Efectos de software Modellus en la resolución de problemas ...
primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos...
Transcript of primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos...
![Page 1: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/1.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 1
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas Núcleo Barinas Asignatura Matemática I código 21214 –Primera Versión 14-06-08 Facilitador: Licdo Eliezer Montoya Sección(es) C y H Aplicaciones de la Derivada: Representación Gráfica de Funciones) usando el criterio de la primera y segunda derivada Representación Gráfica de Funciones)
Para la representación gráfica de funciones utilizando la derivada se siguen los siguientes pasos:
1) Determinar el dominio y el rango de la función 2) Calcular los puntos de corte:
a) Con el eje x (se hace y = 0) b) Con el eje y (se hace x = 0) 3) Determinar puntos críticos (Xc ) y puntos de discontinuidad (si existen) Punto Crítico: Un valor c perteneciente al dominio de una función se llama punto critico si f´(c) = 0 ó f´(c) no existe
4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: a) Los puntos críticos y los valores donde el dominio de la función es
discontinua dividen el dominio en intervalos. b) Se examina el signo de f´(x) en cada uno de esos intervalos , tomando
cualquier valor de x perteneciente a dicho intervalo (supongamos x=a) y sustituyendo luego en f´(x)
c) Si f´(a) > 0 (la función crece en el intervalo. Si f´(a) < 0 la función decrece en el intervalo
![Page 2: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/2.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 2
5) Hallar punto(s) máximo(s) y mínimo(s) relativo(s):
Se puede maximizar o minimizar global y localmente una función representativa de algún contenido específico. Por ejemplo, en la siguiente gráfica se representan Máximos y Mínimos locales de la
función : donde y son
Mínimos de ; y son
Máximos de .
Según el criterio de la primera derivada: a) Cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente, es decir,
cuando f´(x) > 0 pasa f´(x) < 0, entonces en el punto critico (a) se considera que hay un máximo relativo. (esto es P(a, f´(a)) es un máximo relativo)
b) Cuando la función pasa de ser decreciente a ser decreciente, es decir, cuando f´(x) <0 pasa f´(x)> 0, entonces en el punto critico (b) se considera que hay un mínimo relativo (esto es P(b, f´(b)) es un mínimo relativo )
![Page 3: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/3.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 3
Según el criterio de la segunda derivada
*Se calcula )´´(xf y se halla la imagen de cada punto critico a través
de )´´(xf .
*Si 0)´´( >af entonces f(a) es un mínimo relativo
* Si 0)´´( <af entonces f(a) es un máximo relativo (suponiendo que a es
un punto critico).
6) Determinar puntos de inflexión: Son los valores de x en donde la segunda derivada es igual a cero )0)´´(( =xf ó )´´(xf no existe y hay un
cambio en la concavidad. 7) Estudiar la concavidad de la función: Una vez determinados los puntos de inflexión ( si los hay), se debe tener presente que estos dividen el dominio de la función en intervalos; se ‘procede a estudiar el signo de )´´(xf en cada intervalo:
*Si 0)´´( >xf entonces f(x) es cóncava hacia arriba.
*Si 0)´´( <xf entonces f(x) es cóncava hacia abajo.
En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene que Para estudiar el comportamiento de la curva que representa a la función en ciertos intervalos, y en definitiva encontrar máximos y mínimos, debemos realizar el siguiente procedimiento:
Considerando que es una Función Real y Continua:
a) Determinar
b) Hacer y obtener los valores críticos .
c) Determinar .
d) Evaluar con los valores críticos y examinar los signos obtenidos
Si entonces existe un Punto Mínimo (Min)
Si entonces existe un Punto Máximo (Máx.)
Si entonces existe un Punto de Inflexión (Inf)
Un punto se llama de inflexión si en él, la función, cambia el sentido de la concavidad.
![Page 4: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/4.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 4
e) Evaluar la función original con los valores críticos y determinar los
puntos críticos, es decir .
