Estática de fluidos. En todo lo visto hasta ahora, se ha dirigido la atención principalmente hacia la acción de fuerzas que se ejerce, entre cuerpos rígidos. En este apartado se desarrollará el estudio de cuerpos sometidos a fuerzas debidas a la acción de las presiones de los fluidos. Se llamará fluido a toda sustancia continua que, en estado de reposo, es incapaz de soportar una fuerza cortante. Fuerza cortante es la que es tangente a la superficie sobre la que se ejerce y aparece cuando en capas contiguas de fluido existen velocidades diferentes. Así pues, un fluido en reposo sólo puede ejercer fuerzas normales sobre una superficie limite. Los fluidos pueden ser gaseosos o líquidos. A 1a Estática de fluidos se le suele llamar Hídrostática cuando el fluido es un líquido y Aerostática cuando es un gas. (a)Presión en un fluido. La presión en un punto de un fluido es la misma en todas direcciones (principio de Pascal). Se puede poner de manifiesto este hecho considerando el equilibrio de un elemento triangular infinitesimal de fluido, tal como el representado en la figura a. Tomando la unidad sobre la dimensión z y llamando a las presiones sobre los tres lados p1, p2 y p3 el equilibrio de las fuerzas en las direcciones x e y podrá venir expresado por las ecuaciones.

Figura a p2 dx dz = p3 ds dz cos θ, p1 dy dz = p3 ds dz sen θ.

Como ds sen θ = dy y ds cos θ = dx, estas ecuaciones requieren que p1 = p2 = p3 = p. Girando 90° el elemento se encuentra que p4 también es igual a las otras presiones. Luego la presión p es la misma en todas direcciones. En este estudio no es preciso tener en cuenta el peso del elemento de fluido, puesto que al multiplicar el peso específico γ (peso por unidad de volumen) del fluido por el volumen del elemento, se obtiene un infinitésimo de orden superior que puede despreciarse frente a los términos de las fuerzas. En todos los fluidos en reposo, la presión es función de la dimensión vertical. Para determinar esta función habrá que considerar una variación de la dimensión vertical y tener en cuenta el peso del fluido. En la figura b puede verse un elemento diferencial de fluido en forma, de cilindro de eje vertical y sección recta de área dA. El sentido positivo de la coordenada vertical h se toma hacia abajo. La presión sobre la cara superior es p, y sobre la cara inferior será p más la variación de p, o sea p + dp. El peso del elemento es igual a su peso específico y multiplicado por su volumen. Las fuerzas normales a la superficie lateral no intervienen en él equilibrio de las fuerzas verticales y por ello no se han señalado. El equilibrio del elemento de fluido en la dirección h requiere

Figura b p dA + γ dA dh - (p + dp) dA = 0, dp = γ dh, Esta relación diferencial indica que la presión en un fluido crece con la profundidad o disminuye al crecer la altura. La ecuación p dA + γ dA dh - (p + dp) dA = 0, dp = γ dh,

vale tanto para líquidos como para gases y está de acuerdo con los conocimientos corrientes de las presiones en el aire y en el agua. Los fluidos que son esencialmente incompresibles reciben el nombre de líquidos, y se deduce que para la mayoría de los fines prácticos se puede considerar el peso específico constante para todas las parte del líquido. Siendo γ constante, se puede integrar directamente la ecuación p dA + γ dA dh - (p + dp) dA = 0, dp = γ dh y resulta: p = p0 + γ h La presión p0 es la presión sobre la superficie del líquido en donde h = 0. Si p0 es debida a la presión atmosférica y el instrumento de medida sólo registra el incremento de presión sobre la atmosférica, (La presión atmosférica al nivel del mar puede considerarse de 1 kg/cm2 y de manera más aproximada 1 033 kg/cm2), la medida da lo que se conoce con el nombre de “presión manométrica” que es p = γ h. Por otra parte, los gases son compresibles y en ellos el peso específico varía con la distancia vertical. Para la mayoría de problemas técnicos esta variación es despreciable al considerar la presión del gas sobre una estructura puesto que la altura de ésta, por lo general, sólo representa una pequeña variación de altitud. Cuando sea necesario, para determinar la variación de presión con la altitud se podrá utilizar la ley de los gases

KTp γ= , donde T es la temperatura absoluta del gas y K es una constante. Sustituyendo

