Problemas

Mecanica y Ondas II Boletın N 1 Curso 2006/07

Problemas de Mecanica y Ondas II.

Boletın N 1

Problema 1.1 . Un cilindro de altura h y radio R1 tiene una de sus bases pegada tangen-cialmente, en su centro, a la superficie de una esfera de radio R2. Ambos cuerpos tienenla misma masa M y la misma densidad. Se supone que el centro de masas del sistemacompleto (cilindro y esfera) esta en el punto de contacto. Calcule el momento de inerciadel sistema respecto a un eje perpendicular al eje de simetrıa de aquel y que pasa por elcentro de masas (expresar el resultado final en terminos de h).

Problema 1.2 . Un balon de radio R rueda sin deslizar hacia adelante a lo largo delpasillo de un tren. Su velocidad respecto al tren es VB y la velocidad del tren respecto alas vıas es VT . Indique donde se encuentra el centro instantaneo de rotacion del balon.

Problema 1.3 . Una esfera no homogena de radio R y densidad ρ(r) = ρ0r/R, siendor la distancia al centro y ρ0 una constante positiva, se cuelga por un punto fijo de susuperficie. Calcule la frecuencia de las pequenas oscilaciones cuando su centro se muevesiempre en el mismo plano vertical bajo la accion de la gravedad.

Problema 1.4 . El sistema de la figura consiste en un aro de radio R y una varilla AB delongitud 3R y masa m, estando dicho sistema conte-nido en un plano vertical. El aro esta fijo, mientras elextremo A de la varilla puede deslizar sin rozamientoa lo largo del aro. La varilla en su movimiento siem-pre pasa por el punto C, intereseccion del aro con sudiametro horizontal. Determine la posicion del cen-tro instantaneo de rotacion. Si en el instante inicialel segmento AC de la varilla esta situado por encimadel diametro horizontal, formando con el un angulo

de π/6, y se deja caer la varilla sin velocidad inicial, calcular la velocidad del extremo Ade la varilla cuando pasa por la posicion horizontal.

Problema 1.5 . Pruebe que la energıa cinetica de una barra homogenea de masa m es

T =m

6

(~u 2 + ~u · ~v + ~v 2

),

donde ~u y ~v son las velocidades de los extremos.

Problema 1.6 . Halle la energıa cinetica de un cilindro de masa m, radio R y altura h,que gira con velocidad angular ~ω constante alrededor de un eje que forma un angulo deπ/4 con el eje del cilindro y que pasa por su centro de masas, que es un punto fijo.

Problema 1.7 . Se considera un cono homogeneo de masa m, altura h, y radio de labase r, sobre el cual se coloca un sistema de referencia con origen en el vertice y el eje Zcoincidiendo con el eje del cono. Los elementos de la matriz de inercia respecto a estos ejesson Ixx = Iyy = (3m/5)(r2/4 + h2), Izz = (3/10)mr2 y los productos de inercia son nulos.Calcule el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje X que sea tangente a la

Universidad Complutense 1


circunferencia de la base. (Dato: El centro de masas de un cono homogeneo esta situadoa una distancia 3h/4 de su vertice). Suponiendo que el vertice es un punto fijo, calcule

el momento angular ~L respecto al vertice y la energıa cinetica de rotacion T del conocuando la velocidad angular es ~ω = ω~u, donde ~u es un vector unitario segun la generatrizdel cono contenida en el plano XZ.

Problema 1.8 . Encuentre los momentos principales de inercia de una placa rectangularde masa m y lados a y b. ¿Cual es el par que se necesita para hacer rotar la placa alrededorde una de las diagonales con velocidad angular constante ~ω?

Problema 1.9 . Un disco homogeneo de masa m, radio R y espesor despreciable se muevesin rozamiento alrededor de su centro que permanece fijo. Estudie el movimiento del discosabiendo que en el instante inicial gira con una velocidad ~ω que forma un angulo de π/4con el eje del disco. ¿Cuanto vale el modulo del momento angular?

Problema 1.10 . Un paralelepıpedo homogeneo de masa m, recto, de base cuadrada delado a y altura h, se mueve en ausencia de fuerzas externas y de modo que el centro O deuna de las bases cuadradas es fijo. Sean ı, y k tres vectores ortonormales solidarios conel solido y dirigidos segun sus aristas, con origen en O, de forma que dicha base esta en elplano que forman ı y . Los momentos principales de inercia en este sistema de referenciason Ix = Iy = (m/12)(a2 + 4h2) y Iz = (m/6)a2 y los productos de inercia son nulos.En dicho sistema de referencia, la velocidad angular inicial es ω0(1, 0, 1). Sabiendo quea = 2

√3h, calcule la velocidad angular en un instante t tal que ω0t = π.

Problema 1.11 . El sistema de la figura esta constituido por una barra homogenea ydelgada, de longitud ` y masa m. El extremo A de la barraesta inicialmente sujeto, de forma que el angulo entre labarra y el suelo es 60. El extremo opuesto B de la barra seanuda a una cuerda que pasa por una polea y se suspendeuna pesa de masa m. Dicho extremo se mueve siempre porla guıa vertical indicada en el dibujo adjunto. Determinela aceleracion inicial de la pesa si se rompe el enganche A.Dato: Ic = (1/12)m`2.

