1

MRU(p.1) Y MRUV (p.6) 1. La posicin de una partcula que se mueve a lo largo del eje x esta dada, en cm, por x = 9.75 + 1.50t3 donde t est en seg. Considere el intervalo de tiempo de t = 2 a t = 3 s y calcule: a) velocidad media, b) velocidad instantnea en t = 2s, c) velocidad instantnea en t = 3s, d) ve-locidad instantnea en t = 2.5s y e) velocidad instantnea cuando la partcula est a medio ca-mino entre sus posiciones en t = 2 y t = 3 s. Datos: x(t) = 9.75 + 1.50t3 t de 2 a 3 segundos a) vm = x/t x2 = 9.75 + 1.50x33 = 6.75 + 40.50 = 50.25 x1 = 9.75 + 1.50x23 = 6.75 + 12.00 = 21.75 vm = (50.25 - 21.75)/1 = 28.50 cm/s b) v(t) = dx/dt = 4.5 t2 v(2) = 4.5x22 = 18.0 cm/s c) v(3) = 4.5x32 = 40.5 cm/s d) v(2,5) = 4.5 x (2.5)2 = 28.1 cm/s e) a = dv/dt = 9t no es constante. Luego no hay propor- cionali-dad y v v(2.5) Hay que hallar v = f(x) y evaluar para xm = (x1+x2) A partir de la ecuacin de x, despejando:

1/3x 9.75t1.5 y al sustituir en v(t) = 4.5 t

2, se obtiene

2

3x 9.75v 4.51.5

Evaluando en xm = (x1+x2) = (21.75 + 50.25) = 36 cm

2336 9.75v 4.5

1.5 = 30.3 cm/s

x1 = 21.75 x2 = 50.25

t1 t2

2

2. Qu distancia recorre en 16 s el co-rredor cuya grfica velocidad-tiempo se muestra en la figura? Resolucin: Para cualquier movimiento rectilneo: v = dx/dt x = vdt = rea bajo la curva en el grfi-co de v vs. t

Area en (t1,t2) = viti , igual a la integral en el lmite para ti 0 (definicin de integral). Por tanto, slo hay que calcular el rea bajo la curva. x1 = triangulo, bh = 2x8 = 8 m x2 = rectngulo, bh = (10-2)x8 = 64 m x3 = trapecio, (b1+b2)h = (4+8).2 = 12 m x4 = rectngulo, bh = (16-12)x4= 16 m

x = 8 + 64 + 12 + 16 = 100 m

vi

ti t

v(t)

t1 t2

t (s) 0 4 8 12 16

8 4

v (m/s)

3

3. La grfica de x vs. t de la figura es de una partcu-la que se mueve en lnea recta. a) Determine para cada intervalo si la velocidad v es + , -, 0, y si la aceleracin es +, -, 0. Los intervalos con OA, AB, BC y CD. b) Segn la curva, existe un intervalo en el cual la aceleracin sea obviamente no constante? (Desprecie el comportamiento en los extremos de los intervalos). Resolucin: a) v = dx/dt pendiente a la curva en un punto. OA: pendiente positiva y constante. Luego v es (+). Como a = dv/dt, la derivada de la constante es cero y a = 0 AB: Similar al anterior, v es (+), pero no es constante, disminuye desde un valor determinado

hasta cero en BC. Si v disminuye su valor, el movimiento es retardado. Asumiendo (+) a la derecha, entonces a ser (-).

BC: Como x = constante, v = 0 y a = 0. (La partcula no se mueve). CD: La partcula comienza a moverse brusca y aceleradamente reduciendo x (movindose ha-cia la izquierda, segn el convenio anterior). La pendiente es negativa, luego v es (-), acorde al mov. de derecha a izquierda. La velocidad va disminuyendo. pues la pendiente se reduce movimiento retardado aceleracin contraria a la velocidad a es (+). Recordar que la velocidad y la aceleracin son vectores; + a la derecha y - a la izquierda es slo un convenio para el movimiento unidimensional. Si a y v negativos: vectores apuntando a la izquierda, movimiento acelerado a la izquierda, etc. Analizar las 4 posibilidades. Notar que el movimiento es acelerado o retardado independientemente de su sistema de refe-rencia, sino que depende de la orientacin relativa de los vectores v y a. b) No lo hay. La expresin de x = f(t) para aceleracin constante toma la forma

x = xo + vot + at2

con todas las posibles combinaciones de signos. Ninguna de las secciones se aleja tanto de la dependencia cuadrtica como para afirmar que a no es constante.

O

A B C

D

x

t

4

4. Ud. viaja por carretera de La Habana a Matanzas, la mitad del tiempo a 35 mi/h, y la otra mi-tad a 55 mi/h. En el regreso, Ud. viaja la mitad de la distancia a 35 mi/h, y la otra mitad a 55 mi/h. a) Cual es la velocidad media en el viaje de ida? b) Y en el de vuelta? c)Y en todo el viaje? Datos: v1 = 35 mi/h v2 = 55 mi/h ida: medio tiempo vuelta: media distancia a) vm = x/t = (x1 + x2)/(t1 + t2) t1 = t2 x1 = v1t1 x2 = v2t1 Sustituyendo y simplificando: vm = (v1 + v2 )/2 = 90/2 = 45 mi/h b) vm = x/t = (x1 + x2)/(t1 + t2) x1 = x2 t1 = x1/v1 t2 = x1/v2 Sustituyendo y simplificando: vm =

1 2

1 1v v

2 =

1 2

1 2

2v vv v = 42.8 mi/h

c) vm = 0 (Note que no es posible identificar espacio recorrido con x2 - x1, lo cual no est acorde a la definicin general vectorial de velocidad media, vm = r/t. Si Ud. va a Matanzas y regre-sa, el desplazamiento es cero, y por tanto vm tambin.)

