, 121, 120,

118, 116 y 114. Descubrir el peso de cada una por separado.

5. LAS 9 BOLAS. Se tienen 9 bolas semejantes, entre las cuales

hay una más pesada que las otras. No se sabe cuál es y se trata de

hallarla mediante dos pesadas solamente, realizadas en una balanza

que carece de pesas. (Dos pesadas comparativas)



hallarla mediante tres pesadas solamente, realizadas en una balanza

que carece de pesas. (Tres pesadas comparativas)



hallarla mediante cuatro pesadas solamente, realizadas en una

balanza que carece de pesas. (Cuatro pesadas comparativas)

8. OLVIDÓ LAS PESAS. Un ciudadano vendedor, se encuentra en el

mercado con una balanza de dos brazos para pesar sus ventas, pero

infortunadamente se ha dejado las pesas olvidadas en su casa. Sin

embargo, entre sus enseres se encuentra con que dispone de los

siguientes elementos:

- Una barra de hierro de 80 cm de longitud y 40 kilos de peso.

- Una cinta métrica.

- Una sierra para metales.

¿Cómo hará con no más de tres cortes un sistema de pesas que

le permita pesar, kilo por kilo, todos los pesos desde uno hasta

cuarenta kilos?

9. ORDENANDO POR PESO. Cinco objetos, todos con pesos

distintos, deben ordenarse por pesos crecientes. Se dispone de una

balanza, pero no de pesas. ¿Cómo se pueden ordenar los objetos

correctamente con no más de siete pesadas separadas? Dos objetos

se ordenan por peso con una sola pesada.

Tres objetos requieren tres pesadas. La primera determina que

A es más pesado que B. Pesamos después B contra C. Si B es más

pesado, hemos resuelto el problema en dos pesadas, pero si C es más

pesado, se necesita una tercera pesada para comparar C con A.

Cuatro objetos se pueden ordenar con no más de cinco pesadas.

Con cinco objetos el problema deja de ser trivial.

Hasta ahora, no se ha establecido todavía ningún método general

para ordenar n objetos con un número mínimo de pesadas.

10. LA BALANZA DESEQUILIBRADA. Una balanza de dos platillos

está desequilibrada. Si se coloca una sustancia en el platillo derecho

pesa 9 gramos, si se coloca en el platillo izquierdo pesa 5 gramos.

¿Cuál es el peso de la sustancia?

11. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Sabiendo que 3 manzanas y una

pera pesan lo mismo que 10 melocotones, y 6 melocotones y una

manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos melocotones serán

necesarios para equilibrar una pera?

12. LOS CUATRO CUBOS. De un mismo material se han hecho cuatro

cubos macizos de alturas distintas, a saber: 6 cm., 8 cm., 10 cm. y 12

cm. Hay que colocarlos en los platillos de una balanza de modo que los

cubos queden en equilibrio. ¿Que cubos pondrá Vd. en un platillo y

cuáles en el otro?

13. EL MONO, LA PESA LA SOGA Y LA

POLEA. Si de una soga que pasa por una polea

sin fricción alguna se suspende una pesa que

equilibra exactamente a un mono colgado del

otro extremo, ¿qué le pasa a la pesa si el

mono intenta trepar por la soga? (Para tornar

más preciso el problema, supongamos que

tanto la soga como la polea no tienen peso ni

sufren fricción)

.

14. EL HUEVO SORPRESA. Disponemos de una balanza con dos

platillos en equilibrio y 12 huevos. Hay uno que tiene un peso

diferente de los demás (huevo sorpresa), pero no sabemos si es más o

menos pesado. Usando la balanza, ¿podemos obtener el huevo

sorpresa y saber si es más o menos pesado en sólo tres pesadas?

PROBLEMAS SOBRE PARENTESCOS

Estrictamente hablando los problemas de parentescos no forman

parte de las Matemáticas, pero el tipo de razonamiento que se

necesita para resolverlos es muy parecido al que usan a veces los

matemáticos.

1. HIJO DE LA HERMANA DE MI MADRE. ¿Qué clase de pariente

mío es el hijo de la hermana de mi madre?

2. LOS HERMANOS DE LA FAMILIA. Cada uno de tres hermanos

tiene una hermana. ¿Cuántos son entre todos?

3. LAS HERMANAS. Marta y María son hermanas. Marta tiene dos

sobrinas, que no son sobrinas de María. ¿Cómo puede ser esto?

4. SUEGRA FENOMENAL. La persona que más quiero en este mundo

es, precisamente, la suegra de la mujer de mi hermano. ¿Quién es esa

persona?

5. ¿QUIEN ES ANTONIO? Antonio se preguntaba que si el hijo de

Pedro era el padre de su hijo, ¿qué era él de Pedro?

6. HIJO DE TU PADRE. ¿Quién es el hijo de tu padre que no es tu

hermano?

7. HERMANDAD. El hermano de Teresa tiene un hermano más que

hermanas. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Teresa?

8. CARLOS Y LA FOTOGRAFÍA. Carlos estaba mirando un retrato

y alguien le preguntó: "¿De quién es esa fotografía?", a lo que él

contestó, "Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el padre de este

hombre es el hijo de mi padre". ¿De quién era la fotografía que

estaba mirando Carlos?

9. OTRA VEZ CARLOS Y LA FOTO. Supongamos que en esa misma

situación, Carlos hubiera contestado: "Ni hermanos, ni hermanas

tengo, pero el hijo de este hombre es el hijo de mi padre" ¿De quién

sería la fotografía?

10. REGALAR CULTURA. Una madre compró a su hija 25 libros y

otra madre regaló a la suya 7 libros. Entre las dos hijas aumentaron

su capital literario en 25 libros. ¿Cómo se explica este fenómeno?

11. HERMANA DE MI HERMANA. ¿Quién es la hermana de mi

hermana que no es mi hermana?

12. MENUDOS PARENTESCOS. El hermano del hijo de Juan tiene

un amigo tocayo del padre del hermano suyo. Siendo su amigo tocayo

hijo de Paco, hermano político de Juan. ¿Cómo se llama el amigo y qué

parentesco tiene con Juan?

13. VAYA PARENTESCO. Teresa, hija única, es la madre de Alvaro

y la hija política de Luisa. Si Javier es el tío de Alvaro, ¿qué

parentesco existirá entre éste y Miguel, marido de Luisa?

14. ¿CUÁNTOS HIJOS? Yo tengo 6 hijos. Cada hijo tiene una

hermana. ¿Cuántos hijos tengo?

15. FAMILIA NUMEROSA. María tiene el doble de hermanos que

de hermanas, pero si el número total de hermanos se le restan todas

las hermanas de la familia, incluida ella es de tres. ¿Cuántos hermanos

y hermanas componen la familia?

16. HERMANA QUE NO ES TÍA. Yo tengo una tía y mi tía una

hermana que no es mi tía. ¿Cómo es posible?

17. HERMANA QUE NO ES TÍA. Mi tía Julia es la hermana de mi

madre. Luisa es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Quién es?

18. HERMANOS Y HERMANAS. Jorge tiene tantos hermanos como

hermanas; sin embargo, su hermana Lucía tiene el doble de hermanos

que de hermanas. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la familia?

19. ENTRE CARLOS Y JAIME. Alberto: Los parentescos son

curiosos. Jaime tiene el mismo parentesco contigo que el que yo tengo

con tu hijo. Carlos: Así es, y tú tienes el mismo parentesco conmigo

que Jaime contigo. ¿Cuál es el parentesco entre Carlos y Jaime?

20. HIJO DE MIS PADRES Y NO ES MI HERMANO. Al contemplar

un retrato, un señor dice: "Ese es hijo de mis padres y no es hermano

mío. ¿Quién es?

21. ¿CUANTOS INVITADOS? Un señor invitó a comer al cuñado de

su padre, al suegro de su hermano, al hermano de su suegro y al padre

de su cuñada. ¿Cuántos invitados tuvo?

22. FAMILIA FELIZ.

Al alguacil, a su hija,

al herrero y a su mujer

les tocó la lotería

y repartieron entre tres.

¿Cómo lo explicaría Vd.?

23. COMIENDO HUEVOS.

El boticario y su hija,

el médico y su mujer

se comieron 9 huevos

y todos tocaron a 3.

¿Cómo puede ser?

24. EL DESAYUNO. Dos padres y dos hijos se comieron en el

desayuno tres huevos, con la particularidad de que cada uno se comió

un huevo entero. ¿Cómo explica Vd. esto?

25. PADRES, MADRES, HIJOS Y MARIDOS.

Ahí vienen nuestros padres

maridos de nuestras madres

padres de nuestros hijos

y nuestros propios maridos.

26. TRES CONEJOS PARA CUATRO.

Dos hijos y dos padres

cazan tres conejos

tocan a uno cada uno,

¿cómo puede ser esto?

27. EN EL CEMENTERIO. En una tumba del cementerio de

Alencourt, en las cercanías de París, se encuentra la siguiente

inscripción, que damos traducida al castellano.

Aquí yace el hijo; aquí yace la madre;

Aquí yace la hija; aquí yace el padre;

Aquí yace la hermana; aquí yace el hermano;

Aquí yacen la esposa y el marido.

Sin embargo, hay solamente tres personas aquí. ¿Cuáles?