Problema 1.12 . Una varilla rıgida y homogenea de masa m y longitud 2L esta inicial-mente en posicion vertical sobre el suelo, y su centro se mueve a lo largo de una guıavertical. Si la varilla comienza a caer con velocidad inicial despreciable y sin rozamien-to, determine en funcion del angulo que forma con la horizontal: a) trayectoria del centroinstantaneo de rotacion respecto al sistema de referencia no inercial y b) al inercial. c) Cal-cule la energıa cinetica de la varilla empleando el centro instantaneo de rotacion y d) lavelocidad angular al llegar al suelo. Dato: Ic = mL2/3.

Problema 1.13 . Una barra homogenea AB muy delgada, de longitud L y masa m,esta articulada en el extremo A y unida a un eje vertical, como indica la figura. El eje

gira con velocidad angular constante ω =√

3g/L. Determine para la barra:



1. Grados de libertad.

2. Energıa cinetica en funcion de las coordenadas ge-neralizadas.

3. Ecuacion de movimiento.

4. Angulo θ de equilibrio estable.

5. Frecuencia de las oscilaciones pequenas en torno ala posicion de equilibrio.

Problema 1.14 . Un cilindro inmovil de radio R tiene su eje horizontal. Se coloca unsegundo cilindro, de masa m y radio R, sobre el primero, de manera que los ejes sonparalelos. Inicialmente cilindro se encuentra en la posicion mas elevada y comienza arodar sin deslizar con velocidad angular despreciable. Determine para dicho cilindro:


2. Lagrangiano mientras esta en contacto con el cilin-dro fijo.

3. Posicion en la que deja de estar en contacto con elcilindro fijo.

4. Momento de las fuerzas que actuan sobre el cilindroen dicha posicion respecto al centro del cilindro fijo.

Problema 1.15 . Un cilindro homogeneo de masa m, radio R y altura H puede rotar convelocidad angular constante ~ω alrededor de un eje fijo que pasa por el centro de masasy por los apoyos A y B de la circunferencia de sus caras, segun indica el dibujo. Lascomponentes del tensor de inercia respecto a los ejes cartesianos indicados son Ix = Iy =(1/12)m(3R2 +H2) y Iz = (1/2)mR2, siendo nulos los productos de inercia. Despreciandolos efectos de la gravedad, obtenga:

1. Energıa cinetica del cilindro.

2. Momento de las fuerzas que actuan sobre los apoyosA y B.

3. Relacion entre R y H para que sea nulo el momentoaplicado.

4. Modulo de las fuerzas normales al eje aplicadas sobrelos apoyos A y B. Nota: ~A⊥ = ~A− n ( ~A · n).

Problema 1.16 . Un semidisco homogeneo de masa m y radio R oscila sin deslizar sobreuna superficie horizontal, de manera su plano se mantiene vertical. La distancia entre elcentro de masas (cm) del semidisco y el centro P es h. El momento de inercia respecto aleje pararalelo a Z que pasa por P es IP = (1/2)mR2. Determine:



1. las coordenadas del cm en funcion de θ,

2. momento de inercia respecto al eje pararalelo a Zque pasa por el cm,

3. el lagrangiano del semidisco y

4. la frecuencia de las pequenas oscilaciones cerca dela posicion de equilibrio (θeq = 0).

Problema 1.17 . Se coloca un sistema de referencia con origen en el vertice de un conohomogeneo de masa m, altura h, y radio de la base r. El eje Z coincide con el eje desimetrıa axial del cono, de manera que los elementos de la matriz de inercia respecto aestos ejes son Ix = Iy = (3m/5)(r2/4 + h2), Iz = (3/10)mr2 y los productos de inerciason nulos. Calcule la energıa cinetica del cono cuando rueda sin deslizar sobre un planohorizontal.

Problema 1.18 . El cono del problema anterior se coloca sobre un plano inclinado unangulo β respecto a la horizontal. Determine la frecuencia de las pequenas oscilaciones entorno a la posicion de equilibrio estable. (Dato: El centro de masas de un cono homogeneoesta situado a una distancia 3h/4 de su vertice).

Problema 1.19 . Obtenga la energıa cinetica de un cono homogeneo, de masa m y alturah, cuya base de radio r rueda sin deslizar por un plano horizontal, y cuyo vertice es fijoy se encuentra a una altura r sobre el plano.

Problema 1.20 . Se pretende estudiar la dinamica de una estrella de neutrones que sedeforma lentamente. Como la deformacion es muy lenta, se puede suponer que la estrellase comporta como un solido rıgido homogeneo casi esferico durante tiempos cortos. Seutilizan entonces los siguientes momentos principales de inercia:

I1 = I2 = I0

(1− 1

2ε cos Ωt

)I3 = I0(1 + ε cos Ωt)

con ε¿ 1 e I0 = (2/5)mR2. Simultaneamente la estrella rota con velocidad angular ~ω(t).Encuentre y simplifique las ecuaciones del movimiento para las componentes la velocidadangular cuando ω À Ω, admitiendo que el momento de las fuerzas externas es nulo.




Boletın N 2

Problema 2.1 . Determine el perfil de la superficie de un lıquido en reposo cerca de unapared vertical. ¿Existe alguna escala espacial caracterıstica? En caso afirmativo, halle suvalor para el agua.