5

5. Dos trenes salen en el mismo instante de las ciudades A y B, separadas 300 km, con rapidez media constante de 60 y 90 km/h respectivamente, uno al encuentro del otro. a) A que distan-cia de la ciudad A se cruzan? b) Cunto tiempo transcurre hasta ese momento? Resolucin Escogiendo un sistema de referencia comn para ambos mviles xA = vA t xB = d vB t t es el mismo, porque arrancan en el mismo instante. Cuando se crucen:

xA = xB vA t = d vBt

t = d/(vA + vB) = 300/150 = 2h

xB = xA = vA t = 60x2 = 120 km

60 km/h A

90 km/h B

d = 300 km

xA

xB

0

6

MRUV 1. Un corredor, en una carrera de 100 m, acelera desde el reposo hasta la velocidad mxima a razn de 2.80 m/s2 (y mantiene esa velocidad hasta el final de la pista). a)Qu tiempo transcu-rri?; b)Qu distancia recorri el corredor durante la fase de aceleracin si el tiempo total en la pista fue de 12.2 s? Datos x1 + x2 = 100 m a1 = 2.8 m/s2 t1 + t2 = 12.2 s vo = 0 en x1 t1? x1? a) En (1) MRUV

Slo hay dos posibles ecuaciones independientes: v = vo + at, x = xo + vot + at2. Evaluando:

v = at1 (1)x1 = at12 (2)

En (2) MRU

Slo hay una posible ecuacin independiente:

x2 = vt2 (3) Hay dos ecuaciones independientes adicionales como datos

x1 + x2 = 100 (4)t1 + t2 = 12.2 (5)

De manera que se llega a un sistema no lineal de 5 ecuaciones con 5 incgnitas (t1, t2, x1, x2 y v). El valor de a es conocido. Como el sistema es no lineal, no se puede predecir de antemano si tendr o no solucin. Eliminando v entre (1) y (3), at1 = x2/t2 , y eliminando x2 a partir de (4) y t2 a partir de (5)

1 11

2 1

100 x 100 xatt 12.2 t

y el sistema se ha reducido a un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, x1 y t1:

11

1

100 xat12.2 t

(1)x1 = at12 (2)

Despejando (1) y sustituyendo (2):

100 m

x1 t1

x2 t2

v

MRUV MRU

7

12.2 at1 - at12 = 100 - at12

24.4t1 - 200/a - t12 = 0 Sustituyendo a = 2.8 m/s2 se llega a :

t12 - 24.4t1 + 71.4 = 0

24.4 595.36 285.6t2

t = (24.4 17.6)

ta = 21.0 s

tb = 3.4 s La solucin (a) no tiene sentido real. Conduce a un absurdo, ya que el tiempo del recorrido (1) sera mayor que el total planteado como dato (12.2 s). b) x1 = at12 = x2.8 x (3.4)2 = 16.2 m

8

2. Un cohete es disparado verticalmente y asciende con aceleracin vertical de 20 m/s2 durante 1.0 min. Su combustible se agota entonces totalmente y contina como una partcula en cada libre. a) Cul es la altitud mxima alcanzada? b)Cul es el tiempo total transcurrido desde el despegue hasta que el cohete regresa a la tierra? (Desprecie las variaciones de g con la alti-tud).

Datos: etapa 1: etapa 2: a = 20 m/s2 vo2 = v1 t = 60 s a = -g vo = 0 ym? ttotal? Notar que el tramo 1 lo sube a 20 m/s2 pero lo baja en cada libre. Resolucin: v = vo + at y = yo + vot + at2 cada libre: a = -g Etapa 1: Subida acelerada v1 = vo2 = at = 20 x 60 = 1200 m/s y1 = yo2 = at2 = 1/2 x20x3600 = 36000 m Etapa 2: Subida + bajada en cada libre vo2 = v1 = 1200 m/s 0 = 36000 + 1200t - 5t2

t2 - 240t - 7200 = 0 240 57600 28800t2

= 240 2942

t(-) = - 27 s (absurdo) t(+) = 267 s b) tiempo total: tsubida + tcada libre = 60 + 267 = 327s = 5 min, 27 s.

OJO. Este resultado no toma en cuenta la resistencia del aire.

a) altitud mxima En ymax se cumple v = 0 0 = vo2 - gt2 t2 = v1/g = 1200/10 = 120 s (despus de apagar el motor) y2(mx) = ymx = yo + vot - gt2 ymax = 36000 + 1200x120 - x10x(120)2 = 36000 + 144000 - 72000 ymax = 108000 m = 108 km.

yo = 0

a = 20 m/s2

a = -g

1

2

vo1 = 0

vo2 = v1

ymax

9

3. Si un objeto viaja la mitad de su trayectoria total en el ltimo segundo de su cada desde el reposo, halle, a) el tiempo y b) la altura de su cada. Explique la solucin fsicamente inacepta-ble de la ecuacin cuadrtica del tiempo. Datos: segunda mitad: 1 s primera mitad: tV -1, donde tV es el tiempo total de vuelo, y vo = 0 a) y = yo + vot - gt2

yo/2 = yo g(tV 1)2

yo = g(tV 1)2 ec. (I)

Tenemos hasta el momento una ecuacin y dos incgnitas (tV, yo). Se obtiene otra ecuacin considerando que para t = tV, y = 0 (vo sigue siendo ce-ro).

0 = yo gtV2

yo = gtV2 ec. (II)

Igualando (I) y (II) con g = 10 m/s2 g(tV 1)2 = gtV2 tV2 4tV + 2 = 0

V4 16 8t 2 2

2

tV(-) = 0.59 s No tiene significado real, ya que t > 1 s

tV(+) = tV = 3.41 s b) 0 = yo - gt2

yo = gtV2 = x 10 x (3.41)2 = 58.14 m

yo yo/2 0

1 s

tV - 1

vo = 0

10

4. En el laboratorio Nacional de Fsica de In-glaterra se hizo una medicin de la aceleracin g arrojando una bola de vidrio hacia arriba en un tubo evacuado y dejndola regresar, como en la figura 35. Sea tL el intervalo de tiempo entre los dos pasos a travs del nivel inferior, tU el intervalo de tiempo entre los dos pasos a travs del nivel superior, y H la distancia entre los dos niveles. Demuestre que

2 2L U

8Hgt t

Resolucin: El problema se resuelve fcilmente si se recuerda que la ecuacin de la trayectoria es vlida para todos los puntos de la misma. Analizando la altura yU, con yo = 0,

yU = vot - gt2

t2 - (2vo/g)t + 2yU/g = 0

2o o U

U 2v v 2y

tg gg

Las dos soluciones posibles + y - corresponden a los dos instantes (subida y bajada) en que la bola pasa por yU. Por tanto, el intervalo de tiempo que tarda en pasar por yU hacia arriba (-) y regresar hacia abajo (+) viene dado por

tU = tU(+) - tU(-) = 2o U2

v 2y2

gg

elevando al cuadrado para la demostracin: 2

2 o UU 2

v 2yt 4

gg

El anlisis es totalmente similar para la altura yL, y el resultado tambin (vo es la misma). Por analoga:

