Andrs Agual lvarez

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1. ANLISIS COMBINATORIO TEORA DEL CONTEO APRENDER A CONTAR

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEO

Si un evento puede realizarse de maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento un

segundo evento puede realizarse de maneras diferentes y as sucesivamente entonces el

numero de maneras que los eventos pueden realizarse en el orden indicado

MTODO DE LAS CASILLAS

EJEMPLOS:

1. Si una persona tiene 4 camisetas, 5 pantalones y 3 pares de zapatos, de cuantas

maneras diferentes puede vestirse, si utiliza una de estas prendas a la vez.

Solucin:

C P Z

4 5 3

.

2. A cuantos automotores se les puede asignar un numero de placa, en la provincia de

pichincha, si se utiliza:

a) El mtodo muy antiguo (una letra y 5 dgitos)

b) El mtodo anterior (3 letras y 3 dgitos)

c) El actual (3 letras y 4 dgitos)

Solucin:

a) 1 Letra Nmeros

1 10 10 10 10 10

.

b) 3 Letra 3 Nmeros

1 26 26 10 10 10

.

c) 3 Letra 4 Nmeros

1 26 26 10 10 10 10

.

3. Hallar cuantos nmeros enteros diferentes de 2 cifras se pueden formar con los dgitos

(1,2,4,7,8), si:

a) No se permite la repeticin

b) Si se permite la repeticin

Hallar el nmero de enteros pares e impares que puedan formarse en cada caso.

Solucin:

a)

D U

D U Par 4 3

5 4

D U

Impar 4 2

De esos 20 nmeros 12 sern pares y 8 impares

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2

b)

D U

D U Par 5 3

5 5

D U

Impar 5 2

De esos 25 nmeros 15 sern pares y 10 impares

4. Hallar cuantos nmeros enteros positivos, menores de 5000 se pueden formar con los

dgitos (0,1,3,6,8,9), si:

a) No se permite la repeticin de cifras

b) Si se permite la repeticin de cifras

1 cifra 2 cifras 3 cifras 4 cifras

a) Sin repeticin b) Con repeticin

1 cifra: 1 cifra:

U

5

.

U

5

.

2 cifras: 2 cifras:

D U

5 5

.

D U

5 6

.

3 cifras: 3 cifras:

C D U

5 5 4

.

C D U

5 6 6

.

4 cifras: 4 cifras:

UM C D U

2 5 4 3

.

UM C D U

2 6 6 6

.

ORDEN: { } { }

2. PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES

1. Permutaciones SI importa el orden Intervienen TODOS los elementos. 2. Variaciones SI importa el orden Intervienen PARTE de los elementos. 3. Combinaciones NO importa el orden Intervienen TODOS O PARTE de los elementos.

PERMUTACIONES

Formulas:

* Permutaciones:

* Permutaciones circulares: ( )

* Permutaciones con repeticin:

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EJEMPLO:

1. Cuantas palabras no necesariamente pronunciables, se pueden formar combinando las

letras de las palabras:

a) rbol

b) Alcabala

Solucin:

a) 5 4 3 2 1

.

b)

VARIACIONES

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

COMBINACIONES

(

) ( )

( )

EJEMPLO:

1. Una bolsa contiene; 4 bolas blancas, 2 negras y 3 rojas. Calcular el numero de

formas en que se pueden seleccionar 5 bolas de modo que:

a) 2 sean blancas, 1 sea negra y 2 sean rojas

b) Por lo menos 3 sean blancas

DATOS:

4 Blancas

2 Negras

3 Rojas

.

a) B B B B N R R

4B 2N 3R

( ) ( ) ( )

.

b) 3b 1n 1r ( ) ( ) ( ) 24 3b 2n ( ) ( ) 4 3b 2r ( ) ( ) 12 4b 1n ( ) ( ) 2 4b 1r ( ) ( ) 3

45

.

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4

2. De cuantas formas puede escogerse un comit de 5 personas, entre 12 personas si:

a) No hay ninguna restriccin.

b) Dos personas determinadas, siempre deben estar juntas.

c) Dos personas determinadas, no pueden aparecer en el mismo comit.

