PROBABILIDAD -...

C O N C E P T O S B Á S I C O S J U A N J O S É H D E Z . O

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

• Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento “el arte de saber contar”

CONCEPTOS

• Fenómeno aleatorio.- Es un fenómeno es aleatorio si factores fortuitos determinan su ocurrencia , esto es, sólo si el resultado se presenta al azar….. ( sin intención o elección)

Tirar una moneda

Tirar un dado …

que no esté “cargado”

Hacer una pregunta ( reactivo) no inducido en una encuesta

Por ejemplo un reactivo inducido sería: Este año se ha incrementado la violencia en el país, ¿cree que ha disminuido la seguridad en su distrito?

CONCEPTOS

• Para calcular la probabilidad de un evento todos los resultados posibles deben de conocerse de antemano, pero el resultado particular de un solo ensayo de cualquier operación experimental no puede determinarse previamente.

Por ejemplo ,en una pregunta de escala Lickert…

CA, A , I , D , CD

El resultado de arrojar una moneda

sol o águila

Tirar un dado

1 ,2 ,3,4,5,6,

Conocemos todos los resultados posibles, pero no la respuesta

CONCEPTOS PREVIOS

• A cada uno de los posibles resultados se les puede asignar una fracción de probabilidad o en otras palabras el porcentaje de probabilidad de que ocurra un evento.

Por ejemplo cuando tiramos un dado la probabilidad de que un número sea obtenido ( el 1, o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 ) es de 1/6 para cada uno en particular en cada experimento.

• Un experimento .-

• Proceso que induce a que ocurra una y sola una de varias posibles observaciones

• Por ejemplo cuando lanzamos una moneda para ver el resultado

• Lo podemos definir también como cualquier acción o proceso cuyo resultado está sujeto a la incertidumbre

ESPACIO MUESTRAL

Experimento Resultados del Experimento

Contestar una pregunta en la escala Likert

C A , A , I , D , CD

La tirada de una moneda Sol, águila

Seleccionar una parte para inspeccionarla

Defectuosa, no defectuosa

Tirar un dado 1,2,3,4,5,6

Cuando hayamos especificado todos los resultados posibles, habremos identificado el ESPACIO MUESTRAL del experimento, y entonces podemos determinar su probabilidad de ocurrencia

ESPACIO MUESTRAL

Un espacio muestral es un conjunto universal, debido a que es el conjunto de todos los posibles resultados diferentes de un experimento.

El espacio muestral de tirar dos monedas sería CC , CX, XC, XX

Se puede hacer con un diagrama de árbol

¿ Cuál sería el espacio muestral en el experimento de arrojar tres monedas para determinar cuantas caras ( .C) ó cruz (X) ocurren? CCC , CCX, CXC, CXX, XXC, XXX, XCX, XCC

En el caso de tirar dos dados, el espacio muestral serían 36 todos los resultados posibles ( tarea)

EVENTO

• Es la colección de uno o varios resultados posibles o puntos muestrales que pertenecen a un espacio muestral

• Es un subconjunto del espacio muestral, esto es, todas las posibles combinaciones de los resultados que pueden darse

• Hay dos tipos de eventos • Evento simple

• Evento compuesto

EVENTO ALEATORIO SIMPLE

• Evento aleatorio simple.- Es el resultado de un solo ensayo en cualquier experimento en particular.

• Dentro del espacio muestral un evento aleatorio simple es cualquier resultado obtenido y solo un resultado posible

• Por ejemplo el resultado de 6 + 6 = 12 en la tirada de dos dados es un evento aleatorio simple y el espacio muestral sería el total de 36 resultado posibles.

• O en el lanzamiento de una moneda que el resultado sea cara … y no cruz

• O que en una pregunta de una encuesta contesten SI y no incluye a NO

EVENTO ALEATORIO COMPUESTO

• Evento compuesto.- Es un subconjunto del espacio muestral, que contiene dos o más eventos aleatorios simples

• Por ejemplo si se quiere saber los posibles resultados que pueden dar como resultado 5 en un tirada de dos dados tendríamos

• 4+1 , 2+3, 3+2 , 1+4

• Ejercicio: Cuál sería el evento compuesto ( subconjunto) para obtener cuando menos dos caras ( C ) en la tirada de tres monedas

• CCC, CCX, CXC, XCC.