)/(KTp=γ en la ecuación p dA + γ dA dh - (p + dp) dA = 0, dp = γ dh y reemplazando la medida hacia abajo h por la medida hacia arriba z, donde dh = -dz, se tiene

dzpdpKT −= . Integrando entre las condiciones de presión p0 a altitud cero y la presión p a altitud z se tiene, en condiciones de temperatura constante,

p

pKTz 0log=

Cuando la temperatura del gas no se mantiene constante con la altura, como ocurre en la atmósfera terrestre, deberá tenerse en cuenta el efecto de la variación de temperatura. (b) Presión hidrostática sobre superficies rectangulares sumergidas. Una superficie sumergida en un líquido, tal como la válvula de un aliviadero en una presa o las paredes de un depósito, está sometida a una presión normal a su superficie distribuida sobre ésta. En los problemas en que son apreciables las fuerzas ejercidas por el fluido será necesario tener en cuenta la fuerza resultante debida a la distribución de la presión sobre la superficie y la posición en la cual está aplicada dicha resultante. En los sistemas abiertos a la atmósfera terrestre, la presión atmosférica p0 se ejerce sobre todas las superficies y, por tanto, dará una resultante nula. Así pues, sólo habrá que considerar el incremento sobre la presión atmosférica, al que se denomina “presión manométrica”, que es p = γ h. Considerese el caso particular pero frecuente de la acción de la presión hidrostática sobre una placa rectangular sumergida en un líquido. En la figura c puede verse una tal placa 1-2-

3-4 con su borde superior horizontal y con el plano de la placa formando un ángulo θ cualquiera con el plano vertical. La superficie horizontal del líquido está representada por el plano x-y'. La presión (manométrica) del fluido que actúa normalmente al plano en el punto 2 está representada por el vector 6-2 y es igual al producto del peso específico γ por la profundidad vertical desde la superficie del líquido al punto 2. La misma presión se ejerce sobre todos los puntos del borde, 2-3.

figura c En el punto 1 del borde inferior, la presión del fluido es igual al producto de γ por la profundidad vertical correspondiente al punto 1, y esta presión es la misma en todos los puntos del borde 1-4. La variación de la presión p sobre la superficie de la placa viene regida por la relación lineal con la profundidad y estará representada, por tanto, por la altura del prisma truncado 1-2-3-4-5-6-7-8 que tiene la placa como base. La fuerza resultante producida por esta distribución de la presión está representada por R, la cual se ejerce sobre un cierto punto P llamado centro de presión. figura d figura e Está claro que las condiciones que prevalecen en la sección vertical 1-2-6-5 de la figura c son las mismas que en la sección 4-3-7-8 y en cualquier otra sección vertical que corte a la placa. Así pues, se puede analizar el problema bidimensionalmente a partir de una sección vertical como la 1-2-6-5 de la figura d. En esta sección, la distribución de la presión es trapezoidal. Sí es b la anchura horizontal de la placa, sobre el elemento de superficie dA = b dy se ejercerá la presión p = γ h, y el incremento de la fuerza resultante es dR = p dA = bp dy. Pero p dy no es más que el incremento sombreado del área trapezoidal dA', con lo que dR = b dA'. Por tanto, la fuerza resultante que se ejercerá sobre toda la placa podrá expresarse en la forma

∫ ′= AdbR ´ o sea AbR ′=

Hay que tener cuidado en no confundir el área física A de la placa con el área geométríca A' definida por la distribución trapezoidal de la presión. El área trapozoidal que representa la distribución de la presión se expresa fácilmente utilizando su altura media. Por tanto, la fuerza resultante R podrá escribirse en función de la

presión media ( )2121

pppmed += , multiplicándola por el área A de la placa. La presión

media es también la presión existente a la profundidad media correspondiente al centroide O de la placa. Por tanto, otra expresión de R será

AhApR med γ== donde θcosyh = . La recta soporte de la fuerza resultante R se obtiene mediante el principio de los momentos. Utilizando como eje de momentos el eje x (punto B en figura d) se tiene ( )∫= dypbyYR .