28. HIJOS E HIJAS. El nieto de mis padres es uno de mis sobrinos

y tengo tres sobrinos más que no son hermanos entre sí. Como mínimo

¿cuántos hijos e hijas tienen mis padres?

29. EL MENOR NÚMERO. ¿Cuál es el menor número de personas que

se necesitan para conseguir obtener un grupo de contenga 2 tíos y 2

sobrinos?

30. LA CONVERSACIÓN. El otro día en los jardines del parque

escuché a dos personas la siguiente conversación: «Ten en cuenta que

mi madre es la suegra de tu padre». ¿Qué parentesco une a las dos

personas?

31. PANZADA DE PASTELES. Alberto y su mujer se sentaron a

tomar el té con su cuñada y su nuera, cada uno comió un número de

pasteles diferente (nadie se quedó sin comer) y en total devoraron

once. La mujer de Alberto comió dos y la cuñada cuatro. ¿Cuántos

pasteles comió Alberto?

32. SÓLO SIETE PERSONAS. Una fiesta familiar reunió a 1 abuelo,

1 abuela, 2 padres, 2 madres, 4 hijos, 3 nietos, 1 hermano, 2

hermanas, 2 hijos varones, 2 hijas mujeres, 1 suegro, 1 suegra y 1

nuera. ¿Cómo es posible que en esa reunión sólo estuvieran presentes

7 personas?

33. MARÍA Y YO. Si el hijo de María es el padre de mi hijo, ¿qué

parentesco tengo yo con María?

34. TODOS MIS HERMANOS. El nieto de mis padres es uno de mis

sobrinos y tengo tres sobrinos más que no son hermanos entre sí.

Como mínimo, ¿cuántos hijos e hijas tienen mis padres?

Se puede asumir que nadie se ha muerto en circunstancias

extrañas y que todos los hijos viven con sus padres biológicos.

PROBLEMAS SOBRE MÓVILES - DISTANCIAS - VELOCIDADES

La mayor parte de la gente se hace con facilidad un lío en los

problemas relativos a velocidades medias. Hay que tener mucho

cuidado al calcularlas.

La velocidad media de cualquier viaje se calcula siempre dividiendo la

distancia total por el tiempo total.

1. AL CAMPO DE MERIENDA. El otro día, cuando fuimos al campo

de merienda, el viaje de ida lo hice a una velocidad media de 60 km/h.

y el de vuelta, a 30 km/h. ¿Qué velocidad media conseguí en el viaje

completo?

2. UN ALTO EN EL CAMINO. Los Gómez y los Arias, acuerdan

realizar un viaje al alimón. Parten a la vez de Madrid, y fijan el lugar

de la primera parada. Llevaban esperando media hora los Gómez,

cuando llegó el coche de los Arias. Estos fueron con una velocidad

media de 60 km/h. y los Gómez con una velocidad media de 70 km/h.

¿A cuántos kilómetros de Madrid estaba situada la primera parada?

3. EL ESQUIADOR FRUSTRADO. Un esquiador sube en telesilla a

5 km/h. ¿A qué velocidad tendrá que descender esquiando para

conseguir una velocidad de 10 km/h. en el recorrido total?

4. EL AVIÓN Y EL VIENTO. Un avión vuela en línea recta desde el

aeropuerto A hasta el aeropuerto B, y a continuación regresa también

en línea recta desde B hasta A. Viaja con aire en calma, manteniendo

el motor siempre en el mismo régimen. Si soplara un fuerte viento de

A hacia B, y el número de revoluciones se mantiene como antes,

¿sufrirá alguna modificación el tiempo invertido en el trayecto de ida

y vuelta?

5. EL BÓLIDO Y LOS TRES MOJONES. Un automóvil pasa frente

a un mojón que lleva el número kilométrico AB. Una hora después pasa

frente al mojón BA, una hora más tarde frente al mojón A0B.

¿Qué números tienen los mojones y cuál es la velocidad

(constante) del automóvil?

6. PROMEDIANDO. Una persona camina al ritmo de 2 km/h al

subir una cuesta, y al de 6 km/h al bajarla. ¿Cuál será la velocidad

media para el recorrido total? (Se supone, claro está, que tan pronto

alcanza la cima, inicia el descenso)

7. DOS CICLISTAS Y UNA MOSCA. Dos ciclistas situados a 60

Km. de distancia entre sí corren en línea recta al encuentro mutuo,

ambos a una velocidad de 30 Km/h. Ambos parten a la vez y en el

momento de partir, una mosca sale de la frente del primer ciclista a

una velocidad de 45 Km/h. Al llegar a la frente del segundo ciclista,

vuelve a la misma velocidad hasta que al tocar la frente del primer

ciclista vuelve al encuentro del segundo y así sucesivamente hasta que

ambos ciclistas la aplastan al chocar sus frentes. ¿Cuál será la

distancia recorrida por el infortunado insecto?

8. ¿COGIÓ EL TREN? Un hombre tenía que ir en bicicleta a la

estación, que estaba a 12 kilómetros, a coger el tren. Pensó lo

siguiente: "Tengo una hora y media para coger el tren. Cuatro

kilómetros son cuesta arriba, y tendré que hacerlos a pie, a cuatro

kilómetros por hora; hay cuatro kilómetros cuesta abajo, que haré a

doce kilómetros por hora; cuatro kilómetros son de carretera llana,

que podré hacer a ocho kilómetros por hora. La media es de ocho

kilómetros por hora, así que llegaré justo a tiempo." ¿Estaba

razonando como es debido?

9. ¿LOGRO COGER EL TREN? Un tren salió de una estación con

once minutos de retraso, y fue a diez kilómetros por hora hasta la

siguiente estación que estaba a un kilómetro y medio, y donde hacia

una parada de catorce minutos y medio. Un hombre llegó a la primera

estación doce minutos después de la hora normal de salida del tren, y

se dirigió andando a la siguiente estación, a cuatro kilómetros por

hora, con la esperanza de poder coger el tren allí. ¿Lo logró?

10. ADELANTAMIENTO Y CRUCE DE TRENES. Un tren de

pasajeros lleva una velocidad de 90 Km/h, tarda doble tiempo en

pasar a un tren de carga cuando lo alcanza que cuando se cruza con él.

Cuál es la velocidad del tren de carga.

11. VIAJE DE IDA Y VUELTA. Un automovilista ha ido a una ciudad

que está a 300 Km. de distancia. Al volver, su velocidad media ha sido

10 Km superior a la velocidad de ida y ha tardado una hora menos.

Calcula las velocidades y los tiempos invertidos en la ida y en la

vuelta.

12. LOS ANUNCIOS DE CERVEZA DE LA AUTOPISTA. Carlos

conducía su automóvil a velocidad prácticamente constante. Iba

acompañado de su esposa. -¿Te has dado cuenta - le dijo a su mujer -

de que los anuncios de la cerveza parecen estar regularmente

espaciados a lo largo de la carretera? Me pregunto a cuánta distancia

estarán unos de otros.

La señora echó un vistazo a su reloj de pulsera y contó el

número de anuncios que rebasaban en un minuto.

-¡Qué raro! -exclamó Carlos-. Si se multiplica ese número por

diez se obtiene exactamente nuestra velocidad en kilómetros por

hora.

Admitiendo que la velocidad del coche sea constante, que los

anuncios estén igualmente espaciados entre sí, y que al empezar y

terminar de contar el minuto el coche se encontraba entre dos

anuncios, ¿qué distancia los separa?

13. ¿A QUE DISTANCIA ESTA EL COLEGIO? Una mañana un niño

tenía que ir al colegio. El padre dijo al niño, "Si no te das prisa

llegarás tarde al colegio". El chico contestó "Sé perfectamente lo que

voy a hacer: Si ando a una media de cuatro kilómetros por hora,

llegaré con cinco minutos de retraso, pero si ando a cinco kilómetros

por hora llegaré diez minutos antes de la hora de entrada." ¿A qué

distancia está el colegio?

14. EL PASEO DE MI AMIGO ANDRÉS. Una tarde mi amigo Andrés

remó en barca desde su pueblo hasta el pueblo más cercano y después

regresó otra vez hasta su pueblo. El río estaba en calma como si de un

lago se tratase. Al día siguiente repitió el mismo recorrido, pero esta

vez el río bajaba con cierta velocidad, así que primero tuvo que remar

contra corriente pero durante el regreso remaba a favor. ¿Empleó

más, menos o el mismo tiempo que el día anterior en dar su

acostumbrado paseo en barca?

15. EL ENCONTRONAZO. Un camión circula a 65 km/h. Tres

kilómetros por detrás le sigue un coche a 80 km/h. Manteniendo las

respectivas velocidades, si el coche no adelanta al camión es seguro

que chocará contra él. ¿A qué distancia estará el coche del camión un

minuto antes del choque?

16. LAS NAVES ESPACIALES. Dos naves espaciales siguen

trayectorias de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 kilómetros por

minuto y la otra a 12. Supongamos que en este instante estén

separadas exactamente 5000 kilómetros. ¿Cuánto distarán una de la

otra un minuto antes del choque?