EVENTOS COMPUESTOS

Ejercicio : Un investigador de mercados realiza una encuesta a una familia de cuatro personas, dos hijos adolescentes y sus padres, para determinar cualquiera de las dos respuestas sobre la preferencia de un producto

les agrada (A) o desagrada.

Forme una secuencia con todas las posibles respuestas del padre, la madre, el hijo mayor y el segundo hijo

Cuál es el espacio muestral del experimento?

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¿ NO HAY OTRA FORMA DE OBTENER EL ESPACIO MUESTRAL?

VAMOS A CONTAR SIEMPRE ASÍ????

experimento Resultado posible en cada experimento

Resultado obtenido en los ejercicios

Cuál es el patrón?

Lanzar tres monedas

Sol Águila ( dos)

8 23

Tirar dos dados 6 resultados posibles para cada dado

36 62

cuatro Miembros de una familia

Las posibles respuestas son dos Aprobado Desaprobado

16 24

DOS REGLAS PARA CONTAR EVENTOS

• Primera Regla de la multiplicación

• 1.-Si se lleva a cabo un cierto número (n) de actos o experimentos , y cada acto puede realizarse en el mismo número de formas (k), entonces el número total de posibles resultados para n actos es

• ( k) (k)…(k)n = kn

• Por ejemplo en el caso de la tirada de dos dados sería

• . n= 2 dos tiradas de dados

• k = 6 formas o resultados posibles

•

SEGUNDA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA CONTAR EVENTOS

• 2.-Si hay n actos que pueden realizarse de en k1, k2, …kn formas diferentes e, independientes del resultado, entonces el número total de posibles resultados diferentes para los n actos en sucesión es:

• (n) ( k) formas de hacer las cosas

• Esta formula se aplica para determinar el número de posibles disposiciones o arreglos de dos o más grupos.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA CONTAR EVENTOS

• En resumen si tenemos n actos y k formas de hacerlos.

• La regla de la multiplicación es

• Numero total de arreglos= (n) (k)

• Son actos independientes

• Por ejemplo si un vendedor de autos tiene tres modelos de vehículos y dos planes de financiamiento, cuántos arreglos diferentes pueden hacerse?

• Total de arreglos ( n) ( k) = 3 (2) = 6

EJERCICIOS

• Pioneer fabrica tres modelos de estéreos, dos reproductores MP3, cuatro tipos de bocinas y tres carruseles para CD. Cuando se venden juntos los cuatro tipos de componentes forman un sistema. ¿ cuántos diferentes sistemas puede ofrecer la empresa?

•

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

U N S O L O G RU P O

PERMUTACIONES

• Una permutación es un arreglo ordenado: se refiere a cualesquiera de las formas en la cual se arreglan distintos objetos, cuando tenemos n actos y k formas de realizarlos. • La empleamos cuando no se tiene el mismo número de elementos y de la forma de

seleccionar

• Hay que considera que en las permutaciones si importa el orden del arreglo

• Otra restricción es que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes

PERMUTACIONES

• Una nPk

• Entonces la probabilidad es un cálculo factorial

• P= n factorial = n !

(n – k) factorial (n-k)!

•

• P es el número de permutaciones o formas en que pueden ordenarse los objetos

• n es el número total de objetos

• k es el número de objetos que se van a disponer cada vez

EJERCICIOS

• 7 P3

• 7(6)(5)(4)(3)(2)(1)

• ( 7-3) !

• 7(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 210

• ( 4)(3)(2)(1)

• 8P 2

PERMUTACIONES

Ejemplo : Tenemos 10 alumnos de UNITEC para cuatro puestos en la sociedad de alumnos: presidente, vicepresidente, tesorero y secretario. ¿Cuáles son todas las posibles combinaciones? n = 10 y k = 4

Hay diez formas de ocupar el puesto de presidente. Una vez que se ha hecho, quedan nueve candidatos , por lo que hay nueve formas de ocupar el segundo puesto, una vez que se selecciona hay 8 candidatos y por lo tanto ocho formas de ocupar el tercer puesto y así solo siete formas de ocupar el cuarto puesto.