22 o LL 2

v 2yt 4gg

Restando: 2 2L U U L8 8Ht t (y y )g g

2 2L U

8Hgt t

Altura

tiempo

tL

tU H

H

yo = 0 vo (+)

yU

yL

MOV. EN EL PLANO Y PROYECTILES 1. La velocidad de una partcula que se mueve en el plano xy est dada por 2v 6t 4t i 8 j . Aqu v est en m/s y t(>0) est en segundos. a) Cul es la aceleracin cuando t = 3 s? b)Cundo, si alguna vez, es la aceleracin cero? c)Cundo (si sucede) es cero la velocidad? d)Cuando (si sucede) es la rapidez igual a 10 m/s? Resolucin a) a(3) =? a = dv/dt) t = 3

a 6 8t i t 3a 18 i

b) para qu t a = 0? ay = dvy/dt = 0 para todo t

para ax: 6 - 8t = 0 t = s c) v = 0? Nunca, porque vy = 8 m/s, constante d) |v| = 10 m/s? v = {(6t-4t2)2 + 64}1/2 = 10, y elevando al cuadrado:

(6t-4t2)2 + 64 = 100

(6t-4t2)2 = 36

(6t-4t2) = 6 De ah salen dos posibles ecuaciones:

6t - 4t2 + 6 = 0 6t - 4t2 - 6 = 0

2t2 -3t - 3 = 0 (A ) 2t2 - 3t + 3 = 0 (B) Caso B:

3 9 24t4

Discriminante negativo, raices imaginarias, no hay solucin. Caso A:

3 9 24t4

t = (3 5.74)

La raz negativa no tiene sentido real. Para la positiva, t = 2.185 s

2. Una partcula se mueve de modo que su posicin en funcin del tiempo es, en unidades SI, 2r(t) i 4t j tk .

Escriba las expresiones para a) su velocidad y b) su aceleracin, ambas en funcin del tiempo. c)Cul es la forma de la trayectoria de la partcula? Resolucin

a) drv 8t j 4kdt

b) dva 8 j (cons tan te)dt

c) Las ecuaciones paramtricas del movimiento son: x = 1 y = 4t2 z = t x=1 significa que la partcula siempre se mueve en el plano que pasa por x = 1 (figura). x,y = 0 en t = 0 Eliminando t entre z e y se obtiene la ecuacin de la trayectoria en ese plano: y = 4z2 (parbola que abre hacia el eje de las z). x

y

z

x=1

trayectoria

t = 0 plano x = 1

3. Una partcula sale del origen en t = 0 a una velocidad inicial ov 3.6 i

, en m/s. Experimenta

una aceleracin constante a 1.2 i 1.4 j en m/s2. a)En que tiempo llega esa partcula a su coordenada x mxima? b)Cul es la velocidad de la partcula en ese momento? c) Donde est la partcula en ese momento? Datos

ov 3.6 i

a 1.2 i 1.4 j a) t para xmax? eje x: MRUV: ax = -1.2 m/s2, vo = 3.6 m/s eje y: MRUV ay = -1.4 m/s2, vo = 0 eje x: x = xo + vot + at2 x = 3.6t - 0.6t2 Imponiendo la condicin de mximo:

dx/dt = 3.6 -1.2 t = 0 t = 3.6/1.2 t = 3s

b) v(6)? vx = dx/dt = 0 vy = voy + ayt = 0 - 1.4(3) = -4.2 m/s2 v 4.2 j

(m/s)

c) Donde est en ese momento? x = xo + vot + at2 x = 0 + 3.6(3) - (1.2)(3)2 = 10.8 - 5.4 = 5.4 m y = yo + vot + at2 y = 0 + 0 - (1.4)(3)2 = - 6.3 m

r 5.4 i 6.3 j (m)

o tambin la respuesta equivalente:

x = 5.4m, y = - 6.3 m.

4. Una piedra es proyectada a una velocidad inicial de 120 ft/s en una direccin 62o sobre la horizontal hacia un acantilado de altura h, como se muestra en la figura 27. La piedra golpea el terreno en A, 5.5 s despus del lanzamiento. Halle: a) la altura del acantilado, b) la velocidad de la piedra en el momento antes de que se impacte en A, y c) la altura mxima alcanzada sobre el suelo. Datos vo = 120 ft/s o = 62o t = 5.5 s g 32 ft/s2 a) h?

Evaluando y para t = 5.5 s,

y = yo + vosent - 1/2gt2 = 0 + 120xsen(62)x5.5 - x32 x (5.5)2 h = y = 582.8 - 484 = 98.8 ft

b) v? x yv v i v j

vx = vocoso = 120x 0.47 = 56.4 ft/s vy = voseno - gt = 120x0.88 - 32x5.5 = 105.6 - 176.0 = - 70.4 ft/s v 56.4 i 70.4 j (ft/s) De aqu se puede calcular, si es necesario:

tan = - 70.4/56.4 = - 1.25 = - 51.3o v = (56.42 + 70.42)1/2 = 90.2 ft/s

c) H? Cuando y = ym, vy = 0

0 = vosen - gt t = vosen62/g = 120x0.88/32 = 3.3 s

H = ym = yo + vosenot - gt2 = 0 + 120x0.88x3.3 - 16(3.3)2 H = 348.48 - 174.24 = 174.24 ft

v

62o

A

H

h

5. A que velocidad inicial debe el jugador de baloncesto lanzar la pelota, formando 55o con la horizontal, para encestar el tiro de castigo, como se muestra en la figura? El aro de la celda tiene un dimetro de 18. Obtenga otros datos de la figura 30. Datos yo = 7 ft xo = 1 ft o = 55o y = 10 ft x = 14-1 = 13 ft (grfico) g 32 ft/s2 cos(55o) = 0.573 tan (55o) = 1.428 vo ?

Calcular vo para que alcance el punto (14,10) en estas condiciones.

y = yo + vosenot - gt2 (1) Para evaluar (1) hace falta conocer t. Se puede eliminar t a partir de la ecuacin

x = vo cosot (2) y = yo + tanox - gx2/2vo2cos2o En esta ecuacin se conocen todos los parmetros menos vo.. Sustituyendo:

(y - yo - tanox)2vo2cos2o = -gx2 2

2o 2

o o o

gxv2cos (tan x y y )

oo o o

x gvcos 2(tan x y y )

o13 32v

0.57 2(1.43 13 10 7)

vo = 22.8 (32.0/31.18)1/2 = 23.1 ft/s

6. Un bateador golpea una bola lanzada a una altura de 4.0 ft sobre el suelo de modo que su ngulo de proyeccin es de 45o y el alcance horizontal es de 350 ft. La bola viaja hacia la lnea izquierda del campo donde hay una barda de 24 ft de altura que se ubica a 320 ft de la placa de home. Pasar la bola por encima de la barda? De hacerlo, por cunto? Nota: el alcance horizontal se define como la distancia horizontal que se alcanza cuando el proyectil retorna a la altura a que fue lanzado (p. 64 Resnick) Datos yo = 4.0 ft o = 45o xH = 350 ft g = 32 ft/s2 h = 24 ft d = 320 ft Las ecuaciones que involucran los datos del problema son: y = yo + vosenot - gt2 (1) x = vocosot (2)

