PROBLEMA 3CAPITULO XXV Denisse Escobar

REDACCIÓN DEL PROBLEMA

Hay 3 tableros cuadrados y los lados de cada uno de ellos mide un número entero de pulgadas. El área del segundo es más grande que el área primero por 6 pies cuadrados y menor que el área del tercero por 6 pies cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones de los 3 tableros?

Sean X,Y & Z los lados de los cuadrados respectivamente. Nos gustaría convertir todo a pies. Como un pie es igual a 12 pulgadas, convertidos los lados de los cuadrados nos quedarían como . De forma que el planteamiento del problema queda de la siguiente forma:

X Y Z

Entonces multiplicando por 144 ambas ecuaciones:

Como X,Y & Z son enteros entonces Y+X,Y-X,Z-Y & Z+Y son enteros.

Por otro lado sabemos que puede ser factorizado como la siguiente lista:1*8642*432 3*2884*2166*1448*1089*96, 12*7216*5418*48 24*3627*32

Sin embargo, como T+U & T-U deben tener la misma paridad, para que alguno de esos sea la factorización que buscamos entonces ambos factores deben ser de la misma paridad.

Por lo que nuestra lista se reduce a la siguiente:2*4324*2166*1448*10812*7216*5418*48 24*36Entonces habría que checar los casos.

ENTONCES ¿QUE SUCEDE CUÁNDO (Y+X)(Y-X)=2*432?

Sucede que Y+X= 432 & Y-X = 2 Por tanto si sumamos ambas ecuaciones 2Y=434 => Y=217 De forma que Z= , lo cual no es entero y por hipótesis Z debe serlo. Por lo tanto, se descarta este caso.

ENTONCES ¿QUE SUCEDE CUÁNDO (Y+X)(Y-X)=4*216?

Sucede que Y+X= 216 & Y-X = 4 Por tanto si sumamos ambas ecuaciones 2Y=220 => Y=110 De forma que Z= , lo cual no es entero y por hipótesis Z debe serlo. Por lo tanto, se descarta este caso.

ENTONCES ¿QUE SUCEDE CUÁNDO (Y+X)(Y-X)=6*144?

Sucede que Y+X= 144 & Y-X = 6 Por tanto si sumamos ambas ecuaciones 2Y=150 => Y=75 De forma que Z= , lo cual no es entero y por hipótesis Z debe serlo. Por lo tanto, se descarta este caso.

ENTONCES ¿QUE SUCEDE CUÁNDO (Y+X)(Y-X)=8*108?

Sucede que Y+X=108 & Y-X = 8 Por tanto si sumamos ambas ecuaciones 2Y=116 => Y=58 De forma que Z= , lo cual no es entero y por hipótesis Z debe serlo. Por lo tanto, se descarta este caso.

ENTONCES ¿QUE SUCEDE CUÁNDO (Y+X)(Y-X)=12*72?

Sucede que Y+X= 72 & Y-X = 12 Por tanto si sumamos ambas ecuaciones 2Y=84 => Y=42 De forma que Z= , lo cual no es entero y por hipótesis Z debe serlo. Por lo tanto, se descarta este caso.

ENTONCES ¿QUE SUCEDE CUÁNDO (Y+X)(Y-X)=16*54?

Sucede que Y+X= 54 & Y-X = 16 Por tanto si sumamos ambas ecuaciones 2Y=70 => Y=35 De forma que Z= , lo cual no es entero y por hipótesis Z debe serlo. Por lo tanto, se descarta este caso.

ENTONCES ¿QUE SUCEDE CUÁNDO (Y+X)(Y-X)=18*48?

Sucede que Y+X= 48 & Y-X =18 Por tanto si sumamos ambas ecuaciones 2Y=66 => Y=33 De forma que Z= , lo cual no es entero y por hipótesis Z debe serlo. Por lo tanto, se descarta este caso.

ENTONCES ¿QUE SUCEDE CUÁNDO (Y+X)(Y-X)=24*36?

Sucede que Y+X= 36 & Y-X = 24 Por tanto si sumamos ambas ecuaciones 2Y=60 => Y=30 De forma que Z= , (el cual es entero).

CONCLUSIÓN Finalmente resulta que Y= 30 Z=42 X= Para que finalmente comprobemos las ecuaciones: