Principios de conteo

Estadstica y probabilidad

Ing. Roy Donaldo Silva

PRINCIPIO DE MULTIPLICACION Definicin.- Si un suceso Pl ocurre de n1 maneras diferentes y

otro suceso P2 ocurre de n2 maneras diferentes entonces el suceso Pl Y P2 ocurren de n1 por n2 maneras diferentes.

Esto se conoce como principio de multiplicacin o principio fundamental del anlisis combinatorio.

Problema 1.- jose el alumno ms inteligente de estadistica se saca un premio al final del ciclo , el premio consiste en vacaciones todo pagado a cualquiera de 3 posibles lugares que le gustaria ir, usando cualquiera de los 2 medios de transporte disponibles, y acompaado de uno de los 3 familiares que lo pueden acompaar,

cuantas posibilidades diferentes se le presentan a Jose ?

Diana alumna de la materia de estadistica quiere ir al baile de fin de ciclo que sus amigos haran como todos los aos, para dicha fiesta ella puede usar uno cualquiera de sus 4 vestidos, uno cualquiera de sus 3 pares de zapatos y una de sus 2 bolsas.

Decuantas maneras diferentes puede asistir al baile y cuales son ellas?

Ya en el baile Carmen se junta con sus amigas Maria, Ana y Josefina cada una de ellas puede bailar con cualquier de los 5 jovenes que estn disponibles en la fiesta,

cuantas parejas diferentes es posible formar y cuales son estas ?

Principio de la adicion

Si una primera operacin puede realizarse de m maneras y una segunda operacin puede realizarse de n maneras, entonces una operacin o la otra pueden efectuarse de m + n maneras.

Ejemplos

Una pareja que se tiene que casar junta dinero para la prima de su casa, en los departamentos Lomas de san francisco le ofrecen un modelo econmico o un condominio; en los departamentos la Las gardenias le ofrecen como modelos un Residencial, un Californiano y un Provensal; en el los departamentos los jardines le ofrecen un modelo mediterraneo o uno de Super Lujo; cuantas alternativas diferentes de vivienda se le ofrecen a la pareja? Tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y cuatro para pollo. A cuntos diferentes lugares podemos ir a almorzar?

A Juan alumno distinguido del san francisco la universidad le ofrece en la Facultad de ciencias economicas las carreras de Lic. En A. Empresas , Contaduria Publica, Lic comunicaciones y Lic en relaciones interanacionales ., la Facultad de Ciencias Qumicas ofrece Ing. Quimico, Ing. Industrial, Ing. Electrnica e Ing. Computacin y Humanidades ofrece Comunicaciones, Historia, Filosofia y Literatura; cuantas alternativas de estudio diferentes se le ofrecen a Juan ?

Juan decide comprar un carro para trasladarse a su nuevo empleo en Ford le ofrecen 3 modelos diferentes y 2 formas de pago, en Volkswagen le ofrecen 4 modelos y 3 formas de pago y en Nissan le ofrecen 3 modelos y 3 formas de pago; cuantas alternativas diferentes tiene Juan ?

Numero factorial El factorial de un nmero entero "n" ( n!) es ese

mismo nmero multiplicado por su antecesor (n-1), luego por el antecesor de este (n-2), y as sucesivamente hasta ser multiplicado por "1".

Ejemplo encuentre el factorial de: 1! 2! 3!

Mtodos de conteo: variaciones

Se llama variaciones de m elementos tomados de n en n ( m>=n) a los distintos grupos formados por n elementos de manera que : No entran todos los elementos Si importa el orden NO se repiten

Ejemplos

A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accsit. Cuntos cuadros de honor se pueden formar?

Cuntos nmeros de tres cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? Sin que se repitan los elementos

Cuntos nmeros de 3 cifras (donde la primera por la izquierda no es un cero)existen cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales?

Variaciones con repeticion

Se llama variaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que : No entran todos los elementos si m > n Si importa el orden Si se repiten

=

Variaciones con repeticin

Se llama variaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos si m > n. S

pueden entrar todos los elementos si m n S importa el orden. S se repiten los elementos.

Permutaciones

S entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

Ejemplos clsicos

De cuntas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Permutaciones circulares

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en crculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se site" en la muestra determina el principio y el final de muestra

De cuntas formas distintas se pueden sentar Mario, Carlos, juan , pedro , Joaqun en una mesa redonda si lo consideramos en cualquier sentido?

Permutaciones con repeticin

Permutaciones con repeticin de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :

S entran todos los elementos.

S importa el orden.

S se repiten los elementos.

Ejemplo

En una carrera en el jabal de una escudera intervienen ocho pilotos con carros de diversas nacionalidades : tres son italianos, dos franceses, otros dos alemanes y uno brasileo.

a) Calcula el nmero posible de clasificaciones por pilotos.

b) Calcula el nmero posible de clasificaciones por nacionalidades.

Ejemplo clasico

Cuntas claves de acceso a una computadora ser posible disear con los nmeros 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.cuntas de las claves anteriores empiezan por un nmero uno seguido de un dos?, c. cuntas de las claves del inciso a empiezan por el nmero dos y terminan por el nmero tres?

Ejemplo clsico

La seleccin de futbol de el salvador para clasificar a la fase final del Mundial de futbol debe participar en 12 juegos , cuntas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?

Combinaciones sin repeticion

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos

Ejemplos : Un grupo de amigos se rene a estudiar estadstica y Probabilidad, en donde hay cinco hombres y seis mujeres. Cuatro de estas personas van a un supermercado cercano a comprar refrescos. a) De cuntas formas se pueden elegir las cuatro personas que van a realizar la compra? b) Y si tienen que ir dos hombres y dos mujeres? En la clase de Esta y Probab que tiene 40 alumnos formamos grupos de trabajo de 8 alumnos. De cuntas maneras podemos hacerlo?.

Despus de los exmenes 10 amigos juegan al futbol sala. Hay 3 que pueden jugar de porteros y los 7 restantes pueden jugar en cualquier puesto menos de porteros.

En el canal 4 se tiene un dilema para presentar las noticias de televisin , ya que hay cuatro presentadoras. Si aparecen de dos en dos en la pantalla, de cuntos formas pueden hacerlo?.

Combinaciones con repeticin

Las combinaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n (m n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

S se repiten los elementos.

Ejemplo

En el sper Selectos hay cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas? S se repiten los elementos. Sabiendo que puede elegir ms de una botella del mismo tipo

En una venta de sorbetes y helados tenemos cinco sabores : banana, chocolate, limn, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 Cucharadas . Cuntas formas de hacerlo tienes si vas a pedir un sorbete ?

Propiedades de los nmeros combinatorios

Ejercicios El seleccionador de El salvador tiene problemas para

formar el equipo por lo cual se hace la siguientes preguntas De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta de la portera?

En la ultima reunin de ejecutivos de una empresa transnacional se tiene la siguiente situacin , la mesa presidencial est formada por ocho personas, de cuntas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 2 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si:

1. Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comit.

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.

Usted tiene en su cuarto los siguiente libros : Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De cuntas formas distintas es posible ordenarlos si:

1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2. Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.

Se hace la siguiente pregunta : Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?

Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices?