Probabilitats. Problemes i Més Problemes ( Text Editable )

l/) w ~ W --l cc o o:::: 0-l/) 'W

~ -

l/)

~ PROBABI LlfA:rS: --l cc

~ PROBLEMES l/)

~ I MS PR

PROBABILITATS: PROBLEMES

I MS PROBLEMES

Olga Juli de Ferran David Marquez-Carreras

Carles Rovira Escofet Mnica Sarr Rovira

Publicacions i Edicions

~ UNIVERSITAT I)E BARCELONA .,

UNIVERSITAT DE BARCELONA. Dades catalogrfiques

Probabilitats: problemes i ms problemes

Bibliografia ISBN 84-475-2906-1

I. Juli de Ferran, Olga 11. Ttol I. Probabilitats 2. Problemes i exercicis

PUBLICACIONS I EDICIONS DE LA UNIVERSITAT DE BARCELONA, 2005 Adolf F1orensa, s/n; 08028 Barcelona; Tel. 934035 442; Fax 934035 446; [email protected]; http://www.publicacions.ub.es

Impressi: Graficas Rey, S.L.

Dipsit legal: B-I 67 14-2005

ISBN: 84-475-2906-1

Imprs a Espaa 1 Printed in Spain

Aquesta publicac, ha comptat amb l'ajut de la Generalitat de Catalunya.

Queda rigorosament prohibida la reproducci total o parcial d'aquesta obra. Cap part d'aquesta publicaci, incls el disseny de la coberta, pot ser reproduda, emmagatzemada, transmesa o utilitzada per cap tipus de mitj o sistema, sense l'autoritzaci prvia per escrit de l'editor.

,

Index

1 Introducci

2 Probabilitats 2.1 Espais de probabilitat ...... .

2.1.1 Esdeveniments o successos. 2.1.2 Definici de probabilitat .. 2.1.3 Espais de probabilitats finits 2.1.4 Propietats de la probabilitat

2.2 Probabilitat condicionada . . 2.3 Esdeveniments independents. 2.4 Frmula de Bayes 2.5 Problemes..... .... 2.6 Problemes amb indicaci.

2.6.1 Indicacions ....

3 Variables aleatries unidimensionals 3.1 Variable aleatria . . . . . . . 3.2 Llei i funci de distribuci ..... . 3.3 Tipus de variables aleatries. . . . . 3.4 Transformacions de variables aleatries. 3.5 Esperana matemtica . . . . . 3.6 Variables aleatries ms usuals 3.7 Problemes......... 3.8 Prohlemes amb indicaci.

3.8.1 Indicacions

4 Vectors aleatoris 4.1 Funcions de distribuci conjunta i marginals. 4.2 Independncia............... 4.3 Vectors aleatoris discrets ........ . 4.4 Vectors aleatoris absolutament continus 4.5 Transformaci de vectors aleatoris

3

5

7 7 7 8 9 9

10 11 11 12 42 46

55 55 56 57 58 59 61 63

108 111

121 121 122 123 124 125

4

4.6 Moments 125 4.7 Vectors aleatoris ms usuals 127 4.8 Suma de distribucions 128 4.9 Problemes. 128 4.10 Problemes amb indicaci . 182

4.10.1 Indicacions 186

5 Successions de variables aleatries 195 5.1 Lemes de Borel-Cantelli 195 5.2 Convergncies de variables aleatries 196

5.2.1 Convergncia quasi segura . 196 5.2.2 Convergncia en probabilitat 197 5.2.3 Convergncia en LP o mitjana d'ordre p 198 5.2.4 Convergncia en llei 198

5.3 Relacions entre les convergncies 199 5.4 Llei forta dels grans nombres 200 5.5 Teorema del lmit central 201 5.6 Problemes. 201 5.7 Problemes amb indicaci . 236

5.7.1 Indicacions 240

6 Apndix 251 6.1 Combinatria 251 6.2 Llista de smbols 254

Captol 1

Introducci

La teoria de la probabilitat s possiblement una de les rees de la matemtica amb un desenvolupament ms intens des de la segona meitat del segle Xx. Aix es deu a diverses raons: d'una banda, la probabilitat forma el cos metodolgic bsic necessari per a l'estadstica i, d'altra banda, les seves aplicacions sn molt diverses i en camps de gran actualitat com les finances o la gentica. Per tant, la probabilitat ha esdevingut una de les rees ms rellevants de la matemtica i una part fonamental del seu estudi, aix com tamb d'altres com la informtica o enginyeries superiors.

L'objectiu d'aquest llibre s omplir un buit dins el mn editorial en el camp de les probabilitats. Els estudiants universitaris que cursen assignatures que tracten probabilitats a un nivell elemental, poden trobar fcilment un bon grapat de llibres per consultar, tant terics com prctics. En canvi, quan una assignatura no t aquest carcter tan bsic, l'estudiant no disposa d'aquesta oferta: malgrat que pot trobar fora llibres de consulta terics, hi ha una manca bastant gran de referncies dedicades a la resoluci de problemes. El llibre que teniu a les mans vol solucionar aquesta mancana.

Aquest s, per tant, un llibre de problemes de probabilitats resolts destinat a estudiants d'un primer cicle d'enginyeries o de llicenciatures en matemtiques o estadstica.

El llibre tracta els temes fonamentals de les probabilitats com sn els espais de probabilitat, les probabilitats condicionades, les variables i els vectors aleatoris, els moments, les successions de variables aleatries i les seves convergncies i els teoremes lmit. Hem agrupat aquests temes en quatre captols que hem titulat com segueix: probabilitats, variables aleatries unidimensionals, vectors aleatoris i successions de variables aleatries.

Cadascun d'aquests captols consta de tres parts ben diferenciades. A la primera, per tal d'ajudar a la comprensi dels problemes i facilitar la feina dels lectors, hem incls un resum dels aspectes terics ms destacats &"lsociats al tema,

5

6 CAPTOL 1. INTRODUCCI

obviant les demostracions dels resultats enunciats. Si el lector est interessat en un estudi ms exhaustiu d'aquests aspectes terics o en la demostraci dels resultats presentats, li recomanem la consulta d'algun dels llibres citats a la bibliografia. A la segona part del captol es plantegen entre vint-i-cinc i trenta-cinc problemes i se'n dna la resoluci detallada, fent tots els passos per comprendre'ls. Finalment, en l'ltima secci es proposen els enunciats de deu a vint problemes, esmentant desprs unes indicacions per solucionar-los.

Voldrem destacar la diferncia entre els problemes resolts i els indicats. La resoluci dels problemes resolts est pensada per ensenyar com s'han d'aplicar les diverses tcniques del clcul probabilstic, intentant presentar el raonament abstracte i lgic que s necessari per resoldre qualsevol problema matemtic. Es-tarem particularment contents, a ms, si el lector hi troba tamb el plus d'in-tuci o imaginaci que cal per posar-se davant d'un problema matemtic i que hem intentat reflectir a la nostra presentaci. Els problemes indicats estan menys desenvolupats i es proposen ms aviat com un complement per tal que l'alumne pugui practicar i comprovar el seu nivell.

Esperem, per tant, que aquest llibre sigui d'utilitat al lector, i que l'ajudi en la comprensi de les probabilitats.

Captol 2

Probabilitats

En aquest captol, el nostre objecte d'estudi sn els anomenats experiments aleatoris, aquells experiments que tenen diferents resultats possibles i pels quals no podem saber quin es produir.

2.1 Espais de probabilitat El primer pas per definir un espai de probabilitat s considerar el conjunt dels resultats possibles de cada experiment, conjunt que anomenarem espai mostral.

L'espai mostral n es defineix com el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment aleatori.

L'espai mostral pot ser de molts tipus, no ha de ser sempre numric i tant pot ser finit com infinit.

Associat a tot experiment aleatori tenim una famlia :F de subconjunts de n, que anomenarem esdeveniments o successos, i que t estructura de a-lgebra, s a dir,

n E:F,

si A E :F, aleshores AC E :F,

si {Ai, i 2 I} :F, aleshores U:1 Ai E :F. Observeu que si en la darrera condici canviem les unions numerables per

unions finites, obtenim l'estructura d'lgebra.

2.1.1 Esdeveniments o successos Alguns casos particulars:

7

8 CAPTOL 2. PROBABILITATS

el succs segur, s el format per tots els resultats possibles, s a dir, el mateix n.

el succs impossible s el que no es dna mai, s a dir, 0. els successos elementals sn aquells formats per un nic element de n.

Donats dos esdeveniments A i B podem definir diverses operacions i relacions entre ells:

l'esdeveniment format per tots els resultats de A i tots els resultats de B (incloent els que estan a A i B alhora) s'anomena A uni B i s'escriu com AUB,

l'esdeveniment format pels resultats de A i B alhora s'anomena A inter-secci B i s'escriu com A n B,

l'esdeveniment format pels resultats que no sn de A s'anomena comple-mentari de A i s'escriu com AC.

Tenim tamb les definicions segents:

dos esdeveniments A i B sn disjunts si no tenen resultats en com, s a dir, si A n B = 0,

si tot resultat de B tamb s un resultat de A es diu que B est incls en A i s'escriu B A.

2.1.2 Definici de probabilitat La definici axiomtica segent d'espai de probabilitat la va donar Kolmogorov l'any 1933.

Definici 2.1.1 Un espai de probabilitat s una terna (n,F, P) tal q71e: n s el conjut de res71ltats possibles o espai mostral, F s la famlia d'esdeveniments amb estmct71ra de er-lgebra i P s 71na aplicaci

de manera q71e

p(n) = 1,

P: F -------+ [0,1] A -------+ P(A)

si {A;,i:::: I} F, tals que Ai n Aj = 0 per a tot i # j, aleshores

p (;Q Ai) = ~ P( Ai) (er - additivitat).

2.1. ESPAIS DE PROBABILITAT 9

2.1.3 Espais de probabilitats finits Quan l'espai mostral s finit, 1 = {Wl,W2, ... ,wd, parlarem d'espai de proba-bilitat finit. En aquests casos considerem com a a--lgebra :F la formada per tots els subconjunts de 1, denotada per P(1).

En aquest cas una probabilitat P queda definida assignant a cada resultat Wi una probabilitat Pi, o dit d'una altra manera, P(Wi) = Pi, 1


En particular, per a A, B E F disjunts, aleshores P(A U B) = P(A) + P(B).

3. Si A E F, aleshores P(AC) = 1 - P(A). 4. Monotonia: si A, B E F, amb A e B aleshores

P(A) 0, l'aplicaci PB: F --) [0,1]

A --) P(AIB) defineix una probabilitat de manera que (D, F, PB) R un nou espai de probabilitat.

A partir de la definici de probabilitat condicionada s'obt l'anomenada frmula de les probabilitats compostes: siguin {A i ,l

2.3. ESDEVENIMENTS INDEPENDENTS II

2.3 Esdeveniments independents Definici 2.3.1 Donats dos esdeveniments A i B de F direm que sn indepen-dents si

P(A n B) = P(A)P(B).

Proposici 2.3.2 Siguin A i B dos esdeveniments de F amb P(A) > O i P(B) > o. Aleshores les afirmacions segents sn equivalents:

1. A i B sn independents,

2. P(AIB) = P(A), 3. P(BIA)=P(B).

Propietats dels esdeveniments independents:

1. Els esdeveniments n i 0 sn independents de tot altre esdeveniment A. 2. Sn equivalents:

(a) A i B sn independents, (b) A e i B sn independents, (c) A i Be sn independents, ( d) A e i Be sn independents.

Podem estendre tamb la definici d'independncia a una famlia d'esdeveni-ments.

Definici 2.3.3 Donada una famia d'esdeveniments {Ai, i E I} F direm que sn independents si 'l;'r :2: 1 i 'I;' {i l , ... , i r } I,

2.4 Frmula de Bayes Considerem ara que tenim una partici finita del nostre espai mostral, s a dir, tenim una famlia d'esdeveniments {Al, A 2, ... , An} disjunts dos a dos i tals que n = Uf=l Ai. Suposem a ms que P(Ai) > O per a tot i. Donat aleshores qualsevol altre esdeveniment B E F tenim la igualtat segent:

P(B) P(B n Ad + P(B n A 2) + ... + P(B nAn) P(B IAI )P(A]) + P(B IA2 )P(A2) + ... + P(B IAn )P(An).


Aquest resultat es coneix com la frmula de les probabilitats totals. Recal-quem que el resultat s'estn quan la partici s numerable.