8) Determinar Asíntotas (si existen) Asíntotas verticales : Dada la función f y la recta vertical x = a ;se dice que x=a es una asíntota vertical de f sii:
±∞=+
→
)(lim xfax
y ±∞=−
→
)(lim xfax
Asíntotas horizontales: Dada la función f y la recta y = b ; se dice que y=b es una asíntota horizontal de f sii :
bxfx
=+∞→
)(lim y bxfx
=−∞→
)(lim
Asíntotas oblicuas: Dada la función y= mx+b , se dice que y =mx+b es una asíntota oblicua de f sii:
9) Con toda la información obtenida en los pasos anteriores, se procede a construir la grafica Veamos un ejemplo:
1) Graficar la función .
Solución
1)Dominio y Rango de la función: Dom f(x) = R = ),( +∞−∞
Rgo f(x) = R = ),( +∞−∞
2) Cortes con los ejes Corte con el eje y : se hace x =0 y se obtiene que y = 8 es decir el punto (0,8) Corte con el eje x: se hace y =0 y se obtiene 0= x3-6x2+9x-8 tiene una raíz ( 349/80,0) =( 4,3625;0) 3) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Determinamos la primera derivada de f y la igualamos a cero
[ ])()(lim xmxfbx
−=±∞→x
xfm
x
)(lim
±∞→=
![Page 5: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/5.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 5
De donde obtenemos que
La función es creciente en el intervalo ( ]1,∞− U [ )+∞,3 , es decir, f´(a) > 0
donde a es un punto dentro del intervalo.
La función es decreciente en el intervalo comprendido entre [ ]3,1 , es decir,
f´(a)<0
5)Hallar punto(s) maximo(s) y mínimo(s) realtivo(s)
Ahora obtenemos la segunda Derivada y evaluamos en ella los valores críticos
Como , entonces decimos que la función tiene un mínimo en .
De la misma forma, considerando que , se dice que la función tiene un
máximo en . En definitiva, los puntos mínimos y máximo de la curva, serían:
• que es el punto mínimo de la función, y
• que es máximo de la función.
6) Determinamos puntos de inflexión:
Además, si hacemos , se tiene que:
es un punto de inflexión, en consecuencia:
es el punto de inflexión.
![Page 6: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/6.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 6
Finalmente se tiene que:
7) Estudiamos la concavidad:
)2,(−∞ Es cóncava hacia abajo, el signo de f´´(a) >0
),2( +∞ Es cóncava hacia arriba, el signo de f´´(a) <0
La grafica de 896)( 23−+−= xxxxf es:
Ejercicios propuestos: (I) Graficar las siguientes curvas haciendo uso de de las derivadas:
(1,-4) es un punto máximo de f
(3,-8) es un punto mínimo de f
(2,-6) es un punto de inflexión
![Page 7: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/7.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 7
1) 32)( 2−−= xxxf 8) 24)( xxf −=
2) xxxf 4)( 2+−= 9)
3)(
+=x
xxf
3) 652)( 23+−−= xxxxf 10)
5.
2)(
−
−=x
xxf
4) 44)( 23−+−= xxxxf 11)
2.
2)(
−
+=x
xxf
5) 26)( 24+−= xxxf 12)
2)3(
)1()(
+
+=x
xxxf
6) )34)(45()( 22+−++= xxxxxf 13) xexxf /1.)( −=
7) 24)( 4+−= xxxf 14) π20,2sin)( ≤≤= xxxf
Nota *Verifique dichas graficas en un software matemático, Use modellus la aplicación de física o graphmatics u otro que este a su alcance
(II ) Calcular los puntos máximos y mínimos de las funciones siguientes
a) 21
4)(
x
xxh
+= b)
x
xxg
1)(
3−
=
c) 3/23/1 )1.()( −= xxxf d) 33)( 3+−= xxxf en el intervalo
−
2
3,3
e) 1
)(+
=x
xxf en el intervalo
− 1,2
1
![Page 8: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/8.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 8
Referencias bibliográficas: :
*Stewart, J. (1999) Cálculo conceptos y contextos. Editorial Thomson. *Purcel, E. y Varberg, D. (2001). Cálculo con Geometría Analítica. Octava Edición. Editorial Prentice Hall Hispanoaméricana. México *Leithold, L. (1998) El Calculo VII edición. Edit Oxford *Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II edicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA.