Podríamos hacer un diagrama de árbol?

P = (10) (9 ) ( 8) ( 7) = 5040

• Si se tienen 6 alumnos para ordenarlos en cuatro puestos diferentes cuál sería el resultado?

• P= (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)

(6)(5)(4)(3)(2)(1)

• P = (10) (9 ) ( 8) ( 7) = 5040

• Y sí se tienen 6 alumnos para ocupar cuatro puestos cuál sería el resultado?

• (6)(5)(4)(3)= 360

COMBINACIONES

• Una combinación es simplemente un subconjunto de k objetos a partir de n objetos. Las permutaciones toman en consideración el orden en el cual los objetos se seleccionan… las combinaciones no • En realidad lo que estamos contando es un grupo

n C k = n !

(n-k)! k!

donde

n≥ k ≥ 1

COMBINACIONES

• Supóngase que tenemos diez alumnos que son candidatos para la mesa directiva y deseamos elegir tres elementos para dicha mesa ( no importa quienes de ellos sean) , ¿ de cuantas maneras pueden ser seleccionadas

• C = (10) (9) (8)( 7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)

( 3) (2) (1) ( 10 – 4) !

= 720/ 6= 120


• Ejemplos

• En esta clase de estadística consta de 12 alumnas. De cuántas formas puede seleccionarse un comité de tres alumnas.

• C = (12)(11)(10 ) = 1320/6= 220

3 ( 2) (1)

ES una combinación porque no hay arreglos , esto es, no importa el orden, cada trío constituye una forma

PERMUTACIÓN Y COMBINACIONES

• Si al mismo grupo se les selecciona para tres puestos diferentes?

• Entonces tendríamos una permutación ya que el orden si importa

(12)(11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(|)

(12-3) !

• ( 12) (11) (10) = 1320


• Usted desea descifrar un código en sucesión compuesto por 6 letras diferentes de un alfabeto de 27 letras. Cuál sería la probabilidad de que en la primera elección hecha al azar usted pudiera encontrar dicho código? Es el ejemplo de que alguien quiera obtener su password.

• 27 P 6

• el resultado es 213127200


• Usted desea participa en una lotería donde el premio se dará a una planilla compuesta por 6 letras diferentes de un alfabeto de 27 letras. Cuál sería la probabilidad de que ganara al escoger una planilla hecha al azar ?

• C276

• el resultado es 296010

• p

• p2.-¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

• Usted tiene problemas económicos¡¡¡¡, y para resolverlos juega a los pronósticos cada semana, si el premio a ganador se da con atinar a 6 números de 48, cuál sería su probabilidad de ganar

• si considera la probabilidad como 1/ número de arreglos o espacio muestral

• De cuantas formas distintas podemos acomodar 4 sólidos geométricos en una repisa; si los escogemos entre 9 sólidos geométricos?

• ¿ De cuántas formas distintas podemos poner 4 sólidos geométricos en una bolsa; si los escogemos entre 9 sólidos geométricos?

• ¿ de cuántas formas distintas podemos escoger 7 cartas de un juego de 52 cartas?

• ¿ de cuantas formas las podemos poner en línea (acomodar) , sobre una mesa, estas cartas?

• De un total de 30 boletos de una rifa se extraen 5, los cuales serán premiadas en orden de importancia. ¿ cuantos puntos muestrales hay asociados a este experimento? • Permutación 30p5

• Se llevó a cabo un estudio para determinar las actitudes de las enfermeras de un hospital frente a diversas disposiciones administrativas. Si se seleccionó a una muestra de 8 enfermeras de un total de 20, ¿ cuántos grupos combinados de enfermeras se pueden hacer?

