Probabilidad y estadística para CEA Mtra. Ma. Del Carmen López Munive
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Probabilidad y estadística para CEA
Mtra. Ma. Del Carmen López Munive
Distribución Normal
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Distribución normal (probabilidad continua)
O En ocasiones llamada Gaussiana, utilizada más comúnmente en estadística.
O Se representa por la clásica forma de campana y uno puede calcular la probabilidad de que varios valores ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos.
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O Gráfica de Distribución Normal con una media de 0, y una desviación típica 1
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Ejemplo: O Es factible determinar la probabilidad de que el
tiempo de descarga de una página principal de un navegador de la Web esté entre 7 y 10 segundos, o que la probabilidad de que el tiempo de descarga esté entre 8 y 9 segundos.
O Sin embargo, la probabilidad de que el tiempo de descarga sea exactamente de 8 segundos es cero.
O La función de la densidad normal de probabilidad es
𝑓 (𝑥 )= 1𝜎 √2𝜋
∗𝑒−
(𝑥−𝜇 ) 22𝜎 2
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O Donde:O μ= promedioO σ= desviación estándarO π= 3.1416O e= 2.71828O x= cualquier valor de la variable continua,
donde (-∞ < X < ∞)
𝑓 (𝑥 )= 1𝜎 √2𝜋
∗𝑒−
(𝑥−𝜇 )22𝜎 2
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O a, b y c tienen igual μ, pero diferente σO b y d tienen igual σ, pero diferente μO a, d y e tienen diferente μ y σ
e
d
c
b
a
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O El primer paso para encontrar una probabilidad normal es usar la fórmula de la transformación para convertir cualquier variable aleatoria normal X en una variable aleatoria estandarizada Z
O La fórmula de la transformación es:
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Características de la curva normal1. El 68.26% de las veces asume un valor entre ± una desviación estándar respecto a su
media2. 95.44% de las veces asume un valor entre ± 2 desviaciones estándar respecto a su media3. 99.72% de las veces asume un valor entre ± 3 desviaciones estándar respecto a su media
68.26%
95.44%
m-3s m -2s m -1s m m +1s m +2s m+3s
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68.26%
95.44%
m-3s m -2s m -1s m m +1s m +2s m+3s
0.5 0.5 = 1+
Escala Z
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Ejemplo O El tiempo de descarga de la página
Web se distribuye normalmente con una media μ = 7 segundos, y una desviación estándar σ = 2 segundos. Por tanto, un tiempo de descarga de 9 segundos equivale a 1 unidad estandarizada (es decir, 1 desviación estándar por arriba de la media, porque:
O y sustituyendo:Z = (9-7)/2 = 2/2= 1
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68.26%
99.72%
95.44%
-3 2 -1 m 1 2 3 Escala Z
1 3 5 7 9 11 Escala X
μ=7, σ= 2
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O Un tiempo de descarga de 1 segundo equivale a 3 unidades estandarizadas (3 desv. Est) por debajo de la media, porque sustituyendo Z=(1-7)/2 = -3
O Entonces, la desviación estándar es la unidad de medida. En otras palabras, un tiempo de 9 segundos es 2 segundos (es decir 1 desviación est.) más alto o más lento que la media de tiempo de 7 segundos.
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Ejemplo 2, O Suponga que la página principal de
otro sitio web tiene un tiempo de descarga que se distribuye normalmente con una media de 4 segundos y una σ de 1 segundo. Si el tiempo fue de 5 segundos.
O X=5, μ=4, σ=1 sustituyendo es igual a 1
O Haz la gráfica correspondiente
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O Suponga que se quiere encontrar la probabilidad de que el tiempo de descarga para el ejemplo 1 sea menor a 9 segundos
O X=9, μ=7, σ=2 sustituyendo es igual a 1O En tablas 0.8413 y en Minitab será:
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En Minitab: Calc/probability distr/Normal
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Cumulative/mean=7/input column elegir: C1/optional storage: C2
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Práctica. Grafica lo que se solicita
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de descarga sea de menos de 9 segundos.
2. Encontrar la probabilidad de que el tiempo de descarga esté entre 7 y 9 segundos
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de descarga sea menor a 7 segundos o mayor a 9 segundos?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de descarga esté por debajo de 3.5 segundos?