![Page 9: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/9.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 9
Soluciones de los ejercicios propuestos Graficar las funciones siguientes usando el criterio de la primera y segunda la derivada (para la representación grafica se uso el software Graphmatics y funciones para Windows)
1) f(x) = x2 -2x-3
Nombre de la función f(x) = x2 -2x-3
Función Cuadrática: y =x^2-2x-3
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R Rgo f(x) = R
2.-Corte con los ejes Corte con el eje X (-1,0) y (3,0)
Corte con el eje Y (0,-3)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0
F´(x)=2x-2 0 = 2x-2 entonces Xc= 1
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
( ]1,∞− decrece
( ] [ ]1,11, −∪−∞− decrece
[ )+∞,1 crece
[ ] [ )+∞∪ ,33,1 crece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Mínimo
f´(xc)<0 → Máximo
Máximo : (xc, f(xc)) Max: No hay
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (1,-4)
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0 f´´(x)>0 → cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 → cóncava hacia
abajo
f´´(x)=2
Cóncava hacia arriba pues la segunda derivada es positiva
7.-Asintotas. No presenta asintotas
Con la información anterior se procede a graficar la función:
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
![Page 10: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/10.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 10
2) f(x) = - x2 + 4x Nombre de la función f(x) = -x
2 +4x
Cuadrática: y =-x^2+4x
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R Rgo f(x) = R
2.-Corte con los ejes Corte con el eje X (0,0) y (4,0)
Corte con el eje Y (0,0)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0
F´(x)=-2x+4 0 = -2x+4 entonces Xc= 2
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
( ]0,∞− crece
( ] [ ]2,00, ∪∞− crece
[ )+∞,2 decrece
[ ] [ )+∞∪ ,44,2 decrece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Máximo : (xc, f(xc)) Max: (2,4)
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : No hay
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0 f´´(x)>0 → cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 → cóncava hacia
abajo
f´´(x)=-2
Cóncava hacia abajo pues la segunda derivada es positiva
8.-Asintotas. No presenta asintotas
Con la información anterior se procede a graficar la función
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
![Page 11: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/11.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 11
3) f(x) = x3- 2x
2 - 5x+6
Nombre de la función f(x) = x
3- 2x
2 - 5x+6
Cúbica:
y=x^3-2x^2-5x+6
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R Rgo f(x) = R
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-2,0) , (1,0) y (3,0)
Pto de Corte con el eje Y (0,6)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0
F´(x) = 3x2-4x-5
0 = 3x2-4x-5 entonces las raices son x1c= 2,11 y x2c = -
0.78
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
( ]78.0,−∞− crece
( ] [ ]078,11, −−∪−∞− crece
[ )+∞;11.2 crece
[ ] [ )+∞∪ ;33;11.2 crece
[ )11.2,78.0 +− decrece
[ ] [ ]11.2;11;78.0 ∪− decrece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Máximo : (xc, f(xc)) Max: (-0.78; 8.21)
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (2.11;-4.06)
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0
f´´(x)=6x-4 0 = 6x-4 → x=2/3=0.66..
