Probabilidades y Estadística 11
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Probabilidades y Estadstica (Computacin)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos AiresAna M. Bianco y Elena J. Martnez 2004
Desigualdad de Chebyshev:
Para calcular la probabilidad de un evento descripto en trminos de una v.a. X esnecesario conocer la distribucin de la v.a. La desigualdad de Chebyshev provee una cotaque no depende de la distribucin sino slo de la varianza deX.
Proposicin: SeaXuna v.a. con E(X) = y V(X)= 2 < , entonces
( )2
2
,0
>> XP
Dem: Lo haremos para el caso continuo. La demostracin para el caso discreto es similar.
( ) ===
dxxfxXE )()()( 222
+= > }/{}/{
)()()()( 22
xxxx
dxxfxdxxfx
( )
>= >>
XPdxxfdxxfxxxxx
222 )()()(}/{}/{
Entonces,
( )
> XP
2
2
como queramos demostrar.
Observacin: La cota que provee la desigualdad de Chebyshev puede ser grosera o, peoran, no informativa, por ejemplo, si 2.
Ejemplo: SeaX~ U(0,10), entonces E(X) = 5 y V(X)= 100/12.
Aplicando la desigualdad de Chebyshev,
( ) 52.016
12/100
16
2
45 =>
XP
pero, si calculamos en forma exacta esa probabilidad,
( ) ( ) ( ) ====> )91(1454145145 XPXPXPXP
20.010
1
10
91)1()9(1 =+=+=
XF
XF
118
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En qu sentido converge X a ?
Sea (Xn ) (n 1) una sucesin de variables aleatorias, diremos que Xn converge enprobabilidada la v.a.X y lo notaremos XX p
n
, si
( ) 00limn
>=>
XXP n
Ley de los Grandes Nmeros: Sean X1, X2, .... v.a. independientes e idnticamentedistribuidas (muestra aleatoria) con E(X) = y V(X) = 2 < , entonces
pnX
siendo
n
X
X
n
i
i
n
== 1 el denominado promedio muestral.
Dem: Sabemos que )( =nXE yn
XV n
2
)(
= , entonces aplicando la desigualdad de
Chebyshev,
( ) 0)(2
2
2>=>
n
XVXP nn
y, por lo tanto
( ) 00limlim 22
nn >=>
nXPn
Luego, pnX , como queramos demostrar.
Versin Bernoulli de la Ley de los Grandes Nmeros: Consideremos n repeticionesindependientes de un experimento aleatorio y seaA un suceso con probabilidad P(A) =p,constante en las n repeticiones. Si llamamos nA a la frecuencia absoluta deA (nmero deveces que ocurreA en las n repeticiones) y fA = nA / n a la frecuencia relativa, entonces
pf pA
es decir,
( ) 00 > > nA pfP
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Dem: Como nA ~ Bi(n,p) conp = P(A), entonces E(nA) = np y V(nA) = np (1-p). Luego
n
pp
n
nVfVp
n
nEfE AAA
A
)1()()(
=
==
=
y, aplicando la desigualdad de Chebyshev,
( ) 0)1()(22
>
=>
n
ppfVpfP AA
Luego,
( ) 00)1(limlim2nn
>=
>
n
pppfP A
como queramos demostrar.
Ejemplo: Cuntas repeticiones del experimento deberan hacerse para que la frecuenciarelativa difiera dep en menos de 0.01 con probabilidad mayor o igual que 0.95?
En este caso, = 0.01 y queremos encontrar n tal que
( ) 95.001.0
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Distribucin de la suma de variables aleatorias independientes: En general esdifcil calcular la distribucin de la suma o de una combinacin lineal de n v.a.independientes, an cuando tengan la misma distribucin. Sin embargo, en algunos casosla distribucin de la suma o de combinaciones lineales es conocida. Recapitulemosalgunos resultados.
a) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que ),(~ pnBiX ii , entonces
= =
n
i
n
i
ii pnBiX1 1
.,~
En particular, si ipBiXi ),1(~ , entonces =
n
i
i pnBiX1
).,(~
b) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que )(~ ii PX , entonces
= = n
i
n
i
ii PX1 1
~ .
c) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. i.i.d. tales que )(~ pGXi , entonces =
n
i
i pnBNX1
).,(~
d) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. i.i.d. tales que )(~ iX , entonces =
n
i
i nX1
).,(~
e) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que ),(~ ii nX , entonces
= =
n
i
n
i
ii nX1 1
,~ .
f) Si nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que ),(~2
iii NX y naaa ,...,, 21 son
nmeros reales, entonces = = =
n
i
n
i
n
i
iiiiii aaNXa1 1 1
22,~ .