Cuantos comits (grupos), diferentes hay:

a) ( )

b) 2 juntos +3 ( ) 120

+ ninguno de los 2 ( ) 252

372

.

c) 1 Cristian No Anita ( ) 210

1 Anita No Cristian ( ) 210

Ni Anita Ni Cristian ( ) 252

672

.

3. Un club tiene 12 miembros y se va a elegir un presidente, un vicepresidente, un

secretario y un tesorero, cuantas candidaturas diferentes puede formarse si:

a) Cualquier miembro del club es elegible para cualquier cargo.

b) Si solamente dos miembros determinados son elegibles para presidente, pero

tambin son elegibles para los dems cargos.

c) Si solamente dos miembros determinados son elegibles para presidente, pero

no son elegibles para los dems cargos.

a) ( )

P V S T

12 11 10 9

.

b) ( ) ( )

P V S T

2 11 10 9

.

c) ( ) ( )

P V S T

2 10 9 8

.

4. En cuantas formas diferentes pueden ordenarse en un estante, 5 textos diferentes

de Algebra, 4 textos diferentes de Clculo y 3 de Qumica, si:

a) No hay ninguna restriccin.

b) Los libros de cada materia deben estar contiguos.

Datos:

5 Algebra

4 Clculo

3 Qumica

12 Libros

Importa el orden

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5

a) Permutaciones de 12:

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

.

b) Algebra Clculo Qumica

3 2 1

Algebra Clculo Qumica

.

A C Q

A Q C

C A Q

C Q A

Q A C

Q C A

.

5. En un estante hay 12 libros diferentes.

a) Calcular el nmero de selecciones de 8 libros que pueden hacerse.

b) Determinar el nmero de estas selecciones que incluyen a un libro

determinado.

c) Hallar el nmero de estas selecciones que incluyen a dos libros determinados.

a) ( )

( )

b) ( ) ( )

( )

c) ( ) ( )

( )

6. Hallar el numero de palabras que contienen 2 consonantes y 2 vocales, que pueden

formarse tomndolas de entre 5 consonantes y 3 vocales.

a) no hay ninguna restriccin.

b) Si las consonantes y vocales deben ir alternadas.

a) Primera accin: Escoger las letras: ( ) ( )

Segunda accin: Escoger las letras:

4 letras:

4 3 2 1

. ( ) ( )

.

b) Primera accin: Escoger las letras: ( ) ( )

Segunda accin: Escoger las letras:

C V C V V C V C

2 2 1 1 2 2 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

.

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6

7. Siete personas van a sentarse en 1 fila. Hallar el numero de formas diferentes en

que esto puede hacerse, si:

a) No hay restricciones

b) 2 personas determinadas deben quedar contiguas.

c) 3 personas determinadas deben quedar contiguas.

d) Si 2 personas determinadas no deben quedar contiguas.

e) Si las 7 personas van a sentarse en crculo.

a)

b)

c)

d) Cr.

1 5 5 4 3 2 1

Cr.

1 2 3 4 5 5 1

ult.

Cr.

5 1 4 4 3 2 1

Total:

.

e)

8. Un estudiante debe contestar 5 de 7 preguntas de un examen, De cuantas maneras

diferentes puede escoger las preguntas?, si:

a) No hay ninguna restriccin.

b) Si las dos primeras son obligatorias.

c) Si debe contestar de las 4 primeras.

a)

( )

b)

( )

( )

c)

9. En una carrera de 400m participan 8 atletas. De cuantas formas distintas podrn

ser premiados los 3 primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce?

( ) 1 2 3

8 7 6

.

10. En un restaurante de comida rpida se indica al cliente que su hamburguesa, a ms

del pan y la carne, puede ir con todo lo siguiente, o sin ello: salsa de tomate,

mostaza, mayonesa, lechuga, cebolla, tomate o queso. Cuntos tipos de

hamburguesas son posibles?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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7

11. Un bus consta de 6 filas de asientos, con un pasillo intermedio, 2 asientos a cada

lado y una fila ultima con 5 asientos. De cuantas maneras diferentes puede sentarse

25 personas, si siempre se ocupan los puestos de las ventanas?

Datos:

Ventanas: 14

Pasillos: 15

Variaciones: ( ) ( )

.