Coordenada del pto. de inflexión (0.6 ; 2.2 )
7.- Concavidad: f´´(x)>0 → cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 → cóncava hacia
abajo
( ]3/2,∞− cóncava hacia
abajo
[ )+∞,3/2
Cóncava hacia arriba
8.-Asintotas. No presenta asintotas
Con la información anterior se procede a graficar la función
![Page 12: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/12.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 12
4) f(x) = x3- x2 +4x-4 Nombre de la función f(x) = x3- x2 +4x-4
Cúbica:
y=x^3-x^2+4x-4
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R Rgo f(x) = R
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (1;0)
Pto de Corte con el eje Y (0,-4)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0
F´(x) = 3x2-2x+4
0 = 3x2-2x+4 entonces las raices son x1c= 1/3+1.1i y x2c =
1/3-1.1 (son imaginarias) No son reales
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
( )+∞∞− , crece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: No posee-no existen
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : No posee -no hay
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0
f´´(x)=6x-2 0 = 6x-2 → x=1/3=0.33..
Coordenada del pto. de inflexión (0.33 ; -2.77 )
7.- Concavidad: f´´(x)>0 →cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 →cóncava hacia
abajo
( ]3/1,∞− cóncava hacia
abajo
[ )+∞,3/1
Cóncava hacia arriba
8.-Asintotas. No presenta asintotas
Con la información anterior se procede a graficar la función
![Page 13: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/13.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 13
5).f(x) = x4- 6x2 + 2 (polinomio de cuarto orden) Nombre de la función f(x) = x4-6 x2 +2
Bicuadratica o Polinomial:
Y = x^4-6x^2+2
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R Rgo f(x) = R
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-2.39;0) ; (-0.59;0) , (0.59;0) y (2.39;0)
Pto de Corte con el eje Y (0,2)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0
F´(x) = 4x3-12x = 2x.(2x
2-6)
0 =4x3-18x = 2x.(2x
2-9) entonces las raíces son x1c= 0 ;
x2c = 73.13 ±=
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
[ ]0;3− crece
[ )+∞;3 crece
( ]3,−∞− decrece
[ ]3;0 decrece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: (0,2)
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (1.73;-7) y (-173;-7)
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0
f´´(x)=12x2-12
0 =12x2-12 → x= 11 ±= ..
Coordenada del pto. de inflexión (+1 ; -3 ) y (-1,-3)
7.- Concavidad: f´´(x)>0 →cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 →cóncava hacia
abajo
[ ]1,1− cóncava hacia abajo ( ]1,−∞− Cóncava hacia
arriba
[ )+∞,1 Cóncava hacia arriba
8.-Asintotas. No presenta asintotas
Con la información anterior se procede a graficar la función
![Page 14: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/14.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 14
6) f(x)= ( x2 + 5x + 4 )( x2 - 4x + 3 ) Nombre de la función f(x) = ( x
2 + 5x + 4) * (x
2-
4x+3) = x4 + x
3-13x
2-x+12
Función Polinomial:
Y = (x^2+5x+4).(x^2-
4x+3).
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R Rgo f(x) = R
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-4;0) ; (-1;0) , (1;0) y (3;0)
Pto de Corte con el eje Y (0,12)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0
F´(x) =( 2x+5)((x2-4x+3) + (2x-4) ( x
2 + 5x + 4) = 4x
3+3x
2-
26x-1 =0 entonces las raíces son x1c=-0.05 ; x2c =-2.92 y x3c = 2.22
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
[ ]05.0;92.2 −− crece
[ )+∞;22.2 crece
( ]92.2,−∞− decrece
[ ]22.2;05.0− decrece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: (-0.05 ;12.01)
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (-2.92;-48.1) y (-2.22 ; -19.1)
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0
f´´(x)=12x2+6x-26
0 =12x2+6x-26
0 =6x2 +3x-13 →
x1 =1.23 y x2=1.75
Coordenada del pto. de inflexión (1.23 ; -4.6 ) y (-1.75,-22)
7.- Concavidad: f´´(x)>0 → cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 → cóncava hacia
abajo
[ ]23.1;75.1− cóncava hacia
abajo
( ]75.1,−∞− Cóncava hacia
arriba
[ )+∞;23.1 Cóncava hacia
arriba
8.-Asintotas. No presenta asintotas
Con la información anterior se procede a graficar la función
![Page 15: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/15.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 15
![Page 16: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/16.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 16
Con un zoom acercando los valores en un intervalo pequeños vemos
![Page 17: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/17.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 17
7) f(x) = x4 - 4x +2
Nombre de la función f(x) = x4 -4x+2
Función Polinomial:
Y = x^4-4x+2