En particular, si nXXX ,...,, 21 son v.a. i.i.d. tales que ),(~2NXi , entonces
=
=
n
i
i nnNXTn
NX1
22
),(~y,~
.
Dem: Todos estos resultados pueden demostrarse fcilmente usando funcionesgeneradoras de momentos. Como ejemplo, demostremos la propiedad e), es decir que si
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nXXX ,....,, 21 son v.a. independientes tales que ),(~ ii nX , entonces
= =
n
i
n
i
ii nX1 1
,~ .
Por ser lasXi v.a. independientes, la funcin generadora de la suma es el producto de lasfunciones generadoras, entonces
= == =
=
==
=
=
n
i
n
i
ii
nn
i
n
i
n
XX
nXtt
tMtM
n
i
ii
in
i
i 1 11 1
,~)()(1
1
como queramos demostrar.
Veremos ahora que, cuando las v.a. no son normales, la distribucin normal resulta unabuena aproximacin para la distribucin de X y .T
Teorema Central del Lmite: Sean ,...., 21 XX v.a. i.i.d con =)( iXE y
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Supongamos inicialmente que = 0 y 2 = 1. En este caso, la funcin generadora de
momentos den
Test dada por
( )= =====
n
i
nXX
XTnT
ntMntMntMntMtMii
n
i
i 1/
)/()/()/()/()(
1
por ser lasXiindependientes. Sea )(ln)( uMuLiX
= , entonces
[ ][ ]
[ ][ ]
)()0(
)0()0()0(
)(
)()()()(ln)0(''
01)0(
)0(
)(
)()(ln)0('
0)1ln()0(ln)0(
2
2
2'''
2
2'''
2
2
''
00
00
=
=
=
=
=====
=
===
==
==
i
X
XXX
X
XXXX
X
X
X
XX
X
XEM
MMM
uM
uMuMuM
u
uML
M
M
uM
uM
u
uML
ML
i
iii
i
iiii
i
i
i
ii
i
uu
uu
Ahora, para probar el teorema, demostraremos que 2//
2
)( tnTetM o
equivalentemente, que .2/)/( 2tntnL Aplicando la regla de LHospital dos veces,
==
=
2/1n2
2/3
nn 2
)/('lim
2
)/('lim
/1
)/(lim
n
tntL
n
ntntL
n
ntL
.22
)/(''lim
2
)/(''lim
22
n2/3
2/32
n
ttntL
n
ntntL==
=
por lo tanto hemos probado el Teorema Central del Lmite para = 0 y 2 = 1. El caso
general resulta considerando las v.a. standarizadas *ii XX
=
y teniendo en cuenta
las propiedades de las funciones generadoras de momentos.
Observacin: Qu significa n suficientemente grande? Cmo sabemos si laaproximacin es buena? El tamao de muestra requerido para que la aproximacin sea
razonable depende de la forma de la distribucin de las Xi . Mientras ms simtrica yacampanada sea, ms rpidamente se obtiene una buena aproximacin.
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Figura 2: Distribucin de x para distintas distribuciones cuando n=2, 5 y 30.a) Distribucin discreta, b) Distribucin Uniforme, c) Distribucin Exponencial
Ejemplo: Al sumar nmeros, una calculadora aproxima cada nmero al entero msprximo. Los errores de aproximacin se suponen independientes y condistribucin U(-0.5,0.5).
a) Si se suman 1500 nmeros, cul es la probabilidad de que el valor absoluto del errortotal exceda 15?
Si llamamosXi al error correspondiente al i-simo sumando, el error total es =
=1500
1
1500
i
iXT .
Entonces,
( ) ( ) ===> )1515(115115 150015001500 TPTPTP
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Figura 2: Distribucin de x para distintas distribuciones cuando n=2, 5 y 30.a) Distribucin discreta, b) Distribucin Uniforme, c) Distribucin Exponencial
Ejemplo: Al sumar nmeros, una calculadora aproxima cada nmero al entero msprximo. Los errores de aproximacin se suponen independientes y condistribucin U(-0.5,0.5).
a) Si se suman 1500 nmeros, cul es la probabilidad de que el valor absoluto del errortotal exceda 15?