Para saber si pasa la barda, slo hay que evaluar el valor de y para x = 320 ft. Eliminando t :

y = yo + tanox - (gx2/vo2cos2) (3) El valor de vo no es conocido, pero se puede obtener del dato del alcance horizontal

xH = vocosotV El tiempo de vuelo tV se obtiene del doble que tarda en alcanzar la altura mxima (con yo = 0):

Para y = ym vy = 0 0 = voseno - gt t = voseno/g tV = 2voseno/g y sustituyendo en xH:

xH = 2vo2senocoso/g vo2 = gxH/(sen2o) = 32x350/1 = 11200

vo = 105.8 ft/s

Sustituyendo en (3): y = 4 + 1x320 - (323202/11200/2)

y = 4 + 320 - 292.6 = 31.4 ft > 24 ft (s pasa la barda)

La bola pasa, y excede a la barda por 31.4 - 24 = 7.4 ft

xH = 350 ft

4 ft

?

45o

320 ft

24 ft

7. Se lanzan proyectiles a una distancia horizontal R del borde de un acantilado de altura h de manera tal que aterrizan a una distancia horizontal x del fondo del acantilado. Si queremos que x sea tan pequea como es posible, Cmo ajustaramos o y vo, suponiendo que vo pueda ser variada desde cero hasta un valor mximo finito vmx y que puede ser variado continuamente? Solo se permite una colisin con el suelo (ver figura) Resolucin: Desde el punto de vista formal, habra que buscar el alcance mximo despejando el tiempo en las ecuaciones paramtricas de la trayectoria, tomando el cero en la parte inferior de la figura. x = vocost y = h + vosent - gt2 Sin embargo, esto conduce a expresiones matemticas bastante complejas de laboriosa resolucin. Sin embargo, el anlisis fsico en la figura muestra que aumentando vo y el ngulo de tiro conjuntamente es posible obtener trayectorias con x menor (trayectoria punteada). Para eso slo hace falta analizar el movimiento hasta R, y buscar la relacin entre y vo que permita alcanzar R con el mayor ngulo posible. Entonces, reduciendo el anlisis al tramo (0,R) solamente: x = vocost y = vosent - gt2 y el problema se reduce a buscar la relacin entre y v para x = R. En el punto R: R = vocost (1) 0 = vosent - gt2 (2) Eliminando t entre (1) en (2) 0 = tanR - (gR2/vo2cos2) 2tanvo2cos2 = gR 2vo2sencos = gR

sen2 = gR/vo2 (3) (relacin buscada)

El mayor ngulo tericamente posible sera para vo ; sen2 = 0 En ese caso = 0, 180o . La primera es una raz extraa, la segunda proporciona = 90o. Por tanto, para una velocidad finita se obtendr un ngulo < 900.

R h

x

El mayor ngulo prctico posible se obtiene cuando v = vmx, por tanto:

Note:

1. La expresin es dimensionalmente correcta.

3. Evaluando para otro valor notable, por ejemplo vo = (gR)1/2 se obtiene = 45o , etc.

sen2 = gR/v2mx

8. Un cohete se dispara desde el reposo y se mueve en lnea recta a 70.0o sobre la horizontal con una aceleracin de 46.0 m/s2. Despus de 30.0 s de vuelo impulsado, los motores se apagan y el cohete sigue una trayectoria parablica hasta caer de nuevo en tierra (vase figura 36). a) Halle el tiempo de vuelo desde el disparo hasta el impacto. b)Cul ser la altitud mxima alcanzada? c)Cul es la distancia desde la rampa de lanzamiento hasta el punto de impacto?(Desprecie la variacin de g con la altitud). Datos 1ra etapa MRUV

2da etapa PROYECTIL

= 70o o = 70o a = 46 m/s2 a = - g t = 30 s t? Es necesario dividir el vuelo en dos tramos o etapas, con diferentes ecuaciones del movimiento: Etapa 1: MRUV (recta, a = cte en el plano).

x ya a i a j

ax = acos70o = 46x0.342 = 15.73 m/s2

ay = asen70o = 46x0.94 = 43.24 m/s2

(Nota: se mantienen las dos cifras despus del punto porque los nmeros que se generan son grandes, y el error por redondeo tambin.) La velocidad final de la etapa 1 es la velocidad inicial de la etapa 2:

vx1 = axt = 15.73x30 = 471.9 m/s = vox2 vy1 = ayt = 43.24x30 = 1297.2 m/s = voy2

Tambin es necesario calcular el espacio y la altura recorridos para resolver lo que se pide:

x1 = axt2 = x 15.73 x 302 = 7078.5 m = xo2 y1 = ayt2 = x 43.24 x 302 = 19458.0 m = yo2 Etapa 2: proyectil a) El tiempo de vuelo se calcula haciendo y = 0 en la ecuacin de la trayectoria: y2 = yo2 + voy2t - gt2

70o Plataforma de lanzamiento

Apagado de los motores

Impacto

0 = 19458.0 + 1297.2t - 10t2

t2 - 259.44t - 3891.6 = 0

2259.44 259.44 15566.4t2

= (259.44 287.88) t = 129.72 143.94 ta = negativo (no tiene sentido real)

tb = 273 s

ttotal = t1 + t2 = 30 + 273 = 303 s = 5 min, 3s.

b) ym? En y = ym se cumple que vy2 = voy2 - gt = 0

0 = voy2 - gt t = voy2/g = 1297.2/10 = 129.72 s (tiempo en alcanzar ym) ym = yo2 + voy2t - gt2

ym = 19458.0 + 1297.2x129.72 - 10x(129.72)2

ym = 19458.0 + 168272.78 - 84136,39

ym = 103594,78 m 103.6 km c) xH? x = xo2 + vox2t = 7078.5 + (471.9 x 303) = 7078.5 + 142985.7

XH = 150064.2 m 150.0 km

1

MOV. CIRCULAR Y MOV. RELATIVO (P. 5) 1. Un nio hace girar una piedra en un circulo horizontal situado a 1.9 m sobre el suelo por me-dio de una cuerda de 1.4 m de longitud. La cuerda se rompe y la piedra sale disparada horizon-talmente golpeando el suelo a 11 m de distancia. Cul fue la aceleracin centrpeta de la pie-dra mientras estaba en movimiento circular? Datos yo = 1.9 m xh = 11 m R = 1.4 m an? an = v2/R (1) La velocidad tangencial es la misma velocidad inicial vox del lanzamiento del proyectil. y = yo + voyt gt2 (2)

xh = voxtv (3)