12. Se tienen 12 puntos coplanares de manera que 3 de ellos no son colineales.

a) Calcular el nmero de rectas que pueden trazarse por estos puntos.

b) Hallar el nmero de rectas que pasan por un punto determinado de los 12

puntos dados.

a) ( )

( )

b) ( )

( )

13. Hallar n, si:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )( )( )

( )

( )( )( )( )( )

( )

( ) ( )

( )( )

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8

{

( ) ( )

( ) ( )

PROBABILIDAD:

EJEMPLOS:

1. De una baraja de 52 cartas, se saca 1 carta al azar. Calcular la probabilidad de que

salga de trbol.

{ }

2. De una baraja de 52 cartas, se sacan 2 carta al azar. Calcular la probabilidad de que

salgan de trbol.

{ }

( )

( )

3. De una baraja de 52 cartas, se sacan 3 cartas al azar. Calcular la probabilidad de

que:

a) Todas sean de corazones.

b) Todas sean del mismo palo.

c) Una sea de corazones negros y 2 sean de diamantes.

d) Haya exactamente 2 cartas de la misma denominacin.

DATOS:

Casos totales: ( )

a) A={salgan 3 de corazones}

Casos favorables: ( )

( ) ( ) ( )

b) B={salgan 3 cartas del mismo palo}

Casos favorables:

3 trboles ( )

( ) 3 diamantes ( )

3 corazones rojos ( )

3 corazones negros ( )

( ) ( ) ( )

c) C={salgan 1 corazones negro y 2 diamantes }

Casos favorables:

13 corazones negros ( )

( ) ( ) 13 diamantes ( )

( ) ( ) ( )

( )

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9

d) D={salgan 2 iguales exactamente}

2 Ases + 1 no As ( ) ( )

( ) ( ) 2 dos + 1 no Dos ( ) ( )

2 K + 1 no K ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

4. Se compra un Pozo de 25 nmeros y se quiere saber con cual es ms probable

acertar, con 15 aciertos o con 14 aciertos.

( ) ( )

Para 15 aciertos:

( )

Para 14 aciertos:

( )

5. Cinco mujeres y cuatro hombres se sienten al asar en una fila. Cul es la

probabilidad de que hombres y mujeres ocupen lugares alternados?

Casos totales:

Casos favorables:

M M M M M

5 1 4 1 3 1 2 1 1

6. Cuatro mujeres y sus esposos se sientan al azar en 1 fila de 8 sillas. Cul es la

probabilidad de que:

a) Cada mujer quede junto a su esposo.

b) De que las mujeres se sienten juntos y los hombres juntos.

c) De que las mujeres se sienten juntas.

Casos totales:

a) Casos favorables:

4 3 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

b) Casos favorables:

2 1

4 3 2 1 4 3 2 1

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10

c) Casos favorables:

Otra forma:

M H H H H

1 4 3 2 1

H M H H H

1

H H M H H

1

H H H M H

1

H H H H M

1

7. Calcular la probabilidad de obtener una suma de 7 puntos en un tiro de 2 dados, y

calcular la probabilidad de obtener 7 o menos en 1 tiro de 2 dados.

Casos totales: {( ) ( ) ( ) ( )}

a) Sumen 7

Casos favorables: ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

.

b) Sumen 7 o menos

Casos favorables:

Sumen 2 Sumen 5

Sumen 3 Sumen 6

Sumen 4 Sumen 7

.

8. Calcular la probabilidad de obtener una suma de 15 en 1 tiro de 3 dados.

Casos totales: {( ) ( ) ( ) ( )}

Casos favorables: sumen 15

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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11

.

9. Cual es la probabilidad de obtener 1 suma de a lo mas 15 puntos en un tiro de 3

dados.

Casos totales: {( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { }

( ) ( )

10. De 1 bolsa que contiene 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas, se sacan 3 bolas al

azar. Cual es la probabilidad de que ninguna de las bolas sacadas sea blanca.

5 Blancas

3 Negras

1 Roja

9 bolas

.

Casos totales: ( )

Casos favorables: A={No salga blanca}

3N 1R 3n ( )

2n 1r ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

11. Se sacan 2 tarjetas al azar de 1 conjunto de 10 tarjetas, numeradas del 1 al 10,

calcular la probabilidad, de que la suma de los nmeros en las tarjetas sea:

a) Un nmero par

b) Un nmero impar