Si a ms tenim un esdeveniment B amb P(B) > 0, llavors

P(Ai IB) = P(B IA;)P(Ai)

P(B IAI )P(A) + ... + P(B IAn )P(An) Aquesta frmula es coneix com a frmula de Bayes i ens permet invertir

l'ordre del condicionament.

2.5 Problemes 1. En cadascun dels experiments segents indiqueu quin s l'espai mostral. En

cada apartat digueu si estem en una situaci d'equiprobabilitat.

(a) Es tria una famlia de dos fills i s'anoten els sexes del fills ordenats per edats (suposem que la probabilitat dels dos sexes s la mateixa).

(b) El mateix que l'apartat anterior per ara sense tenir en compte l'ordre. (c) S'agafa un llibre qualsevol i es compta el nombre d'errors d'impremta. (d) D'una baralla de 48 cartes se n'extrauen dues amb reemplaament. (e) El mateix que l'apartat anterior per sense reemplaament.

Soluci:

(a)

n = {(nen, nen) , (nen, nena) , (nena, nen) , (nena, nena)} .

Tots els esdeveniments elementals tenen probabilitat 1/4, per tant sn equiprobables.

(b) Ara tindrem una possibilitat menys ja que (nen, nena) i (nena, nen) seran el mateix resultat. Aleshores l'espai mostral estar format pels elements segents:

n = {{nen,nen},{nen,nena},{nena,nena}}

1 1 P ({nen, nen}) = P ({nena, nena}) = "4 i P ({nen, nena}) = 2'

Per tant, l'espai mostral no s equiprobahle.

2.5. PROBLEMES 13

(c) El nombre d'errors d'impremta ser un nombre natural. Com que no podem posar-hi una fita superior haurem d'agafar com a espai mostral

Sl = N U {O}.

No estem en un cas d'equiprobabilitat, perqu l'espai mostral t infinits esdeveniments elementals.

(d) Per designar les cartes utilitzarem la notaci Wi ,1


Observeu que la diferncia entre les estructures d'lgebra i de a-lgebra est noms en la darrera condici, on canviem les unions finites per unions numerables. Evidentment tota a-lgebra s una lgebra. Veurem que F s una lgebra. Hem de comprovar les tres condicions:

(a) n E :F. s evident ja que n t complementari finit. (b) Si A E F aleshores AC E F. Surt de la definici de F, que A sigui

finit o amb complementari finit equival a dir que AC sigui finit o amb complementari (s A) finit.

(c) Si A, B E F, aleshores A U B E F. En efecte, si A i B sn els dos finits, aleshores A U B tamb s finit i per tant A U B E F. Altrament, A o B tenen complementari finit i per tant (A U B)C = AC n BC s finit, de manera que A U B E F.

Veurem ara que s una a-lgebra. Hem de comprovar les tres condicions descrites en la secci 2.1.

(a) nE . s evident ja que n t complementari finit. (b) Si A E , aleshores ACE . Surt de la definici de , que A sigui finit o

numerable o amb complementari finit o numerable equival a dir que AC sigui finit o numerable o amb complementari (s A) finit o numerable.

(c) Si {An}n>l aleshores Un21An E . En efecte, si tots els A n , n ~ 1 sn finits -o numerables, aleshores Un21 An s finit o numerable (la uni numerable de conjunts numerables s numerable) i per tant Un>IAn E F. Altrament, existeix algun no tal que A~,() s finit o numer~hle, de manera que

i (Un21 Ant ser finit o numerable i per tant Un21 An E F.

3. Estudieu si les aplicacions segents defineixen probabilitats a (n,F) : (a) Sigui n = N U {O}, F =p(n) i fixat ,\ > 0,

,\k P(A) = L,. k.

kEA

(b) Sigui n = {O, 1,2, ... , n}, F = p(n) i fixat P E (0,1),

({ k}) - (n) n-k k P - k P (1-p) slkE{O,l, ... ,n}.

2 . .5. PROBLEMES

(e) Sigui n = NU {O},.F =p(n) i

P(A) = { O, l,

Soluci:

si A t un nombre finit d'elements, altrament.

(a) No pot ser una probabilitat perqu per a > O

00 k p(n) = L kT = exp() .. 1.

k=O

15

(b) n s un espai mostral finit de manera que noms cal comprovar que les probabilitats dels esdeveniments elementals sn nombres positius ms petits o iguals que 1 i que sumen 1. En efecte, tenim que

s sempre un valor entre O i 1. A ms

t P({k}) = t (~)pn-k(l - p)k = (p + (1- p)t = 1. k=O k=O

Per tant, s que defineix una probabilitat.

(e) No s una probabilitat, perqu no s additiva. Veiem-ho: si definim

Al = {parells} i A 2 = {senars} ,

sn disjunts i P (A) = P (A2 ) = l, per en canvi 1 = P(A I U A2 )'' P(Ad + P(A2 ) = 2.

4. Dos estudiants de probabilitats es troben per casualitat fent cua al cinema per anar a veure la mateixa pellcula. A la cua hi ha m persones. Calculeu les probabilitats segents:

(a) que estiguin un darrere l'altre, (b) que estiguin separats exactament per k persones, k :


Soluci: Ens interessa noms la posici dels dos estudiants. Considerarem aix com a casos possibles totes les posicions possibles a la cua dels dos estudiants, s a dir,

casos possibles: m(m -1)

(el primer estudiant pot estar en qualsevol de les m posicions i al segon ja noms li queden m - 1 possibilitats). Estem en una situaci d'equiprobabi-litat. Calcularem les probabilitats comptant els casos favorables i dividint pel nombre de casos possibles.

(a) Que estiguin un darrere l'altre: els estudiants poden estar en les posi-cions (1,2), (2,3), ... , (m -1, m). Hi ha, per tant, m -1 posicions possi-bles per a la parella d'estudiants i com que els estudiants poden estar en dos ordres diferents, en total

casos favorables: 2(m - 1). Per tant,

2(m - 1) 2 P ({estan un darrere l'altre}) = ( ) =-.

mm-I m

(b) Que estiguin separats exactament per k persones: ara la parella pot estar en les posicions (1, k + 2), (2, k + 3), ... , (m - k - 1, m). Hi ha m - k - 1 posicions possibles per a la parella i considerant de nou els dos ordres, tenim

casos favorables: 2(m-k-I).

Per tant,

2(m-k-I) P ( {separats exactament per k persones}) = ( )'

mm-I

(c) Que estiguin separats com a mnim per k persones: observeu

P ( {separats com a mnim per k persones} ) m-2

= L P ( {separats exactament per i persones} ) i=k

m-2 ( ) L 2m - i - I m-k-l L (m-k-I)(m-k) j = -'------'--'----'-2 m(m - 1) i=k

m(rn - 1) j=1 rn(m - 1)

2.5. PROBLEMES 17

5. Considereu una urna amb n boles blanques i m boles negres i traieu k boles sense reposici, k :::; min(m, n).

(a) Calculeu la probabilitat d'obtenir i boles blanques. (b) Demostreu mitjanant un raonament probabilstic la relaci

k :::; min(m, n).

(c) Deduu

Soluci:

(a) Considerem els esdeveniments Ai = {treure i boles blanques}, i = 0,1, ... , k.

Treure i boles blanques significa treure'n k - i de negres. Per tant, uti-litzant la frmula de casos favorables dividit per casos possibles obten-im

(b) Com que sabem que de boles blanques en podem treure entre O i k, tenim

(c) Apliquem l'apartat b en el cas n = m = k.

6. Dins una caixa hi tenim barrejats n parells de guants diferents. Agafem, sense mirar, l' guants (1' s: n). Calculeu:

(a) La probabilitat de no haver-ne agafat cap parell. (b) La probabilitat d 'haver-ne agafat, com a mnim, dos parells.

Soluci: Mirem primer de quantes maneres podem agafar l' guants d'una caixa on n'hi ha 271,. En tenim

(observeu que tots els resultats sn equiprobables). Per tant ara noms hem de calcular els casos favorables de cada apartat.


(a) Comptar els casos favorables per a aquest esdeveniment s una mica ms complicat. Fixeu-vos que {no haver-ne agafat cap parell} s equi-valent a considerar r parells diferents i agafar un guant de cada un d'aquests parells. Aix

casos favorables :

on C) sn les maneres d'agafar r parells diferents i 2r d'escollir la m dreta o l'esquerra en cada parell. Aleshores,

(n)2r p ({ no haver-ne agafat cap parell}) = (2rn) .

(b) Calcular directament la probabilitat d'haver-ne agafat com a mnim dos parells, no s fcil. Treballarem amb el complementari.

P ({haver-ne agafat almenys dos parells}) = 1 - P ({ no haver-ne agafat cap parell})

- P ({haver-ne agafat un parell}) .

Noms falta calcular

P ({haver-ne agafat un parell}) .

Els casos possibles sn els mateixos de l'apartat a i per fer els casos favorables fixeu-vos que {haver-ne agafat un parell} equival a tenir un parell de guants complet i escollir els r - 2 guants restants de manera que siguin tots de parells diferents. Aix:

casos favorables: ( n - 1) r-2 n 2, r-2 on n sn les maneres d'escollir un parell complet, C=~) d'escollir r - 2 parells diferents i 2r-2 d'escollir la m dreta o l'esquerra en cada parell. Conseqentment

Finalment

(n)2T n(n-l)2r-2 P ({haver-ne agafat almenys dos parells}) = 1 - (2;) _ r(~~)

2.5. PROBLEMES 19

7. Sigui H = {l, 2, ... , m} i P(H) la famlia de tots els subconjunts de H. (a) Quants elements t P(H)? (b) Escollim un element de P(H) de forma equiprobable. Calculeu la pro-

babilitat que no tingui cap dels nombres 1,2, ... , r (r -s: m). (c) Escollim ara dos elements de P(H) amb reposici, calculeu la proba-

bilitat que siguin disjunts. Soluci:

(a) Tots els subconjunts de k elements, -s: k -s: m, sn

Observem que el 0 seria el subconjunt corresponent a k = O. Per tant, el total d'elements de P(H) s la suma:

on a la primera igualtat hem utilitzat el binomi de Newton. (b) De l'apartat anterior,

casos possibles: 2m .

Els casos favorables sn tots aquells subconjunts de H que no tenen cap dels nombres 1,2, ... , r, o el que s el mateix, tots els subconjunts de {r + 1, r + 2, ... , m}. Per tant,

casos favorables :

Aix

2m - 1' 1 P ({no tenir cap dels nombres 1,2, ... , r}) = ~ = 21'.

(c) Escollim ara dos elements de P(H) amb reposici, que els anomenarem Al i A 2 . Aleshores volem calcular

P ({Al i A2 sn disjunts}) . Per calcular-ho ms fcilment treballarem amb el valor del cardinal del conjunt Al. Considerem els esdeveniments

Ck = {Altcardinalk} , k=O, ... ,m.


Aleshores per la frmula de les probabilitats totals

P ({ Al i A2 sn disjunts}) m

= L P ({Al iA 2 sn disjunts} ICk) P (Ck). k=O

Si Al t k elements i Al n A 2 = 0, resulta que A2 noms pot estar format pels m ~ k elements restants, de manera que

2m - k 1 P ({Al iA2 sn disjunts} ICd = ~ = 2k '

i com que el nombre de subconjunts de cardinal k de H s (~), s clar que

P (C ) = (7:). k 2m

Utilitzant la frmula del binomi de Newton obtenim finalment

P ({ Al i A 2 sn disjunts})

8. Calculeu la probabilitat que en donar dos punts de l'interval [0,1] la seva distncia sigui menor que e (O < e < 1). Soluci: Agafar dos punts x i y de l'interval [0,1] s equivalent a agafar un punt (x, y) del quadrat [O, 1] x [O, 1] . Demanar que la distncia entre x i y sigui menor que e, equival a demanar que el punt (x, y) del quadrat [0,1] x [0,1] es trobi entre les rectes y = x ~ e i y = .T + e -vegeu la figura 2.1.

Anomenem D el conjunt {(x, y) E [0,1]2; lx ~ yl < e}. Aleshores, tal com est explicat a la secci 2.1.3, la probabilitat que ens demanen s

, 2 Area (D) 1 (1 e) ---,.~,---:-- = ~ ~. = 1 ~ (1 ~ c)2 .

rea ([0,1]2) 1

2.5. PROBLEMES 21

Figw-a 2.1:

y=x+c

y=x-c

9. En un aquari hi hem posat N piranyes i M truites de riu. Si es troben dues truites no passa res, si es troben una piranya i una truita aquesta mor i si es troben dues piranyes es maten Les dues LLuitant. Suposem que les trobades sn exactament de dos peixos i que es produeixen a l'atzar.

(a) Si hi posem una piranya ms, quina probabilitat t de sobreviure aques-ta piranya?