Si llamamosXi al error correspondiente al i-simo sumando, el error total es =
=1500
1
1500
i
iXT .
Entonces,
( ) ( ) ===> )1515(115115 150015001500 TPTPTP
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Figura 2: Distribucin de x para distintas distribuciones cuando n=2, 5 y 30.a) Distribucin discreta, b) Distribucin Uniforme, c) Distribucin Exponencial
Ejemplo: Al sumar nmeros, una calculadora aproxima cada nmero al entero msprximo. Los errores de aproximacin se suponen independientes y condistribucin U(-0.5,0.5).
a) Si se suman 1500 nmeros, cul es la probabilidad de que el valor absoluto del errortotal exceda 15?
Si llamamosXi al error correspondiente al i-simo sumando, el error total es =
=1500
1
1500
i
iXT .
Entonces,
( ) ( ) ===> )1515(115115 150015001500 TPTPTP
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=
+
=
12/1500
15
12/1500
151
12/1500
15
12/150012/1500
151 1500
TP
18.0)34.1()34.1(1 =+=
Hemos usado que 0)( =iXE y12
1)( =iXV y por lo tanto 0)( 1500 =TE y .
12
1500)( 1500 =TV
b) Cuntos nmeros pueden sumarse a fin de que el valor absoluto del error total seamenor o igual que 10 con probabilidad mayor o igual que 0.90?
Buscamos el valor de n tal que
( ) 90.010 nTP
( ) ( ) 90.012/
10
12/
1090.0101090.010
nT
nPTPTP nnn
Aplicando la aproximacin normal, debemos hallarn tal que
95.012/
1090.01
12/
10290.0
12/
10
12/
10
nnnn
44612.2164.112/
10 nn
n
es decir, que se pueden sumar a lo sumo 446 nmeros para que el valor absoluto delerror total sea menor o igual que 10 con probabilidad mayor o igual que 0.90.
Aproximacin de la distribucin binomial por la normal: SeaX~ Bi (n,p), entonces X es elnmero de xitos en n repeticiones de un experimento binomial con probabilidad de xitoigual ap, y X/ n es la proporcin muestral de xitos.
Definamos las siguientes variables aleatorias
=
iX
ii
repeticinlaenFracasoobtuvosesi
repeticinlaenxitoobtuvosesi
0
1
para i= 1, ..., n. Estas v.a. son independientes, Xi ~ Bi (1,p) i y =
=n
i
iXX1
.
Aplicando el Teorema Central del Lmite, si n es suficientemente grande,
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( )
n
pppN
n
XpnpnpNX
aa )1(,~)1(,~
)()(
Se considera que la aproximacin es buena si n p 5 y n (1-p) 5.
Figura 3: Distribucin den
X
Correccin por continuidad: Cuando se aproxima una distribucin discreta por unacontinua, como es el caso de la aproximacin de la distribucin binomial por la normal, esnecesario efectuar una correccin. Consideremos el siguiente ejemplo:
SeaX~ Bi (100, 0.6) y calculemos en forma aproximada P(X 50) y P(X 51).
Si aplicamos directamente el TCL, obtenemos:
( )
967.0)84.1(124
6051
24
60)51(
021.004.224
6050
24
60)50(
=
=
=
=
XPXP
XPXP
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
0
0.
2
0.
4
0.
6Bi(5,0.10)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
0
0.
2
0.
4Bi(10,0.10)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.
0
0.
15
Bi(20,0.10)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.40.
0
0.
10
Bi(50,0.10)
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.
0
0.
06
0.
12
Bi(100,0.10)
0.0 0.05 0.10 0.15 0.200.
0
0.
04
0.
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Bi(200,0.10)
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( )
n
pppN
n
XpnpnpNX
aa )1(,~)1(,~
)()(
Se considera que la aproximacin es buena si n p 5 y n (1-p) 5.