17. EL TREN Y EL HELICÓPTERO. Un tren sale de Oviedo a las 8

horas con destino a Burgos. Su velocidad media durante el recorrido

es de 80 kilómetros por hora. Un helicóptero parte a la misma hora

de Burgos, sobrevolando la vía férrea, al encuentro del tren. Su

velocidad media es de 400 kilómetros por hora. En el instante en que

se encuentran, el helicóptero vuelve a Burgos. Al llegar a esta ciudad

cambia el rumbo y se dirige otra vez hacia el tren. Cuando lo

encuentra, regresa de nuevo a Burgos.

Estos viajes de ida y vuelta los repite el helicóptero

sucesivamente hasta que el tren llega a Burgos.

Sabiendo que la distancia Oviedo-Burgos es de 320 km. y

suponiendo que el helicóptero no pierde velocidad en los cambios de

dirección, ¿cuántos kilómetros recorre el helicóptero?

18. DEVORANDO KILÓMETROS. Entre las ciudades A y B se

estableció, desde el 1 de enero de 1981, un servicio regular de

autobuses.

Los cuatro vehículos que diariamente partían de A tenían,

respectivamente, los siguientes horarios de salida: 8 h, 10 h, 16 h y

20 h. A las mismas horas, salían de B otros tantos autobuses con

destino a la ciudad A.

En cubrir la distancia entre A y B, cada autobús empleaba 3

días. El 4 de marzo de 1981, Carlos subió al autobús de las 8 h, que en

ese instante partía de la ciudad A. ¿Con cuántos autobuses se habrá

cruzado durante el trayecto hasta llegar a la ciudad B?

19. GANANDO TIEMPO. Los participantes en una carrera ciclista

estaban preparados en la línea de salida.

Al darse la señal, el corredor con el dorsal 25 advirtió una

avería en la máquina, empleando sus técnicos 4 minutos en subsanarla.

A pesar del retraso, este ciclista ganó la carrera, llegando a la

meta 1 hora y 4 minutos después de iniciar su salida en solitario.

Si el tiempo del que llegó en último lugar fue de 1 hora y 12

minutos, ¿cuántos minutos tardó el ganador en dar alcance al

"farolillo rojo"? Debe suponerse que las velocidades de cada ciclista

son uniformes.

20. ENTRE CIUDADES. Navegando a favor de la corriente, un

vapor desarrolla 20 Km/h navegando en contra, sólo 15 Km/h. En ir

desde el embarcadero de la ciudad de Anca hasta el embarcadero de

la ciudad de Bora, tarda 5 horas menos que en el viaje de regreso.

¿Qué distancia hay entre Anca y Bora?

21. LA CARRERA DEL PERRO Y EL GATO. Un gato y un perro

entrenados corren una carrera de 100 metros y luego regresan. El

perro avanza 3 metros a cada salto y el gato sólo 2, pero el gato da 3

saltos por cada 2 del perro. ¿cuál es el resultados de la carrera?

22. LA VELOCIDAD DEL TREN. Una joven sube al último vagón de

un tren. Como no encuentra asientos libres, deja las maletas en la

plataforma y empieza a buscar sitio. En ese momento está pasando

frente a la fábrica de "Calzados Pisaplano". La chica va recorriendo el

tren a velocidad constante; cinco minutos más tarde ha llegado al

vagón de cabeza y, no encontrando asiento, decide dar la vuelta,

regresando al mismo paso hasta su equipaje. En ese momento se

encuentra frente a un almacén de pelucas, "Cocoliso, S. L.", que dista

exactamente 5 kilómetros de los "Calzados Pisaplano". ¿A qué

velocidad viaja el tren?

23. VIENTO EN CONTRA. Un ciclista recorre 1 Km. en 3 minutos a

favor de viento, y regresa en 4 minutos con viento en contra.

Suponiendo que siempre aplica la misma fuerza en los pedales,

¿cuánto tiempo le llevaría recorrer una distancia de 1 Km. si no

hubiera viento?

24. INFATIGABLES CORREOS. Dos correos salen

simultáneamente, uno de Madrid a Zaragoza el otro de Zaragoza a

Madrid. Cada uno lleva una velocidad uniforme. Desde el momento en

que se cruzan el primero tarda 9 horas en llegar a Zaragoza y el

segundo tarda 16 horas en llegar a Madrid. ¿Cuál es la duración del

viaje de cada correo?

25. LOS DOS CICLISTAS. Dos ciclistas, Juan y Alberto se dirigen

al mismo punto. Juan corre a 10 Km/h y Alberto a 12 Km/h. Si Juan

sale dos horas antes que Alberto y, sin embargo, éste le alcanza al

llegar ambos a su destino, ¿cuánto tiempo ha corrido Alberto y qué

distancia en total?

26. SIGUIENDO SU CAMINO. El presidente de una sociedad que

vivía fuera de la ciudad en que se encontraba su despacho, tenía por

costumbre tomar el tren de cercanías y que el chófer le recogiese en

la estación terminal, trasladándose al despacho en automóvil. Un día

cogió un tren anterior al habitual y llegó a la estación con una hora de

adelanto. Como, lógicamente, el chófer no estaba, decidió ir andando

por el camino habitual hasta encontrarse con su coche cuando fuese a

buscarle. Así lo hizo, y de esta forma llegó al despacho con 20

minutos de adelanto. Suponiendo que el chofer llegaba cada día a la

estación en el preciso momento de la llegada del tren, se trata de

saber cuánto tiempo estuvo andando.

27. LOS DOS VAPORES Y EL RÍO. Dos vapores parten

simultáneamente de las orillas opuestas de un río, en dirección normal

a dichas orillas que, por supuesto son paralelas. Al cabo de un cierto

tiempo se cruzan a 200 metros de la orilla derecha. Continúan viaje y

al llegar a la orilla opuesta cada vapor permanece parado 10 minutos,

tras lo cual vuelve a salir en dirección opuesta, cruzándose esta vez a

100 metros de la orilla izquierda. ¿Qué anchura tiene el río?

28. VIAJE BIEN PLANEADO. Un padre y un hijo han de recorrer

una distancia de 50 km. Para ello cuentan con un caballo que puede

viajar a 10 km/h, pero no puede llevar más que una persona. El padre

camina a razón de 5 km/h y el hijo a 8 km/h. Alternadamente caminan

y cabalgan. Cada uno ata el caballo a un árbol, tras cabalgar, para que

lo recoja el otro, y continua a pie. De esta forma llegan a la mitad del

camino al mismo tiempo, donde reposan media hora y repiten después

la misma combinación para llegar simultáneamente al final del

trayecto. ¿A qué hora llegarán a su destino si salieron a las 6 de la

mañana?

29. RETRASO EN LA ENTREGA. El encargado de transportes de la

sociedad estaba de mal humor. «No voy a poder enviar a tiempo el

cargamento. Tengo dos camiones averiados, y como se me han llevado

todos los demás, excepto uno, con éste solamente me retrasaré

mucho. Si no me hubiesen retirado el resto de la flota de camiones

hubiese tardado 8 días, uno más de lo previsto inicialmente, con la

totalidad de los camiones, esto es, incluidos los dos averiados. Pero,

insisto, con un solo camión me retrasaré... muchas semanas». ¿Cuántas

semanas se retrasará?

30. CUESTA ABAJO EN MI RODADA. Dos pueblos se hallan a una

distancia de 10 Km y la carretera que los une es llana, por lo que un

automóvil se traslada de uno a otro con velocidad uniforme de 80

km/h, tardando una hora y cuarto en hacer el recorrido.

Otros dos pueblos se encuentran, asimismo, a 100 km de

distancia, pero 50 son de subida y 50 de bajada, por lo que el mismo

automóvil recorre los primeros a 40 km/h y los segundos a 120 km/h.

¿Tardará más o menos en hacer este recorrido que en el primer caso?

¿O tardará igual?

31. UNA CIUDAD CON TRANVÍAS. Un hombre camina a una

velocidad de 6 km/h a lo largo de una calle, por la que circula una

cierta línea de tranvías, y cuenta que mientras 4 tranvías le

adelantan, 6 se cruzan con él. Suponiendo que el espaciado entre

tranvías, así como su velocidad, son uniformes, calcula la velocidad de

los tranvías.

32. EL NADADOR EN EL RÍO. Un nadador tarda 10 minutos en

nadar entre dos islas de un río, ayudado por la corriente. Al regresar,

nadando contra corriente, tarda 30 minutos. ¿Cuánto tardaría si no

hubiese corriente alguna?

33. VAYA CAMINATA. Dos ancianas comienzan a andar al amanecer

a velocidad constante. Una marcha de A a B y la otra de B a A. Se

encuentran a mediodía y, sin parar, llegan respectivamente a B a las 4

de la tarde y a A a las 9 de la noche. ¿Cuándo amaneció aquel día?

34. LUCAS Y SU PAPÁ. El papá de Lucas lo espera todos los días a

la salida de la escuela y lo lleva en auto a la casa. Ayer las clases

terminaron 1 hora antes y como Lucas no le pudo avisar al padre,

empezó a caminar hacia su casa hasta que se encontró con su padre.

Tardó 1 minuto en subir al auto y girar. Con todo esto, llegó a su casa

9 minutos más temprano que de costumbre. El papá de Lucas maneja

siempre a 55 km/h. ¿A qué velocidad camina Lucas?

35. EL ATLETA MATUTINO. Un atleta sale a correr en su práctica

matutina y lo hace a velocidad constante. A las 9:00 horas ha

cubierto 1/6 de la distancia total y a las 11:00 horas le falta cubrir

1/3 del total. ¿Qué fracción de la distancia ha recorrido a las 10:30

horas?