(b) Si en lloc d'una piranya hi afegim una truita ms, quina probabilitat t de sobreviure aquesta truita?

Soluci: Observeu que a l'aquari hi haur morts fins que arribi un moment en qu o b no quedi cap piranya (poden quedar truites), ja que s'hauran matat totes entre elles, o b quedi noms una piranya i cap truita.

(a) Si hi posem una piranya ms, tindrem en total N + 1 piranyes. Si N s senar, N + 1 ser parell i les piranyes s'aniran aniquilant de dues en dues fins que no en quedi cap. Per tant, la probabilitat que sobrevisqui s o. Si N s pareU, N + 1 s SE'nar i com que les piranyes es maten en parelles, al final en sobreviur una. Com que totes tenen la mateixa


probabilitat de sobreviure, la probabilitat que sobrevisqui la nostra s de N~l'

(b) Hi afegim ara una truita en lloc d'una piranya. Si N s senar ja hem vist que sobreviur una piranya que eliminar totes les truites. Per tant, la probabilitat que sobrevisqui la nostra truita s de O. Si N s parell ja hem vist que les piranyes s'aniran aniquilant de dues en dues fins que no en quedi cap. La probabilitat que la nostra truita sobrevisqui s la mateixa que tindria si fos una piranya (ja que si es troba una piranya tamb es mor) i s, per tant, N~l'

10. A la caixa d'eines hi tenim tres tipus de cargols de 8, 10 i 12 mm, en quantitats n], n2 i n3 respectivament. Agafem dos cargols de cop a l'atzar i resulten ser de diferents mides. Quina s la probabilitat que el ms llarg sigui de 10 mm? Soluci: Considerem els esdeveniments

A {els dos cargols sn de mides diferents} , B {el ms llarg s de 10 mm}.

Volem calcular la probabilitat condicionada

Les dues probabilitats les calcularem fent casos favorables dividit per casos possibles. Els casos possibles sn:

Fixeu-vos que A n B = { un cargol s de 8 mm i l'altre de 10 mm}, de manera que

card(A n B) = nl112 i aix

D'altra banda, que els dos cargols siguin de mida diferent vol dir que n'hi ha un de 8 mm i un altre de 10 mm, o n'hi ha un de 8 mm i un altre de 12 mm, o n'hi ha un de 10 mm i un altre de 12 mm. s a dir,

2.5. PROBLEMES 23

i, per tant,

Finalment, calculem la probabilitat condicionada

11. Hem anat al top manta i hem comprat 10 CD pirates. La probabilitat que n'haguem comprat almenys un de defectus s de 0,7 i la probabilitat que n'haguem comprat almenys dos de defectuosos s 0,5. Trobeu les probabi-litats dels esdeveniments segents:

(a) No hem comprat cap CD defectus. (b) Hem comprat exactament un CD defectus. (c) Hem comprat, com a molt, un CD defectus.

Soluci: De l'enunciat tenim que

(a)

(b)

(c)

P ( {almenys un de defectus}) 0,7, P ( { almenys dos de defectuosos} ) O, 5.

P ( {cap de defectus}) 1 - P ( { almenys un de defectus} ) 1 - 0,7 = 0,3.

P ( {exactament un de defectus} ) = P ( { almenys un de defectus} )

- P ( { almenys dos de defectuosos} ) = 0,7 - 0,5 = 0,2.

p ( { com a molt un de defectus}) = P ( { cap de defectus} )

+ P ( { exactament un de defectus} ) = O, 3 + 0,2 = O, 5.


12. Tirem dos daus perfectes. Considerem els esdeveniments

A = {el resultat del primer dau s 1, 2 o 3}, B = {el resultat del segon dau s 3, 4 o 5}, C = { la suma dels punts s 9 }, D = {el resultat del segon dau s 4, 5 o 6 } E = {la suma dels punts s 7}.

(a) Sn A, B i C dos a dos independents? Sn els tres independents? (b) Sn A, D i E dos a dos independents? Sn tots tres independents?

Soluci: Els daus sn perfectes i, per tant, estem en un espai equiprobable.

(a) s clar que P(A) = P(B) = ~~ =~.

Observem que si

C = {(3, 6), (4,5), (5,4), (6, 3)}, aleshores

P(C) = ~ =~. 36 9

D'altra banda, tenim

AnB AnC BnC

i, per tant,

{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5), (3,3),(3,4),(3,5)} {(3,6)} {4,5),(5,4),(6,3)}

P(A n C)

P(B n C)

P(A n B)

-.!:.. "I P(A)P(C), 36 336 "I P(B)P(C), ~ = ~ = P(A)P(B). 36 4

D'aqu dedum que A i B sn independents, i les altres dues parelles no. Aleshores tampoc ho poden ser els tres alhora -vegeu la secci 2.3.

2.5. PROBLEMES

(b) Igual que abans P(D)=~.

Observem que

E = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}. Aleshores

D'altra banda, tenim

6 1 PCE) = - =-.

36 6

25

AnD AnE DnE

{(1,4), (1,5),(1,6),(2,4), (2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6)}, {(1,6),(2,5),(3,4)},

d'on

{(l, 6), (2,5), (3, 4)},

P(A n D)

P(A n E)

P(D n E)

:6 = P(A)P(D), 33

6 = P(A)P(E),

336 = P(D)P(E).

Per tant, els esdeveniments A, D i E sn dos a dos independents. Ob-serveu, per, que

A n D n E = {(l, 6), (2,5), (3, 4)}

P(A n D n E) = ~16 i= P(A)P(D)P(E), s a dir, que els tres esdeveniments alhora no sn independents.

13. Una marca de patates xips regala un ninonet del Senyor dels Anells a cada bossa de mida familiar. N'hi ha k de diferents. Suposem que els ninotets estan uniformement repartits a les bosses. Calculeu la probabilitat que comprant N bosses (N ;::: k) tinguem la collecci completa. Soluci: Definim

A = { tenir collecci completa} . Hem de calcular P(A). Introdum els esdeveniments

Ai = {tenir el ninotet i -sim }, 1 ::; i ::; k,


de manera que

Com que calcular aquesta probabilitat directament s molt complicat, pas-sant al complementari obtenim

k k P(A) = p( n Ai) = 1 - p( U A~).

i=1 i=1

Aquesta probabilitat la podem calcular utilitzant la frmula de la probabi-litat d'una uni d'esdeveniments:

k k

P(UAf) P(AD-i=1 i=l I

2.5. PROBLEMES 27

14. Llancem una vegada un dau trucat tal que la probabilitat d'obtenir i punts, i = 1, ... ,6, s il. Si obtenim i punts, llancem una moneda perfecta i vegades. Calculeu la probabilitat que el resultat del dau sigui parell si s'ha obtingut exactament una cara. Soluci: Siguin els esdeveniments

A {el resultat del dau s parell} , B {s'obt exactament una cara} .

Hem de calcular P(AIB) = p(AnB).

P(B) Per calcular aquestes dues probabilitats necessitem introduir la partici segent:

Observeu que

Di = {el resultat del dau s i} , 1 ~ i ~ 6.

i 2i .

Aleshores, per la frmula de les probabilitats totals tenim

P(B) t,P(BIDdP(Di) = t, ;i (2\) 1 ~.2 6-i 318 53

2621 ~ 2 2 = 2621 = 224. i=l

Com que A = D 2 U D4 U D 6 , s'obt

P(A n B) P (B n D 2 ) + P (B n D4) + P (B n D6 ) P (B ID2 ) P (D2 ) + P (B ID4 ) P (D4) + P (B ID6 ) P (D6 ) 2 2 4 4 6 6 164 41 22 x 21 + 24 x 21 + 26 x 21 = 2621 = 336

Per tant, P(AIB) = 164 =~.

318 159

15. Tres amics, aj., i = 1,2,3, van cada diumenge al cinema. Per decidir qui escull la pel HeuIa fan un joc. Cada amic ai treu una bola d'una urna amb ni boles negres i bi boles blanques, i = 1,2,3. Escull la pel HeuIa qui treu una bola d'un color diferent dels altres dos. Si les tres boles sn del mateix color es repeteix el joc desprs de retornar les boles a les urnes. Calculeu:


(a) La probabilitat que esculli a3 i que la bola diferent sigui negra. (b) Sabent que la bola de color diferent s negra, la probabilitat que esculli

a3

(c) Sabent que ha escollit a3 desprs de noms una extracci, la probabi-litat que la bola diferent hagi estat negra.

(d) La probabilitat que esculli a3'

Soluci: Considerem els esdeveniments

Ai {escullla pellcula l'amic a;}, i = 1,2,3, B {la bola diferent s blanca}, N {la bola diferent s negra} .

(a) Hem de calcular P(A3 n N).

Aix no ho podem calcular directament ja que no sabem en quina extracci ha sortit una bola diferent. Ens cal considerar uns altres esdeveniments

Ck = {una bola diferent per primer cop a la k -sima extracci} .

Aleshores, per la frmula de les probabilitats totals

(Xl

P (A3 n N) = L P (A3 n N n Ck ). k=l

Observeu que l'esdeveniment A3 n N n Ck representa que en les k - 1 primeres extraccions les tres boles han estat iguals i en la k-sima a3 treu una bola negra mentre que els altres amics la treuen blanca. Definim

a P ( {les tres boles sn iguals} ) P ({les tres boles sn blanques}) + P ({les tres boles sn negres})

11 (bi ~ nJ + 11 (bi ~ nJ . Aleshores

2.5. PROBLEMES 29

P(A3 n N)

f k-l ( b1 ) ( b2 ) ( n3 ) a b1 + nI b2 + n2 b3 + n3 k=1

b1b2n3 1 (b 1 + nd (b2 + n2) (b3 + n3) x 1 ~ a

(b) En aquest apartat volem calcular P(A3 n N)

P (A3 IN) = P(N) .

Noms cal estudiar P(N). Fixeu-vos que

00 00

k=1 k=1 00

+ L P (NnA3 nCk ). k=1

Fent un raonament similar a l'apartat anterior s'obt:

P(N) = n1 b2 b3 1 ---x x x--b1 + nI b2 + n2 b3 + n3 1 ~ a b1 n2 b3 1 + x x x--

bI + 771 b2 + n2 b3 + n3 1 ~ a

b1 b2 n3 1 + x x x--b1 + nI b2 + n2 b3 + n3 1 ~ a

nlb2b3 + b1n2b3 + b1b2n3 1 (b1 + n) (b2 + n2) (b3 + n3) x 1 ~ a

Aleshores

( c) Hem de calcular


Com ja hem vist,

D'altra banda,

P (A3 n CI n N) + P (A3 n C n B) b b2 713

x x bl + 711 b2 + n2 b3 + 713

nI n2 b3 + xx. b + nI b2 + n2 b3 + n3

I, per tant, P(NIA3 nC) = b1b2n 3 b1 b2n3 + n n2b3

(d) En aquest ltim apartat ens demanen

Tenim

El primer terme ja l'hem calculat i el segon es pot fer de la mateixa manera,

Finalment

16. Tenim un laberint amb dues portes, A i B, i tres camins que les comuniquen segons la figura 2.2. Si una persona es troba en el punt PA surt del laberint per la porta A amb probabilitat ~ o agafa amb probabilitat fi un dels tres camins que porten a PB. Si una persona es troba en el punt PB surt del laberint per la porta B amb probabilitat ~ o agafa amb probabilitat i un dels tres camins que porten apA.

(a) Quina s la probabilitat que una persona surti per A si ha comenat en el punt PA? l si ha comenat en el punt PB?

(b) Si la persona est en el punt PB, quina s la probabilitat que no surti mai del laberint?

2.5. PROBLEMES 31

Figura 2.2:

A B

(c) Suposem que hi ha una persona al punt PA i dues al punt PB i que les persones actuen de manera independent una de l'altra. Si veiem sortir una persona per la porta A, quina s la probabilitat que sigui una de les persones que estaven al punt PB?

Soluci: Definim

SA {sortir per A}, CA {al principi est al punt PA}.

Igualment podem definir S B i e B.