• 20c8

• Un supervisor administrativo asigna a 11 trabajadores diferentes 10 actividades distintas para realizar. ¿ podría calcular de cuántas manera se puede ordenar a lo trabajadores para desarrollar las 10 actividades

• 11p10

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

• Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son mutuamente excluyentes

• La probabilidad de que ocurra un evento siempre estará dentro del rango de 0 y 1 • 0 ≤ P ≤ 1

Es válido para eventos equi –probables y cuando conocemos todo

el espacio muestral

PROBABILIDAD

• 1.- La probabilidad de cualquier evento debe ser un valor dentro del intervalo de uno a cero.

• 2.-Si la probabilidad es cero, esto significa que el evento que se está considerando, no ocurrirá

• 3.- Si se tiene la certeza de que un evento ocurrirá la probabilidad de un evento es 1, esto incluye a todos los posibles resultados o eventos

• 4.- La suma de las probabilidades para todos los resultados experimentales debe ser igual a uno

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

• Consiste en todos los valores de una variable aleatoria, junto con sus probabilidades correspondientes

• ∑ P(xi) = 1

• para cada valor 0≤ P(x) ≤ 1

ENFOQUE CLÁSICO

• Es un método de asignación de probabilidades apropiado cuando :

• 1.-Los resultados experimentales son equiprobables.

• 2.- Los resultados pueden ser previsibles( ya se conocen todos los posibles resultados)

• P = número de resultados favorables

• número total de resultados

• En el caso de la tirada de una dado, la probabilidad de obtener un

resultado de 6 , sería 1/6

EJERCICIO

• Una feria ofrece una tómbola, donde usted puede sacar diferentes premios en efectivo. En teoría hay 100 esferas: 1 que da 100 pesos; 9 que dan 50 pesos; 10 que dan 30 pesos; 10 que dan 20 pesos; 20 que dan 10 pesos y 50 que dan la leyenda: gracias por cooperar • Cuál es la probabilidad de que usted obtenga en la primera

oportunidad

• Un premio de 100

• un premio de 30

• un premio de 20

CON REEMPLAZO O SIN REEMPLAZO?

SELECCIÓN CON REEMPLAZO

• Ocurre cuando una opción que ya fue seleccionada, puede ser seleccionada nuevamente (“ se regresa al espacio muestral inicial)

• Consideramos que “regresamos” la opción al espacio muestral inicial.

• En el ejercicio anterior siempre consideramos que es siempre la primera vez que se realiza un experimento

SELECCIÓN SIN REEMPLAZO

Ocurre cuando una opción que ya fue seleccionada, ya no puede ser seleccionada de nuevo.

Ejemplos:

• Un premio de 100 en la segunda oportunidad

• Un premio de 30 en la cuarta oportunidad, considerando que no ha salido ninguna de este valor

• Un premio de 20 en la decima oportunidad, considerando que ya salieron dos premios de este valor.

• un premio que dice gracias por cooperar en la décima oportunidad si ya salieron 3 de este tipo anteriormente.

EJERCICIO

• Si consideramos que una baraja tiene 52 cartas diferentes : Calcular la probabilidad • Obtener un as ( 4 opciones ) o un ocho ( 4 opciones) en la quinta oportunidad, considerando

que salió primero un 7; en segundo lugar un 8; en tercer lugar un 3; en cuarto lugar un as

•

• obtener un 7 en la tercera oportunidad si en la primera salió un 4 y en la segunda salió un 5

• Si considera selección con reemplazo, cuál es la probabilidad que se observaría en los casos anteriores

PROBABILIDAD EMPÍRICA O DE FRECUENCIA RELATIVA

• El método de frecuencias relativas de asignar probabilidades es apropiado cuando se cuenta con datos para estimar la proporción de veces en que ocurrirá el resultado experimental si el experimento se repite un gran número de veces

Numero de estudiantes ausentes

Días en que ocurrió el resultado

Frecuencia relativa

0 2 2/ 20 …. 0.1

1 5 5/ 20…..0.25

2 6 6/20…..0.3

3 4 4/20…..0.2

4 3 3/ 20…..0.15

Total 20

Se basa en el número de veces que ocurre el evento como proporción de intentos conocidos y en este caso el calculo de la probabilidad sería nuestra frecuencia relativa

