Problema 8
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PROBLEMA 8.
Sea el tetraedro ABCD y sus aristas opuestas AD y BC, que se muestran en la siguiente figura:
Por el punto M, mitad de la arista AD, se traza la paralela a BC. Con ambas rectas se determina el plano X. Así mismo, por el punto M se traza la perpendicular a BC, que interseca a esta arista en P, punto medio. Con los puntos A, D y P se tiene el triángulo equilátero ADP, donde AP es mediana del triángulo
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MP es mediana de ADP relativa a AD. Precisamente, la longitud de MP es la mínima distancia entre BC y AD.
En el triángulo rectángulo AMP, empleamos el teorema de Pitágoras, no sin antes recordar que, por dato del problema, la arista del tetraedro mide l u.; AM, l2u .y AP mide
l√32u . MP también mide
l√32u .
PROBLEMA 9.
Este teorema se resuelve mediante el teorema de las tres perpendiculares.
Ya que nos estamos refiriendo a aristas de un cubo, BN es perpendicular a BM y PM es perpendicular a BM. Luego, MN es perpendicular a PM. Por lo tanto, para calcular el área del triángulo PMN operamos:
A=6.6 √22
=18√2u2
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PROBLEMA 10.
El poliedro OPQRST es un octaedro regular (se comprueba fácilmente que su arista mide 4 √2cm .¿
a) El área superficial del octaedro es igual a ocho veces el área del triángulo equilátero OPS. Es decir:
A s=8.¿¿¿
b) El volumen del octaedro se calcula mediante la fórmula
V=a3√23, donde arepresenta lamedida de laarista .
V=(4√2 )3√2
3=2563u3.