36. LA VUELTA A LA MANZANA. Diego dio una vuelta a una

manzana de base cuadrada: Por el primer lado caminó a 4 km/h, por el

siguiente caminó a 5 km/h, por el tercero trotó a 10 km/h y por el

cuarto corrió a 20 km/h. ¿Cual fue la velocidad promedio de la vuelta

completa?

37. DESAFÍO 1. Un ómnibus con turistas sale de Perdiz Renga en

dirección norte. Viaja a 50 km/h y no se detiene hasta llegar a Liebre

Tuerta. Otro ómnibus, sale de Perdiz Renga dos horas más tarde que

el primero y viaja a 65 km/h. Este ómnibus llega a Liebre Tuerta al

mismo tiempo que el primero. ¿Qué distancia hay entre Perdiz Renga

y Liebre Tuerta?

38. LOS MARATONIANOS Y EL ENTRENADOR. Una fila de

maratonianos, de 1 km de largo, trota (uno detrás del otro) a lo largo

de una larguísima playa, a velocidad constante. Desde el fondo de la

fila, sale corriendo a velocidad constante el entrenador hasta

alcanzar al primero de fila, hecho lo cual vuelve hasta el último

puesto. En ese tiempo, la fila avanzó 1 km, o sea que el último hombre

ocupa la posición que ocupaba el primero al empezar la carrera del

entrenador. ¿Cuántos metros corrió el entrenador?

39. LA CORRIENTE DEL RÍO. Un barco se desplaza 5 horas sin

interrupción río abajo entre dos ciudades. De vuelta, avanza

contracorriente (con su marcha ordinaria y sin detenerse) durante 7

horas. ¿Cuál es la velocidad de la corriente?

40. LA PALOMA Y LOS DOS TRENES. Dos trenes avanzan en

direcciones contrarias por vías contiguas: uno a 70, y el otro, a 50

kilómetros por hora. Siempre sobrevolando las vías, una paloma vuela

de la locomotora del primer tren al segundo, nada más llegar da media

vuelta y regresa a la del primero, y así va volando de locomotora en

locomotora.

Sabiendo que vuela a 80 kilómetros por hora y que cuando inició

su vaivén la distancia entre ambas locomotoras era de 60 kilómetros,

¿cuántos kilómetros habrá recorrido la paloma cuando los dos trenes

se encuentran?

Ayuda: ¿Cuánto tiempo ha estado volando la paloma?

41. LOS TRENES QUE SE CRUZAN. Cada hora sale un tren de la

ciudad A a la ciudad B y otro de B a A, y todos los trenes tardan 5

horas en cubrir la distancia entre ambas ciudades. Un viajero que

tome uno cualquiera de los trenes, ¿con cuántos trenes se cruzará a

lo largo de su viaje?

Ayuda: Imagínese al viajero saliendo de A. En ese momento

llega un tren de B.

42. EL TREN PUNTUAL. Mi tren sale a las diez en punto. Si voy a la

estación caminando a una velocidad de 4 kilómetros por hora, llego

cinco minutos tarde. Si voy corriendo, a 8 kilómetros por hora, llego

con diez minutos de adelanto. ¿A qué distancia estoy de la estación?

Ayuda: Yendo al doble de velocidad se tarda quince minutos

menos.

43. EL CICLISTA PLAYERO. Un esforzado ciclista se dirige desee

una población del interior a la playa, cuesta abajo, a una velocidad de

30 km/h. Al volver a su casa, cuesta arriba, va a 10 km/h. ¿Cuál es la

velocidad media del ciclista en el trayecto de ida y vuelta?

Ayuda: Téngase en cuenta que tarda más en volver que en ir;

luego la velocidad media es simplemente la media de las velocidades.

PROBLEMAS SOBRE CRIPTOGRAMAS

La criptografía es, como lo indica su etimología, el arte de las

escrituras secretas. Su objeto es transformar un mensaje claro en un

mensaje secreto que en principio sólo podrá ser leído por su

destinatario legítimo (operación de cifrar); a esto sigue la operación

inversa llevada a cabo por el destinatario (operación de descifrar).

Restablecer el texto claro partiendo del texto cifrado sin que de

antemano se conozca el procedimiento de cifras es el desciframiento.

Si dejamos de lado los textos bíblicos en cifra, discutidos y

discutibles, el procedimiento criptográfico más antiguo que se conoce

es la escitala de los lacedemonios, de la que Plutarco nos dice que fue

empleada en la época de Licurgo (siglo IX antes de nuestra era). La

escitala era un palo en el cual se enrollaba en espiral una tira de

cuero. Sobre esa tira se escribía el mensaje en columnas paralelas al

eje del palo. La tira desenrollada mostraba un texto sin relación

aparente con el texto inicial, pero que podía leerse volviendo a

enrollar la tira sobre un palo del mismo diámetro que el primero.

Los romanos emplearon un procedimiento muy ingenioso indicado

por Eneas el Tácito (siglo IV antes de nuestra era) en una obra que

constituye el primer tratado de criptografía conocido. El

procedimiento consistía en enrollar un hilo en un disco que tenía

muescas correspondientes a las letras del alfabeto. Para leer el

mensaje bastaba con conocer su primera letra. Si el correo era

capturado sólo tenía que quitar el hilo del disco y el mensaje

desaparecía. Pero posteriormente este procedimiento se perdió. Por

Suetonio conocemos la manera en que Julio César cifraba las órdenes

que enviaba a sus generales; sus talentos de criptógrafo no igualaban

a los del general. Julio César se limitaba a utilizar un alfabeto

desplazado en tres puntos: A era reemplazada por D, B por E, etc.

Hoy el arte de cifrar utiliza las técnicas de la electrónica y ya

no tiene ninguna relación con los procedimientos que acabamos de

describir.

Todos los procedimientos de cifrar antiguos y modernos, a pesar

de su diversidad y de su número ilimitado, entran en una de las dos

categorías siguientes: transposición o sustitución. La transposición

consiste en mezclar, de conformidad con cierta ley, las letras, las

cifras, las palabras o las frases del texto claro. La sustitución

consiste en reemplazar esos elementos por otras letras, otras cifras,

otras palabras u otros signos.

LA CRIPTARITMÉTICA

La criptografía es un arte que desempeñó un importante papel

en el desenvolvimiento de la historia. La criptaritmética no es más

que un juego. No sé en qué época se inventó, pero los aficionados a las

variedades comenzaron a interesarse por ellas en el primer congreso

internacional de recreaciones matemáticas que se reunió en Bruselas

en 1935.

La criptaritmética consiste en reemplazar las cifras por letras

en la transcripción de una operación de aritmética clásica, de una

ecuación. El problema consiste en hallar las cifras que están "bajo"

las letras. Para complicar las cosas, en ciertos sitios se puede marcar

simplemente el lugar de una cifra con un punto o un asterisco. En el

caso extremo solo quedan asteriscos.

Es fácil ver que la criptaritmética es un procedimiento de cifrar

por sustitución y que la clave es una regla matemática.

Los enunciados criptaritméticos son a veces seductores; sus

soluciones no presentan dificultades matemáticas pero en cambio

exigen numerosísimas hipótesis y, en consecuencia, cálculos largos y

trabajosos que implican grandes riesgos de confusión.

Por eso se aconseja que se dediquen a este género de problemas

sólo los lectores pacientes y minuciosos.

1. PARA PRINCIPIANTES. Resolver: PAR + RAS = ASSA.

2. SEÑAL DE SOCORRO. Resolver: IS + SO = SOS.

3. ÚNICA SOLUCIÓN. Éste tiene solución única: ABCDE x 4 =

EDCBA.

4. FACILÓN. Reconstruir la suma: 3A2ABC + C8A4DD = E1DE19.

5. MUY FACILÓN. Reconstruir el siguiente: R1G + 1G3 + 305 =

GN5.

6. OTRO MUY FACILÓN. Reconstruir el siguiente: PLAYA -

NADAR = 31744.

7. SUMA FÁCIL (1). Reconstruir la suma: 3AB32C + B2DECA =

F51CD6.

8. SUMA FÁCIL (2). Reconstruir la suma: ABC23D + C4EFGB =

B769C7.

9. SUMA FÁCIL (3). Reconstruir la suma: ABC52C + D31ECA =

G45GH7.

10. SUMA FÁCIL (4). Reconstruir la suma: BCD + EEF = GFG. Se

sabe que: D-F=B.

11. SUMA FÁCIL (5). Reconstruir la suma: ABC32D + D2AEBA =

F69BC8.

12. SUMA FÁCIL (6). Reconstruir la suma: ROSA + LILA = NARDO.

13. DEL ZOOLÓGICO. Resolver: (ZOO)² = TOPAZ.

14. CRIPTOGRAMA. Resolver el siguiente criptograma:

C D B 0 6 A + D 6 E B A C = A 9 5 A E 7

15. AMOR POR AMOR SE ACRECE. Reconstruir el siguiente

producto:

AMOR x AMOR = ****AMOR.

Ayuda: Números circulares son aquellos que multiplicados

repetidamente por sí mismos reaparecen a la derecha de todos los

productos. De una cifra son 1, 5 y 6, de dos cifras 25 y 76, etc.

