Problema n2
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julio-diaz-rodriguez -
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2. En una comunidad de 8000 personas, la velocidad con la que se difunde un rumor tiene una relación directa a la raíz cuadrada del número de personas que si escucharon el rumor y al número de personas que no escucharon el rumor. Sabiendo que 40 personas escucharon el rumor, este llega a circular a velocidad de 200 personas por hora. ¿Cuantas personas habrán escuchado otro rumor si la velocidad fue de 50 personas por hora?
Solución:
Según las relaciones la ecuación queda así:
v=k √ x (8000−x )
Pero, se nota que la velocidad está en función de las personas:
f ( x )=k √x (8000−x) Luego, se halla la constante k para hallar la ecuación completa
200 personahora
=k √40 (8000−40 )
Hallando así: k=√10796
Finalmente se tiene la ecuación completa: f ( x )=√10 x (8000−x )796
Ahora, teniendo en cuenta los datos anteriores, hallamos el número de personas que escucharon el rumor representada por x, utilizando el método de Müller.
Haciendo la función más asequible: f ( x )=50=8000√10 x1/2
796−√10 x3 /2
796
f 1 ( x )=8000√10 x1 /2
796−√10 x3/2
796−50=0
Método de Müller:
Primera Iteración:
Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:
x0=1 ; x1=2; x2=3
Se evalúan los puntos en el f 1(x) , en los cuales se obtiene:
f 0=−18.2223 ; f 1=−5.0651 , f 2=5.0269
Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:
f [ x1 , x0 ]=f 1− f 0x1−x0
=13.1572f [ x2 , x1 ]=f 2−f 1x2−x1
=10.0920
f [ x2 , x1 , x0 ]=f [x2 , x1 ]−f [ x1 , x0 ]
x2−x0=−1.5326Luego:
a2=f [ x2 , x1 , x0 ]=−1.5326a1=f [ x2 , x1 ]−(x1+x2 )a2=−17.775
a0=f 2−x2 ( f [ x2, x1 ]−(x1 )a2 )=−34.4447
Se calculan los denominadores de la ecuación x i+1=2a0
−a1±(a12−4 a0a2)
1/2 , y el valor
absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.
−a1+(a12−4a0a2)12=−7.553−a1−(a12−4 a0a2 )
12=−28.0117
Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
x2=2 (−34.4447 )−28.0117
=2.4593
Segunda Iteración:
Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:
x0=2 ; x1=3 ; x2=2.4593
Se evalúan los puntos en el f 1(x) , en los cuales se obtiene:
f 0=−5.0651 ; f 1=5.0269 , f 2=−0.1749
Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:
f [ x1 , x0 ]=f 1− f 0x1−x0
=10.092f [ x2 , x1 ]=f 2−f 1x2−x1
=9.6205
f [ x2 , x1 , x0 ]=f [x2 , x1 ]−f [ x1 , x0 ]
x2−x0=−1.0266Luego:
a2=f [ x2 , x1 , x0 ]=−1.0266a1=f [ x2 , x1 ]−(x1+x2 )a2=15.225a0=f 2−x2 ( f [ x2, x1 ]−(x1 )a2 )=−31.4087
Se calculan los denominadores de la ecuación x i+1=2a0
−a1±(a12−4 a0a2)
1/2 , y el valor
absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.
−a1+(a12−4a0a2)12=−5.0848−a1−(a12−4 a0a2 )
12=−25.3652
Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
x2=2 (−31.4087 )−25.3652
=2.4765
Tercera Iteración:
Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:
x0=3 ; x1=2.4593 ; x2=2.4765
Se evalúan los puntos en el f 1(x) , en los cuales se obtiene:
f 0=5.0269 ; f 1=−0.1749 , f 2=−0.0010
Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:
f [ x1 , x0 ]=f 1− f 0x1−x0
=9.6205f [ x2 , x1 ]=f 2−f 1x2−x1
=10.1105
f [ x2 , x1 , x0 ]=f [x2 , x1 ]−f [ x1 , x0 ]
x2−x0=−0.9360
Luego:
a2=f [ x2 , x1 , x0 ]=−0.9360a1=f [ x2, x1 ]−(x1+x2 )a2=14.7304a0=f 2−x2 ( f [ x2 , x1 ]−(x1 )a2 )=−30.7403
Se calculan los denominadores de la ecuación x i+1=2a0
−a1±(a12−4 a0a2)
1/2 , y el valor
absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.
−a1+(a12−4a0a2)12=−4.6362−a1−(a12−4 a0a2 )
12=−24.8246
Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
x2=2 (−30.7403 )−24.8246
=2.4766
Finalmente, se obtiene el valor más aproximado a la raíz: x=2.4766
i x i ¿ x i+1– x i∨¿
1 1 -2 2 1.00003 3 1.00004 2.4593 0.54075 2.4765 0.01726 2.4766 0.0001
Ahora para comprobar si resulta dar la misma respuesta con otro método:
Método del Newton-Raphson:
Teniendo x0=1 y ε=1x 10−3 aplicando |x i+1− xi| :
Utilizando la ecuación:
x i+1=x i−f (x i)f ' (x i )
=g (x i)
Entonces, hallando la derivada de la función y reemplazando en la ecuación anterior:
Primera Iteración:
x1=x0−f 1 (x0 )f '1 (x0 )
=g (x0 )x1=1−
8000√10 (1 )12
796−
√10 (1 )32
796−50
4000√10 (1 )−12
796−3√10 (1 )
12
1592
=g (1 )=2.1471
Segunda Iteración:
x2=2.1471−
8000√10 (2.1471 )12
796−
√10 (2.1471 )32
796−50
4000√10 (2.1471 )−12
796−3√10 (2.1471 )
12
1592
=2.4648
Tercera Iteración:
x3=2.4648−
8000√10 (2.4648 )12
796−
√10 (2.4648 )32
796−50
4 000√10 (2.4648 )−12
796−3√10 (2.4648 )
12
1592
=2.4766
Demostrando así que el valor hallado en el método anterior si tiene el mismo resultado aplicado en este.
i x i ¿ x i+1– x i∨¿
0 1 -1 2.1471 1.14712 2.4648 0.31773 2.4766 0.0118
Codificación:
eps=0;eps1=0.00001;x0=1;x1=2;x2=3;for i=1:6 f0=((8000*(10)^(1/2)*x0^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x0^(3/2))/796)-50; f1=((8000*(10)^(1/2)*x1^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x1^(3/2))/796)-50; f2=((8000*(10)^(1/2)*x2^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x2^(3/2))/796)-50; f10=(f1-f0)/(x1-x0); f21=(f2-f1)/(x2-x1); f210=(f21-f10)/(x2-x0); a2=f210; a1=f21-(x2+x1)*a2; a0=f2-x2*(f21-x1*a2); d1=-a1+(a1^(1/2)-4*a0*a2); d2=-a1-(a1^(1/2)-4*a0*a2); if abs(d1)>abs(d2) x3=2*a0/d1; else x3=2*a0/d2; end f3=((8000*(10)^(1/2)*x3^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x3^(3/2))/796)-50; dist=abs(x3-x2); disp([x3,dist]) if or((dist<eps),(abs(f3)<eps1)) break else x0=x1;x1=x2;x2=x3; endend