(a) Volem calcular

Si comencem pel punt PA, podem sortir per A de diverses maneres: directament o passant k vegades per PB, (k ::;o. 1). Definim:

S~ = {sortir per A passant k vegades per PB}'


Aix,

D'una manera semblant podriem tamb calcular

(b) No sortir vol dir que la persona va del punt PB al PA i de PA a PB indefinidament. Per tant,

2.5. PROBLEMES 33

Calculem primer

P (N) = (~~{) = : s ms fcil calcular la probabilitat de no treure cap vegada la bola negra que la de treure-la almenys una vegada, per aix calculem P(AC) :

P(AC n N) + P(AC n N2) P (AC INi) P (N) + P (AC IN2 ) P (N2)

(r_1)k n-kr k(m-r-1)n-km-r -- 1 -+1 --o

r m m-r m

Per tant,

P(A) = 1 _ P(AC) = 1 _ (r -1) k ~ _ (m - r -1) n-k m -r. r m m,-r m

Maximitzar P(A) s equivalent a minimitzar P(AC). Si definim

(r _l)k r (m -r _l)n-k m -r C(k)= - -+ --cal estudiar quan

r m m-r m

C(k + 1) --'-=C-:C( k:-:-) --'- > 1.

Aquesta desigualtat equival a

( )k+i ( )n-k-i r-1 ~+ m-r-1 m-r

r rn m-r m

(r-1)k r (m-r-1)n-km-r > -- -+ --o

r m m-r m

Agrupant i simplificant termes obtenim

(r-1)k ~ < (m_r_1)n-k-i 1,

r m m-r m

( (r - 1) (m -r - 1)) k < (m -r _ 1) n-i r(m-r) m-r Aplicant logaritmes resulta

(n-1)ln(m,;;:~-;:1) k > --,----'----7'''-

In ((r-i)(m-r-i)) r(m-r)


De la mateixa manera

(n - 1) In (m;;:,::~I) G( k + 1) < 1 {=} k < _-;--_--'-_----,-'-

G(k) In ((r-l)(m-r-I)) . r(m-r)

Trobem aix el mnim de P(AC) en

k*- [(n-1)ln(~)l - In ((r-I)(m-r-I)) + 1,

r(m-r)

on [xl denota la part sencera de x.

18. Una urna cont 3 boles, cada bola pot ser negra o vermella, de tal manera que totes les composicions de l'urna tenen la mateixa probabilitat. Es treuen dues boles a l'atzar amb reposici i les dues sn vermelles. Tenint una altra vegada les tres boles a l'urna, se'n treuen dues a l'atzar i sense reposici. Calculeu la probabilitat que les dues siguin negres. Soluci: Tenim els esdeveniments

A = {les 2 boles tretes amb reposici sn vermelles} , B = {les 2 boles tretes sense reposici sn negres} .

El nostre objectiu s calcular P(BIA) = p(BnA)

P(A) . El primer problema que tenim s que no sabem com s l'urna. Considerem aix els esdeveniments

Uo {l'urna cont 3 boles vermelles} , UI {l'urna cont 1 bola negra i 2 boles vermelles} , U2 {l'urna cont 2 boles negres i 1 bola vermella} , U3 {l'urna cont 3 boles negres} .

Sabem que 1 .

P(Ui ) = 4' O::; z::; 3. Aleshores, per la frmula de les probabilitats totals

3 3

P(AIUdP(Ui) = ~ P(AIU;) P(A) ;,=0 ;'=0

14 :3G

7 18

2.5. PROBLEMES 35

Anlogament i utilitzant la independncia de A i B

P(B n A) 3 1 3 L P (B n A I Ud P (Ui) = "4 L P (A IUd P (B I Ud

i=O i=O

Per tant,

P(B lA) = 412'

19. Una capsa cont dos tipus d'objectes: 7 boles numerades de 1'1 al 7, i 5 cartes numerades de 1'1 al 5. Tirem una moneda perfecta, si surt cara agafem una bola i si surt creu agafem una carta. Mirem el nombre que hi ha a la carta o bola agafada, si el nombre s parell agafem una bola i si s senar agafem una carta. Totes les extraccions sn fetes sense reposici. Calculeu les probabilitats dels esdeveniments:

(a) Els dos nombres sn parells. (b) El segon nombre s senar. ( c) Almenys un dels dos nombres s el nombre 1.

Soluci: Considerem els esdeveniments

Pi = {el primer nombre s parell} , P2 = { el segon nombre s parell} , B = {primer agafem una bola} ,

e = {primer agafem una carta} .

(a) Volem calcular P (Pi n P2 ). Per calcular-ho condicionarem pel resul-tat de la moneda o, dit d'una altra manera, per si comencem agafant una bola o una carta. Aix, utilitzant la frmula de les probabilitats


compostes:

= P(P2IPl n B) P(H IB) P(B)

+P (P2IP n C) P (PIIC) P(C)

1311 = 14 + 35 = 70

(b) Hem de calcular P (P2 ) . El primer que hem de fer s relacionar-ho amb el valor del primer nombre

La primera probabilitat ja l'hem calculada a l'apartat a i la segona es fa exactament de la mateixa manera:

Per tant,

P (P2 n PI) = P (P2 1P1c n B) P (Pf IB) P(B)

+P (P2IPf n C) P (Pf IC) P(C)

4 3 37 = 35 + 20 = 140

(c) Introdum l'esdeveniment A = {almenys un dels dos nombres s el nombre I} .

Per calcular P (A) ser ms fcil calcular la probabilitat del comple-mentari, s a dir, la probabilitat que no hi hagi cap 1. Farem uns raonaments semblants als dels apartats anteriors:

P (AC) = P (N n PI n B) + P (AC n Pf n B) +P (AC n PI n C) + P (AC n Pf n C) 135 134 -x-x- + -x-x-27627 fi 126 123

+-x-x- + -x-x-257254

15 12 12 6 47 84 + 70 + 70 + 40 = 70

2.5. PROBLEMES

Per tant,

P(A) = 1 _ P(AC) = 23. 70

37

20. Considerem n persones. Cadascuna d'elles escull un nombre del conjunt {l, 2, 3, ... , 9} aleatriament i independent de les altres persones.

(a) Designem per Sn i 7rn la suma i el producte del nombres escollits. Trobeu la probabilitat dels esdeveniments

Bn = {7r n s divisi ble per 70}.

(b) Considerem el cas particular n = 2. Una vegada cadascuna de les per-sones ha escollit un nombre, en tornen a triar un segon aleatriament, diferent del que han escollit primer. Designem per H el producte dels dos primers nombres escollits i per P2 el producte dels dos nombres triats en la segona operaci. Calculeu

Soluci:

p( {P2 parell} {PI parell} ), P ( {PI parell} { P2 parell} ).

(a) Comenarem calculant P(An). Observem que sempre es compleix que Sn 2: n de manera que passant al complementari obtenim

3

P(An) = 1 - P (Sn < n + 4) = 1 - L P (Sn = n + k). k=O

Hem de calcular ara aquestes probabilitats. Noteu que l'esdeveniment {Sn = n} es dna quan tothom escull el nombre 1, per tant,

L'esdeveniment {Sn = n + I} representa que n - 1 persones escullen el nombre 1 i una persona, el nombre 2, per tant,

P (Sn = n + 1) = n (~ ) n


Igualment {Sn = n + 2} es pot obtenir de dues maneres, o n-1 perso-nes escullen el nombre 1 i una persona el nombre 3, o b n - 2 persones escullen el nombre 1 i dues persones el nombre 2, de manera que

( l)n (n)(l)n n2+n(1)n P(Sn=n+2)=n 9" + 2 9" =-2- 9"

Finalment {Sn = n + 3} es pot obtenir de tres maneres, o b n - 1 persones escullen el nombre 1 i una persona el 4, o b n - 2 persones escullen el nombre 1, una persona el 2 i una altra el 3, o b n - 3 persones escullen el nombre 1 i tres persones el nombre 2. Aix podem calcular

P(Sn=n+3)

Si ho ajuntem tot obtenim: 3

P(A) 1 - L P (Sn = n + k) k=O

1- l+n+--+-----( n2 + n n3 + 3n2 + 2n)

2 6

1- n3 +6n2 +11n+6 (!)n 6 9

Calcularem ara P(Bn ). Que un nombre sigui divisible per 70 vol dir que entre els seus factors primers hi ha com a mnim un 2, un 5 i un 7. Introdum aix els esdeveniments segents:

Dp {hem escollit almenys un nombre parell} , D5 {hem escollit almenys un 5} , D7 {hem escollit. almenys un 7} .

Aleshores tenim la igualtat

Les probabilitats dels conjunts Di no sn gaire complicades de calcular, especialment les dels seus complementaris. Aix, utilit7:ant diverses propietats de la probabilitat podem fer

2.5. PROBLEMES

P(Dp n D5 n D7 ) 1- P((Dp n D5 n D 7 )C) 1 - P (DC U DC U DC) p 5 7 1- [P (D~) + P(D~) + P(D~) - P (D~ n D~) - P (D~ n D~) - P (D~ n D~) + P (D~ n D~ n D~) ] 1- [(~)n + (~)n + (~)n _ (~)n _ (~)n _ (~)n + (~)n].

(b) Suposem n = 2. Considerem els esdeveniments

CI = {PI parell} i C2 = {P2 parell}.

Volem calcular P(CIC)=P(C2 nCd

I 2 P(C2 )'

39

Observem primer que PI ser senar noms si s producte de dos senars, aix directament podem calcular

P(Ct) = 1- P(Cf) = 1- (~) 2 56 81 Per poder calcular el numerador ens cal saber com hem aconseguit que H sigui parell. Diem Xl al primer nombre escollit per la primera persona i X2 al primer nombre escollit per la segona persona, de manera que H = XIX2. Aleshores

on

El {Xl parell i X2 parell}, E 2 {Xl parell i X2 senar} , E3 {Xl senarix2 parell}.

Aleshores

p(C2 n(EI UE2 UE3 )) P (C2 n El) + P (C2 n E 2 ) + P (C2 n E 3 )


3 L P (C2 IE;) P (Ei) i=1

3 L [1- P(q IEi )] P(Ei ) i=1

(1- (~r) (~r + 2 (1- ~x~) x~x~ 149 324

Per calcular P(C2 ) observem que 4 56

P(C2 ) = L P(C2 n Ei) = 81' ;=1

on E4 = {Xl senar i X2 senar} . Finalment,

149 P(C1 IC2 ) = 224'

De la mateixa manera es calcula l'altra probabilitat que a ms dna el mateix resultat. Tamb es pot deduir a partir d'un argument de simetria.

21. Tenim n urnes, UI, U2 , ... , Un, n:2 2. Cada urna cont N boles de les quals noms dues boles sn blanques. Agafem una bola de l'urna UI i la posem a l'urna U2 , desprs agafem una bola de l'urna U2 i la posem a U3 i aix successivament. Finalment agafem una bola de l'urna Un'

(a) Quina s la probabilitat que la darrera bola sigui blanca? (b) Si la darrera bola ha sortit blanca, quina s la probabilitat que l'anterior

no ho fos?

Soluci: Definim els esdeveniments Bk = {la bola que traiem de Uk s blanca} ,IS; k S; n.

(a) Hem de calcular P(Bn ). Per calcular aquesta probabilitat haurem de conixer el color de la bola treta a l'urna anterior. Per a k > 1 tenim

P (Bk IBk-l) P (Bk-d + P (Bk IBZ- 1 ) P (BZ_) 3 2

--P(Bk-d + -- (1- P(Bk-)) N+1 N+1 1

-- (2 + P(Bk-)). N+1

2.5. PROBLEMES

Com que P(Bd = j, P(B2 ) = -- (2 + P(Bd) = -- 2 +-1 1 ( 2) N+l N+l N

Per un senzill raonament inductiu tenim que

1 -

42

Finalment,

CAPTOL 2. PROBABILITATS

176 58829

(b) Sigui ara B = {sota d'espases}. Argumentant com abans tenim

Per tant,

P(B)

P(F n B)

P(F[B)

(~7) (~8) , (~4)@ r!)' p(Fn B)

P(B)

P(F[B) = (414)@ =~. (;) 5405 2.6 Problemes amb indicaci

1. En una ciutat de n + 1 habitants una persona fabrica un bitllet fals de 500 euros i el dna a una segona, que el torna a donar a una tercera i aix successivament. A cada etapa l'individu a qui es dna el bitllet s'escull a l'atzar. Suposant que el bitllet s'ha donat r vegades, calculeu:

(a) La probabilitat que no retorni mai al falsificador. (b) La probabilitat que no retorni mai a la mateixa persona.

2. Una urna cont boles numerades de l'I al rn. Agafem dues boles a l'atzar. Calculeu la probabilitat que els nombres de les boles difereixin en 1, en els dos casos segents:

(a) agafem les dues boles simultniament, (b) agafem les dues boles amb reposici.

3. A partir d'una carta del cavaller de Mr, l'any 1654 Pascal va plantejar a Fermat la qesti segent: l'aritmtica s contradictria ja que l'aposta de treure almenys un 6 en tirar 4 vegades un dau s favorable (t probabilitat ms gran que ~), mentre que l'aposta de treure almenys un doble 6 tirant dos daus 24 vegades s desfavorable, per les dues apostes sn equivalents ja que 4 s a 6 com 24 s a 36.