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R Rgo f(x) = R
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (0.51;0) ; (1.36;0)
Pto de Corte con el eje Y (0,2)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0
F´(x) = 4x3-4
0=4x3-4 entonces las raíces son x1c=1
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
[ )+∞;1 crece
( ]1,∞− decrece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: no existe
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (1;-1)
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0
f´´(x)=12x2
0 =12x2
→ x = 0
Coordenada del pto. de inflexión (0;2)
7.- Concavidad: f´´(x)>0 →cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 → cóncava hacia
abajo
( ]0,∞− Cóncava hacia
arriba
[ )+∞;0 Cóncava hacia arriba
8.-Asintotas. No presenta asintotas
Con la información anterior se procede a graficar la función
![Page 18: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/18.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 18
8) 24)( xxf −= = 2/12 )4( x− (semi- circunfencia)
Nombre de la función f(x) = (4-x
2)1/2
Función Irracional : f:R → R Definida así:
n xPxf )()( =
si n es par, la función tiene
restricciones P(x) 0≥
si n es impar no posee restricciones (esta definida en todo valor de X)
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = [ ]2;2− Rgo f(x) = [ ]2;0
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-2;0) ; (2;0)
Pto de Corte con el eje Y (0,2)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0 F´(x) =
242
2
x
x
−− =
24 x
x
−−
0 = x entonces los puntos críticos son x1c=0
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
[ ]0,2− crece
[ ]2,0 decrece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: (0,2)
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : No existen
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0
f´´(x)=-4(4-x2)1/2
0 = -4(4-x2)1/2
→ x = 2±
Coordenada del pto. de inflexión (0;2)
7.- Concavidad: f´´(x)>0 → cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 → cóncava hacia
abajo
[ ]2,2− es cóncava hacia
abajo
En otro intervalo no esta definida
8.-Asintotas. No presenta asintotas
Con la información anterior se procede a graficar la función
En la grafica adjunta puedes ver la en rojo la recta tangente y como muestra su pendiente cero ( la derivada en el punto x=0)
![Page 19: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/19.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 19
En la grafica adjunta puedes ver la en rojo la recta tangente y como muestra su pendiente positiva ( la derivada en el punto x=1)
En la grafica adjunta puedes ver la en rojo la recta tangente y como muestra su pendiente negativa ( la derivada en el punto x=1) **Recuerde la aplicación de la recta tangente y normal de una función en el punto x = a
![Page 20: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/20.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 20
9)3
)(+
=x
xxf
Nombre de la función f(x) = x/( x+3 )
Función Racional: f:R → R
Definida así:
)(
)()(
xQ
xPxf = donde
0)( ≠xQ
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R - { }3−
El valor que anula a x+3 es -3 (este se excluye )
Rgo f(x) = R-{ }1
f(x)= y y su inversa es f(y)=x donde x= 3y/(y-1) el valor que anula a y-1 es 1 (este se excluye del rango)
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (0,0)
Pto de Corte con el eje Y (0,0)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0 F´(x) =
2)3( +x
x => 0=
2)3( +x
x
0 = x entonces los puntos críticos son x1c=0
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
( )3,−∞− crece
( )+∞− ,3 crece
No posee intervalos de decrecimiento
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Mínimo
f´(xc)<0 → Máximo
Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: No tiene
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : No existen
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0
f´´(x)= 4
2
)3(
9
+
+−
x
x
0 = 4
2
)3(
9
+
+−
x
x
→ x = 39 ±=
Coordenada del pto. de inflexión Para x=-3 no esta definida
7.- Concavidad: f´´(x)>0 →cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 → cóncava hacia
abajo
8.-Asíntotas. Asíntota Horizontal Y= 1 es una asíntota horizontal ya que :
1)(lim =+∞→
xfx
y también
1)(lim =−∞→
xfx
Asíntota Vertical X=3 es una asíntota vertical ya que:
−∞=+
→
)(lim3
xfx
y
∞=+
→
)(lim3
xfx
Con la información anterior se procede a graficar la función
![Page 21: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/21.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 21
En rojo podemos ver la asíntota vertical (el valor que se excluye del dominio)
![Page 22: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/22.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 22
10) 5.