16. PRODUCTO FORZADO. Reconstruir el siguiente producto: ABC

x DEF = ... = 204561. Las diez cifras están representadas en él,

contando las tres sumas intermedias y sin contar el resultado.

Ayuda: 204561 = 3 x 3 x 7 x 17 x 191.

17. LA CAZA DEL TIGRE. Se busca el nombre de un animal. Cada

letra de este nombre tiene como valor su número de orden en el

alfabeto (A=1, B=2, C=3, etc.) El número de la primera letra es

múltiplo de 2. El número de la segunda es un cuadrado perfecto. El

número de la tercera es múltiplo de 7. La cifra de las unidades del

cuarto número es una potencia de 3. La suma de los números segundo

y quinto es igual a 14. La suma de los números de dos de las letras es

un número primo menor que 20. ¿Cuál es el animal buscado? (No

considerar CH, LL, Ñ, W)

18. EL BUFÓN DEL DUQUE. La divisa del Duque de Chevailles,

vasallo del rey de francia, se situaba en forma de tres palabras de

tres letras que evocaban la ley férrea impuesta por uno de sus

antepasados:

L O I + F E R = D U C.

Estas tres palabras presentan la particularidad de formar una

suma en la que cada letra corresponde a una de las nueve primeras

cifras (de 1 a 9).

Se cuenta que un día, el bufón del Duque, encolerizado, escribió,

conservando el valor de las letras:

F O L + D U C = I R E

El bufón firmó su suma con el número 32.456.347. ¿Firmó con

su nombre?

19. EL ABC DE LOS CRIPTOGRAMAS. Resolver: ABC = C4, BCA =

D4.

20. CRIPTOSUMA: A letra distinta, numero distinto. Una palabra no

puede comenzar con 0. Resolver el siguiente sabiendo que SEIS es

divisible por 6.

SEIS + DE + ENERO = REYES

21. CRIPTOGRAMA. Resolver el siguiente criptograma:

PAGA + PATIN = MAGICO.

22. LOS PRODUCTOS DE SANTA BÁRBARA. En cada uno de los

siguientes productos están las nueve cifras significativas.

Reconstruirlos.

* * * * x * = * * * *

* * * x * * = * * * *

23. SUMA DE LETRAS. Resolver el siguiente criptograma sabiendo

que ninguna de las cifras es cero.

ASE + ACES + ASCE = SCIE

24. CRIPTOGRAMA SENCILLO. Cada ? representa un símbolo que

hay que encontrar.

MIL + MIL = ????????

25. HOLA. Resolver éste: HOLA + CHAU = CUCHA.

Ayuda: Hay dos soluciones muy parecidas.

26. DE CITA. Resolver éste: DIA + HORA = CITAS.

27. MUY ENTRETENIDO. Resolver éste: CINE + CENA + BAILE =

PASEAR.

28. FACTURA EN CLAVE. Resolver: DIEZ + TRES = TRECE. Se sabe,

además, que DIEZ es par y que TRES es impar.

29. JUGANDO A LAS CARTAS. Resolver éste: ASES + REYES =

POKER. El cero no interviene.

30. MI MAMA ME MIMA. Resolver éste: MI + MAMA + ME +

MIMA = EDIPO. El cero no interviene.

31. SUMA DISFRAZADA. Resolver la suma:

SI+SI+SI+SI+SI+SI+SI = ASI. El cero y el uno no intervienen.

32. E.T. MATEMÁTICO. Resolver éste: (MI)2 = CASA.

33. ETETFONO. Resolver éste: (ABC)3 = ETETFONO.

34. ¿LA VERDADERA? Una de las dos multiplicaciones es falsa.

Construir la verdadera.

a) SIETE X DOS = CATORCE.

b) SIETE X DOS = OCTORCE

35. DE VIAJE. Resolver éste: PARTO + PARA + PARIS = MARTES.

No hay ceros.

36. CRIPTOANUNCIO. Resolver el siguiente:

PARA + SNARK + A + MI + MARCIA + ARMA = PAGINA

37. CONVERSIÓN ROMANA. Las dos operaciones adjuntas, en

números romanos, son correctas.

LIX + LVI = CXV, X2 = C

Lo seguirán siendo si se reemplazan por números arábigos.

Encuentre la única solución.

38. DEL 1 AL 9. Resolver éste: 7AA + BB4 = BBA. Aparecen todas

las cifras del 1 al 9. Las letras A son pares y las B impares.

39. CRIPTOGRAMA ABC. Resolver éste: ABC + ABC + ABC = BBB.

40. LA DOCENA. Resolver éste: DIEZ + DOS = DOCE.

41. LA SUMA ES OCHO. Resolver éste: DOS + DOS + DOS + DOS =

OCHO.

42. RECÁLCULO. Resolver éste: AB x C = DE + FG = HI.

Acertijos y problemas de lógica e ingenio.

En esta página tienes una selección de los acertijos y problemas de

lógica e ingenio más conocidos, por supuesto que ni están todos los

que son ni son todos los que están, algunos de ellos han sido obtenidos

de la lista Snark, otros de libros y otros están en mi recuerdo desde

hace mucho tiempo. Se acepta con agrado cualquier propuesta que

será incluida en la lista.

Un acertijo que merece un tratamiento especial es "El acertijo de

Einstein" por lo que si aun no lo conoces te le recomiendo

especialmente.

Los acertijos y los problemas de lógica e ingenio estan mezclados,

realmente por no haber podido hacer una selección efectiva para

listarlos en dos grupos independientes, me encontraba siempre con el

problema de que algunos los podia incluir tanto en el grupo de los

acertijos como en el de los problemas de lógica o de ingenio.

Comienzo con el clásico de los clásicos. ¿Quién no conoce el problema

del lobo, la cabra y la lechuga? ¿es un acertijo o un problema de lógica

e ingenio?

1.- Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la

otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben el y

una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la

come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe

hacerlo?.

-- Solución al acertijo --

2.- Un oso camina 10 Km. hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el

norte, volviendo al punto del que partio. ¿De que color es el oso?


3.- ¿Qué animal tiene en su nombre las cinco vocales?


4.- Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres

interruptores, al final hay una habitación con la puerta cerrada. Uno

de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitación, que

esta inicialmente apagada.

¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz

recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo?

Pista: El hombre tiene una linterna.


5.- En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres

señores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin

mirar el color.

Se le pregunta al tercero de la fila, que puede ver el color del

sombrero del segundo y el primero, si puede decir el color de su

sombrero, a lo que responde negativamente.

Se le pregunta al segundo que ve solo el sombrero del primero y

tampoco puede responder a la pregunta.

Por último el primero de la fila que no ve ningún sombrero responde

acertadamente de qué color es el sombrero que tenia puesto.

¿Cuál es este color y cuál es la lógica que uso para saberlo?

Analogías y Distribuciones

1. Halle el número que falta:

48 (12) 4

36 ( ) 9

2. Encuentre el valor de “y” en:

2 32 5

3 81 4

y 625 4

3. Encuentre el dato de la segunda fila:

57(28) 37

78 ( ) 32

4. Encuentre el número que completa la información:

25 ( 7) 81

49 ( 4) 1

36 ( ) 100

5. Halle el valor de “x” en:

35 21 12

28 36 4

40 7 x

6. Halle el valor de “z” en:

12 90 8

8 z 15

15 96 6

7. Encuentre el valor de “x” en:

12

645

18

42

9

x3

4 6

8. Determine el valor de “z” en:

9. En la distribución que se presenta, determine “x”.

10. 5 ( 8 ) 2

12

420

15 15

525

z

18

630

25

12

16 30

5

3 4

5

20

1

4

4

10

2

x

5

2 (12 ) 1

6 ( ) 8

11. 15 (19 ) 2

8 (22) 7

10 ( ) 20

12. 15 (298) 20

31 (773) 25

16 ( ) 8

13. 5 (61) 6

7 (85) 6

3 ( ) 6

14. 2484 (32) 356

282 (24) 129

15 ( ) 108

CONTEO DE FIGURAS

¿Cuántos triángulos hay en la figura?

¿Cuántos triángulos

hay en la figura?



¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?





Hallar el número total de cuadriláteros


Hallar el número total de triángulos



Hallar el número total de triángulos





SUMAS Y RESTAS - PROBLEMAS

Un camión vacío pesa 3785 kilos y lleno de piedras 4058 kilos. ¿Cuántos kilos pesan las

piedras que lleva el camión?

¿Cuál es el exceso de 150 sobre 76?

Si un juguete que vale 95 soles me lo rebajan en 27 soles. ¿Cuánto me costará?

Los primeros días de clase un padre ha hecho los siguientes gastos: en camisetas S/.

530, en libros S/. 435, S/. 112 en cuadernos y S/. 213 en otros implementos. ¿Cuánto

gastó por todo?

El menor de cuatro hermanos tiene 19 años y cada uno le lleva dos años al siguiente.

¿Cuál es la suma de las cuatro edades?

66 es mayor que 17, en la misma medida que es menor que

La diferencia entre los ingresos semanales de Diana y Luis es de 60 dólares. La suma

de sus ingresos semanales es 340 dólares. Si Luis es el que gana más. ¿Cuánto gana

Diana?

Nataly recibe S/. 2800; Vanessa recibe 3500 más que Nataly, Karina recibe tanto

como los dos primeros. ¿Cuál fue la suma repartida?