Problema 2.2 . La figura representa un deposito de agua de altura h = 1 m con paredesverticales y planas, abierto en la parte superior. En unade las paredes del deposito existe una puerta cuadrada quepuede girar en torno a un eje horizontal mediante una bi-sagra A. La longitud de la arista es d = 0,3 m. Determinela fuerza ~F perpendicular a la puerta que hay que apli-car en el punto mas bajo para que la puerta no se abra.Discuta cual serıa el valor de la fuerza si el deposito fueracompletamente hermetico.

Problema 2.3 . Un peso cilıdrico de 5 cm de altura, 5,995 cm de diametro y 0,3 kg demasa cae con velocidad constante dentro de un tubo cilındrico cuyo diametro interior es6,000 cm. Existe una capa de aceite entre las superficies de ambos cilindros, cuya viscosidades 7× 10−3 Nsm−2. Determine la velocidad lımite de caıda del peso, sabiendo que el perfilde velocidad en la capa de aceite es lineal.

Problema 2.4 . Deduzca el valor de la presion en la atmosfera hasta 12 km de altura,suponiendo que el aire se encuentra en reposo y se comporta como un gas ideal. Latemperatura en funcion de la altura z viene dada por la relacion T (z) = T0 − γz, dondeT0 es la temperatura en la superficie (z = 0) y γ = 6,5 K/km.

Problema 2.5 . Un flujo es tal que ui/|~u| es independiente del tiempo. Demuestre quelas lıneas de corriente coinciden con las trayectorias ¿Que se puede decir de un flujoestacionario?

Problema 2.6 . Un fluido presenta el siguiente campo de velocidades

u = − x

t0v =

y

t+ t0w =

zt

t0(t+ t0).

donde t0 es una constante con dimensiones de tiempo. Determine si se trata de un flujoincompresible e irrotacional. Calcule la trayectoria de una partıcula fluida cuya posicionen t = 0 es (x0, y0, z0) y obtenga las ecuaciones de las lıneas de corriente en dicho instanteinicial.

Problema 2.7 . Dos discos horizontales, paralelos y concentricos, se acercan uno a otro convelocidad relativa V0 constante. Entre los discos existe un fluido incompresible. Determinela velocidad del fluido en funcion de la separacion de los discos, admitiendo que el flujoes radial y depende exclusivamente de la distancia al eje que une los centros de ambosdiscos.



Problema 2.8 . La figura muestra la seccion horizontal de un canal convergente porel que circula un fluido incompresible. El perfil del canal sedetermina mediante la funcion Y (x) = Y0/(1+x/l), siendo elcanal simetrico respecto al plano vertical central y x indicala distancia desde el punto de entrada. En esta expresion Y0

y l son constantes con dimensiones de longitud. Calcule lacomponente y del flujo, v(x, y), sabiendo que la componentex viene dada por

u(x, y) = u0

(1 +

x

l

) [1−

(y

Y

)2].

X

Y

(x,y)

Y(x)=Y0 /(1+x/l)

Problema 2.9 . Un fluido incompresible presenta un campo de velocidades cuyas compo-nentes cartesianas son las siguientes: u = V0 x/a, v = 0 y w = −V0z/a,donde V0 y a son constantes con las dimensiones apropiadas. Consi-dere un volumen fijo con forma de prisma recto, como el mostradoen la figura. Las caras triangulares son triangulos rectagulos, perpen-diculares al eje Y , con catetos de longitud L, mientras que las carasrectangulares tienen una anchura b. Sin emplear la ecuacion de con-tinuidad, calcule el caudal a traves de la superficie del volumen fijo.Discuta si era esperable el resultado.

Problema 2.10 . Un deposito de aceite se vacıa a traves de dos planos paralelos, separadospor una distancia z0. En la embocadura el flujo presenta unperfil uniforme donde la velocidad es u0 = 8 cm/s, mientrasque mas adelante el perfil es parabolico, anulandose en laplanos como indica el dibujo. Encuentra la velocidad maxi-ma umax cuando el perfil es parabolico, admitiendo que elaceite es incompresible.

Problema 2.11 . La figura muestra la seccion horizontal de un canal convergente. Enla region central del estrachamiento de longitud L, el flujo a lo largo del eje X a unadistancia x de la entrada se expresa por ~u = u0(1 + x/L) ı, siendo u0 constante. Para unapartıcula fluida que se mueve en la region central, determine:

1. su aceleracion,

2. su posicion y su aceleracion en el instante t =L/2u0, si en el instante inicial se encuentra en elorigen de coordenadas.




Boletın N 3

Problema 3.1 . Demuestre que la magnitud φ ≡ eijeij − (1/3)(∇ · ~u)2 es positiva.

Problema 3.2 . El producto de la densidad por la velocidad de un cierto fluido es ρ~u =[axı−bxy] exp(−λt), siendo a, b y λ constantes con las dimensiones apropiadas. Determinela densidad en funcion del tiempo en un punto de coordenadas (x0, y0, z0), sabiendo quela densidad en el instante inicial en dicho punto es ρ0.

Problema 3.3 . Dos superficies planas, horizontales y paralelas estan separadas por unadistancia de 1, 5 cm. Entre ellas se introduce un aceite de viscosidad 0, 05 kg m−1 s−1 y unalamina rectangular muy delgada de dimensiones 30 × 60 cm2. Dicha lamina es paralelaa ambas superficies y se encuentra a 1, 0 cm de una de ellas. Determine la fuerza quese necesita para desplazarla por el fluido a 0, 4 m s−1, manteniendose paralela a ambassuperficies. Admita que no hay gradientes externos de presion.