El tiempo de vuelo se obtiene haciendo y = 0 en (2), con voy = 0:

0 = yo + 0 gtv2

tv = (2yo/g)1/2

La raz (-) no tiene sentido fsico. Como yo y xh son conocidos, sustituyendo en (3):

xh = vox(2yo/g)1/2 h

oo

xv2yg

La aceleracin normal se obtiene sustituyendo en (1):

2h

no

x ga2y R

= 211 10

2 1.9 1.4

= 227.4 m/s2

1.9 m

11 m

R

2

2. Una partcula est viajando en una trayectoria circular de 3.64 m de ra-dio. En cierto instante, la partcula se mueve a razn de 17.4 m/s y su ace-leracin forma un ngulo de 22.0o en direccin al centro del crculo segn se ve desde la partcula (vase la figura 40). a) A que tasa esta creciendo la rapidez de la partcula? b) Cul es la magnitud de la aceleracin? Datos R = 3.64 m v = 17.4 m/s = 22o

t na a T a N

donde T

es el vector unitario tangente y N

el vector unitario normal

at = dv/dt , an = v2/R b) an = v2/R = (17.4)2/3.64 = 83.2 m/s2

y de aqu se obtiene el valor de a: an = acos(22o)

a = an/cos(22o) = 83.2/0.93 = 89.7 m/s2

a) De la figura se ve que

at = dv/dt = asen(22o) = 89.70.374 = 33.5 m/s2

v

a

22o

a

22o

at

an T

N

3

3. Una partcula se mueve en un plano de acuerdo a:

x = Rsent +Rt y = Rcost + R

donde y R son constantes. Esta curva, llamada cicloide, es la trayectoria trazada por el punto de una llanta de una rueda que gira sin resbalamiento a lo largo del eje x. a) Trace la trayecto-ria. b) Calcule la velocidad y la aceleracin instantneas cuando la partcula est en el valor de y mximo y mnimo. Resolucin a) El grfico se puede construir asumiendo un valor arbitrario de R, por ej., R = 1. Para valores mayores de t se repite cclicamente. b) x yv v i v j

,

vx = dx/dt = Rcos(t) + R vx = R(cost + 1) vy = dy/dt = - Rsent Evaluando en ymax (t = 0) y en ymin = 0 (t = ) : vx]0 = 2R, vx] = 0 vy]0 = 0, vy] = 0

x ya a i a j

ax = dvx/dt = - 2Rsent ay = dvy/dt = - 2Rcost ax]0 = 0, ax] = 0 ay]0 = - 2R, ay] = 2R

t t x y 0 0 0 2R

T/4 /2 R(1+/2) R T/2 R 0

3T/4 3/2 R(1-3/2) R T 2 2R 2R

1

1/2

0 6 3 t

4

4. Un vuelo transcontinental de 2700 mi est programado con un tiempo de 50 min mas largo cuando vaya hacia el oeste que hacia el este. La velocidad del aeroplano de propulsin a cho-rro en el aire es de 600 mi/h. Qu hiptesis debern hacerse sobre la velocidad de la corriente de viento del chorro del aeroplano, ya sea del este o del oeste, al preparar la bitcora? Datos x = 2700 mi t = 50 min = 5/6 hora = 0.83 h va = 600 mi/h = vel. del viento Oeste a este x = (v + )t Este a oeste x = (v )(t + 0.83) Sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas (t, ). Eliminado t:

xx v 0.83v

x(v + ) = (v ) + 0.83(v2 2) 2x = 0.83v2 -0.832

2 + 6506 -360000 = 0 2 41

26506 6506 4 36 10

2

= - 3253 3308

= 55 mi/h

Se debe asumir una velocidad promedio del viento en la direccion Este de 55 mi/h.

O E

2700 mi

t + 0.83

t

5

5. Est nevando verticalmente a una velocidad constante de 7.8 m/s. a)Con qu ngulo con respecto a la vertical y b) a qu velocidad parecen estar cayendo los copos de nieve segn los ve el conductor de un automvil que viaja en una carretera recta a una velocidad de 55 km/h? Datos vn = 7.8 m/s va = 55 km/h = 55x103/3600 = 15.3 m/s ? vna? a) Para el movimiento relativo de dos sistemas de referencia se cumple la relacin

v ' v (1) v '

: velocidad de la partcula respecto al sistema mvil v

: velocidad de la partcula respecto al sistema fijo : velocidad del sistema mvil respecto al fijo. En este caso el sistema fijo est en tierra, y el sistema mvil es el auto: av La velocidad del copo de nieve, aunque no se dice explcitamente, es respecto a tierra: nv v Por tanto, aplicando (1):

n a n av ' v v v v tan = va/vn = 15.3/7.8 = 1.96

= arctan(1.96) = 63o

b) Calculando el mdulo de v: vcos = vn

v = vn/cos = 7.8/0.45 = 17.3 m/s

vn

va

nv

av

v '

6

6. Un piloto debe viajar hacia el este desde A hasta B y luego regresar de nuevo a A hacia el oeste. La velocidad del aeroplano en el aire es v, y la velocidad del aire con respecto al suelo es u. La distancia entre A y B es L y la velocidad del aeroplano en el aire es constante. a) Si u = 0 (aire quieto), demuestre que el tiempo del viaje redondo es to = 2L/v. b) Suponga que la ve-locidad del aire va hacia el este (u oeste). Demuestre que el tiempo del viaje redondo es enton-ces

oE 2 2

tt1 u / v

c) Suponga que la velocidad del aire es hacia el norte (o hacia el sur). Demuestre que el tiempo del viaje redondo es, entonces

oN 2 2

tt1 u / v

d) En las partes b) y c), debemos suponer que u < v?Por qu? Resolucin a) u = 0

t = 2t = 2L/v

to = 2L/v

b) 'sm sf mfv v v = velocidad de la partcula respecto al sistema fijo v = velocidad de la partcula respecto al sistema mvil (avin) u = velocidad del sistema mvil respecto al fijo (viento) En este caso interesa la velocidad del avin respecto a tierra. sf sm mfv v Como es en una dimensin: a favor del viento: vsf = v + u en contra del viento: vsf = v u t ida = L/(v + u) t vuelta = L/(v u)

t = tida + tvuelta = 1 1L

v u v u = 2 2

2Lvv u

tras dividir numerador y denominador por v2 se llega a:

o2 2tt

1 u / v

c)