• Una bolsa de cacahuates de M&M contiene 21 dulces de diferentes colores y distribuyen de la siguiente manera

• Cuál es la probabilidad de que se obtenga un dulce de color rojo en la primera oportunidad

• Cuál es la probabilidad de que se obtenga una de color naranja en la primera oportunidad

• Si ya se obtuvo una roja, una azul y una naranja, cual es la probabilidad de que obtenga una naranja en la cuarta oportunidad

Categoría

frecuencia

Verde café 6

anaranjado 3

verde 3

amarillo 2

rojo 2

azul 5

Categoría

frecuencia

Verde café 6

anaranjado 3

verde 3

amarillo 2

rojo 2

azul 5

Frecuencia relativa

% Ind.

6/21 28… O.28

3/21 14…. 0.14

3/21 14 0.14

2/21 10 0.1

2/21 10 0.1

5/21 24 0.24

• De acuerdo con la experiencia de la tienda de super-descuentos, las ventas de aparatos eléctricos es la siguiente: 245 televisores; 55 lectores de cd; 120 minicomponentes y 100 planchas • Cuál es la probabilidad de que un cliente que entra pida una plancha

• cuál es la probabilidad de que un cliente pida un televisor?

EJERCICIOS

• De acuerdo a la Secretaría de salud de cada 3500 muertos en la población adolescente en los últimos meses, 350 se deben a accidentes automovilísticos; 20 a cáncer; 55 a problemas cardiacos; 175 a problemas relacionados con fumar. • Cuál es la probabilidad de que un adolescente haya muerto por una causa diferente a la

señalada

• Cuál es la probabilidad de la muerte se deba a cáncer

• cuál es probabilidad de que la muerte se deba a problemas cardiacos

• Una empresa de seguros tiene 6000 alumnos asegurados. Se sabe que 13 de cada 100 generan gastos mayores; 17 de cada 100 generan gastos menores.

• Cuál es la probabilidad de que un estudiante genere gastos médicos mayores

• Cuál es la probabilidad de que un estudiante genere gastos médicos menores

EVENTO SIMPLE Y COMPUESTO

PROBABILIDAD SIMPLE

• Es la posibilidad de que ocurra un evento simple, esto es, la probabilidad que se presente un punto muestral, misma que ya no puede ser descompuesta en otras • Cuál es la probabilidad de que usted sea seleccionado en un puesto de jefe de grupo si en su

salón hay 10 candidatos?

• Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja en una caja donde hay 7 bolas de diferentes colores

PROBABILIDAD CONJUNTA O COMPUESTA

• Se denomina a la probabilidad de que ocurra un evento conjunto, esto es, la probabilidad de que se presenten dos o más puntos muestrales

• La probabilidad de que al nacer la persona sea de un género masculino o femenino es del

50% . Si acaban de nacer 4 bebés en el hospital,

• Cuál es la probabilidad de que sean solo dos niños?

• Cuál es la probabilidad de sean 2 o más niños?

• Primero hay que conocer el espacio muestral

• 24

ESPACIO MUESTRAL

• (m,m,m,m)

• m m m f

• m m f m

• m f m m

• f m m m

• m m f f

• m f f m

• f f m m

• m f m f

• f m m f

• f m f m

• M f f f

• f f f m

• f m f f

• f f m f

• f f f f

• Probabilidad

• De que sean tres niños

• de que sea una niña

• de que sean 4 niñas

• de que sean cuando menos tres niñas

• de que no sea ninguna niña

COMPLEMENTO DE UN EVENTO

Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento formado por todos los puntos muestrales que no están en A.

• En cualquier aplicación de probabilidades, debe suceder ya sea el evento A o su complemento A´

• P (A) + P (A´) = 1

• P(A) = 1 - P (A´)

EJERCICIOS

• A.-Un estudio de 150 vuelos de AA, seleccionados aleatoriamente, mostró que 108 llegaron a tiempo.¿ cuál es la probabilidad de que un vuelo de AA llegue retrasado?

