PROBABILIDAD

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Capítulo seisDistribuciones probabilísticas discretas

OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:

UNODefinir los términos de distribución de probabilidad y variable aleatoria.

DOS Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una continua.

TRESCalcular la media, la variancia y la desviación estándar de una distribución pobabilística discreta.

CUATRODescribir las características y calcular las probabilidades usando la distribución de probabilidad binomial.



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Capítulo seis continuación

Distribuciones probabilísticas discretas

OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá:

CINCO Describir las cracterísticas y calcular las probabilidades usando la dsitribución hipergeométrica.

SEISDescribir las características y calcular las probabilidades usando la distribución de Poisson.



Variables aleatorias

• Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento.

• EJEMPLO 1: considere un experimento aleatorio en el que se lanza tres veces una moneda. Sea X el número de caras. Sea H el resultado de obtener una cara y T el de obtener una cruz.

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EJEMPLO 1 continuación

• El espacio muestral para este experimento será: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH.

• Entonces, los valores posibles de X (número de caras) son x = 0, 1, 2, 3.

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EJEMPLO 1 continución

• El resultado “cero caras” ocurrió una vez.• El resultado “una cara” ocurrió tres

veces.• El resultado “dos caras” ocurrió tres

veces.• El resultado “tres caras” ocurrió una vez.• De la definición de variable aleatoria, la

X definida en este experimento, es una variable aleatoria.

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Distribuciones probabilísticas

• Una distribución probabilística es la enumeración de todos los resultados de un experimento junto con las probabilidades asociadas. Para el EJEMPLO 1,Número de caras Probabilidad de los resultados

0 1/8 = .125

1 3/8 = .375

2 3/8 = .375

3 1/8 = .125

Total 8/8 = 1

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Características de una distribución porbabilística

• La probabilidad de un resultado siempre debe estar entre 0 y 1.

• La suma de todos los resultados mutuamente excluyentes siempre es 1.

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Variable aleatoria discreta

• Una variable aleatoria discreta es una variable que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.

• EJEMPLO 2: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda.Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3.

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Variable aleatoria continua

• Una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar un número infinito de valores.

• Ejemplos: la altura de un jugador de básquetbol o el tiempo que dura una siesta.

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Media de una distribución probabilística discreta

• La media: · indica la ubicación central de los

datos.· es el promedio, a la larga, del valor de

la variable aleatoria.· también se conoce como el valor

esperado, E(x), en una distribución de probabilidad.

· es un promedio ponderado.

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Media de una distribución probabilística discreta

• La media se calcula con la fórmula:

• donde representa la media y P(x) es la probabilidad de los diferentes resultados x.

)](*[=)(= xPxxE

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Variancia de una distribución probabilística discreta

• La variancia mide la cantidad de dispersión (variación) de una distribución.

• La variancia de una distribución discreta se denota por la letra griega (sigma cuadrada).

• La desviación estándar se obtiene tomando la raíz cuadrada de .

2

2

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Variancia de una distribución probabilística discreta

• La variancia de una distribución de probabilidad discreta se calcula a partir de la fórmula

2 2 [( ) * ( )]x P x

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EJEMPLO 2

• Daniel Casas, propietario de pinturas Angel , estudió sus registros de las últimas 20 semanas y obtuvo los siguientes números de casas pintadas por semana:

# de casas pintadas Semanas

10 5

11 6

12 7

13 2

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• Distribución probabilística:

Número de casaspintadas, X

Probabilidad, P(X)

10 .25

11 .30

12 .35

13 .10

Total 1

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EJUEMPLO 2 continuación

• Calcule el número medio de casas pintadas por semana:

E x xP x( ) [ ( )]

( )(. ) ( )(. ) ( )(. ) ( )(. )

.

10 25 11 30 12 35 13 10

113

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• Calcule la variancia del número de casas pintadas por semana:

2 2

4225 0270 1715 2890

91

[( ) ( )]

. . . .

.

x P x

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PROBABILIDAD CONDICIONAL

EVENTOS O SUCESOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES

Dos o más eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia del otro.

Ejemplo: Sea E1 el evento de que caiga águila en el 4º lanzamiento de una moneda y E2 el evento de que caiga águila en el 7º lanzamiento.

La probabilidad condicional de que caiga águila en ambos lanzamientos es P(E1)*P(E2). Matemáticamente

4

1

2

1.

2

1)2().1p()2Ey 1(

2

1)2p(E

2

1)1(

EpEEp

Ep


SUCESOS O EVENTOS DEPENDIENTES

Son aquellos en los que la ocurrencia de uno depende de la ocurrencia del otro.

Ejemplo: Supóngase que en una caja existen 3 bolas blancas y 4 bolas rojas. Sea E1 el evento de que la primera bola extraída sea negra y E2 el evento de que la segunda bola extraída sea también negra en extracciones sin remplazamiento. Aquí E1 y E2 son eventos dependientes.

Entonces, la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra es p(E1E2)=p(E1)p(E2/E1). Matemáticamente:

21

4

6

3

7

4)21(

EEp


Distribución probabilística binomial

• La distribución binomial tiene las siguientes características:· un resultado de un experimento se

clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes -éxito o fracaso.