A B

v

7

En este caso el avin es empujado lateralmente por el viento. Para llegar a B, se debe orientar la direccin del vuelo en sentido contrario, con una componente que neutralice la velocidad del viento. La velocidad en la direccin correcta respecto a tierra ser

vsf = vcos = v(1 sen2)1/2

2 2sfv v 1 u / v

Razonando desde B hasta A, se ve del grfico que tida = tvuelta

t = 2tida = 2 2

2L

v 1 u / v

o2 2

tt

1 u / v

d) En la parte (b), u > v conduce a un tiempo negativo, sin sentido real. Significa fsicamente que en el vuelo de regreso la velocidad del viento u es mayor que la del avin, lo que impedira que el avin regrese. En la parte (c) ocurre algo similar. En este caso conduce a un nmero imaginario. La razn f-sica es que u es una componente de v, y no puede ser nunca mayor (ver figura). Para u = v el avin nunca llegara a su meta (tendra que viajar en direccin perpendicular a la misma para poder vencer la componente del viento).

A B vsf

u

v

- u

8

7. Dos carreteras se intersecan, como se ve en la fig. 42. En el instante mostrado, una patrulla P est a 41 m de la interseccin y moviendose a 62 km/h. El motorista M est a 57 m de la inter-seccin y moviendose a razn de 62 km/h. En este momento Cul es la velocidad del motorista con respecto a la patrulla? Datos vM = 62 km/h vP = 76 km/h vMP? Los datos de distancia no se necesitan para resolver el problema. v ' v v = velocidad de la partcula respecto al sistema fijo

v = velocidad de la partcula respecto al sistema mvil

= velocidad del sistema mvil respecto al fijo En este caso: Mv v , Pv y MP M Pv v v

tan = vP/vM = 76/62 = 1.225

= tan-11.225

= 50.8 o

El mdulo de la velocidad se calcula de la expresin vMPcos = vM:

vMP = vM/cos = 62/cos(50.8) = 62/0.632 = 98.1 km/h

M

P

vM

vP

vM

- vP

vMP

2DA LEY DE NEWTON (no friccin) 1. Una caja de 110 kg est siendo empujada a velocidad constante por la rampa de 34o que se muestra en la figura. a) Qu fuerza ho-rizontal F se requiere? b) Cul es la fuerza ejercida por la rampa sobre la caja? Datos m = 110 kg = 34o v = constante a) F? b) Frc? a) Pasos a seguir: a) Identificar las fuerzas (paso ms importante) b) Escoger un sistema de referencia adecuado (un eje en el sentido del mov. o del posible mov.) c) Plantear la 2da ley en cada eje coordenado Eje x: Fcos Fgsen = max = 0 F = Fgtan = mgtan(34o) = 110x10x0.67 = 737 N b) N Fgcos Fsen = may = 0 N = Fgcos + Fsen = mgcos37 + Fsen37 = 110x10x0.83 + 737x0.56 = 1325.7 N

F

34o

F

Fg

N

2. Tres bloques estn unidos como se muestra en la figura, sobre una mesa horizontal carente de friccin, y son jalados hacia la derecha con una fuerza T3 = 6.5 N. Si m1 = 1.2 kg, m2 = 2.4 kg y m3 = 3.1 kg, calcule: a) la aceleracin del sistema y, b) las tensiones T1 y T2. Trace una analoga de los cuerpos que estn siendo jalados en tndem, tal como si una locomotora jalara de un tren de carros acoplados. Datos T3 = 6.5 N m1 = 1.2 kg m2 = 2.4 kg m3 = 3.1 kg a) Como las sogas no tienen masa ni se estiran, ni hay friccin, la posicin relativa de los bloques no vara durante el movimiento, y se puede considerar que los tres cuerpos forman una sola partcula de masa M = m1 + m2 + m3 = 1.2 + 2.4 + 3.1 = 6.7 kg. Entonces, aplicando la 2da ley: RF ma

Y como es en una dimensin, T3 = Ma a = T3/M = 6.5/6.7 = 0.97 m/s2 b) La 2da ley se debe cumplir igualmente para cada bloque por separado: T1 = m1a = 1.2 x 0.97 = 1.16 N T2 = (m1 + m2)a = 3.6 x 0.97 = 3.49 N

1 2 3 T3

3. Una cadena que consta de 5 eslabones, cada uno con una masa de 100 g, se levanta verti-calmente con una aceleracin constante de 2.50 m/s2 como se muestra en la figura 43. Halle a) las fuerzas que actan entre eslabones adyacentes, b) la fuerza F ejercida en el eslabn supe-rior por el agente que eleva la cadena y c) la fuerza neta en cada eslabn. Datos mi = 100 g = 0.1 kg a = 2.5 m/s2 a) Fi = fuerza ejercida por el eslabn superior Fgi = fuerza gravitatoria sobre el eslabn i Pi = peso de los eslabones inferiores = nmig donde n es el nmero de eslabo-nes por debajo del eslabn i. b) Aplicando la 2da ley en el eje y, considerando toda la cadena como una par-tcula, para el 1er eslabn Fi = F, Pi + Fgi = 5mig

F Fg = 5mia

F 5mig = 5mia

F = 5mi(a + g) = 0.5(10 + 2.5) = 6.25 N

c) Fuerza neta = fuerza resultante. En este caso, para cualquier eslabn tambin se tiene que cumplir la 2da ley:

FR = mia = 0.1 x 2.50 = 0.25 N

Notar que la fuerza neta o resultante no es igual a la fuerza Fi ejercida por el eslabn superior, ya que, en cada caso tendramos diferentes Fi, dependiendo del valor de Pi

FR = Fi Fgi Pi = mia

Fi

Fgi Pi

4. Un bloque de masa m1 = 3.70 kg est sobre un plano inclinado de ngulo = 28.0o y unido por una cuerda sobre una polea pequea, sin friccin y sin masa, a un segundo bloque de masa m2 = 1.86 kg que cuelga verti-calmente (vase la figura). a)Cul es la aceleracin de cada bloque? b) Halle la tensin en la cuerda. Datos m1 = 3.7 kg = 28o m2 = 1.86 kg a? T? a) Ante todo, es necesario averiguar si se mueve hacia la izq. o hacia la derecha, para determi-nar el sentido relativo de la aceleracin y las fuerzas. Para eso hay que comparar las compo-nentes actuando a lo largo de la cuerda en distinto sentido. El movimiento ser en el sentido de la mayor. Fg2 = m2g = 18.6 N Fg1sen = 37x 0.47 = 17.4 N Fg2 > Fg1sen el mov. es a la derecha. Si la cuerda no tiene masa, analizando las parejas de accin y reaccin de la tensin, se llega rpidamente a la conclusin de que T = T. La aceleracin tambin es la misma para los dos en valor numrico, pues se supone la soga inextensible, y lo que avanza un cuerpo tambin lo avanza el otro en el mismo interva-lo, dx1/dt = dy2/dt, e igual para la 2da derivada; ax1 = ay2.