• Cuándo el fármaco Viagra se probó , 117 pacientes reportaron tener dolor de cabeza de un total de 734 . ¿Cuál es la probabilidad de que una persona no tenga dolores de cabeza al emplear dicho fármaco?

• Usted está atento en el sorteo para saber si hará servicio militar o no. En la urna se encuentran 100 esferas ( 20 negras que significa que no tiene obligación) y 80 blancas que indican que tiene la obligación de reportarse • Si considera una selección sin reemplazo

• 1.-¿Cuál es la probabilidad de que se evite el servicio en la primera oportunidad?

• 2.-Cuál es la probabilidad de que se evite en la trigésima oportunidad, si ya salieron 25 blancas y 4 negras

• 3.-Cuál es la probabilidad de que no se evite en el ejercicio anterior?

LEY ADITIVA

LA LEY ADITIVA ES ÚTIL CUANDO SE TIENEN DOS EVENTOS Y SE DESEA

CONOCER LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA AL MENOS UNO DE ELLOS O

AMBOS

LEY ADITIVA PARA EVENTOS EXCLUYENTES

• Si sólo uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice que son eventos mutuamente excluyentes • La ocurrencia de cualquier

evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo

• Esto es, que no tienen ningún punto de intersección

• Se denomina exhaustivo si se incluye a cada uno de los todos los resultados posibles.

UNIÓN DE EVENTOS

• Si se tienen dos eventos A B, la unión de éstos es la suma de puntos muestrales que se encuentran en el evento A o en el evento B, o en ambos y se representa como A U B ( A unión con B)

• ESTO ES, QUE SEA UNO U OTRO O EN LOS DOS

• En el caso de eventos excluyentes no se tienen puntos muestrales comunes

EVENTOS EXCLUYENTES

La probabilidad de eventos excluyentes, es la suma de las probabilidades de los eventos individuales.

P ( a) + P (b) = 1 Por lo que P (a) = 1 – P (b)

En el caso de lanzar una moneda

La probabilidad de que salga cara es 0.5 y la probabilidad de que salga cruz es 0.5… el total es 1

Si usamos la notación de conjuntos tendríamos

P (a u b) = P (a) + P ( b) = 1

P (A u B u C…uN) = P(A) +P(B) +P(c )+ …P(N)

EJERCICIO EVENTOS EXCLUYENTES

• Dadas 10 esferas que se encuentran marcadas del 1 al 10

• Cuál es la probabilidad de que salga un número par?

• Total de resultados posibles al sacar una esfera= 10

• Probabilidad de sacar una esfera = 1/10

• Hay que definir cuantos números par hay en todo el espacio muestral….

• 2, 4, 6, 8, 10

• Total de resultados posibles al sacar una esfera= 10

• Probabilidad de sacar una esfera = 1/10

• la probabilidad de sacar el 2 = 1/10

• La probabilidad de sacar el 4 = 1/10

• La probabilidad de sacar el 6 = 1/ 10



• Por lo que 5/ 10 = 0.5

EJERCICIO 1

• Dadas 10 esferas marcadas del 1 al 10 y que se encuentran en una bolsa. Cuál es la probabilidad de encontrar

• Evento 1.-Una esfera marcada con un valor de 3 o menos

• Evento 2.- una esfera marcada con 6 o más

• Evento .- Una esfera marcada con 4 o 5

• 4.- Cuál es la probabilidad que ocurra el evento 1 o el evento 2 ( cualquiera de los dos)

REGLA PARA LA SUMA DE N EVENTOS

• Si tenemos varios eventos… A, B, C, los cuales son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la unión de estos eventos es la suma de todas sus probabilidades individuales

• P ( a U b U c …n)= P(a) + p(b) +P (c) + P ( n)

Y SI NO SON EVENTOS EXCLUYENTES?

E N T O N C E S E M P L E A M O S L A R E G L A G E N E R A L A D I T I VA

REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN

• Eventos de ocurrencia conjunta.