· los datos recolectados son resultados de contar.

· la probabilidad de éxito es la misma para cada ensayo ( o el muestreo se realiza con reposición).

· los ensayos son independientes.

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• Para elaborar una distribución binomial, sea· n el número de ensayos· x el número de éxitos observados· la probabilidad de éxito en cada ensayo

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• La fórmula para la distribución de probabilidad binomial es:

P xn

x n xx n x( )

!

!( )!( )

1

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Probability mass function Probabilidad de masa función

Probabilidad de la función binomial.


EJEMPLO 3

• La Secretaría del Trabajo del estado de Alabama reporta que 20% de la fuerza de trabajo en Mobile está desempleada. De una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes probabilidades con la fórmula de la distribución binomial (n=14, =.2, ):· tres están desempleados:

P(x=3)=.250

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• Nota: éstos también son ejemplos de distributions probabilísticas acumulativas:· tres o más están desempleados:

P(x 3)=.250 +.172 +.086 +.032 +.009 +.002=.551

· al menos un trabajador está desempleado: P(x 1) = 1 - P(x=0) =1 - .044 = .956

· a lo más dos trabajadores están desem-pleados: P(x 2)=.044 +.154 +.250 =.448

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Media y variancia de la distribución binomial

• La media está dada por:

• La variancia está dada por:

n

2 1 n ( )

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EJEMPLO 4

• Del EJEMPLO 3, recuerde que =.2 y n=14.

• Así, la media = n = 14(.2) = 2.8.• La variancia = n (1 - ) = (14)(.2)

(.8) =2.24.

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Población finita

• Una población finita es una población que consiste en un número fijo de individuos, objetos o medidas conocidos.

• Los ejemplos incluyen: el número de estudiantes en esta clase, el número de automóviles en el estacionamiento.

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Distribución hipergeométrica

• Fórmula:

• donde N es el tamaño de la población, S es el número de éxitos en la población, x es el número de éxitos de interés, n es el tamaño de la muestra, y C es una combinación.

P xC C

CS x N S n x

N n

( )( )( )

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Se utiliza cuando el muestreo se realiza sin reposición, lo que implica que la probabilidad para cada observación cambiará.


Distribución hipergeométrica

• Use la distribución hipergeométrica para encontrar la probabilidad de un número específico de éxitos o fracasos si:· la muestra se selecciona de una población

finita sin reemplazo (recuerde que un criterio para la distribución binomial es que la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro).

· el tamaño de la muestra n es mayor que 5% del tamaño de la población N.

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EJEMPLO 5

• La National Air Safety Board tiene una lista de 10(N) violaciones a la seguridad reportadas por ValueJet. Suponga que sólo 4 (S) de ellas son en realidad violaciones y que el Safety Board sólo podrá investigar cinco de las violaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que tres (x) de las cinco (n) violaciones seleccionadas al azar para investigarlas sean en realidad violaciones?

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PC C

C( )

* *.3

4 15

2522384 3 6 2

10 5

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N=10S=4x=3n=5


EJERCICIO 1 continuación

La fábrica Toy produce en un día 50 juegos electrónicos, de los cuales 40 operaron sin problemas. Si se selecciona una muestra de 5 juegos ¿Cuál es la probabilidad de que 4 juegos funcionen correctamente?

N=

S=

n=

x=

50

40

5

4


Distribución de Poisson

• La distribución de probabilidades binomial se hace cada vez más sesgada a la derecha conforme la probabilidad de éxitos disminuye.

• La forma límite de la distribución binomial donde la probabilidad de éxito es muy pequeña y n es grande se llama distribución de probabilidades de Poisson.

6-30



• La distribución de Poisson se puede describir matemáticamente por la fórmula:

• donde es la media aritmética del número de ocurrencias en un intervalo específico de tiempo, e es la constante 2.71828 y x es el número de ocurrencias.

P xe

x

x u

( )!

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P x( ) x

e

x

P x( )

x0 5 10

0

0.1

0.2

GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON



• El número medio de éxitos se puede determinar en situaciones binomiales por n , donde n es el número de ensayos y la probabilidad de éxito.

• La varianza de la distribución de Poisson también es igual a n .

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EJEMPLO 6

• La Sylvania Urgent Care se especializa en el cuidado de lesiones menores, resfriados y gripe. En las horas de la tarde de 6-10 PM el número medio de llegadas es 4.0 por hora.

• ¿Cuál es la probabilidad de 6 llegadas en una hora?

!6

4)6(

46

e

P P 6( ) 0.104

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m=4 X=6

P x( ) x

e

x


Ejercicio No2

El departamento de préstamos del banco Yotkobro con base en sus años de experiencia, estima que de cada 50 créditos otorgados solo 6 clientes no pagaron . En el mes pasado se otorgaron 30 préstamos.¿Cuál es la probabilidad de que los préstamos no pagados sean:

a) 3

b) Menos de 10

c) Más de 5

d) Ninguno

e) Entre 5 y 10

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