Manuel tiene su primer hijo a los 28 años; si actualmente su edad es el doble de la de

su hijo. ¿Cuál es la suma de las edades?

Para amurallar un huerto se necesita 2689 ladrillos, para levantar una pared 495, para

asegurar la pared posterior 368 y para construir un salón 1236, ¿cuántos ladrillos se

necesitan?

Por un bolígrafo y un libro, Efraín pagó 36 soles si el libro costó 20 soles más que el

bolígrafo. ¿Cuánto pagó por el bolígrafo?

La mamá de Luis sale con S/. 400 he hizo las siguientes compras : S/. 56 en carne; S/.

12 en naranjas, 87 en menestras, S/. 25 en verduras, S/. 76 en leche, S/. 112 en otras

compras. ¿Cuánto le queda?

Si Martha tiene 16 años y su mamá le lleva 27 años. ¿Cuánto sumarán las edades de

ambas?

Un caracol asciende 8 metros en el día y desciende en la noche 6 metros por la acción

de su peso. ¿Al cabo de cuántos días llega a la parte superior de una pared de 20

metros de altura?

Carlos tiene 4 montones de naranjas, Luis tiene 6 montones y Diana tiene 3 montones.

¿Cuántos montones habrán si los juntan todos?

Mi hermanita nació cuando yo tenía 7 años. Si yo tengo ya 10 años. ¿Cuántos años tiene

mi hermanita?

En un hospital nacen diariamente 12 niños y mueren diariamente 4 personas, en otro

hospital nacen diariamente 9 niños y mueren 10 personas. ¿Cuántas personas más nacen

por semana en ambos hospitales que los que mueren?

De un rollo de alambre se vendió 102 m, luego 392 m, después 117 m y todavía quedan

237 m. ¿Cuánto medía el rollo al comienzo?

¿Cuánto me falta para comprar un televisor si lo que tengo excede en S/. 60 a S/. 450,

además el televisor cuesta 900 soles?

Nataly lee dos capítulos de un libro, el capítulo II, desde la página 26 hasta la 83 y el

capítulo IV desde la página 102 hasta la 143. ¿Cuántas páginas lee en total?

CONJUNTOS - PROBLEMAS

En un mercado se hizo una encuesta sobre la compra de pescado y carne : 38 personas

compran carne, 16 compran carne y pescado y 30 compran pescado, ¿cuántas personas

fueron entrevistadas?

Una mañana, 40 niños desayunaron con queso o mantequilla. Si 27 desayunaron con

queso, 25 con mantequilla y 12 con queso y mantequilla, ¿cuántos niños desayunaron con

uno sólo?

Un grupo de 30 niños se reúnen para jugar con bolitas o soldaditos: 12 juegan con sólo

bolitas y 10 juegan sólo con soldaditos, ¿cuántos juegan con bolitas y soldaditos?

Durante 50 días debe comerse entre gallinas o pollos: 25 días se come sólo gallinas y 16

días sólo pollos, ¿cuántos días se comen gallinas y pollos?

En un fundo hay 80 trabajadores que cultivan maíz o verduras: 45 cultivan sólo maíz y

22 cultivan maíz y verduras, ¿cuántos trabajadores cultivan sólo verduras?

Veinticinco años concurren a una fiesta de cumpleaños: 8 reciben solamente globos, 9

reciben globos y gorritos, ¿cuántos reciben solamente gorritos?

En una caminata realizada por 20 jóvenes, llevaron gaseosas o limonada: 13 llevan

gaseosa, 5 llevan limonada y gaseosa y 12 llevan limonada, ¿cuántos llevan sólo una

bebida?

En un centro de idiomas de 40 alumnos: 17 hablan sólo francés y 16 hablan sólo inglés,

¿cuántos hablan los dos idiomas?

Una persona toma café o té durante 30 días. Si toma sólo café durante 12 días y café y

té durante 13 días, ¿cuántos días toma solamente té?

Treinta alumnos de un aula de clase juegan fútbol o basquetbol. Si 11 juegan solo fútbol y 10

juegan sólo basquet, ¿cuántos juegan ambos deportes?

Cincuenta niños van de paseo a una laguna y llevan para jugar pelotas y barquitos. Si 18

llevan sólo pelotas, 20 llevan pelotas y barquitos y 32 llevan barquitos, ¿cuántos llevan

un sólo juguete?

Una persona come pan o frutas durante 30 días. Durante 12 días come solamente pan y

durante 13 días come pan y frutas. ¿Cuántos días come solo frutas?

En un encuentro con el enemigo un grupo de 45 soldados tuvo estos resultados : 18

fueron heridos en el brazo, 25 en la pierna y 6 en las dos partes. Si 5 resultaron ilesos.

¿Cuántos soldados murieron?

Noventa alumnos de un Centro Educativo aprenden computación, setenta aprenden

idiomas y 30 aprenden ambos. ¿Cuántos alumnos tiene dicho Centro Educativo?

De un grupo de 90 comerciantes, 45 venden papa, 60 venden camotes y 20 ambos

tubérculos. ¿Cuántos comerciantes no venden ni papa, ni camote?

De 140 alumnos del Colegio “A” practican : 70 fútbol, 55 ajedrez y 25 fútbol y ajedrez.

¿Cuántos alumnos no practican ninguno de los dos deportes?

45 alumnos asisten a una donación de útiles escolares, 21 reciben solamente cuaderno,

15 reciben cuaderno y lapicero. ¿Cuántos reciben solamente lapicero?

38 niños asisten a una fiesta de cumpleaños; 20 reciben solamente torta, 12 reciben

torta y gelatina. ¿Cuántos reciben solamente gelatina?

De un grupo de 120 alumnos : 90 bailan marinera, 40 bailan huaylas y 25 ambos bailes.

¿Cuántos no practican ningún baile?

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNLa capacidad de un depósito de agua es de 10 000 litros. ¿En qué tiempo se llenará si

por la llave ingresan 80 litros por minuto?

Cuántos libros vendí en una negociación en la que por cada libro obtuve S/. 7 de utilidad

y una ganancia total de S/. 350.

Si Jaimito compró 27 lápices a S/. 2 cada uno para venderlo a S/. 5 la unidad. ¿Cuánto

ganará por los 27 lápices?

Manuel compró 4 pares de zapatos por S/. 60 cada par y 8 pares de medias por S/. 4

cada par. ¿Cuánto gastó?

¿Cuántas semanas hay en 92 días?

Un padre tiene tres veces la edad de su hijo. Si las dos edades suman 40 años. ¿Cuál es

la edad del hijo?

Hay que repartir en partes iguales 63 láminas y 81 marcadores de pizarra entre 9

aulas. ¿Cuántos objetos corresponden a cada aula?

Un departamento cuesta 57 600 dólares como cuota inicial se pago la mitad de esta

suma y el resto en 72 pagos mensuales. ¿Cuánto debe pagarse cada mes?

Un kilogramo de huevos contiene de 16 a 20 huevos. ¿Cuál es el máximo peso que

pueden tener 2 800 huevos?

¿Cuántas camisas vendí en una negociación en la que por cada camisa obtuve S/. 6 de

utilidad y una ganancia total de S/. 1260?

Si cada uno de los factores del producto 62 . 30 se le aumenta una unidad. ¿En cuánto

aumenta el nuevo producto respecto al inicial?

Se desea repartir S/. 7493 entre 59 personas. ¿Cuánto le toca a cada uno?

Un tren tiene asientos en las cuales entran tres personas, el tren tiene 8 vagones de

17 asientos y 5 vagones de 12 asientos. ¿Cuántas personas pueden viajar en dicho tren?

Si un kilogramo de manzanas tiene de 4 a 6 manzanas. ¿Cuál es el máximo peso que

puede tener cuatro docenas de manzanas?

Un plomero tiene un tubo de 10 metros de largo. Si cada día corta un pedazo de dos

metros. ¿En cuántos días terminará de cortarlo ?

Al multiplicar por 12 un cierto número, este aumenta en 55 unidades, ¿Cuál es este

número?

Mi papá a estado dos semanas en el hotel del Cuzco. ¿Cuánto ha pagado si cada día en el

hotel cuesta 46 soles?

¿Cuántas horas ha durado una excursión que se inició el lunes a las 8 de la noche y

terminó el viernes siguiente a las 9 de la noche?

A lo largo de una avenida se plantaron 16 árboles separados 2 m uno de otro. ¿Qué

distancia hay del primero al último?

RAZONAMIENTO LÓGICO

La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W. La ciudad W tiene menos habitantes

que la ciudad Y pero más habitantes que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que

Y, ¿qué ciudad tiene más habitantes?

Tres amigos Carlos, Víctor y José estudian en tres universidades X, Y, Z. Cada uno de

los tres estudia una carrera diferente : A, B ó C. Carlos no está en X. José no está en

Y. El que está en Y estudia B. El que está en X no estudia en A José no estudia C. ¿Qué

estudia Víctor y dónde?

Teresa es mayor que Susana. Silvia es menor que Julia y Susana es menor que Silvia.

¿Quién es la mayor?

Miguel, César, Óscar y Javier tienen diferentes ocupaciones. Sabemos que :

I. César es hermano del electricista

II. El comerciante se reúne con Miguel a jugar naipes

III. Javier y el electricista son clientes del sastre

IV. Óscar se dedica a vender abarrotes desde joven y es amigo del carpintero ¿Qué

ocupación tiene César?