• Es un subconjunto del espacio muestral, donde dos o más eventos ocurren al mismo tiempo


• Ejemplo p-2

• Dadas 10 esferas que se encuentran marcadas del 1 al 10 y si consideramos al evento A el de extraer una esfera marcada con un numero par y el evento B una esfera marcada con 5 o menos. Cuál es la probabilidad de que A o B ocurran.

• Y si se repite el 2 y el 4

• y dónde quedan el 7 y el 9

• Para este caso se emplea la regla general de la adición


Se emplea esta regla general a eventos cualesquiera ya sean mutuamente excluyentes o no. Es útil para casos de ocurrencias conjuntas

P ( a U B) = P (a) + P (b) – P ( a Ω b)

P ( a Ω b) es la intersección de a y b

Por lo que P (a) , que sea un número par, es 0.5

Por lo que la P(b) , que sea un número del 1 a 5 es de 0.5

Pero 2 y 4 pertenecen a ambos eventos y es de 0.2

Por lo que la P ( a U b) = 0.8

INTERSECCIÓN DE EVENTOS

• La intersección de dos eventos A y B es el conjunto de todos los puntos muestrales que se encuentran contenidos en ambos eventos A y B simúltaneamente, y se representa por AΩ B ( A intersección con B)

• Solo se consideran aquellos puntos muestrales que se encuentran contenidos en ambos eventos … esto es que ocurren en ambos eventos

EJERCICIOS

EJERCICIO P-2

• Supóngase que se extrae un naipe de una baraja de 52 ( y si reemplaza el naipe). Obténgase la probabilidad de extraer ya sea un rey, joto y Reina (como evento a) o una figura de un trébol (evento b) . Considere que hay 12 figuras ( rey , reina y joto) y 13 tréboles.

• Cuál es P (a u b ) ?

• 12/52 + 13/52 – 3/52= 0.42

EJERCICIO

• En el proceso de admisión de Maestrías en negocios en el año 2000, la universidad de Stanford admitió a 8.5% de los aspirantes, la universidad de Harvard admitió a 13.5% de los aspirantes, mientras que el 5.1% de los aspirantes fue admitido en ambas universidades. • ¿ cuál es la probabilidad de que un estudiante sea admitido en una universidad o en otra?

REGLA DE LA SUMA

¿ son A y B mutuamente excluyentes?

P (A o B)= P(A) + P(B) P(A o B)=

P(A)+P(B)- P(A y B)

Unión

o Intersección

y

clasificación evento Número de empleados

Supervisores A 120

Mantenimiento B 50

Producción C 1460

Administración D 302

secretarias E 68

Una muestra de empleados de una compañía se va a encuestar.

¿cuál es la probabilidad de que la primera persona elegida sea:

1.- de mantenimiento o secretaria’

2.- que no sea de mantenimiento?

3.- de administración o supervisores?

4.- de producción o de mantenimiento?

• De acuerdo a información presentada en la siguiente tabla la distribución de los estudiantes de acuerdo a las carreras en las que están anotados. Si se definen los siguientes eventos • (A) mujeres en el nivel superior

• (B) Hombres en el nivel superior

• ( C) alumnos inscritos en áreas administrativas y sociales

• (D) alumnos inscritos en ingeniería

• ( E) Alumnos inscritos en educación

• (F) alumnos inscritos en Salud

• 1. Cuál es la probabilidad que al seleccionar a un estudiante:

• A) estudie en Administración o en Ingeniería

• B) Sea mujer o estudie administración

• C) Sea hombre o estudie ingeniería

• D) sea mujer o estudie educación

• E) Sea hombre o estudie en Salud

• F) Qué estudie educación o administración

área mujer hombre total

Agropecuaria 960 29 00 3860

Salud 78 0 52 90 6070

Exactas 13 55 16 49 3004

Administrativa 412 70 32913

74183

Educación 36 90 20 40 5730

Ingeniería 138 45 343 08 48153

TOTAL 61900 79100 141000

G.- Que sea mujer y que estudie salud

H.- Que estudie ingeniería y que sea hombre.

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