Problema 3.4 . Un tubo en forma de U esta compuesto por dos cilindros huecos ver-ticales y un codo semicircular de radio R. Todos ellos tienenun radio interior r que es mucho menor que R. El codo semi-circular esta lleno de un lıquido incompresible de densidad ρ yviscosidad despreciable. Determine la ecuacion del movimientopara la altura x del lıquido sobre el nivel de equilibrio cuandoesta fuera del equilibrio. Suponga que x es pequena, de formaque se cumple aproximadamente la ley de Pascal.

Problema 3.5 . Utilize el balance de momento en un fluido incompresible para obtenerla fuerza neta que actua sobre un tubo de corrienteestacionaria como el de la figura, donde los diametrosde las caras circulares son d1 = 20 cm y d2 = 10 cm,el caudal es Q = 0,25 m3/s y la densidad del fluidoρ = 1000 kg/m3. La velocidad del fluido en cada unade las caras circulares, ~u1 y ~u2, son normales a lasmismas, uniformes y forman un angulo de 45 entreellas, como se indica en la figura.

Problema 3.6 . Una taza de 10 cm de altura y 6 cm de diametro se encuentra sobre elsalpicadero de un automovil, y esta llena de cafe hasta una altura de 7 cm sobre el fondo. Elautomovil comienza a desplazarse en lınea recta con una aceleracion de a = 7 m/s2. Calculeel angulo de inclinacion de la superficie respecto a la horizontal cuando se alcance el estadoestacionario, indicando si se derramara el cafe. Obtenga la presion en el fondo de la tazaen el punto donde la altura de cafe es mayor. La densidad del cafe es ρ = 1010 kg/m3.

Problema 3.7 . Un cubo de agua rota con velocidad angular constante ~Ω en torno a sueje de simetrıa axial, que es vertical. Calcule el perfil de la superficie del agua cuando sealcanza el estado estacionario y todos el fluido rota con velocidad angular ~Ω.



Problema 3.8 . Dos cilindros concentricos verticales contienen un fluido incompresible(densidad ρ) y viscoso (viscosidad µ) entre ellos. El cilindro interno tiene un radio exterior

R1 y gira con velocidad angular ~Ω constante. El cilindro externo tiene un radio interiorR2 y permanece fijo. Determine el perfil de velocidad del fluido.

Problema 3.9 . El campo de velocidades de un fluido incompresible y viscoso tienepor componentes u = Kx, v = −Ky y w = 0, siendo K una constante. Despreciandolos efectos de la gravedad, compruebe que el flujo satisface la ecuacion de Navier-Stokes,calcule el campo de presiones P (x, y) y su relacion con el mudulo cuadrado de la velocidadu2 + v2.

Problema 3.10 . La figura representa una bomba de agua. Una lamina plana se desplazacon velocidad V0 movida por dos cilindros horizontales.Esta lamina permite bombear el agua desde el nivelinferior al superior, salvando un desnivel de altura h.El agua se canaliza entre la lamina y una pared verticalfija, siendo l la distancia entre ambas. Admita que elagua tiene viscosidad µ y densidad ρ constantes, queel vector velocidad del fluido se orienta segun el eje Zy que es independiente de la coordenada x. Consideretambien que el flujo del agua es estacionario.

1. ¿De que variable(s) depende la velocidad?

2. Escriba la ecuacion que describe el movimiento del agua en el canal.

3. Demuestre que la presion es uniforme en los planos horizontales.

4. La presion P0 en la superficie libre de ambos niveles es igual, por lo que se puedesuponer que el gradiente de presion es nulo. Escriba la ecuacion diferencial que rigela velocidad y resuelvala para las condiciones del problema.

Problema 3.11 . Un fluido newtoniano e incompresible, de densidad ρ y viscosidadµ, se mueve entre dos planos pa-ralelos horizontales separados unadistancia d, como indica el dibu-jo. El plano inferior se encuentraen reposo mientras que el superiorse desplaza con velocidad constan-te ~V = V0 . Ademas se aplica ungradiente de presion uniforme demanera que ∂P

∂x= K mientras que

∂P∂y

= 0. Demuestre que la ecuacion

de Navier-Stokes en estado estacionario admite una solucion de la forma ~u = u(z) ı+v(z) ,y encuentre ∂P

∂z, u(z) y v(z).

Problema 3.12 . El chorro de agua del Parque Ferial Juan Carlos I esta alimentado poruna canalizacion muy grande de radio b = 0,5 m. El radio del orificio de salida es a = 0,1 my el caudal del chorro es Q = 500 l/s.



1. ¿Cual es la velocidad ~V0 con la que sale el chorrodel orificio?

2. Si se desprecia el rozamiento, ¿cual es la alturaque alcanza el chorro?

3. ¿Cual es la presion que suministra la bomba in-cluida en la canalizacion? Considere que la ve-locidad del fluido en la entrada de la bomba esdespreciable (~Ve ' 0) y que esta se encuentramuy cerca de la superficie.