Cuerpo 1 (T y a tienen el mismo sentido) T Fg1sen = m1a T = m1gsen + m1a (1) Cuerpo 2: (T y a tienen sentido contrario) T Fg2 = - m2a T = m2g m2a (2)

El resto es puramente matemtico: despejando T en las ecuaciones (1) y (2) se llega a:

2 1

1 2

(m m sen ) 1.86 3.7x0.47a g 10x(m m ) 3.7x1.86 = 0.218 m/s

2

b) Sustituyendo en (2): T = m2(g a) = 1.86 x (10 0.218) = 18.2 N

m1

m2

m1

m2

Fg2

T T N

Fg1

a

a

5. Un agente externo ejerce una fuerza vertical sobre el eje de la polea en la figura. Considere que la polea y el cable carecen de masa y que el buje carece de friccin. Dos objetos de masa m1 = 1.2 kg y m2 = 1.9 kg, estn unidos a los extremos opuestos del cable que pasa sobre la polea. El ob-jeto de masa m2 est en contacto con el piso. a) Cul es el valor mas grande que la fuerza F puede tener de modo que m2 permanezca en repo-so sobre el piso? b) Cul es la tensin en el cable cuando la fuerza F ha-cia arriba es de 110 N? c) Con la tensin determinada en la parte b), cul es la aceleracin de m1? Datos m1 = 1.2 kg m2 = 1.9 kg Fmx para v2 = 0? T cuando F = 110 N? a) Si la cuerda y la polea no tienen masa no pueden alterar los valores de T1 y T2. Considerando las parejas de accin y reaccin, se llega rpi-damente a que T1 = T2 = T. Al halar mediante F, la cuerda se desliza y la polea sube, junto con el cuerpo 1. Sin embargo, planteando la 2da ley en la polea:

F T1 T2 = Map = 0

F = 2T (1)

Para el cuerpo 2: T + N Fg2 = m2a = 0

T = m2g N (2)

El valor de N se determina a partir de la condicin de Fmx. Un instante antes de separarse del suelo, N 0. Sustituyendo (2) en (1) con N = 0 (caso lmite):

F = 2m2g = 2 x 1.9 x 10 = 38 N b) T = F/2 = 110/2 = 55 N c)

T1 Fg1 = m1a 1

1

Ta gm

= (55/1.2) 10 = 35.8 m/s2

F

m1

m2

M = 0

T1 T2

Fg1

Fg2

N

T T

F

F

6. El hombre de la figura 51 pesa 180 lb, la plataforma y la polea sin friccin unida a ella pesan un total de 43 lb. Desprecie el peso del cable. Con que fuerza debe el hombre halar el cable con objeto de elevarse a si mismo y a la plataforma a razn de 1.2 ft/s2? Datos l lb (masa) = 0.453 kg 1 ft = 0.305 m mh = 180 x 0.453 = 81.54 kg mp = 43 x 0.453 = 19.48 kg a = 1.2 ft/s = 1.2 x 0.305 = 0.366 m/s2 El sistema hombre + polea-plataforma no se puede considerar una partcula, porque hay fuer-zas internas actuando (hombre-polea, hombre-suelo y sus parejas de accin y reaccin). Sin embargo, en el captulo de sistemas de partculas se demuestra que, para un sistema cualquie-ra se debe cumplir que

cmxtRe aMF

donde el 1er trmino se refiere exclusivamente a las resultante de las fuerzas externas y la aceleracin es la del centro de masa del sistema. Entonces, considerando solo las fuerzas externas en el sistema hom-bre + polea-plataforma:

T Fg = Ma

T = M(g+a)

T = (mh+ mp)(g + a) = (81.54 + 19.48)(10 + 0.366) T = 1036.8 N

Para llevar a libras (fuerza): 1 N = 0.2248 lb T = 233 lb La funcin de la cuerda sin peso es slo transmitir la tensin T hasta el hombre, cambiando su direccin de aplicacin, pero no su magnitud. Esa fuerza acta sobre el hombre, y es igual a la ejerce el hombre sobre la cuerda por ser pareja de accin y reaccin. (OJO La solucin numri-ca del texto no concuerda con el resultado anterior). Nota. Este problema se puede resolver (de forma mas compleja) considerando dos partculas (hombre y plataforma) y aplicando las leyes de Newton a cada una, sin necesidad de introducir los criterios de sistema de partculas.

N T Fgh = mha (1)

2T N Fgp = mpa (2)

Sumando (1) y (2) y agrupando se llega a la misma solu-cin:

T (mh+ mp)g = (mh+ mp)a

T = (mh+ mp)(g + a) Es decir, para lograr que todo suba aceleradamente el hombre se tiene que cargar a si mismo junto con la plataforma, y adems aportar una fuerza extra (mh+mp)a.

T

Fg

a

N

Fgh T

hombre

Fgp

N

TT

a

plataforma

7. Una bola de 1.34 kg est unida a una varilla vertical rgida por medio de dos cordones sin masa, cada uno de 1.70 m de longi-tud. Los cordones estn unidos a la varilla con una separacin entre s de 1.70 m (aparte). El sistema est girando con respec-to al eje de la varilla, quedando ambos cordones tirantes y for-mando un tringulo equiltero con la varilla, como se muestra en la figura. La tensin en el cordn superior es de 35.0 N. a) Ha-lle la tensin en el cordn inferior. b) Calcule la fuerza neta so-bre la bola en el instante mostrado en la figura. c) Cul es la velocidad de la bola? Datos m = 1.34 kg , L = 1.70 m , T1 = 35.0 N a) T2? eje x:

T1 cos 30o + T2 cos 30o = mv2/R = o2

30cosLmv

o2

2

21 30cosLmvTT (1)

eje y: T1 sen 30o T2 sen30o Fg = 0

T1 T2 = o30senmg (2)

T2 se obtiene directamente despejando en (2):

T2 = T1 mg/sen30o = 35.0 1.34x10/0.5 = 8.2 N b) FR?

jFiFF RyRxR

FRy_ = may = 0

FRx = max = mv2/R = mv2/Lcos (3) falta el dato de la velocidad, que se obtiene despejando en la ecuacin (1)