2)(
−
−=x
xxf
Nombre de la función f(x) = (x-2) / ( x-5 )
Función Racional: f:R → R
Definida así:
)(
)()(
xQ
xPxf = donde
0)( ≠xQ
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R - { }5
El valor que anula a x-5 es 5 (este se excluye )
Rgo f(x) = R-{ }1
f(x)= y ; su inversa es f(y)=x donde despejando x=( 5y-2)/(y-1) el valor que anula a y-1 es 1 (este se excluye del rango)
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (2,0)
Pto de Corte con el eje Y (0,2/5) =(0;0.4)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0 F´(x) =
2)5(
3
−
−
x => 0=
2)5(
3
−
−
x
No posee.
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 →decrece
No posee intervalos de crecimiento
( )5,∞− decrece
( )+∞,5 decrece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: No tiene
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : No existen
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0
f´´(x)= 3)5(
6
−x
0 = 3)5(
6
−x
Coordenada del pto. de inflexión No existen
7.- Concavidad: f´´(x)>0 →cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 →cóncava hacia
abajo
No hay
8.-Asíntotas. Asíntota Horizontal Y= 1 es una asíntota horizontal ya que :
1)(lim =+∞→
xfx
y también
1)(lim =−∞→
xfx
Asíntota Vertical X=5 es una asíntota vertical ya que:
+∞=+
→
)(lim5
xfx
y
−∞=−
→
)(lim5
xfx
Con la información anterior se procede a graficar la función
![Page 23: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/23.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 23
En azul la función 5.
2)(
−
−=x
xxf y en verde su derivada f´(x)=
2)5(
3
−
−
x
![Page 24: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/24.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 24
11)2.
2)(
−
+=x
xxf
Nombre de la función f(x) = (x+2) / ( x-2 )
Función Racional: f:R → R
Definida así:
)(
)()(
xQ
xPxf = donde
0)( ≠xQ
1-Dominio f(x) Rango f(x)
Dom f(x) = R - { }2
El valor que anula a x-2 es 2 (este se excluye del dominio )
Rgo f(x) = R-{ }1
f(x)= y ; su inversa es f(y)=x donde despejando x=( y+2)/(y-1) el valor que anula a y-1 es 1 (este se excluye del rango)
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-2,0)
Pto de Corte con el eje Y (0,-1)
3.-Puntos críticos donde f´(x) =0 F´(x) =
2)5(
3
−
−
x => 0=
2)5(
3
−
−
x
No posee.
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 →decrece
No posee intervalos de crecimiento
( )2,∞− decrece
( )+∞,2 decrece
5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: No tiene
Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : No existen
6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0
f´´(x)= 3)2(
8
−x
0 = 3)2(
8
−x
Coordenada del pto. de inflexión No existen
7.- Concavidad: f´´(x)>0 →cóncava hacia
arriba f´´(x)<0 →cóncava hacia
abajo
No hay
8.-Asíntotas. Asíntota Horizontal Y= 1 es una asíntota horizontal ya que :
1)(lim =+∞→
xfx
y también
1)(lim =−∞→
xfx
Asíntota Vertical X=2 es una asíntota vertical ya que:
+∞=+
→
)(lim2
xfx
y
−∞=−
→
)(lim2
xfx
Con la información anterior se procede a graficar la función
![Page 25: primera y segunda derivada ..represntacione Graficas · En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene ... modellus la aplicación de física o graphmatics](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022021709/5bb6a4c709d3f2a4338be46c/html5/thumbnails/25.jpg)
Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 25