Problema 3.13 . Se vierten 80 ` de agua en un recipiente cilındrico de radio R = 20 cm,siendo la presion por encima del lıquido la atmosferica, Patm. En un cierto instante se abreun pequeno orificio B circular de seccion SB = 15 mm2, situado en el fondo del recipiente.Admitiendo que el vaciado se lleva a cabo de manera muy lenta, determine:

1. La ecuacion de evolucion para la altura del aguaen el recipiente, zc(t), medida desde el orificio B.

2. El tiempo que tarda en vaciarse la mitad delrecipiente.

Problema 3.14 . Un canal de h = 2 m de profundidad transporta agua a una velocidadV1 en regimen estacionario. En un cierto punto del trayectoexiste una elevacion del fondo de d = 30 cm de altura. Endicho punto se observa una depresion de d′ = 10 cm de lasuperficie del agua. Determine el valor de V1, admitiendoque los efectos de la viscosidad se pueden despreciar.

Problema 3.15 . Un fluido incompresible, de densidad ρ = 103 kg/m3 y sin viscosidad, semueve por el canal curvo mostrado en la figura. El movimiento del fluido puede describirsemediante un campo de velocidades bidimensional, cuya funcion de corriente es Ψ = 4x(y+2), donde las unidades estan referidas al SI. Determine:

1. El campo de velocidades.

2. La funcion potencial del movimiento ϕ (poten-cial velocidad).

3. El caudal masico que tiene, sabiendo que lascoordenadas de los puntos A y B son: A→ (5, 0)y B → (5, 2), y que la profundidad del canal esh = 1 m.



Problema 3.16 . Considere un flujo cuyas componentes de la velocidad en el SI vienendadas por u = 0, v = −y3 − 4z, y w = 3y2z ¿Es incompresible? ¿Existe la funcion decorriente? Determınela en caso afirmativo.

Problema 3.17 . Determine analıticamente la velocidad lımite de una esfera de radioR en el viscosımetro de Stokes, cuando la viscosidad del fluido es µ. Desprecie cualquierefecto relacionado con las paredes del viscosımetro.

Problema 3.18 . La formula de Stokes para la velocidad lımite de la esfera es validasiempre que el numero de Reynolds sea inferior a la unidad. Se deja caer una esferade densidad ρe = 1,5 g/cm2 en un viscosımetro con glicerina (ρl = 1,26 g/cm3 y µ =23,3 g/cm s). Determine el valor maximo del radio de la esfera para que la formula deStokes sea valida.

Problema 3.19 . Lejos de un sumidero, el campo de velocidades de un fluido tiene lassiguientes componentes: u = −Ay/(x2+y2), v = Ax/(x2+y2) y w = 0, siendo A constante.

1. Obtenga las lıneas de corriente y trayectorias de las partıculas fluidas.

2. Discuta si existe la funcion de corriente y en caso afirmativo obtengala.

3. Calcule la aceleracion de las partıculas fluidas.

Problema 3.20 . Un fluido incompresible de densidad ρ y viscosidad µ se encuentrasituado entre dos planos horizontales separados una distancia d. El plano superior se muevecon velocidad horizontal V0 cosωt. Calcule el perfil de velocidad del fluido en ausencia degradientes externos de presion, admitiendo que la componente horizontal de la velocidades de la forma u(y, t) = V0 [f(y) cosωt+ g(y) senωt], donde y es la coordenada vertical.




Boletın N 4

Problema 4.1 . Dos barras homogeneas y muy delgadas, de longitud ` y masa m, estanunidas mediante un muelle ideal de constante recuperadora k ylongitud natural `, como indica la figura. Los extremos opuestosde las barras se enganchan a sendas argollas de masa despre-ciable, que se introducen en una pequena guıa, perpendicular alplano de movimiento horizontal. Calcule la posicion de equilibrioy las frecuencias normales del sistema.

Problema 4.2 . Dos partıculas de masas 4m y m cuelgan de un mismo punto mediantesendos hilos inextensibles y sin masa de longitudes l y 2l respectivamente. Ambas masasestan unidas a traves de un muelle de longitud natural despreciable y constante recupe-radora k = 3gm/8l. Suponiendo que el movimiento solo se produce en el plano vertical,obtenga las frecuencias normales de vibracion ası como las coordenadas normales.

Problema 4.3 . Dos pendulos de la misma masa m y longitud l estan acoplados medianteun muelle de constante k que une dos puntos situados a una distancia a de los respectivospuntos de suspension. Halle los modos y coordenadas normales de vibracion suponiendoque la longitud natural del muelle l0 es igual a la distancia entre los puntos de suspensionde los pendulos.

Problema 4.4 . Un aro rıgido de masa 2m y radio R puede rotar sin deslizar sobre unalınea recta horizontal. Una partıcula P de masa m puede moverse sin rozamiento a lo largodel aro. Determine las frecuencias de las pequenas oscilaciones en torno a la posicion deequilibrio.

Problema 4.5 . Un aro de radio R y masa m puede oscilar en un plano vertical suspendidode un punto fijo situado en su periferia. Una masa m esta ensartada en el aro, de maneraque se puede mover sin rozamiento a lo largo del mismo. Determine el Lagrangiano delsistema cerca de la posicion de equilibrio y las frecuencias normales.

Problema 4.6 . Halle las frecuencias normales de oscilacion de una cadena circular yhorizontal formada por N = 3 masas equidistantes iguales enlazadas mediante muellesidenticos de constante recuperadora k. Generalice el resultado al caso de N arbitrario.

Problema 4.7 . Considerese el sistema de la figura moviendose en un plano horizontalsin rozamiento. La masa m1 = m se mueve por una guıaperpendicular a las paredes. Esta conectada al extremode una barra de masa mb = 6m y longitud l mediante unpivote. El otro extremo de la barra pivota en la masam2 =m. La longitud natural de los muelles es l0 y la separacionentre ambas paredes es 2l0. Calcular las frecuencias y lascoordenadas normales del sistema.