Figura 3: Distribucin den
X
Correccin por continuidad: Cuando se aproxima una distribucin discreta por unacontinua, como es el caso de la aproximacin de la distribucin binomial por la normal, esnecesario efectuar una correccin. Consideremos el siguiente ejemplo:
SeaX~ Bi (100, 0.6) y calculemos en forma aproximada P(X 50) y P(X 51).
Si aplicamos directamente el TCL, obtenemos:
( )
967.0)84.1(124
6051
24
60)51(
021.004.224
6050
24
60)50(
=
=
=
=
XPXP
XPXP
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
0
0.
2
0.
4
0.
6Bi(5,0.10)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
0
0.
2
0.
4Bi(10,0.10)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.
0
0.
15
Bi(20,0.10)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.40.
0
0.
10
Bi(50,0.10)
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.
0
0.
06
0.
12
Bi(100,0.10)
0.0 0.05 0.10 0.15 0.200.
0
0.
04
0.
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Bi(200,0.10)
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( )
n
pppN
n
XpnpnpNX
aa )1(,~)1(,~
)()(
Se considera que la aproximacin es buena si n p 5 y n (1-p) 5.
Figura 3: Distribucin den
X
Correccin por continuidad: Cuando se aproxima una distribucin discreta por unacontinua, como es el caso de la aproximacin de la distribucin binomial por la normal, esnecesario efectuar una correccin. Consideremos el siguiente ejemplo:
SeaX~ Bi (100, 0.6) y calculemos en forma aproximada P(X 50) y P(X 51).
Si aplicamos directamente el TCL, obtenemos:
( )
967.0)84.1(124
6051
24
60)51(
021.004.224
6050
24
60)50(
=
=
=
=
XPXP
XPXP
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
0
0.
2
0.
4
0.
6Bi(5,0.10)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.
0
0.
2
0.
4Bi(10,0.10)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.
0
0.
15
Bi(20,0.10)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.40.
0
0.
10
Bi(50,0.10)
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.
0
0.
06
0.
12
Bi(100,0.10)
0.0 0.05 0.10 0.15 0.200.
0
0.
04
0.
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Bi(200,0.10)
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Por lo tanto, cualquier v.a. con distribucin (m, ) con parmetro m suficientementegrande puede ser aproximada por la distribucin normal.
Una aplicacin de suma de v.a. independientes y generacin de nmeros alazar:
Recordemos que un proceso de Poisson permite modelar una situacin en la que loseventos ocurren a lo largo del tiempo (o espacio, volumen, etc.).
Hemos visto, que bajo ciertos supuestos, si definimos la variable
Xt = cantidad de eventos que ocurren en el intervalo [0,t]
entonces )(~ tPXt , donde es la tasa media de ocurrencias o intensidad del proceso.
Tambin hemos mencionado que, si denotamos
- T1 = tiempo que transcurre entre que empezamos a medir y el momento en queocurre el primer evento
- T2= tiempo que transcurre entre el primer evento y el segundo evento.
y, en general,
- Ti= tiempo que transcurre entre el (i-1)- simo evento y el i-simo evento ( Ni )
las Ti son variables aleatorias independientes y con distribucin exponencial, todas con elmismo parmetro .
Es claro que, si a uno le interesara el tiempo que transcurre desde el inicio hasta la k-sima ocurrencia, esta variable aleatoria podra expresarse como
=
k
i
iT1
Veamos la recproca, es decir, veamos como podemos construir un proceso de Poisson apartir de v.a. i.i.d. con distribucin exponencial.
Proposicin: Sean ,...,....,, 21 kWWW v.a. independientes con distribucin E(1).
Consideremos el siguiente proceso. Comenzamos a medir el tiempo en t = 0 yconsideramos que ocurre el primer evento en el instante W1, el segundo en elinstante W1 +W2, y en general el k-simo evento en el instante W1 + W2+.+ Wk. Sipara t > 0, definimos la variable aleatoria
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Xt = cantidad de eventos que ocurren en el intervalo [0,t]
entonces Xt es una variable discreta y su distribucin es )(tP .