(a) Calculeu les probabilitats de guanyar cada aposta.

2.6. PROBLEMES AMB INDICACI 43

(b) Quantes vegades caldria tirar el dos daus perqu l'aposta de treure un doble 6 fos favorable?

4. Un fumador t el costum de retornar els llumins utilitzats a la caixa que cont els llumins nous. Aix fa que cada cop que ha d'agafar un llum en pugui trobar d'usats. Suposem que tenim una caixa nova amb n llumins i que per encendre cada cigarreta noms necessitem un llum no utilitzat.

(a) Calculeu la probabilitat que la caixa de llumins es gasti sense haver agafat cap llum usat.

(b) La probabilitat que per encendre la k-sima cigarreta agafem ms d'un llum.

5. En un quadrat de costat R hi tenim inscrita una circumferncia. Quina s la probabilitat que en triar un punt a l'atzar sobre el quadrat, aquest sigui dins el cercle.

6. En una classe de n + m estudiants n'hi ha n que sn del Bara i m que sn de l'Espanyol (els estudiants noms sn, lgicament, d'un equip). Escollim, a l'atzar, dos dels alumnes. Establiu condicions sobre n i m per tal que la probabilitat que no siguin del mateix equip sigui superior a la probabilitat que ho siguin.

7. Tres jugadors de dards tiren un nic dard cada un d'ells. Les probabilitats d'encertar el centre de la diana sn: ~,~ i ~, respectivament. Es demana que calculeu la probabilitat que obtinguin, entre tots tres:

(a) almenys un blanc, (b) exactament un blanc, (c) exactament tres blancs.

8. Tenim 3 urnes, UI, U2 , U3 . L'urna UI t dues boles negres, U2 t dues boles blanques i U3 una de blanca i una de negra. Escollim a l'atzar una de les tres urnes, traiem una bola i resulta que s blanca. De quin color s ms probable que sigui la bola que queda dins l'urna?

9. Al sorteig realitzat el 12/11/1997 per l'exrcit espanyol per determinar els joves que quedaven exempts del servei militar es va procedir de la manera segent. La primera fase va consistir a assignar un nombre diferent a cada jove (en total hi havia 165.342 mossos). A la segona fase es va fer un sorteig per triar un nombre, entre 1 i 165.342, de manera que quedaven exempts els mossos amb els 16.442 nombres posteriors al triat (aquest incls). Per escollir aquest nombre es van fer servir sis bombos, un per a cada xifra. Al primer hi havia 5 zeros i 5 uns, i a la resta hi havia 10 boles numerades del


o nns al 9. Es va triar una bola del primer bombo i va sortir un 1. Se'n va triar una del segon i va sortir un 8. Aleshores, com que aquesta combinaci no era possible, se'n va treure una altra del segon bombo i va sortir el 5. Es va continuar traient boles dels segents bombos fins a obtenir el nombre 155.611.

(a) Justifiqueu per quina ra el mtode emprat en el sorteig no va ser equitatiu.

(b) Quina s la probabilitat que el mosso 126442 sigui excedent? l que ho sigui el 106441?

10. Una urna t b boles blanques i n negres. Traiem una bola a l'atzar, la retornem a l'urna i afegim a boles del mateix color. Traiem ara una altra bola de l'urna.

(a) Calculeu la probabilitat que la primera bola hagi sortit blanca, si sabem que la segona ha sortit blanca.

(b) Demostreu que en cada una de les dues extraccions, la probabilitat de treure una bola blanca s la mateixa.

11. Hem installat un nou antivirus al nostre ordinador personal per detectar virus en els disquets. La probabilitat que un disquet estigui infectat s de 0,1. Si est infectat, la probabilitat que l'antivirus ho detecti s de 0,95. Si no est infectat, la probabilitat que detecti un virus inexistent s de 0,03. Calculeu:

(a) La probabilitat que havent detectat un virus el disquet no estigui in-fectat.

(b) La probabilitat que el disquet estigui infectat i l'antivirus no ho detecti. (c) La probabilitat que no havent detectat cap virus, el disquet estigui

infectat.

12. Des de casa podem accedir a tres servidors. La probabilitat que, en un moment donat, el servidor k no es pugui utilitzar s Pk, k = 1,2,3. Cal-culeu sota les hiptesis excloents a i b, la probabilitat que en aquest instant almenys poguem utilitzar un dels servidors.

(a) Els servidors es comporten de manera independent. (b) Hi ha una probabilitat P que falli la connexi telefnica i no puguem

utilitzar per tant cap dels servidors. Altrament funcionen de manera independent.


13. Dos tiradors A i B tenen probabilitats d'encertar la diana () i e respectiva-ment (O < (), e < 1). El joc consisteix a disparar tots dos a una diana: si noms l'encerta un dels dos aquest guanya la partida, si el dos fallen o els dos l'encerten es torna a repetir el procs. Calculeu:

(a) la probabilitat que A guanyi exactament a la k-sima tirada, (b) la probabilitat que la partida no duri ms de n rondes, (c) sabent que A encerta el primer tret, la probabilitat que A guanyi a la

k-sima ronda.

14. El temari d'una oposici consta de 20 temes. A la prova se'n demanen 3, seleccionats a l'atzar. Dels 10 candidats, n'hi ha 3 que dominen tots els temes, 4 que en dominen 16 , 2 que en dominen 10 i 1 que noms en coneix 5.

(a) Calculeu la probabilitat que un candidat seleccionat a l'atzar respongui almenys dos dels tres temes de la prova.

(b) Un candidat ha contestat correctament els tres temes de la prova. Cal-culeu la probabilitat que sigui dels que dominen tots els temes.

15. Per a un treball hi ha n candidats que poden ser estrictament ordenats d'acord amb la seva capacitat per a la feina. bviament, la millor manera de triar el candidat ptim s entrevistar-los tots. Com que aix comporta molt temps es proposa una manera alternativa de fer-ho: es fixa un nombre r < n i s'entrevisten r candidats (un darrere l'altre): si el candidat nmero r s millor que tots els anteriors, se'l selecciona i s'acaba el procs. Si n'hi ha hagut algun de millor, s'entrevista el candidat r + 1. Si s millor que tots els anteriors se'l tria, i en cas contrari es passa a fer el mateix amb el r + 2 i aix successivament. Si arribem al darrer candidat el triem. Sigui A = {triem el millor candidat} i Bi = {el millor candidat ocupa el lloc i}. Calculeu P(A Bd i P(A).

16. Es tira un dau perfecte. Si surt parell s'escriu un 7 en un paper. Si surt senar es torna a llanar el dau i s'escriu al paper el nombre que surt. Desprs d'aix haurem escrit un nombre entre 1 i 7. Suposem ara que tenim 7 urnes UI, U2 , ... , U7 tals que l'urna Ui t i-I boles blanques i 7 - i boles negres. Escollim aleshores la urna Ui associada al nombre que havem obtingut, i en traiem un nombre n de boles (amb reemplaament), observant cada vegada si surt blanca o negra.

(a) Calculeu la probabilitat que surti una bola blanca a la primera extrac-ci.

(b) Calculeu la probabilitat que hagi sortit una bola blanca en la primera extracci si en la segona ha sortit una bola blanca.


(c) Calculeu la probabilitat de treure una bola blanca en l'extracci n-sima si en les n ~ 1 anteriors ha sortit una bola blanca. Trobeu el lmit d'aquesta probabilitat quan n ----+ 00.

17. Considerem dues urnes Ui, i = 1,2, que contenen bi boles blanques i ni boles negres cada una. Traiem una bola de UI i la posem a U2 . A continuaci traiem una bola de U2 i la posem a UI. Finalment traiem una bola de UI.

(a) Calculeu la probabilitat que aquesta ltima bola sigui blanca. (b) Demostreu que si bI = nI i b2 = n2, aleshores la probabilitat que la

bola sigui blanca s la mateixa que si no hagussim fet cap modificaci a les urnes.

18. En un joc hi participen noms 2 jugadors, A i B. Un jugador per guanyar necessita n punts. El jugador A dna rn punts d'avantatge al jugador B, rn < n. Cada punt es juga de forma independent de la resta i el guanya el jugador A amb probabilitat p o el jugador B amb probabilitat 1 ~p. Calculeu la probabilitat que guanyi el jugador A.

19. Un test per detectar els anticossos d'un cert virus t una probabilitat de 0,99 de donar el resultat correcte. Els pacients que donen positiu en el test sn sotmesos per un metge a un segon test ms precs. El nou test no falla mai en un pacient sa per t un 0,1 % d'error amb els infectats. Els dos tests sn independents quan coneixem si el pacient est infectat o no. La probabilitat que un pacient estigui infectat s de 0, 1. Demanem:

(a) Quina proporci de pacients seran sotmesos a un segon test? (b) Quina proporci de pacients seran sotmesos pel metge a un segon test

i aquest sortir negatiu?

(c) Quina s la probabilitat que un pacient descrit en l'apartat anterior estigui realment infectat?

2.6.1 Indicacions 1. Considerem com a espai mostral

l = {( WI, ... , wr ), Wi representa la i ~ sima persona que rep el bitllet} .

Estem en un cas equiprobable. Siguin els esdeveniments

A {el bitllet no retorna mai al falsificador} , B { el bitllet no retorna mai a la mateixa persona} .

2.6. PROBLEMES AMB INDICACI

Aleshores

Per tant,

P(A)

P(B)

ca1'd(A) ca1'd(B) ca1'd(n)

n(n - Ir-l, n(n - I) ... (n - l' + 1),

nen -Ir- 1 = (n _ I)r-l n r n

n(n-I) ... (n-1'+I) (n-I)l nr-l(n - 1')1'

47

2. (a) Quan agafem les dues boles simultniament podem considerar com a espai mostral totes les parelles de dues boles (sense considerar l'or-dre), de manera que estem en un cas equiprobable. L'espai mostral t cardinal G). Com que els casos favorables sn les parelles

{I, 2}, {2, 3}, ... , {n - 1, n}, la probabilitat que volem calcular s

n -1 2 G) n

(b) Quan agafem les dues boles amb reposici, per tal de continuar en el cas equiprobable, considerem ara com a espai mostral totes les parelles de dues boles ordenades. Aleshores els casos possibles sn n 2 i els casos favorables sn 2(n - 1). Per tant, la probabilitat que els dos nombres difereixin en 1 s

2(n - 1) n 2

3. (a) Les dues probabilitats es calculen de la mateixa manera: primer con-siderant el complementari i desprs fent casos favorables dividit per casos possibles. Aix

P( { almenys un 6 en 4 tirades} ) 1 - P( {cap 6 en 4 tirades} )

1- (~y P( { almenys un doble 6 en 24 tirades} ) 1 _ (~~) 24


(b) Hem d'imposar noms

(35)n 1 1- 36 > 2 D'aqu s'obt la condici n ?: 25.

4. Tots els apartats es poden fer calculant casos favorables dividit per casos possibles. En cada apartat, per, per simplificar els clculs, hem d'agafar un espai mostral diferent.

(a) L'espai mostral est format per totes les maneres d'agafar n llumins (n'hi ha nn) i els casos favorables, com fer-ho sense agafar-ne cap d'usat (n'hi ha n!). Per tant, la probabilitat que la caixa de llumins es gasti sense haver agafat cap llum usat s de n,;.

n

(b) L'espai mostral est format per totetl les maneres d'agafar un llum per encendre la k-sima cigarreta (n'hi ha n) i els casos favorables, com fer-ho sense agafar-ne un d'usat (n'hi ha k - 1). Per tant, la probabilitat s de k-l.

n

5. Aquest s un exemple continu. La probabilitat corresponent la calcularem com un quocient d'rees. L'rea del quadrat s R2 i la del cercle s 7r ( -ft) 2. Aix, la probabilitat val

6. La probabilitat que no sigui del mateix equip la podem calcular fent el quocient entre casos favorables i casos possibles. Els casos possibles sn totes les maneres d'escollir 2 alumnes, s a dir, (m~n). Per comptar els casos favorables hem d'agafar un seguidor de cada equip, s a dir, nm. Per tant, la probabilitat que no siguin del mateix equip s

2nm (m+n)(m+n-1)

Aleshores noms cal imposar

2nm 1 (m + n)(m + n - 1) > 2'

que ens dna la condici (n - rn)2 < n + rn.