Problema 4.8 . Una barra homogenea y delgada, de longitud 2l y masa m, se mueveen un plano horizontal entre dos lıneas paralelas indefinidas separadas por una distancia2a (a > l). Cada lınea ejerce una fuerza atractiva sobre cada uno de los extremos de labarra, en direccion perpendicular a la lınea, siendo el modulo de la fuerza proporcionala la distancia de separacion entre el correspondiente extremo y dicha lınea. Calcular laposicion de equilibrio estable, las frecuencias y las coordenadas normales de la barra.

Problema 4.9 . Tres guıas fijas y horizontales estan unidas en un mismo vertice, formandoun angulo relativo entre ellas de 120o. En dos de ellas se ensartan dos partıculas de lamisma masa m. Tres muelles iguales de longitud natural l y constante recuperadora kunen a las partıculas y a su vez dos de ellos estan unidos rıgidamente por uno de susestremos a un punto de la tercera guıa que esta separado una distancia l/

√3 del vertice.

Calcular la posicion de equilibrio del sistema ası como las frecuencias normales.

Problema 4.10 . Dos masas iguales m estan ensartadas en un aro rıgido y vertical deradio R. Un muelle ideal de constante recuperadora k y longitud natural ` une ambaspartıculas. Determine ` para que la separacion de equilibrio entre ambas partıculas sea Ry calcule las frecuencias normales de vibracion en ese caso.

Problema 4.11 . Una barra homogenea y muy delgada, de longitud ` y masam, esta unidaa sendos muelles ideales de constante recuperadora k y longitud natural despreciable. Elconjunto se mueve sobre un plano horizontal. Se coloca una argolla, de masa despreciable,en el extremo opuesto de cada muelle. Se introduce una pequena guıa P en ambas argollas,y aquella se coloca fija y perpendicular al plano de movimiento, como indica la figura.Desprecie cualquier tipo de rozamiento y determine para este sistema:

1. Grados de libertad y posicion de equilibrio.

2. Lagrangiano cerca de dicha posicion.

3. Frecuencia normales de vibracion.

4. Coordenadas normales.

Problema 4.12 . Una molecula diatomica se encuentra confinada en una trampa magneti-ca. Para describir sus modos de vibracion longitudinales se propone un modelo dondeambos atomos se consideran partıculas clasicas unidas por un muelle de longitud natural` y constante recuperadora k. Ademas, se admite que los dos atomos se mueven sobrela misma lınea recta. El potencial de confinamiento de la molecula se sustituye por otrode la forma (1/2)k′(x2

1 + x22), siendo xi la posicion de cada atomo respecto a centro de la

trampa sobre la recta de movimiento y k′ > 0. Determine

1. Grados de libertad de la molecula en este modelo.

2. Posicion de equilibrio.

3. Lagrangiano cerca de la misma.

4. Frecuencias normales.



Problema 4.13 . Un disco homogeneo de masa m y radio R puede girar alrededor deleje ZI , que es perpendicular a su plano y pasa por su centro, C. El centro del disco, quepuede moverse a lo largo de dicho eje, se une a un muelle ideal de longitud natural ` yconstante k. El extremo opuesto del muelle se une a un punto A de coordenadas (0, 0, `).Un segundo muelle, tambien de constante k pero longitud natural despreciable, une elpunto B en el perımetro del disco con un punto D de coordenadas (0, R, 0). Despreciandolos efectos de la gravedad y el rozamiento, determine para el disco:


2. Posicion de equilibrio y Lagrangiano cercade la misma.


4. Coordenadas normales.

Problema 4.14 . Un disco homogeneo de masa m y radio R puede rotar sin deslizar enmovimiento plano sobre una cuna de masa M cuyo plano inclinado forma un angulo αcon la horizontal, como indica la figura. A su vez, la cuna puede moverse por un planohorizontal. El eje del disco se une a un muelle ideal de longitud natural `0 y constante k.El extremo opuesto del muelle se une rıgidamente a la cuna. Despreciando el rozamientoy cualquier movimiento en la direccion perpendicular al plano del dibujo, determine parael sistema:


2. Posicion de equilibrio.

3. Lagrangiano cerca de la misma.


Problema 4.15 . En la figura se muestra una polea, que se puede tratar como un discohomogeneo de masa m y radio R. Una guıa le permite moverse solo enla direccion vertical, ademas de girar sobre su eje. La polea esta sujetapor una cuerda cuyos extremos se unen a sendos muelles ideales deconstante recuperadora k y longitud natural l. Si la cuerda no deslizapor la polea, determine las frecuencias y las coordenadas normalesdel sistema. Describa como son los modos normales de vibracion.

Problema 4.16 . Una partıcula de masa m esta unida a dos muelles ideales de longitud



natural l y constante recuperadora k/2. Todo el sis-tema esta montado sobre un bloque de madera delongitud 2l y masa 2m. Cuando se sujeta el bloquese observa que el periodo de las oscilaciones de lapartıcula es τ . Calcule la distancia recorrida por elbloque para t = τ/

√24 cuando se dejan partir del

reposo tanto el bloque como la partıcula y esta se la ha separado una distancia a de suposicion de equilibrio.

