probabilidad de Poisson y Bernoulli, y su comparación.
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Distribución de Poisson:
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de
Poisson es una distribución de probabilidad discreta que
expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la
probabilidad de que ocurra un determinado número de
eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se
especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con
probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".
Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a
conocer en 1838 en su trabajo.
Propiedades:
Donde:
k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la
función nos da la probabilidad de que el evento suceda
precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de
veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un
intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene
lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos
interesados en la probabilidad de que ocurra k veces
dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un
modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Ejemplos:
Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene
encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de
que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan
encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de
Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado
de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo
tanto, la probabilidad buscada es
Grafica:
Distribución de Poisson
El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida
en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son
solo guías para el ojo y no indican continuidad.
Función de probabilidad
Distribución de Bernoulli
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de
Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por
el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es
una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1
para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad
de fracaso ( ).
Si es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos",
y se realiza un único experimento con dos posibles
resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable
aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .
La fórmula será:
Su función de probabilidad viene definida por:
Propiedades:
Varianza:
Función generatriz de momentos:
Función característica:
Moda:
0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)
1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)
0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que
de éxitos)
Ejemplo;
"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga
cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:
el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso
(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen
en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0
(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que
cumple todos los requisitos.
DIFERENCIA ENTRE POISSON Y BERNOULLI
BERNOULLI:
La distribución binomial mide el número de éxitos en una
secuencia de n ensayos Bernoulli. El número de ensayos es
fijo, es por tal razón que el recorrido de la variable aleatoria
va desde 0 hasta n. Cosa que no ocurre en la distribución de
Poisson cuyo recorrido va desde 0 a infinito.
EJEMPLO:
En una fábrica de ampolletas se sabe que la probabilidad de
que una ampolleta este defectuosa es de 0,2. Si se revisa
una caja de 70 ampolletas, ¿cuál es la probabilidad de que
existan 6 ampolletas defectuosas?. En este caso existe un
límite de ampolletas defectuosas por las que nos podrían
preguntar (70). Cada ampolleta que se revise en la caja
puede resultar defectuosa o no defectuosa (sólo 2 resultados
posibles).
POISSON
La distribución de Poisson se utiliza para obtener
probabilidades de ocurrencia dentro de un marco continuo
(conociendo una tasa de ocurrencia por unidad de peso,
volumen, tiempo, etc.). El recorrido de la variable Poisson va
de 0 a infinito, no se limita como la distribución Binomial.
EJEMPLO:
Se sabe que el número de llamadas telefónicas que recibe
una central telefónica es de 5 llamadas por minuto. ¿Cuál es
la probabilidad de que se reciban 7 llamadas en 3 minutos?
Una pista para responder problemas con distribución Poisson:
la unidad de medida (en este caso tiempo) sobre la cual nos
preguntan es en base a 3 minutos, pero nos dan la tasa de 5
llamadas por 1 minuto. Lo que hay que hacer es expresar la
tasa en base al mismo tiempo sobre el cual nos preguntan.
En este caso lambda=5*3. Y la función quedaría así
P(x=7)=15^7[exp(-15)]/7!
Y si nos preguntaran: ¿Cuál es la probabilidad de que se
reciban 7 llamadas en 4 minutos?, la función quedaría así:
P(x=7)=20^7[exp(-20)]/7!