7. (a) 1 1 1 23

P ( { almenys 1 blanc}) = 1 - P ( { cap blanc}) = 1 - 2 x "3 x 4 = 24

2.6. PROBLEMES AMB INDICACI

(b)

(c)

P ( { exactament 1 blanc} ) 1111211131

= -x-x- + -x-x- + -x-x- = -. 234 234 234 4

1 2 3 1 P ( { exactament 3 blancs}) = - x - x - = -.

234 4

8. Considerem els esdeveniments BI {la bola treta s blanca} B 2 = {la bola que queda dins l'urna s blanca}. Aleshores

Per tant, s ms probable que la segona sigui blanca.

2 3

49

9. (a) El sorteig no va ser equitatiu, ja que la probabilitat que sorts un nombre entre elOi el 99.000 era d' ~ i la probabilitat que en sorts un entre el 100.000 i el 165.342 tamb era d' ~

(b) La probabilitat que el mosso 126442 sigui excedent s la probabilitat que surti un nombre entre el 110.001 i el 126.442, s a dir,

1 1 ( 1 )4 16.442x"2 x7 10 =0,1174. Per calcular la probabilitat que ho sigui el 106441, hem de distingir en-tre si surt un nombre menor o ms gran de 100.000. Aix la probabilitat s

1 1 ( 1 )4 1 ( 1 )5 6.442x"2 x 7 10 + 1O.000x"2 10 = 0,09601. 10. Considerem els esdeveniments BI = {la primera bola s blanca} i B2

{la segona bola s blanca}.

(a) Utilitzant la frmula de Bayes,

P (B2IBI) P(Bd + P (B2I B i) P(Bf) ~x_b_ a+b+n b+n

a+b b + b n a+b+n x b+n a+b+n x b+n

a+b a+b+n


(b) a+b b b n b P(B2 ) = x-- + x-- = --o

a+b+n b+n a+b+n b+n b+n 11. Considerem els esdeveniments F = {disquet infectat} i D = {antivirus

detecta virus}. (a) Aplicant la frmula de Bayes,

(b)

(c)

P (D!Fc) P(Fc) + P (D!F) P(F) O, 03xO, 9

) ) = 0,2213. (O, 03xO, 9 + (O, 95xO, 1

P (DC n F) = P (DC !F) P(F) = O, 05xO, 1 = 0,005.

P (Dc IFc) P(Fc) + P (Dc IF) P(F) 0,005

( ) ) =0,0057. O, 97xO, 9 + (O, 05xO, 1 12. Considerem els esdeveniments A = {podem utilitzar almenys un servidor},

Ni = {no podem utilitzar el servidor i} i C = {falla el telfon}. (a) Utilitzant la independncia

(b) P(A) = 1 - P(NI )P(N2)P(N3) = 1 - PIP2P3.

P(A) 1 - [P (AC IC) P(C) + P (AC ICC) P(CC)] 1 - P - P (AC I Cc )( 1 - p) 1- P - P(NI ICC ) P(N2 ICC ) P(N3 ICC ) (1- p).

Utilitzant la frmula de les probabilitats totals,

d'on

Aix

Pi P(Ni ) = P (Ni IC) P(C) + P (Ni ICC) P(CC) P(Ni IC) (1 - p) + P,

P (Ni I C) = Pi - p. l-p

P(A) = (1 - p) [1 - (PI - P)(P2 - p)(P3 - P)J . (1 - p)3


13. (a) Que A guanyi a la k-sima tirada s equivalent a dir que empatin a les primeres k - 1 i que a la k-sima guanyi A. Com que la probabilitat d'empatar s 1- O -I! + 201!, obtenim que la probabilitat que A guanyi exactament a la k-sima tirada s:

(1 - O -I! + 201!)k-1 0(1 -I!).

(b) El complementari equival al fet que empatin les n primeres rondes. Per tant, la probabilitat que la partida no duri ms de n rondes s:

(c)

1 - (1 - O - fi + 20l!t .

P ( { A guanya a la k - sima} I { A encerta el primer tret} )

P ( {A guanya a la k - sima} n{ A encerta el primer tret} ) P ( { A encerta el primer tret} )

Ofi (1 - O -I! + 201!)k-2 0(1 -I!) = 01!(1 _ fi) (1 _ O _I! + 20fi)k-~ O

14. Considerem els esdeveniments: Ai = {el candidat contesta i temes}, i = 1,2,3; Bj = {el candidat domina j temes}, j = 5,10,16,20.

(a) Utilitzant la frmula de les probabilitats totals,

j=5, 10, 16,20

(b) Per la frmula de Bayes,

I:j =5,10,16,20 P (A3IBj) P(Bj ) 3 10

[ m] 1 [(~))] 2 [(136)] 4 3 (~:') 10 + m 10 + m 10 + 10 114 311


15. Observeu que si i < r, no triem mai el millor candidat; si i = r, el triarem segur; si i > r, noms el triarem si el millor entre els i-I primers es troba en alguna de les r - 1 primeres posicions. Aix:

{O,

P(A IBi) = 1'~'1 i-I'

si i < r, si i = r, si i> r.

Per la frmula de les probabilitats totals,

P(A) = ~ P(A IBi )P(Bi ) = ~ ~ r - 1. L.., nL..,2-1 i=l '=1'

16. Considerem Ui = {escollim l'urna U;}, 1:S: i :s: 7, Bk = {la bola k-sima s blanca}, k 2: 1. Tenim que

P(Ui ) 1 12' 1:S: i :s: 6, 1 -

2

(a) Utilitzant la frmula de les probabilitats totals,

(b)

7 1 6 i-I 1 17 P(B) = LP(B1IUi)P(Ui) = 12 L -6- +"2 = 24'

i=l i=l

La probabilitat de B2 es calcula igual que la de B 1 i

7 1 6 (i_1)2 1 271 L P(B1 n B 2 1Ui )P(Ui ) = 12 L -6- +"2 = 4:~2' .=1 1=1

Per tant, 271

P(B1 IB2 ) = -. 306 ( c) De la mateixa manera


17. (a) Considerem els esdeveniments composicions de l'urna UI, Ao = {l'urna UI t bI boles blanques i nI de negres}, Al = {l'urna U1t bl -1 boles blanques i ni + 1 de negres}, A 2 = {l'urna UI t bl + 1 boles blanques i nI - 1 de negres}, B = {la bola de la tercera extracci s blanca}.

Aleshores:

(b) Substituint b = ni i b2 = n2 tenim P(B) = !. 18. Per a n ::; , < 2n - m

(, -1) P( {guanyi Ajugant, punts}) = n _ 1 pn (1 - p y-n, aix

19. Considerem els esdeveniments T i = {el test i surt positiu}, 1 < ::; 2 i I = {infectat}. Aleshores

(a)

(b)

P(Td P(T1 II)P(I) + P(T1 W)P(F) (O, 99xO, 1) + (O, 01xO, 9) = 0,108.

Per tant, el 10,8% dels pacients seran sotmesos a un segon test.

P(T n T1 ) P(T: n T1 II)P(I) + P(T: n T1 W)P(IC) (0,1 xO, 99xO, 1) + (O, Ol xO, 9) = 0,0189.

Per tant, la proporci de pacients s 1,89%.

54

(e)

CAPTOL 2. PROBABILITATS

P(T2 n T1 II)P(I) P(T2 n T)

0, IxO, 99xO, 1 0,0189 = 0,0523.

Captol 3

Variables aleatries unidimensionals

Sigui (n, F, P) un espai de probabilitat. Designem per 8(R) la u-lgebra de Borel.

3.1 Variable aleatria En aquest captol estudiarem les correspondncies entre l'espai mostral i el conjunt lR.

Definici 3.1.1 Una variable aleatria s una aplicaci X : n -----> R tal que

'VB E 8(R), X- 1 (B) E F,

on

X- 1 (B) = {w En: X(w) E B}.

Les condicions segents sn equivalents:

1. 'VB E 8(R), X-1(B) E F,

2. X- 1 ((~oo,x]) E F, 'Vx E R,

3. X- 1 (( ~oo, x)) E F, 'Vx E R,

4. X- 1 ((x, 00)) E F, 'Vx E R,

5. X- 1 ([x, 00)) E F, 'Vx E lR.

55

56 CAPTOL 3. VARIABLES ALEATRIES UNIDIMENSIONALS

3.2 Llei i funci de distribuci Tota variable aleatria X permet definir una probabilitat en (lR, B(lR)).

Definici 3.2.1 La llei d'una variable aleatria X (denotada per Px) s la probabilitat sobre (lR, B(lR)) definida com segueix:

Px(B) = P (X- 1(B)) , \fB E B(lR). Definici 3.2.2 La funci de distribuci associada a una variable aleatria X es defineix per

F:lR --+ [0,1] x --+ F(x) = P(X :s; x).

Observem que

P(X:S; x) = P(X- 1((-oo,x])) = Px((-oo,x]).

Proposici 3.2.3 Tota funci de distribuci F associada a una variable aleatria compleix les quatre propietats segents:

1. s creixent,

2. s contnua per la dreta,

3. lim F(x) = 1, x->oo

4. lim F(x) = o. x~-oo

A ms a ms, tota funci F : lR --+ [O, 1] que compleix aquestes quatre propietats s la funci de distribuci corresponent a una llei.

Mitjanant la funci de distribuci F, associada a una variable X, podem calcular les probabilitats segents:

P(X < a) P(a :s; X :s; b) P(a < X :s; b) P(a :s; X < b) P(a < X < b)

P(X = a)

F(a-), F(b) - F(a-), F(b) - F(a), F(b-) - F(a-), F(b-) - F(a), F(a) - F(a-),

per a tot a, bE lR, a < b, i on F(x-) = limy1x F(y).

3.3. TIPUS DE VARIABLES ALEATRIES 57

3.3 Tipus de variables aleatries Les variables aleatries ms habituals es poden classificar en tres grups: discretes, absolutament contnues i mixtes.

Definici 3.3.1 Una variable aleatria X es diu que s discreta si X(~) s un conjunt finit o numerable, denotem-lo per N. El conjunt N pot ser representat per {Xi, i E I}, l N. La llei d'una variable aleatria discreta queda determinada pels valors

Px ( {xd) = P(X = Xi), i E l. L'aplicaci

p : N ----+ [0,1] Xi ----+ P(Xi) = Px({xd),

s'anomena funci de probabilitat. Per definir les variables aleatries absolutament contnues, necessitem donar

la definici segent:

Definici 3.3.2 Una funci f JR ----+ JR s'anomena funci de densitat si satisf aquestes condicions:

1. f 2> 0, 2. f s integrable en el sentit de Riemann en JR, 3. J~ f(x)dx = 1.

Definici 3.3.3 Una variable aleatria X s absolutament contnua si exis-teix una funci de densitat f tal que la seva funci de distribuci F es pot escriure com

F(x) = ~ f(y)dy, VxER En aquest cas diem que F s una funci de distribuci absolutament contnua.

Per a variables aleatries absolutament contnues podem obtenir immediata-ment les propietats segents: per a tot a, b E JR, a < b,

P(a ~ X ~ b) = P(a < X ~ b) = P(a ~ X < b) = P(a < X < b) = lb f(x)dx, P(X=a)=O.

La proposici segent ens dna un criteri per reconixer les funcions de dis-tribuci de variables aleatries absolutament contnues.


Proposici 3.3.4 Suposem que la funci de distribuci F compleix que 1. s contnua en tots els punts,

2. s derivable excepte, tal vegada, en un nombre finit de punts, 3. la derivada s contnua excepte, tal vegada, en un nombre finit de punts.

Aleshores, la funci F s absolutament contmw i la seva densitat coincideix amb F' en els punts on aquesta derivada existeix.

Proposici 3.3.5 Tota funci de distribuci F admet la descomposici segent: \Ix E lR,

on

Fd(X) = L [F(y) - F(y-)] , yED, y5,x

sent V el conjunt finit o numerable dels punts de discontinutat de F, i

Fc i Fd s'anomenen la part contnua i discreta de F, respectivament.

Observaci: Si la variable aleatria s discreta la part contnua de la seva funci de distribuci s zero. Anlogament, si la variable aleatria s absolutament contnua, la part discreta de la seva funci de distribuci s zero.

Definici 3.3.6 X s una variable aleatria mixta si les parts discreta i contnua de la seva funci de distribuci no sn idnticament zero, i la part contnua Fc admet la descomposici segent:

(3.3.1 )

amb f ~ o.