Dem: Sea }0{UNk y consideremos el evento [Xt k ]. Observemos que
[X t k ] hubo k ms eventos en el intervalo [0,t] hubo por lo menos k
eventos en el intervalo [0,t] tWk
i
i =1
Calculemos la probabilidad de dicho evento:
=
=
tWPkXPk
i
it
1
)(
Como las ,...,....,, 21 kWWW son variables aleatorias independientes y con distribucin
E(1)=(1,1) , entonces
=
k
i
iW1
~ (k,1)
y por lo tanto
dssftWPt
S
k
i
i )(
1
=
=
con ~1
=
=k
i
iWS (k,1) y en consecuencia )()!1(
1)( ),0(
1 sIesk
sf skS +
= . Entonces,
dsesk
tWPt
skk
i
i =
=
0
1
1 )!1(
1
Llamemos
dsesk
tA
t
sk
k =0
1
)!1(
1)(
a la funcin de distribucin acumulada de una (k,1). Integrando por partes una vez, siconsideramos
2)!-(k
s
)!1(
)1(
)!1(
2-k21
=
=
=
k
sku
k
su
kk
y
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Xt = cantidad de eventos que ocurren en el intervalo [0,t]
entonces Xt es una variable discreta y su distribucin es )(tP .
Dem: Sea }0{UNk y consideremos el evento [Xt k ]. Observemos que
[X t k ] hubo k ms eventos en el intervalo [0,t] hubo por lo menos k
eventos en el intervalo [0,t] tWk
i
i =1
Calculemos la probabilidad de dicho evento:
=
=
tWPkXPk
i
it
1
)(
Como las ,...,....,, 21 kWWW son variables aleatorias independientes y con distribucin
E(1)=(1,1) , entonces
=
k
i
iW1
~ (k,1)
y por lo tanto
dssftWPt
S
k
i
i )(
1
=
=
con ~1
=
=k
i
iWS (k,1) y en consecuencia )()!1(
1)( ),0(
1 sIesk
sf skS +
= . Entonces,
dsesk
tWPt
skk
i
i =
=
0
1
1 )!1(
1
Llamemos
dsesk
tA
t
sk
k =0
1
)!1(
1)(
a la funcin de distribucin acumulada de una (k,1). Integrando por partes una vez, siconsideramos
2)!-(k
s
)!1(
)1(
)!1(
2-k21
=
=
=
k
sku
k
su
kk
y
Probabilidades y Estadstica (Computacin)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos AiresAna M. Bianco y Elena J. Martnez 2004
130
Xt = cantidad de eventos que ocurren en el intervalo [0,t]
entonces Xt es una variable discreta y su distribucin es )(tP .
Dem: Sea }0{UNk y consideremos el evento [Xt k ]. Observemos que
[X t k ] hubo k ms eventos en el intervalo [0,t] hubo por lo menos k
eventos en el intervalo [0,t] tWk
i
i =1
Calculemos la probabilidad de dicho evento:
=
=
tWPkXPk
i
it
1
)(
Como las ,...,....,, 21 kWWW son variables aleatorias independientes y con distribucin
E(1)=(1,1) , entonces
=
k
i
iW1
~ (k,1)
y por lo tanto
dssftWPt
S
k
i
i )(
1
=
=
con ~1
=
=k
i
iWS (k,1) y en consecuencia )()!1(
1)( ),0(
1 sIesk
sf skS +
= . Entonces,
dsesk
tWPt
skk
i
i =
=
0
1
1 )!1(
1
Llamemos
dsesk
tA
t
sk
k =0
1
)!1(
1)(
a la funcin de distribucin acumulada de una (k,1). Integrando por partes una vez, siconsideramos
2)!-(k
s
)!1(
)1(
)!1(
2-k21
=
=
=
k
sku
k
su
kk
y
-
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15/15
Probabilidades y Estadstica (Computacin)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos AiresAna M. Bianco y Elena J. Martnez 2004
132
Paso 1: generamos una v.a. W1 con distribucin E(1).
Paso 2: chequeamos si W1 t. Si sto ocurre, continuamos con el paso siguiente. Si, encambio, W1 t terminamos yX= 0.
Paso 3: generamos una v.a. W2 con distribucin E(1), independiente de W1.
Paso 4: chequeamos si W1 + W2 t. Si sto ocurre, continuamos con el paso siguiente. Sino, terminamos yX= 1.
Paso 2k-1: generamos una v.a. W k con distribucin E(1), independiente de W1, W2, .,W k-1.
Paso 2k: chequeamos si W1 + W2 +.+ W k t. Si sto ocurre seguimos, si noterminamos yX= k.