Sustituyendo Addyp ′= y eliminando b se tiene

∫∫

′

′=

Ad

AdyY

que no es más que la coordenada centroidal del trapecio de área A'. Por tanto, desde el punto de vista bidimensional, la resultante R pasa por el centroide C del trapecio definido por la distribución de la presión sobre la sección vertical. Evidentemente, Y sitúa también el centroide C del prisma truncado 1-2-3-4-5-6-7-8 de la figura c por el que pasa en realidad la resultante R. Al tratar con una distribución trapezoidal de presión, el cálculo suele simplificarse considerando la resultante como compuesta por dos componentes (figura e). Se divide el trapecio en un rectángulo y un triángulo, considerando por separado las fuerzas representadas por una y otra parte. La fuerza representada por la porción rectangular se ejerce sobre el centro O de la placa y es R2 = p2A, siendo A el área 1-2-3-4 de la placa. La fuerza representada por el incremento triangular de la distribución de presión es

( )App 2121 − y pasa por el centroide de la porción triangular, según se indica.

(e) Presión hidrostática sobre superficies cilíndricas, En el caso de una superficie curva sumergida, la resultante R debida a la presión distribuida lleva consigo más cálculos que en el caso de superficie plana. Como ejemplo considérese la superficie cilíndrica sumergida representada en la figura f en donde los elementos de la superficie curva son paralelos a la superficie horizontal x-y' del líquido. Las secciones verticales normales a la superficie dan todas la misma curva AB y la misma distribución de presión. Por tanto, se podrá utilizar la misma representación bidimensional de la figura g. Para hallar R por integración directa es

necesario integrar las componentes x e y de dR a lo largo de la curva AB, ya que la presión cambia de dirección continuamente. Asi pues,

( )∫ ∫== dypbdLpbRxx y ( )∫ ∫== dxpbdLpbR

yy

Figura f Figura g Figura h

A continuación necesitaremos una ecuación de momentos para establecer la posición de R. A menudo resulta más sencillo otro método para hallar R. Consideremos el equilibrio del bloque de líquido ABC situado inmediatamente encima de la superficie y que se ha representado en la figura h. La resultante R aparece entonces como la reacción (opuesta) que la superficie ejerce sobre el bloque de líquido. Las resultantes de las presiones a lo largo de AC y CB son, respectivamente, px, y py, y se obtienen fácilmente. El peso W del bloque de líquido se calcula a partir del área ABC de su sección, multiplicándola por la dimensión constante b y por el peso especifico. El peso W pasa por el centroide de la superficie ABC. La equilibrante R quedará entonces determinada a partir de las ecuaciones de equilibrio aplicadas al diagrama de sólido libre del bloque de fluido. (d) Presión hidrostática sobre superficies planas de forma cualquiera. En la figura i puede verse una placa plana de forma cualquiera sumergida en un líquido. La superficie horizontal de éste es el plano x-y', y el plano de la placa forma un ángulo è con la vertical. La fuerza que actúa sobre una faja diferencial de área dA paralela a la superficie del liquido es dR = p dA = ãh dA. La presión p tiene el mismo valor en todos los puntos de la faja, puesto que no hay ninguna variación de profundidad a lo largo de la faja horizontal. La fuerza total que actúa sobre el área A se obtiene por integración, y es

figura i

∫ ∫ ∫=== dAhdApdRR γ

Sustituyendo la relación centroidal ∫= dAhAh se tiene

AhR γ=

La cantidad hγ representa la presión que existe a la profundidad del centroide O de la superficie y es la presión media sobre ella. La resultante R puede también representarse geométricamente por un volumen en la forma indicada en la figura j. En este caso, el vector presión p se representa como altura correspondiente a la placa considerada como base. El volumen resultante es un cilindro truncado recto. La fuerza dR que actúa sobre el elemento de superficie de área dA = x dy da el volumen elemental dV = p dA representado por la rebanada sombreada, y la fuerza total es, pues, el volumen total del cilindro. Así,

∫ ∫ === VdVdRR

Figura j De la ecuación AhR γ= se ve que la altura media del cilindro truncado es la presión media

hγ que existe a una profundidad correspondiente al centroide O de la superficie sometida a presión. En los problemas en que no se vea fácilmente el centroide O el volumen V, se obtendrá R por integración directa. Así,

∫ ∫ ∫=== dAxhdApdRR γγ

donde, para integrar, la profundidad h y la longitud x de la faja horizontal de área diferencial se deben poner en función de y. El segundo requisito del análisis de la presión del fluido es la determinación de la posición de la fuerza resultante a fin de tener en cuenta los momentos de las fuerzas de presión. Utilizando el principio de los momentos, tornando como eje de momentos el eje x de la figura j, se tiene