Problema 4.17 . El sistema de la figura consta de tres muelles de constante recuperadorak y dos masas de valor m que se mueven sobre lamisma recta horizontal. El extremo del muelle masexterno se desplaza una distancia r(t). Las ecua-ciones del movimiento para los desplazamientos sonx1 +2α2x1−α2x2 = 0 y x2 +2α2x2−α2x1 = α2r(t),siendo α2 ≡ k/m. Se sabe que cuando r(t) =

A senωt existen soluciones particulares de la forma xi(t) = Ai senωt (i = 1, 2). EncuentreA1 y A2 en funcion de ω y explique que fenomeno fısico aparece cuando ω = α o ω =

√3α.




Boletın N 5

Problema 5.1 . Una cuerda con tension T0 y densidad lineal µ1 esta unida a otra dedensidad lineal µ2 mediante un nudo sin masa. Calcular la reflexion y transmision de unaonda sinusoidal incidente en el nudo. Compruebe que la potencia incidente es igual a latransmitida mas la reflejada.

Problema 5.2 . Dos cuerdas muy largas, con la misma densidad lineal de masa µ, se anu-dan a un pequeno objeto de masa m. Gracias a una guıa, elobjeto solo se puede mover sin rozamiento sobre una rectaperpendicular a los dos segmentos, que esta sometidos a lamisma tension T0.

1. Discuta cuales son las condiciones de contorno de las ondas de pequena amplituden la discontinuidad.

2. Obtenga los coeficientes de reflexion y transmision de ondas armonicas de la formaexp[i(ωt∓ κx)].

3. Discuta el significado de dichos coeficientes cuando m→∞ y cuando m→ 0.

Problema 5.3 . Una onda sonora unidimensional en un medio dispersivo es la superposi-cion de dos ondas monocromaticas de numeros de onda k1 = 6,0 m−1 y k2 = 5,8 m−1. Laamplitud de ambas es 2 × 10−3 cm y la relacion de dispersion del medio viene dada porω2 = v2k2 + α2, siendo v = 500 m s−1 y α = 300 s−1.

1. Escriba la ecuacion de ambas ondas monocromaticas y la resultante de la superpo-sicion.

2. Calcule la velocidad de fase y la velocidad de grupo de dicha onda resultante.

Problema 5.4 . Una cuerda de piano con cierta rigidez a la flexion tiene una ecuacion deevolucion para las ondas que se producen al pulsarla dada por

v2∂2u

∂x2− β2∂

4u

∂x4=∂2u

∂t2.

1. Calcule la relacion de dispersion, la velocidad de fase y la velocidad de grupo.

2. Calcule los modos normales de una cuerda de longitud L sujeta por ambos extremos.

Problema 5.5 . Encuentre la variacion relativa de la frecuencia del decimo modo normalde una cuerda de piano con rigidez a la flexion en relacion a una cuerda ideal sin rigidez.Tome como valores tıpicos β/v = 10−2 m y L = 1 m.



Problema 5.6 . La ecuacion de ondas de un sistema fısico unidimensional es

∂2u

∂t2= α2∂

2u

∂x2− β2∂

4u

∂x4− γ2u .

¿Cual debe ser la longitud de onda para que la velocidad de fase y de grupo coincidan?

Problema 5.7 . Calcule la energıa necesaria para hacer que una cuerda de longitud Ly masa m, cuyos extremos estan fijos y esta sometida a una tension T0, vibre en uno desus modos normales. Realice tambien el calculo para una onda arbitraria sobre la mismacuerda.

Problema 5.8 . Una cuerda de longitud L esta sujeta por ambos extremos y sometidaa una tension T0. Se empuja lateralmente una distancia h en su centro y despues se dejaque vibre. Determine la energıa de las oscilaciones.

Problema 5.9 . Una cuerda de longitud L esta sometida a la accion de una fuerza externade forma que la que las ondas resultantes satisfacen la ecuacion

1

v2

∂2ψ

∂t2=∂2ψ

∂x2+ F cosωt ,

siendo F y ω constantes. Suponiendo que la solucion es de la forma ψ(x, t) = y(x) cosωt,con y(0) = 0, y′(0) = 0 y que ω = 2πv/L, halle el valor de y(x).

Problema 5.10 . Una onda armonica de amplitud A1 viaja por una cuerda de densidadlineal de masa µ1. En una region larga de la cuerda, de mucha mayor extension que lalongitud de onda, la densidad lineal cambia suavemente hasta un valor µ2. En tal caso sepuede demostrar que la onda no se refleja. Determine la amplitud de la onda al atravesardicha region.

Problema 5.11 . Un pulso de ecuacion

ψ(x, t) = ψ0 sech(x− vt

x0

)

se propaga por una cuerda de densidad lineal de masa µ y tension T0. Sabiendo quex0 = 1 m, T = 10 N y la amplitud del pulso es ψ0 = 1 cm, calcule la energıa que transportael pulso.

Problema 5.12 . Considere una onda estacionaria en una cuerda de densidad lineal demasa µ y longitud L con extremos fijos, sometida a una tension T0. Determine el maximode la densidad de energıa cinetica en un vientre (antinodo) y el maximo de la densidadde energıa potencial en un nodo cuando se observa que solo existe un nodo, siendo A laamplitud de la onda.