En cierto examen, Rosa tuvo menos puntos que María; Laura menos puntos que Lucía;

Noemí el mismo puntaje que Sara; Rosa más que Sofía; Laura el mismo puntaje que

María y Noemí más que Lucía; ¿quién tuvo menos puntaje?

El único tío del hijo de la hermana de mi padre es mi :

La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W. La ciudad W tienen menos

habitantes que la ciudad Y, pero más habitantes que la ciudad Z. Si X tiene menos

habitantes que Y, ¿qué ciudad tiene más habitantes?

Cinco amigos habitan en un edificio de cinco pisos. Los Álvarez viven en el primer piso.

Los Benites viven más abajo que los Castillo. Los Dávalos viven en el piso

inmediatamente superior que los Benites, pero debajo de los Estrada. ¿En qué piso

viven los Dávalos?

Seis amigos se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos

simétricamente. Si se sabe que : Ana se sienta junto a la derecha de Betsy y frente a

Cecilia. Daniel no se sienta junto a Betsy Eduardo no se sienta junto a Cecilia Si

Fernando es el más animado de la reunión, ¿dónde se sienta?

Teresa es mayor que Susana. Silvia es menor que Julia y Susana es menor que Silvia.

¿Quién es la mayor?

En cierto examen, Rosa tuvo menos puntos que María; Laura menos puntos que Lucía;

Noemí el mismo puntaje que Sara; Rosa más que Sofía; Laura el mismo puntaje que

María y Noemí más que Lucía. ¿Quién tuvo menos puntaje?

Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso vive una familia, la familia Castillo vive

un piso más arriba que la familia Muñoz. La familia Fernández habita más arriba que la

familia Díaz y la familia Castillo más abajo que la familia Díaz. ¿En qué piso viven los

Castillo?

Seis ovejas tardan en saltar una cerca 6 minutos. Si las ovejas están igualmente

espaciadas. ¿Cuántas ovejas saltarán en una hora?

Seis personas juegan al póquer alrededor de una mesa redonda, Luis no está sentado al

lado de Enrique ni de José Fernando no está al lado de Gustavo ni de Fernando, Pedro

está junto a Enrique. ¿Quién está sentado a la derecha de Pedro?

Una persona tiene 3 camisas, 2 pantalones y 2 sacos. ¿De cuántas maneras distintas

puede vestirse?

Arturo, Alejandro, Artemio, Antonio y Antenor son invitados a una reunión. Alejandro

ingresó antes que Antonio y Antenor; si Artemio ingresó inmediatamente después que

Alejandro y Antenor posteriormente a Antonio, pero Arturo ya había saludado antes

que los cuatro; ¿quién ingresó en el tercer lugar?

Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso distinto. Carlos vive más abajo que

Bob, pero más arriba que David; Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos, Andrés vive

2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. El tercer piso lo ocupa

PLANTEO DE ECUACIONES

El triple de la mitad de un número es igual a 24. Hallar dicho número

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

¿Cuál es el número cuyo triple excede en 1 al cuádruple de 5?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

El doble de un número aumentado en 8, es igual a 36. Hallar dicho número

A) 6 B) 10 C) 12 D) 14 E) 20

¿Cuál es el número cuyo triple es 5 unidades menor que el cuádruple de 8?

A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

6 veces el exceso de un número sobre 8, es igual a 42. Hallar dicho número

A) 12 B) 14 C) 15 D) 18 E) 21

Hallar el número cuya tercera parte, disminuida en 3 unidades sea igual a 4

A) 14 B) 21 C) 32 D) 12 E) 49

Un número disminuido en 5, es igual al triple del número, disminuido en 15. Hallar dicho

número

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

¿Cuánto hay que aumentar a los 3/4 de 12 para obtener 3 veces, el número disminuido

en 7 unidades?

A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

Un número disminuido en sus 2/9, es igual a 28. ¿Cuál es ese número?

A) 24 B) 36 C) 48 D) 72 E) 32

Las dos terceras partes de un número es 20. Entonces 10 significa:

A) El triple del número

B) La tercera parte del número

C) El doble del número

D) La mitad del número

E) La décima parte del número

El doble de la quinta parte de un número es 24. ¿Cuál es el número?

A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100

Un padre tiene 56 años y su hijo 14 años. ¿Dentro de cuántos la edad del padre será el

triple de la edad de su hijo?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Si un número se divide sucesivamente por 4 y por 3. La suma de los cocientes es 21.

Hallar dicho número

A) 24 B) 27 C) 36 D) 48 E) 52

Una madre reparte 400 soles entre sus dos hijos, sabiendo que el menor le

corresponde los 3/5 de lo que corresponde al mayor. ¿Cuánto le corresponde al menor?

A) S/. 250 B) S/. 180 C) S/. 150 D) S/. 120 E) S/. 160

Determinar un número tal que la suma de la mitad más la quinta parte más la sexta

parte, sea igual a la suma de la mitad más la tercera parte más 15

A) 360 B) 150 C) 450 D) 350 E) 650

La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. Dentro de 16 años será

solamente el doble. ¿Qué edad tiene el hijo?

A) 15 años B) 16 años C) 18 años D) 24 años E) 14 años

Tenía S/. 75, si gasté los 2/3 de lo que no gasté. ¿Cuánto gasté?

A) S/. 45 B) S/. 15 C) S/. 30 D) S/. 40 E) S/. 20

Si a 36 le quito “x”, para luego multiplicarlo por 3 y dividirlo entre 2 al este resultado y

así obtener 36, luego se pide hallar el quíntuplo de “x”

A) 50 B) 60 C) 65 D) 70 E) 80

El exceso de un número sobre 16, equivale a la mitad del número, aumentado en 1. ¿Qué

número es?

A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 36

CONJUNTOS – OPERACIONES

Indica qué operación representa la parte sombreada

Analiza el siguiente gráfico y completa

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

A = {___________________}

B = {___________________}

C = {___________________}

A c B = {__________________}

A 1 C = {__________________}

B c C = {__________________}

A 1 B 1 C = {_______________}

En mi salón, hemos dado examen de Matemática,

Lenguaje e Historia y los resultados fueron los

siguientes: 13 aprobaron sólo Matemática 15

aprobaron sólo Historia 11 aprobaron sólo

Lenguaje 2 aprobaron Matemática, Historia y

Lenguaje 1 aprobó Matemática e Historia pero no

Lenguaje 9 aprobaron Matemática y Lenguaje

pero no Historia 4 aprobaron Lenguaje e Historia

pero no Matemática 3 no aprobaron ningún curso.

¿Cuántos aprobaron Matemática? _________________

¿Cuántos aprobaron Lenguaje e Historia? ____________

¿Cuántos aprobaron Historia? ____________________

¿Cuántos aprobaron Matemática y Lenguaje? _________

¿Cuántos aprobaron Matemática e Historia? __________

¿Cuántos alumnos hay en total? ___________________

Sombrea los siguientes conjuntos

Halla la diferencia de los conjuntos

A - B = ..............................................

G - M = ..............................................

P - Q = ..............................................

Si:

M = {x/x N, x < 9 }

P = {7; 8; 9; 10; 11}

Q = {x/x son divisores de 14}

Halla y grafica:

M - P =

M Δ P =

P – Q

P Δ Q

M – Q

M Δ Q

Halla los productos cartesianos de los siguientes pares de conjuntos

A = {1; 2; 3}

B = {x/x N y x < 5}

A x B = { ____________________________________

C = {b, c, d}

D = {x/x es una vocal fuerte}

C x D = { ____________________________________

Halla los conjuntos que forman los siguientes productos cartesianos

M x R = {(3; 1), (6; 2), (3; 2), (6; 1)}

M = _______________________________________

R = ________________________________________

ݔ ൌ ൜൬1

2;2

4൰ǡ൬

1

3;2

6൰ǡ൬

1

2;2

6൰ǡ൬

1

3;2

4൰ൠ

P = _______________________________________

T = ________________________________________

María tiene 3 blusas azul, roja y amarilla; 2 faldas negra y verde. ¿Cuántas

combinaciones puede hacer? Represéntalo con el diagrama sagital y el cuadro de doble

entrada.

A x B { _____________________________________

Pepe quiere preparar su lonchera con una fruta y una bebida. En su casa hay

peras, manzanas y plátanos, gaseosas, chicha y jugo, ¿Cuántas formas tiene para llenar

su lonchera? Representa en el plano cartesiano y en diagrama de árbol.