3.4 Transformacions de variables aleatries Sigui X una variable aleatria absolutament contnua amb densitat fx que pren valors en un interval obert I. Sigui g : I --> .1 una funci bijectiva de classe el de l'interval I en un altre interval obert .1, i amb inversa tamb de classe el. Aleshores la variable aleatria Y = g(X) s absolutament contnua i t per densitat

3.5. ESPERANA MATEMTICA 59

Aquest resultat es pot estendre a qualsevol funci 9 on el domini es pot escriure corn una reuni finita d'intervals h U .. U In disjunts i les restriccions de 9 a cada IntIj , j = 1, ... , n compleixen les condicions anteriors. En aquest cas, la densitat de la variable Y = g(X) s

n

Jy(y) = ix(gjl(y)) j(gjl)'(y)j1bj(Y) j=1

= t ix (gj1(y)) j '( !1( ))jllJ (y), j=1 gJ gJ Y

on gj indica la restricci de la funci 9 a l'interval Ij i 1j s la imatge de l'interior de Ij per la funci gj.

3.5 Esperana matemtica L'esperana matemtica s una mesura de centrament que representa el valor mitj o esperat d'una variable aleatria.

Discretes. Sigui X : n -> {Xi, i E l c:;; N} una variable aleatria discreta, X t esperana finita si, i noms si,

IXil P(X = Xi) < 00 iEI

i, en aquests cas, E(X) = XiP(X = Xi).

iEI

Sigui X : n -> {Xi, i E l c:;; N} una variable aleatria discreta i 9 : IR -> IR una funci tal que Y = g(X) s una variable aleatria. Aleshores, Y t esperana finita si, i noms si,

Ig(Xi)IP(X = Xi) < 00 iEI

i, en aquest cas, E(Y) = g(Xi)P(X = Xi).

iEI

Absolutament contnues. Una variable aleatria X absolutament contnua amb densitat i t esperana finita si, i noms si, 1: Ixli(x)dx < 00


i, en aquest cas,

E(X) = : xf(x)dx. Si 9 : lR --+ lR s una funci tal que Y = g(X) s una variable aleatria.

Aleshores, Y t esperana finita si, i noms si, : Ig(x)lf(x)dx < 00 i, en aquest cas,

E(Y) = : g(x)f(x)dx. Mixtes. Una variable aleatria mixta X t esperana finita si, i noms si,

L IxIF(X = x) + Joo IxlJ(:r) dx < 00, xED -00

on V s el conjunt de les discontinutats de la funci de distribuci i ! est definida a (3.3.1).

Aleshores podem calcular l'esperana d'aquest tipus de variable de la manera segent:

E(X) = L xF(X = x) + Joo x/(x) dx. xED -00

A continuaci donarem un seguit de definicions relacionades amb l'esperana matemtica.

Definici 3.5.1 Una variable aleatria X t moment d'ordre k E N si X k t esperana finita. Definici 3.5.2 La varincia d'una variable aleatria X amb esperana finita es defineix com

Var(X) = E [(X - E(X))2J = E (X2) - (E(X))2 . Observem que la varincia pot ser +00.

Definici 3.5.3 L'arrel quadrada de la varincia, denotada per a, es coneix com la desviaci tpica i mesura la disper"si de la variable,

a(X) = JVar(X). Definici 3.5.4 Sigui X una variable aleatria que pren valors en els enters no negatius. S'anomena funci generatriu de la variable aleatria X a la funci

'Px(z) = E(zx). La funci generatriu d'aquest tipus de variable sempre est ben definida per I z I :.s: 1.

3.6. VARIABLES ALEATRIES MS USUALS 61

Propietats

Linealitat. Siguin X, Y variables aleatries amb esperana finita i a, b E lR, aleshores la variable aleatria aX + bY tamb t esperana finita i

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y).

Per a tota variable X que t esperana finita es compleix que

IE(X)I ::; E(IXI)

Desigualtat de Txebitxev. Sigui X una variable aleatria no negativa i f: lR+ -----t lR+ una funci creixent tal que E(f(X)) < 00. Per a tot nombre real positiu a tal que f(a) > O, es compleix que

P(X> ) < E(f(X)) - a - f(a) .

Desigualtat de Jensen. Sigui X una variable aleatria amb esperana finita i g una funci convexa tal que g(X) t esperana finita. Aleshores

g (E(X)) ::; E (g(X)) .

Sigui X : n ---> Z+ una variable aleatria que pren valors en els enters positius, la seva esperana la podem calcular mitjanant la seva funci de distribuci,

00

E(X) = L P(X ~ n). n=1

Sigui X una variable aleatria absolutament contnua positiva, podem cal-cular la seva esperana per mitj de la seva funci de distribuci,

E(X) = 100 P(X > x)dx = 100 P(X ~ x)dx. 3.6 Variables aleatries ms usuals En aquest apartat donarem la llei de les variables aleatries ms conegudes, aix com les seves esperances i varincies. De les discretes escriurem la seva funci de probabilitat i de les absolutament contnues, la seva densitat f. Tamb direm quina s la notaci que es fa servir per anomenar-les. Algunes d'aquestes carac-terstiques les calcularem o indicarem en el moment que resolem els problemes proposats en aquest captol.


Discretes

Bernoulli: X rv B(l,p), p E (0,1). - P(X = k) = pk (1- p)l-k, - E(X) = p; - Var(X) = p (1 - p).

k = 0,1;

Binomial: X rv B(n,p), n E Pf, p E (0,1) . - P(X = k) = (~) pk (1 _ p)n-k, k = 0,1, ... ,n; - E(X) = np; - Var(X) = np (1 - p).

Geomtrica: X rv G(p), p E (0,1). - P(X = k) = p (1 _ p)k-l, k = 1,2, ... ; - E(X) = i ; _ Var(X) = 1-? .

p

Binomial negativa: X rv BN(n,p), n E Pf, p E (0,1). - P(X = k) = (~=i)pn(1- pl-n, k = n,n + 1, ... ; - E(X) = ~; - Var(X) = ~. p

Hipergeomtrica: X rv H(N, D, n), n, D, N E Pf, D:S: N, n :s: N. ( lJ)(N"""JJ)

- P(X = k) =k (,'t ' _ E(X) = ~n; - v: (X) - D(N-D)n(N-n)

ar - N2(N-l) .

(n - N + D) V :s: k :s: D 1\ n;

Poisson: X rv Pois(), E (0,00). - k

- P(X = k) = e 0' - E(X) = ; - Var(X) = .

Observem que la Bernoulli s un cas particular de la binomial quan n = 1, aix mateix la geomtrica s un cas particular de la binomial negativa quan n = 1, s a dir, G(p) rv BN(l,p).

3.7. PROBLEMES

Absolutament contnues

Uniforme: X '" U(a, b), a, bE!R, -00 < a < b < 00 . - j(x) = b~a ~a,b)(X) ; - E(X) = atb ; _ Var(X) = (b~;)2 .

Exponencial: X '" EXp(fl), n E (0,00) . - j(x) = ne-ax~O,oo)(.T) ; - E(X) = ~ ; - Var(X) = ~ .

Gamma: X '" G(a,j3), a,j3 E (0,00) . - j(:r:) = r~;) x!3-1 e-ax~O,oo)(x) ; - E(X) = ~ ; - Var(X) = ~ .

Normal: X '" N(JL, a 2), JL E!R, a E (0,00) . ("_1,)2

- j(x) = vba e~ ; - E(X) = JL ; - Var(X) = a 2 .

63

Observem que l'exponencial s un cas particular de la gamma quan j3 = 1, s a dir, Exp(n) '" G(n, 1).

3.7 Problemes 1. Sigui X una variable aleatria que t per funci de distribuci:

Calculeu:

{

O,

F(x) = !td 9 '

1,

x < -1, -1 ~ x < 0, ~ x < 2, x 2' 2.

(a) P(X = 2), (b) P(X E [-~,3, (c) p(X = 21X E [-~,3), (d) P(X E (-1,0] U (1,2]), (e) p(X E (-1,2]) n (1,3), (f) P(X E {x E!R; Ixi +2x2 > I}).


Soluci: Els 5 primers apartats es resolen utilitzant les propietats de les funcions de distribuci aix com de les probabilitats condicionades. Alesho-res tenim

2 1 P(X = 2) = F(2) - F(2-) = 1 -"3 = 3'

( 1) _ 1-) 1 17 P XE [-2,3) = F(3 ) - F( -2 = 1 - 18 = 18'

( 1) P(X = 2) 6 P X = 21X E [-2,3) = ( [1. )) 17' P XE -2,3 P(X E (-1,0] U (1,2]) = p(X E (-l,O]) + p(X E (1,2])

2 2 8 = [F(O) - F( -1)] + [F(2) - F(l)] = - + - = -,

3 9 9

P(X E (-1,2]) n (1,3)) = P(X E (1,2]) = F(2) - F(1) =~. 3

Per a l'ltim apartat observem el segent:

{XEIR; Ixl+2:r2 >1}=AUB, on

A = {X E IR; X ~ O} n {X E IR; .7: + 2x2 > I}, B = {X E IR; X < O} n {:r E IR; -X + 2:r2 > I}.

Aquesta uni s disjunta. Realitzant operacions bsiques de conjunts tenim A = {X E IR; X ~ O} n {X E IR; 2(.7: + l)(:r: -~) > O} = {:r E IR; :r > ~}.

Fent un raonament similar s'obt

B = {X E IR; x < - ~ }. Aleshores,

P(X E {X E IR; Ixi + 2:r2 > I})

2. Considerem la funci

{O,

F(x) = x, 1 - e-a",

P(X~) F(-~ -) + 1- F(~) 1 ( 9) 29

18 + 1 - 3G = 3G'

X < 0, O:S;X

3.7. PROBLEMES 65

(a) Per a quins valors de a aquesta funci s una funci de distribuci? (b) Per a quins valors s una funci de distribuci absolutament contnua? (e) Suposant a = 4, calculeu P( -1 ::; X < ~) i P(X = ~), on X s una

variable aleatria associada a F(x).

Soluci:

(a) Perqu sigui una funci de distribuci hem de comprovar que se satisfan les quatre propietats de la proposici 3.2.3. Mirem primer la continutat per la dreta. Com que les funcions O, x i 1 - e-ax sn contnues, la funci F tamb s contnua en els intervals ( - 00, O), (O, ~) i (~, 00 ). Per estudiar la continutat per la dreta en els dos punts que queden, O i ~, s'ha de comprovar

F(O)

Fa) limF(x), xlO lim F(x), xl!

i aix s cert perqu les funcions xiI - e-ax sn contnues en O i ~, respectivament. La quarta propietat s evident ja que

lim F(x) = lim 0=0. x----+~OO x----+-oo

Quant a la tercera condici, com que s'ha de complir

lim F(x) = lim [1 - e-ax ] = 1, x----+oo x----+oo

aleshores s necessari imposar a ~ O. Finalment observem el creixement de la funci F. La funci val O dins l'interval (-00, O) i, per tant, s creixent. Dins l'interval [O, ~) la funci x tamb s bviament creixent. Per a a::::: O, la funci l_e- ax s creixent per a tot :r positiu (aix es pot veure mitjanant la derivada) i aleshores tamb ser creixent a l'interval [~, (0). Aix, finalment, perqu sigui creixent s'haur d'imposar

El primer cas s cert de manera immediata ja que F(O-) = F(O) = o. Per al segon, aquesta condici implica que s'ha de satisfer la desigualtat segent:


resolent aquesta desigualtat i utilitlant que el logaritme s creixent tenim

a. ~ 2ln 2.

D'aquesta manera, usant totes les restriccions que hem trobat, la funci F ser una funci de distribuci si

a. ~ 21n2.

(b) Perqu sigui absolutament contnua la funci de distribuci ha de ser en primer lloc contnua. Com ja hem dit anterioment, aquesta funci s contnua en els intervals (-00, O), (O, ~) i (~, (0) i tamb sabem que la funci F s contnua per la dreta. Per tant, noms hem de veure la continutat per l'esquerra dels punts O i ~, s a dir, provar F(O-) = F(O) i F(~ -) = F(~). En el O s obvi ja que F(O-) = F(O) = O. La condici de continutat en el punt ~ implica que

i aix dna a. = 21n2.

Apliquem la proposici 3.3.4 per trobar per a quins valors la funci de distribuci s absolutament contnua. Les funcions O, xiI - e-ax sn derivables i les seves derivades contnues en els intervals (-00, O), (O, ~) i (~, (0), respectivament. En elOi el ~ no s necessari estudiar la derivabilitat de la funci F perqu formen un conjunt finit de punts. Aix, aquesta funci de distribuci ser absolutament contnua si

a. = 2ln 2.

