Problemas de Electrónica Física

I. ESTRUCTURA DE BANDAS (REPASO)

1. En la aproximación del electrón fuertemente ligado se obtiene, para la primera banda de conducción de un sólido con estructura cúbica, la relación de dispersión:

EC (k ) E0 exp(ik m m )

donde y son constantes, k es el vector de onda y m es el vector de posición del m-vecino más próximo al de referencia, que tendrá posición 0=0. Teniendo en cuenta esta expresión, representar E(k) para los puntos y direcciones de simetría de un cristal cuyos átomos estén dispuestos según a) una red sc b) una red fcc c) una red bcc. En los tres casos calcular cuánto vale el ancho de banda y la masa efectiva alrededor del mínimo de energía de la banda

II. PROPIEDADES DE TRANSPORTE: TEORÍA SEMICLÁSICA

2. Imagínese una banda de una estructura cúbica simple de constante a, dada por:

E(k ) E0 (coskxa cos kya cosk za)

Un electrón, con k =0 sufre la acción de un campo eléctrico constante a partir de t=0.

a) hallar la trayectoria en el espacio real

b)representar la trayectoria cuando E tiene la dirección (1,2,0)

3. En el silicio y el germanio, cerca del borde de la banda de conducción, la relación de dispersión es, en la aproximación de la masa efectiva:

EC (

k ) E0

2

2m t

(kx2 ky

2 ) 2

2m l

k z2

(las superficies E(k)=cte son elipsoides, con mt y ml las masas efectivas transversal y longitudinal a z respectivamente).Se aplica un campo externo magnético, cuya dirección forma un ángulo con el eje z e inmerso en el plano ky=0.

a) escríbanse las ecuaciones semiclásicas del movimiento de un electrón en la banda de

conducción, introduciendo los parámetros t eB

m t

; l eB

m l.

b) Suponiendo que las variables dinámicas varían armónicamente con el tiempo con una frecuencia , obténgase la relación entre y el ángulo y hállese la dependencia de la masa ciclotrónica con

4. En una muestra de Si la movilidad de los electrones es de 1200 cm2/Vs y la de los huecos 600 cm2/Vs. Si se aplica un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares, determinar las concentraciones relativas de los portadores para que no se observe efecto Hall.

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Problemas de Electrónica Física

III. ESTADISTICA DE ELECTRONES Y HUECOS

5. Un semiconductor intrínseco con masas efectivas para electrones y huecos respectivamente de me=0.2 m0 , mh=2 m0 tiene un gap de 2 eV a temperatura ambiente y el coeficiente de temperatura del mismo es de -5 10-4 eV/K.

a) Determínese la posición del nivel de Fermi y la concentración de electrones y huecos a 1000 K

b) ¿A qué temperatura alcanzará el nivel de Fermi la banda de conducción?

6. Medidas de efecto Hall en un semiconductor de tipo n han proporcionado la siguiente tabla de datos:

T (K) 30 35 45 50 70 90 120

n (1015 cm-3) 0.026 0.152 1.611 3.571 16.177 19.578 19.959

Calcular la concentración de impurezas dadoras ND presentes en el semiconductor así como su energía respecto al borde de la banda de conducción ED. Para ello representar las magnitudes que se consideren involucradas frente a 1000/T (representación de Arrhenius) indicando qué parte de la gráfica conduce a los resultados requeridos.

7. Calcular el nivel de Fermi y la concentración de electrones en un semiconductor compensado que contiene un nivel de impurezas dador y otro aceptor, tal que Nd >Na en la región de temperaturas inferior al comportamiento intrínseco.

i) Dar las expresiones aproximadas en las tres regiones de temperatura características antes del comportamiento intrínseco:

a) T 0 Kb) zona intermedia entre a) y c) (T baja pero no nula)c) T tal que todas las impurezas están ionizadas

ii) Estudiar los casos particulares en los que el material de tipo n, con una concentración de dadores Nd =1017 cm-3, está parcialmente compensado con una concentración de impurezas aceptoras de Na=0, 1013, y 1016 cm-3. Suponer: Ed =Ea=100 meV respecto al mínimo de la banda de conducción y máximo de la banda de valencia, respectivamente; me=mh=0.5 m0, Eg=1 eV. Representar en los 3 casos el diagrama de Arrhenius de la concentración de portadores.

IV. TEORIA GENERAL DE LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE

8. En una muestra de Ge tipo p se ha medido el coeficiente de Seebeck () en función de la

temperatura de la muestra, mediante efecto Seebeck. Los datos obtenidos se presentan en la tabla adjunta.. ¿Cual es la concentración de aceptores en la muestra Na?. Interpretar el cambio de signo

observado. Datos: me=0.54m0, mh=0.33m0, Eg(300K)=0.678 eV, e=(300K)=4000

cm2/Vs,h=(300K)=1900 cm2/Vs.

T (ºC) 23.8 50.3 66 79 92.3 104 110.3 114.5 117 126.1 139.4 166.4 185.4

800 808.1 592.3 323.8 121.5 0 -133.1 -260.2 -193.7 -321 -326.6 -395.8 -365.3

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Problemas de Electrónica Física

(mV/K)

9. Considérese la experiencia de efecto Hall esquematizada en la figura. Sobre el semiconductor de

grosor d se han depositado 5 contactos óhmicos: 1 y 2 sirven para establecer una corriente estacionaria I0 a lo largo de la muestra, 3 y 4, separados por una distancia b, sirven para medir la

caida de potencial resistiva V, y los 3 y 5, separados una distancia a se usan para medir la tensión

de Hall VH que aparece al aplicar un campo magnético de intensidad Bo y perpendicular a la

muestra. Calcular la movilidad de Hall y la concentración de electrones conocidos los parámetros y

magnitudes especificadas arriba y que son los que se miden en el laboratorio.¿Qué significado

tendría una variación de V al aplicar el campo magnético?.

10. Llevamos a cabo una experiencia de efecto Hall en función de la temperatura, siguiendo la

configuración descrita en la figura anterior, en una muestra de GaSe tipo p de 10 m de espesor. Se

hace pasar una corriente I a través de los contactos 2 y 1 y a cada temperatura se mide: (i) la caída

de potencial resistiva V(V4-V3 ) y (ii) la tensión de Hall VH (V3-V5) al aplicar un campo

magnético de intensidad Bo=1.2 T perpendicular a la muestra. Los datos obtenidos se presentan en

la tabla adjunta. Determinar la dependencia con la temperatura de la movilidad de Hall y de la

conductividad de la muestra. Representar el diagrama de Arrhenius de la concentración de

portadores. Determinar la concentración de aceptores en la muestra (Na), su energía de ionización

(Ea)y el grado de compensación existente (=[Na-Nd]/Na). Datos: mh=0.5m0.

V(V) 1.90 1.58 1.57 0.83 0.83 0.86 0.99 1.22 1.51 1.94 2.70 1.21

VH(mV) 3.74 3.74 4.09 2.43 2.85 3.53 4.47 6.36 8.86 12.64 20.12 10.49

I(mA) 0.05 0.05 0.05 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025 0.01

T(K) 630 519 460 395 354 314 287 262 242 223 204 192

3

V

B

A

1 243

I 5VH