A x B { _____________________________________

Según los conjuntos B = {2; 4; 6; 8} y C = {3; 4; 5}, halla y representa B x C y C x B en el

plano cartesiano

B x C = _____________________________________

C x B = _____________________________________

Colorea

Completa

D E = {______________________________

D F = {______________________________

D E = {______________________________

D E F = ______________________________

D E F = {______________________________

(D E) F = {______________________________

Observa el siguiente diagrama de Venn y completa

A = { ______

B = { ______

A B = { __________

A B = { __________

A - B = { __________

A Δ B = = { __________

Resuelve:

Sean los conjuntos M = {a, e, i, o, u} y Q = {b, c}. Halla el producto cartesiano M x Q y

represéntalo con el diagrama sagital y el cuadro de doble entrada

En un restaurante sirven 3 platos: sopa, tallarines y guiso, y como postres helado y

naranja. ¿De cuántas maneras se puede combinar un plato y un postre?( Resuelve y

representa en diagrama sagital y en diagrama de árbol)

NÚMEROS NATURALES

Completa las siguientes series:

19 - 23 - 21 - 25 - 23 -

63 - 59 - 65 - 61 - 67 -

27 - 32 - 31 - 36 - 35 -

71 - 75 - 74 - 78 - 77 -

20 - 22 - 26 - 32 - 40 -

2 - 4 - 3 - 6 - 4 - 8 -

15 - 19 - 24 - 30 - 37 –

Escribe el signo >, < ó = para que resulte verdadera la relación

a) 9 108 421 9 108 412

b) 191 642 509 191 000 000 + 64

c) 114 306 221 141 306 221

d)900 000 + 43 000 + 131 1 943 311

e) 12 435 975 124 357 952 + 509

f) 15 000 000 + 471 + 6 15 471 060

g) 415 617 003 4 156 171 003

h) 200 000 + 41 000 + 376 214 396

Escribe el número anterior y posterior:

31 495 998 31 495 999 31 496 000

_________ 513 400 000 _________

_________ 10 000 000 _________

_________ 700 000 000 _________

_________ 21 798 900 _________

_________ 13 008 100 _________

_________ 37 000 800 _________

_________ 876 543 000 _________

Ordena de menor a mayor:

* 15 646 921 - 15 466 129 - 15 469 621 - 15 646 129 - 15 466 219

________________________________________________________________

* 317 895 621 - 317 859 621 - 317 985 612 - 317 895 612 - 317 859 612

________________________________________________________________

* 71 621 419 526 - 71 621 491 526 - 71 621 419 562 - 71 621 941

________________________________________________________________

Completa los cuadros

SE ESCRIBE SE LEE

3 121 416 Tres millones ciento veintiún mil cuatrocientos dieciséis

90 016 421 016

104 006 021 117

75 091 206 205

901 007 004 002

Cantidad Notación desarrollada Descomposición Polinómica

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Completa los números que faltan

Resuelve los siguientes problemas:

La suma de dos números es 5 725 y uno de ellos es 421. Halla el otro

La diferencia entre dos números es 538 y el número menor es 1 745. Halla el número

mayor

Javier vendió su casa en S/. 118 000,00. Si se devaluó S/. 14 200,00, ¿cuánto costó su

casa?

4 216 4 000 + 200 + 10 + 6 (4 . 103 ) + (2 . 102 ) + (1 . 101 ) + (6 . 100 )

12 739

15 216

345 007

2 006 009

37 004 021

Mónica tiene S/. 2 360,00 y le faltan S/. 850,00 para comprar un juego de sala,

¿cuánto le cuesta dichos muebles?

Rosa compra una máquina de coser por S/. 1 580,00 y un televisor por S/. 1 550,00. Si

da una cuota inicial de S/. 2 070,00, ¿cuánto le falta pagar?

Para trasladarse de un pueblo a otro, unos excursionistas han hecho el siguiente

recorrido: 250 km en ómnibus, 145 km en ferrocarril y 64 km en camión. Si todavía le

faltan 53 km para llegar al pueblo donde se dirigen, ¿qué distancia hay entre estos dos

pueblos?

Para construir su casa, Luis gasta S/. 27 328,00 en materiales y S/. 16 325,00 en mano

de obra. Si para ello disponía de S/. 50 508,00. ¿Cuánto le queda?

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Halla los productos

Completa las cifras que faltan:

Resuelve:

Una fotocopia puede sacar 50 copias en 1 minuto. ¿Cuántas copias sacará en 8 horas?

Un enfermo tiene que tomar 9 pastillas en la mañana y 8 en la tarde. ¿Cuántas pastillas

necesitará para una semana?

Una llave vierte 47 litros de agua por minuto y tarda en llenar un depósito 2 horas y

media, ¿cuál es la capacidad en litros del depósito?

Teresa vende diariamente 40 litros de leche a S/. 2,00 cada litro, ¿cuánto obtiene

mensualmente como producto de su venta?

Tres amigos almorzaron en un restaurante y la cuenta ascendió a S/. 72,00. Si

acordaron pagar en partes iguales y uno de ellos tenía solamente S/. 8,00. ¿Cuánto tuvo

que abonar en partes iguales cada uno de los otros dos para saldar la cuenta?

La diferencia de dos números es 1 550. Si el duplo del menor es 600, hallar estos

números

Felipe tiene ahorrando 6 billetes de S/. 20, y su hermana 15 billetes de S/. 20.

¿Cuánto dinero tienen entre los dos?

El precio de un automóvil es $ 26 000. Si Manuel lo compra con una cuota inicial de $

14 000 y por el resto firma 6 letras, ¿cuál es el precio de cada letra?

Completa la tabla (algunas debes hacerlas con la igualdad D = d x c + r)

Dividendo 4 637 1 230 5 348 8 721

Calcula mentalmente y completa al cuadro

POTENCIACIÓN: OPERACIONES COMBINADAS

Completa el cuadro:

Observa los ejemplos y resuelve las operaciones con potencias

Divisor 13 24 97 92

Cociente 41 306 109 167

Residuo 16 80 37

Número 12 36 54 96 120 144 156 186 288 600 360

Doble 24

Triple 36

Mitad 6

Tercio 4

Como productoComo

potenciaBase Exponente Se lee Potencia

7 x 7 72 7 2Siete al

cuadrado49

93

2 8

106

8 4

1 x 1 x 1 x 1 x 1

72 x 7 = 72+1 = 73 = 314

102 x 103 = ________________________________

42 x 42 = _________________________________

32 x 33 = _________________________________

64 ÷ 62 = 64-2 = 62 = __________________________

85 ÷ 83 = _________________________________

47 ÷ 44 = _________________________________

35 ÷ 32 = _________________________________

Completa el cuadro, reemplazando a, b y c por su valor numérico

a b c a + b + c (a + b) - c a + (c -b) a x b a ÷ b

630 15 43 688

1 943 67 85

1 800 36 59

522 18 75

1 056 88 98

Completa el cuadro

Base 8 2 10 40 6 70 73 90 98 80 60

Exponente 2 5 3 4 2 3 3

Valor 64 32 100 4 900 6 400 3 600

Completa el cuadro

Número 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cuadrado 4

Cubo 8

Efectúa:

24 x 2 + 22 + 8 - (7 - 4)

88 - 2 x (7 - 4) + (5 - 2)

4 x 52 + (2 + 3) x 22

(20 x 3) + 4 - 8 x 23

[ (9 - 6) x 32 ] - 12 + (5 - 2)

(5 - 1 + 4) - 2 + 12 ÷ (3 - 1 + 2)

3 [ 4 + (6 - 2) ] + [ 32 - (6 - 2)] - (7 - 5)3

2 [ 33 - 32 ] - (4 + 0)2 - 2(7 + 3)

26 - [13 - [2 x 3 - 5 x 10]} + (6 x 3 - 1) + (36 : 12)

(25 - 22) + (52 + 52)

15 + 6 ÷ 3 - 4 ÷ 2 + 4

(9 + 3) x (5 - 2) ÷ (8 - 2)

(5 x 6) ÷ (2 x 3) + (2 x 7)

8 x 5 + 4 - 3 x 2 + 6 ÷ 3

5 x (2 + 7) ÷ [ 3 x (1 + 2) ]

(62 + 4) x (6 + 32)

[ (8 x 6) - (7 x 4) + (5 x 8) ] ÷ 2

Resuelve:

Tres niños se reparten 150 figuras. El primero recibe 25 y el segundo el triple que el

primero. ¿Cuántas recibió el tercero?

Tres hermanos tienen una deuda común de S/. 432 510. ¿Cuánto le toca pagar a cada

uno?

He comprado 35 docenas de ponchos a S/. 24 la docena. Después he vendido a S/. 3

cada uno. ¿Cuánto he ganado?

Un señor gana S/. 90 diarios y su esposa S/. 50 menos. Si gastan diariamente S/. 120,

¿cuánto les sobra cada día y cuánto ahorran al año?

La suma de dos números es 1 245. Si la mitad del mayor es 424. ¿Cuáles son estos

números?

Entre Ica y Piura hay una distancia de 1 331 km y entre Lima y Piura hay 1 023 km.

¿Cuántos kilómetros hay entre Ica y Lima?

Un negociante compra un saco de frijol de 48 kg en S/. 96,00. Si quiere ganar S/. 1,00

por kg, ¿a cómo debe vender cada kilogramo de frijol?

ECUACIONES E INECUACIONES

Resuelve las siguientes ecuaciones:

x + 5 = 13

2x = x + 15

3x + 3 = 2x + 3

5x = 60

4x + 2 = 14

3x - 5 = x + 7

4x + 3 = 39

12x + 6 = 138

3y + 8 = 80

Completa el cuadro

Fase literal Expresión matemática

El triple de un número, aumentado

en nueve es igual a treinta y

nueve.

3x + 9 = __________

El cuádruplo de un número,

aumentado en cinco es igual a

treinta y siete.

El doble de un número, disminuido

en tres es igual a veintiuno.

Un número aumentado en ocho es

igual al doble del número

disminuido en cuatro.

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