∫= dRyYR o sea V

dVyY ∫=

Esta segunda relación satisface la definición de la coordenada Y del centroide del volumen V, y se concluye, por tanto, que la resultante R pasa por el centroide del volumen descrito por el área de la placa como base y la presión linealmente variable como altura. El punto P de la placa al que hay que aplicar R es el centro de presión. Téngase m cuenta que el centro de presión P y el centroide de la superficie plana O no son un mismo punto. Se puede escribir otra expresión de Y que contiene el llamado momento de inercia (será tratados a profundidad en futuras clases) de la superficie. Sustituyendo en la expresión del principio de los momentos AhR γ= , hAdR γ= , θcosyh = , θcosyh = , la expresión

∫= dRyYR da

Ay

dAyY ∫=

2

o sea Ay

IY x=

donde Ix es el momento de inercia ∫ dAy 2 de la superficie respecto al eje x paralelo en la

superficie del líquido. El momento de inercia de la superficie puede escribirse en la forma AkI xx

2= donde kx es el llamado radio de giro de la superficie respecto al eje x.

Efectuando esta sustitución, la ecuación Ay

IY x= podrá escribirse en la forma

y

kY x

2

=

La utilizaciónde las ecuaciones Ay

dAyY ∫=

2

y Ay

IY x= exige el conocimiento de las

propiedades de los momentos de inercia de superficies. Como en este momento no se supone que el lector posea dicho conocimiento, no se insitará en el estudio de las

ecuaciones Ay

dAyY ∫=

2

y Ay

IY x= .

Al tener en cuenta el momento resultante respecto a un eje paralelo a la placa de las fuerzas de presión que sobre ella se ejercen, la integración directa resulta a menudo tan inmediata

como la aplicación de las ecuaciones ∫= dRyYR , V

dVyY ∫= ,

Ay

dAyY ∫=

2

y

Ay

IY x= . Así, el momento resultante M de las fuerzas de presión respecto, por ejemplo, al

eje x es

∫ ∫== dyxhyydRM γ

y, de nuevo, para realizar la integración, deberán ponerse en función de, y la profundidad h y la longitud x de la faja horizontal de área diferencial. Problema 5/110 Meriam 2da Edición La compuerta vertical accionada por el resorte está engoznada por su borde superior A según un eje ho rizontal y cierra el extremo de un canal rectangular de agua dulce de 1,2 m de anchura (normal al plano del papel). Calcular la fuerza F que debe ejercer el resorte para limitar la profundidad del agua a h = 1,8 m. Solución:

3/1000 mkp=γ

( )

23

/9002

8,1/1000mkp

mmkpPmedia ==

la resultante:

( )( ) kpmmmkpAPR media 00,19442,18,1/900 2 === ubicación de la resultante:

mm

h 6,038,1 ==

por equilibrio + ∑ = 0AM ( ) ( ) 08,19,0 =−⋅ RmFm R

( ) ( ) KpKpRm

RmFR 388800,194422

9,08,1 =⋅=⋅==

mm

h 6,038,1

== mm

h 6,038,1

==

9-104. La presa de concreto está diseñada para que su cara AB tenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra. Por esto, la fuerza friccional en la base BD de la presa se incrementa debido a la fuerza hidrostática del agua que actúa sobre la presa, Calcule la fuerza hidrostática que actúa en la cara AB de la presa. La presa tiene un ancho de 60 pies. ρw = 62.4 lb/pies3. Solución:

( )( )( )[ ]( )piespiespiespieslbFAB 6063,2112/4,6221 3=

kipFAB 486= 9-112. La superficie arqueada AB tiene la forma de un cuarto de círculo. Si tiene una longitud de 8 m, determine las componentes vertical y horizontal de la fuerza resultante causada por el agua que actúa sobre la superficie. ρw =1.0 Mg/m3. Solución:

( )( )( )( )( ) kNmmmsmmKgF 88,470823/81.9/1000 233 ==

( )( )( )( )( ) kNmmmsmmKgF 88,470823/81.9/1000 232 ==

( )( ) ( )( )( ) kNmmmsmmKgF 96,15682221

/81.9/1000 231 =

=

( ) ( ) ( )( )( ) kNsmmkgmmmW 37,67/81,9/10008241

2 2322 =

−= π

( ) kNkNFx 62888,47096,156 =+=

( ) kNkNFy 53837,6788,470 =+=

A C

pies18

D B

pies12pies63,21

ABF

A

m2

W

2F

1F

3F

A

m2

W

2F

1F

3F