(c) Suposem a = 4. Aleshores,

3. Considereu la funci definida per:

F(x) ~ { O, Hx + 1)2, 1 ( 2 1 - "2 .1: -1) , l,

.1: < -1, -1

3.7. PROBLEMES 67

(a) Comproveu que F sigui una funci de distribuci. (b) s absolutament contnua? En cas afirmatiu, doneu la funci de den-

sitat corresponent. (c) Si X s una variable aleatria amb funci de distribuci F, deduu la

llei de la variable Y = 1 ~ IXI. Soluci:

(a) Hem de veure que se satisfan les 4 condicions de la proposici 3.2.3. Estudiem en primer lloc el creixement. La funci s creixent dins els intervals (~oo,~l), (~l,O), (0,1) i (1,00). Per exemple, en el segon interval es compleix que F'(x) = (x + 1) ~ O per a x E (~l,O), i per tant s creixent. Per poder concloure que la funci s creixent haurem de provar que

per a x = ~ l, O, l,

on

F(x+) = limF(y). ylx

Observem que en el nostre cas

F(~l-) = F(~l) = F(~l+) = O, F(O-) = F(O) = F(O+) = ~, F(l-) = F(l) = F(l +) = 1.

Les propietats 3 i 4 sn evidents en aquesta funci. Finalment podem dir que F s contnua per la dreta perqu s contnua en els intervals

(~oo" ~1), (~1, O), (0,1) i (l, (0), i ja hem comprovat anteriorment que s contnua en els punts ~ l, O i 1.

(b) Perqu sigui absolutament contnua la funci de distribuci ha de ser en primer lloc contnua. Aquesta condici s'ha demostrat a l'apartat a. Apliquem la proposici 3.3.4. Els apartats que afecten la derivabilitat i la continutat de la derivada excepte en un nombre finit de punts sn obvis tal com est definida la funci. D'aquesta manera podem asse-gurar que s absolutament contnua. Aleshores la densitat coincideix amb F' en els punts on aquesta derivada existeix i, conseqentment,

f(x) = (x + l)~-l,O)(X) + (1 ~ x)~o,1)(x). (c) Per a aquest apartat estudiarem la funci de distribuci de Y.

Si y E (~oo, O), aleshores Fy(y) P(Y s: y) = P(l ~ IXI s: y) = P(IXI ~ 1 ~ y)

s: P(IXI ~ 1) = O.


SiyE[O,l),

Fy(y) P(IXI ~ 1 ~ y) = 1 ~ P(IXI < 1 ~ y) 1 ~ P(y ~ 1 < X < 1 ~ y)

1~ [1~1(X+1)d:Z;+ 11-Y(1~:Z;)d:rJ =y2. Finalment, si y E [1,00), tenim

Fy(y) = P(IXI ~ 1 ~ y) ~ P(IXI ~ O) = 1. Per tant, obtenim

y < O, O :s; y < 1, y ~ 1.

Es pot comprovar, sense gaire dificultat, que Fy s contnua, deriva-ble excepte potser en els punts i 1 i amb derivada contnua excepte potser en els punts i 1. Aix Y s una variable aleatria absolutament contnua on la densitat s la derivada de Fy quan aquesta funci s derivable, s a dir,

fy(y) = 2y1lO,1)(Y)'

4. Considerem una successi de cinc tirades d'una moneda perfecta. Sigui X el nombre de vegades que una cara s seguida immediatament d'una creu. Trobeu la llei de X. Calculeu desprs la llei de la variable Y = X2 ~ 2X + 3. Soluci: Si tirem successivament cinc vegades una moneda perfecta, la variable X, que compta el nombre de vegades que una cara s seguida per una creu, s discreta i assoleix un d'aquests tres valors, 0,1 o 2. Aix, per determinar la seva llei haurem de donar les probabilitats en 0,1 i 2. Si volem que no hi hagi cap creu que segueixi una cara s'ha d'exigir que en el moment que en un llanament surt cara tots els llanaments posteriors tamb siguin cara, aix implica que els resultats seran:

(x,x,x,x,x) (x, x, x, x, C) (x, x, x,C,C) (x, x,C,C,C) (x, C,C, C, C) (C,C,C,C,C)

on x vol dir que ha sortit creu i C, que ha sortit cara. La probabilitat de cadascun d'aquests 6 resultats s .Jo. Aleshores,

6 :~ P(X = O) = - = -. 2" 24

3.7. PROBLEMES 69

A continuaci calcularem la probabilitat que X prengui el valor 2 (aquesta probabilitat s ms senzilla de trobar que en X = 1). Els resultats on hi ha dos canvis, i noms dos, de cara a creu dels cinc llanaments realitzats sn els que donem tot seguit:

(e, e, x, e, x) (x,e, x,e, x)

(e, x,e, x,e) (e, x,e, x, x)

(e,x,e,e,x) (e, x, x,e, x)

Per tant, com abans, 3

P(X = 2) = 24 . En ltim lloc calcularem la probabilitat que X prengui el valor 1 mitjanant les dues anteriors,

6 5 P(X = 1) = 1 - P(X = O) - P(X = 2) = 1 - 24 23

La variable aleatria Y pren els valors 2 i 3. La variable aleatria Y pren el valor 2 si X val 1 i pren el valor 3 si X val O o 2. Aix la seva llei s

P(Y = 2)

P(Y = 3)

5 P(X = 1) =-23 '

3 P(X = O) + P(X = 2) = 23 .

5. Sigui X una variable aleatria que pren valors naturals ms grans o iguals que 2 i amb funci de probabilitat

e P(X = n) = Pn = ( ) , \In 2: 2,

n n+ 1 e>o.

(a) Doneu el valor de e perqu sigui una funci de probabilitat. (b) Calculeu P(X 2: k) per a k 2: 2. (c) Trobeu la funci de probabilitat de la variable aleatria Y definida com

la part entera de x :;1. Soluci:

(a) Tal com estan definits els valors Pn s obvi que sn positius. Perqu sigui una funci de probabilitat s'ha de satisfer

00


Com que s una srie telescpica, tenim

00 C 00 [1 1] [1 1 ] - C - - -- - C - - lim --

011,(11,+1) - '0 11, 11,+1 - 2 k--->ook+1 n-2 n-2

C 2'

per tant, C = 2. (b) Per calcular la probabilitat que ens demanen raonarem de la mateixa

manera,

2 00 [1 1] PX>k = =2 ----( -) L n (n+1) L 11, 11,+1 n=k n=k

00 2 k

(c) La variable aleatria Y pren valors en els enters no negatius, per tant la llei quedar determinada si donem

P(Y = m), 'VTn = 0,1,2, ... Per trobar aquestes probabilitats diferenciarem el cas i la resta. Per alO tenim

Per a tot m :;:;. 1,

P(Y = m)

2 P(Y = O) = P(X = 2) = -. 3

P(X = 2m + 1) + P(X = 2m + 2) 2 2 ~----~----~+~--~~--~~ (2m + 1)(2m + 2) (2m + 2)(2m + 3)

4 (2m + 1)(2rn + 3)'

6. Es fan 8 llanaments independents d'una moneda perfecta. Determineu les distribucions i les esperances de les variables aleatries segents:

(a) Del nombre de cares obtingudes. (b) De la diferncia entre cares i creus. (c) Del nombre total de ratxes de resultats consecutius.

En el primer cas calculeu tamb la varincia. Soluci:

(a) Sigui X la variable aleatria que compta el nombre de cares que hem obtingut en llanar 8 vegades una moneda perfecta de manera indepen-dent. bviament, la variable pren valors en el conjunt {O, 1, ... , 8}.

3.7. PROBLEMES 71

Un resultat possible s, per exemple,

w = (C,C,C, x,C, x, x,C), on C vol dir que ha sortit cara i x que ha sortit creu. La probabilitat d'aquest element w s ~. Si volem la probabilitat de treure 5 cares, i noms 5, en els 8 llanaments obtindrem que val

on 21" s la probabilitat d'un resultat amb 5 cares i (~) el nombre de resultats possibles que tenen 5, i noms 5, cares. Per tant, la llei de X s una binomial B (8, ~),

P(X = k) = G) 218 ' k = 0,1, ... ,8. Per calcular l'esperana utilitzarem el binomi de Newton desprs de simplificar i canviar l'ndex del sumatori:

E(X) 8 8 8! 1

kP(X=k)=k k!(8-k)! 28 k=O k=l

4 ~ 7! 1 7 7! 1 L.., (k - I)! (8 - k)! 27 = 4 l! (7 -l)! 27 k=1 1=0

( 1 1)7 = 4 "2 +"2 = 4. Per calcular la varincia ens far falta el moment de segon ordre:

El segon sumatori l'hem calculat per trobar el moment de primer ordre; per al primer operem com abans,

8 8! 1 ~ k(k - 1) k! (8 _ k)! 28 8 6! 1 14 (k _ 2)! (8 - k)! 26 k=2

6 6' 1 14 l! (6 ~ l)! 26 = 14.

1=0


Aix, E (X 2 ) = 14 + 4 = 18.

Aleshores,

Var(X) = E (X2 ) - (E(X))2 = 18 - 16 = 2. Tant l'esperana com la varincia d'una binomial poden calcular-se d'una manera ms senzilla utilitzant conceptes del proper captol i posant-la com a suma de Bernoullis independents.

(b) Sigui Y la variable aleatria que compta la diferncia entre cares i creus que hem obtingut en llanar 8 vegades una moneda perfecta de manera independent i que pren valors en { -8, -6, ... ,O, ... ,6, 8}. Per l'apartat anterior sabem que el nombre de cares s X, aleshores el nombre de creus ser 8 - X. Aix,

Y = X - (8 - X) = 2X - 8. Per tant, la seva llei s

P(Y = k) = P(2X - 8 = k) = P (X = ~) = (~) ;8' per a k E {-8, -6, ... , O, ... ,6, 8}. Per calcular l'esperana utilitzem la propietat de linealitat,

E(Y) = 2E(X) - 8 = O. (c) Sigui Z el nombre total de ratxes.

Primer comprovarem que a cada llanament comena una nova ratxa, independentment del que hagi passat fins llavors, amb probabilitat -&. Diem-li Xi, i = 1, ... ,8, al resultat de l'i-sim llanament, per a i 1, ... , 7, tenim

P({Xi = e,Xi+l = x} U {:ri = X,Xi+l = e}) P(Xi = C) P(Xi+1 = x) + P(Xi = x) P(Xi+l = e) 1 1 1 1 1 -x- + -x- = -. 2 2 2 2 2

Hem comprovat que en cada llanament comena una nova ratxa amb probabilitat -&' veiem ara que els canvis de ratxa sn independents entre ells. Per a i = 2, ... , 7,

P(Xi-l = e) P(Xi = x) P(:ri+l = e) +P(:ri-l = x) P(:r; = e) P(Xi+l = x) 1111111 -x-x- + -x-x- =-2 2 2 2 2 2 4'

3.7. PROBLEMES 73

aleshores,

Sigui T = Z - 1. Observem que T compta el nombre de canvis, i hem comprovat que aquests es produeixen de forma independent, per tant T s una B(7, 1). Aleshores

k = 1, ... ,8,

7 9 E (Z) = E (T + 1) = "2 + 1 = "2.

7. Suposem que tenim una moneda amb probabilitat de cara a E (0,1); simu-lem una moneda de la manera segent: tirem dues vegades la moneda, si surt cara-creu ho considerem com a cara, si surt creu-cara ho considerem com a creu i si no surt cap d'aquestes dues coses repetim l'experiment fins a arribar a una decisi. Trobeu la distribuci, l'esperana i la funci generatriu del nombre de repeti-cions necessries fins a arribar a una decisi. Nota: Aquest mtode simula una moneda perfecta. Soluci: Anomenem X a la variable aleatria que compta el nombre de repeticions necessries fins a arribar a una decisi. Aquesta variable pren valors en el conjunt {l, 2, 3, ... }. La probabilitat de tirar la moneda dos cops i prendre una decisi s

p( {treure cara - creu} U {treure creu - cara}) = 2a(1 - a). L'esdeveniment {X = k}, k E {l, 2, 3, ... }, significa que hem hagut de tirar k vegades la moneda dos cops, i que les k - 1 primeres vegades que tirvem la moneda dos cops el resultat que obtenem era cara-cara o creu-creu, i que l'ltima vegada hem obtingut o b cara-creu o b creu-cara. Aleshores,

P(X = k) = 2a(1 - a) [1 - 2a(1 - a)]k-l .

Aquesta llei es coneix com una llei geomtrica G(2a(1 - a. L'esperana val

E(X) = fkP(X

Probabilitats. Problemes i Més Problemes ( Text Editable )

Documents

Transcript of Probabilitats. Problemes i Més Problemes ( Text Editable )