Problema 5.13 . Una onda plana de frecuencia ν = 50 Hz viaja por una cuerda dedensidad lineal de masa µ = 0,10 kg/m que se encuentra bajo una tension T0 = 40 N.La onda entra en una region donde existe una fuerza de rozamiento que es proporcionala la velocidad transversal de la cuerda, siendo la constante de proporcionalidad β =0,10 Ns/m2. Demuestre que se cumple la condicion de atenuacion debil y encuentre la



longitud de atenuacion. Determine la amplitud y la fase de la onda reflejada respecto delos mismos parametros de la onda incidente.

Problema 5.14 . Determine el espectro de frecuencias en x = 0 de un pulso gaussianoψ(x, t) = ψ0 exp[−(x− vt)2/x2

0], donde ψ0, x0 y v son constante. ¿Que relacion hay entrela anchura temporal del pulso y la anchura del espectro de frecuencias?




Boletın N 6

Problema 6.1 . La relacion de dispersion de ondas superficiales en aguas profundas esω2 = gk + (σ/ρ)k3, donde g es la gravedad, σ la tension superficial del agua y ρ ladensidad. Cuando se realizan experimentos en agua pura (σ = 70 din/cm) se observa quepara una cierta longitud de onda λc las velocidades de fase y de grupo son iguales. Alanadir jabon al agua cambia la tension superficial pero la densidad practicamente no semodifica. Entonces se observa que las velocidades de fase y de grupo son iguales para unalongitud de onda igual a λc/

√2. Calcule la tension superficial del agua jabonosa.

Problema 6.2 . Un cantante de opera canta en el rango de frecuencias de 100 Hz a 300 Hzmientras se ducha en un recinto de dimensiones 1,0 m× 1,0 m× 2,0 m. Si la velocidad delsonido en aire humedo es 350 m/s, determine las frecuencias mejor audibles.

Problema 6.3 . Un altavoz muy pequeno emite ondas esfericas, de manera que el excesode presion sobre el valor en equilibrio viene dado por

p(r, t) =A

rei(κr−ωt) .

Despreciando la viscosidad del aire y los efectos de la gravedad, obtenga la impedanciaacustica del medio y su valor lımite cuando κr À 1. Suponga tambien que la advecciones despreciable, lo que es correcto cuando la sensacion sonora es inferior a 110 dB.

Problema 6.4 . Obtenga la densidad de energıa promedio (promediada sobre un periodo)para ondas sonoras planas. Admita que el aire se comporta como un gas ideal de maneraque PV γ = cte.

Problema 6.5 . En la mayor parte de los altavoces de los equipos de alta fidelidadexiste una salida en forma de embudo, cuya seccion transversal crecedesde el interior hacia el exterior. Para estudiar el efecto que sobre elsonido tiene este tipo de salidas, se propone un modelo unidimensio-nal donde el area de la seccion transversal crece de forma exponencial,A(x) = A0 exp(2x/`), siendo x es la coordenada a lo largo de la direccionde propagacion de la onda. Se puede demostrar que la ecuacion de ondases

∂2ψ

∂t2= v2∂

∂x

[1

A

∂

∂x(Aψ)

].

Aquı v es la velocidad del sonido en aire libre. Tomando como valores tıpicos v = 340 m/sy ` = 0, 4 m, obtenga la frecuencia de corte de esta salida.

Problema 6.6 . Se pretende resolver numericamente la ecuacion de ondas en un medio nodispersivo unidimensional con velocidad de fase v. Para ello se define un mallado discretoxn = nh, donde h es el espaciado en el mallado. Introduciendo la notacion ψ(xn, t) ≡ ψn(t)se obtiene la siguiente ecuacion

1

v2

∂2ψn

∂t2=

1

h2

(ψn+1 + ψn−1 − 2ψn

).



1. Compruebe que admite una solucion en onda monocromatica de la forma ψn =Aei(κxn−ωt).

2. Encuentre la relacion de dispersion e indique si tras la discretizacion el medio siguesiendo no dispersivo.

3. Estudie la relacion de dispersion en el lımite h→ 0.

Problema 6.7 . Considere una cadena de pendulos no lineales de masa m acoplados pormuelles ideales. El Hamiltoniano del sistema es

H =∑n

[1

2I θ2

n +1

2β (θn+1 − θn)2 +

1

2mgL(1− cos θn)

]

siendo L la longitud de cada pendulo, I = mL2 y β una constante. Cuando la separacion aentre ellos es pequena, el angulo respecto a la vertical de un pendulo que ocupa la posicionx viene determinado por la ecuacion sine-Gordon

∂2θ

∂t2− v2

0

∂2θ

∂x2+ ω2

0 sen θ = 0 , v20 =

βa2

I, ω2

0 =mgL

2I

cuya solucion en forma de escalon (kink) es

θ(x− vt) = 4 arctan

exp

ω0

v0

x− vt√1− v2/v2

0

Calcule la energıa del kink en la cadena de pendulos acoplados.

Problema 6.8 . Considere una cadena de pendulos no lineales de masas variables mn =mf(n) acoplados por muelles ideales, donde f(n) es una funcion conocida. El Lagrangianodel sistema es

L =∑n

[1

2I θ2

n −1

2β (θn+1 − θn)2 − 1

2mgL(1− cos θn)f(n)

]

Se propone la siguiente solucion a la ecuacion de movimiento cuando la separacion entrelos pendulos es muy pequena:

θ(x, t) = 4 arctan[exp

(ω0

v0

[x− z(t)])]

que describe un kink lento centrado en z(t). Encuentre la ecuacion de movimiento parala coordenada colectiva z(t).


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