21

o221 30cosLTTm

1v

= [(1/1.34)(35.0 + 8.2)x1.70x0.75]1/2 = 6.41 m/s inciso (c) Finalmente, sustituyendo en (3)

FR = FRx = (1.34x60.22)/(1.70x(3/2) = 54.9 N inciso (b)

Fg

T1

T2

30o R

L = 1.70 m

60o 1.70 m

8. Un globo aerosttico desciende en aire tranquilo a una velocidad constante de 1.88 m/s. El peso total del globo, incluyendo la carga til, es de 10.8 kN. Se ejerce sobre el globo una fuerza ascensional constante de 10.3 kN. El aire ejerce tambin una fuerza de arrastre dada por D = bv2, donde v es la velocidad del globo y b es una constante. La tripulacin arroja 26.5 kg de las-tre. Cul ser la velocidad constante de descenso del globo? Datos vo = 1.88 m/s constante P = Fg = 10.8 kN = 10.8x103 N Fe = 10.3 kN = 10.3x103 N f = bv2 (friccin por viscosidad) a) m = 26.5 kg; v ? Se considera el globo junto con la canasta como una partcula. Diagrama de fuerzas: Fe + f Fg = ma = 0 De aqu se puede determinar el valor de la constante b.

bv2 = Fg - Fe (1)

b = (Fg - Fe)/v2 = (10800 10300)/(1.88)2 = 141.5 N/(m/s)2

Comentarios: 1. La fuerza de empuje cumple el principio de Arqumedes. Como el aire caliente ocupa un volu-men mayor que el aire fro, el globo lleno de aire caliente pesa menos que si lo estuviera de aire fro. La explicacin de por qu aparece el empuje ascendente en este caso se logra al estudiar la ecuacin fundamental de la hidrosttica en el captulo de fluidos. 2. Al arrojar lastre, habr un perodo transiente donde la velocidad no se mantiene constante. En ese caso la 2da ley conduce a una ecuacin diferencial de 1er orden,

Fe Fg + bv2 = m(dv/dt) .

Fe es la misma que antes, Fg = (m m)g y m = m m. La solucin general de esta ecuacin no es trivial. Sin embargo, el problema pide calcular la nueva velocidad de equilibrio. Y en el equi-librio necesariamente se tiene que cumplir de nuevo la ecuacin (1), con la nueva masa (m m).

Segn (1)

bv2 = Fg - Fe 2

1e

bFg)mm(v

donde m = Fg/g = 10.8 x 102 kg

21

5.1411030010x)5.261080(v

= 1.29 m/s

aire caliente

f Fe

v

Fg

2DA LEY DE NEWTON (con friccin) 1. Una fuerza horizontal F de 12 lb empuja a un bloque que pesa 5.0 lb contra una pared vertical (Fig. 26). El coeficiente de friccin esttica entre la pared y el bloque es de 0.60, y el coeficiente de friccin cintica es de 0.40. Suponga que el bloque no se est moviendo inicialmente. a) Comenzar a moverse el bloque? b) Cul es la fuerza ejercida sobre el bloque por la pared? Datos F = 12 lb = 12 x 4.48 = 53.76 N (1 lb fuerza- = 4.48 N) PB = 5 lb = 5 x 0.453 = 2.265 N (1 lb masa- = 0.453 kg) s = 0.6 K = 0.4 vo = 0 a) Hay mov? b) FpB? En todo problema donde intervengan fuerzas paso 1: diagrama de fuerzas + (2) sistema de referencia adecuado.

eje x: F N = max = 0 N = F eje y: Fg f = may =???

a) Para que se mueva, se debe cumplir Fg > fmax = sN = sF. Fg = mBg = 2.265 x 10 = 22.65 N sF = 0.6 x 53.76 = 32.26 N por tanto, el bloque no se mueve. b)

pBF N F

2 2F 32.26 53.76 = 62.7 N

tan = f/N = 32.26/53.76 = 0.60 = arctan(0.6) = 31o

F

F

f

N

Fg

f

N

FpB

2. Una caja se desliza hacia abajo por una ca-nal inclinada y en ngulo recto como se mues-tra en la figura 36. El coeficiente de friccin ci-ntica entre el bloque y el material que compo-nen la canal es k. Halle la aceleracin de la caja. Datos , k Hay dos superficies con normales diferen-tes hay dos fuerzas de friccin a consi-derar, una en cada superficie. f1 = kN1 y similar para f2 En el eje y, por simetra, N1 = N2 N1cos45 + N2cos45 = Fgcos N12 = mgcos

N1 = mgcos/2 En el eje x, como N1 = N2, f1 = kN1 es igual a f2: f1 + f2 = 2f1

Fgsen 2f1 = ma mgsen 2kmgcos/2 = ma

90o

f1f2

Fg

N1, N2 N1 N2

Fgcos

45

a = g(sen - 2kcos)

3. Un bloque de 4.40 kg est colocado sobre otro bloque de 5.50 kg. Con objeto de hacer que el bloque de arriba se deslice sobre el de abajo, que se mantiene fijo, debe aplicarse sobre el bloque de arriba una fuerza horizontal de 12.0 N. El conjunto de bloques es ahora situado sobre una mesa horizontal carente de friccin (figura 39). Halle: a) la fuerza horizontal mxima F que puede ser aplicada al bloque inferior de modo que ambos bloques se muevan juntos. b) La aceleracin resultante de los bloques y c) el coeficiente de friccin esttica entre los blo-ques. Datos mA = 4.4 kg a) FmxmB = 5.5 kg b) a? FA = 12.0 N para que se mueva si B est fijo c) s? Resolucin c) Bloque B fijo y fuerza FA aplicada sobre A. Esta informacin se usa pa-ra obtener el coeficiente de friccin entre A y B (inciso c). Mientras el bloque A no se mueva, para cualquier Fo

Fo f = mAax = 0 , N - FgA = may = 0

f = Fo N = FgA La fuerza de friccin esttica cumple la condicin fmx sN . Sustitu-yendo f por el mximo valor posible para que est en reposo, cuando Fo = FA = 12.0 N:

smag = FA s = FA/mag = 12/4.4x10 = 0.27

a) Mientras se cumpla que FBA < fmx = smag el cuerpo A no podr deslizarse sobre B, y por tanto viajarn juntos. Para que no se se-paren, FBA smag Como adems se tiene que cumplir la 2da ley en A,

FBA = mAa

Por tanto, tomando el mayor valor posible de FBA (signo igual): smag = maa

a = sg = 0.27 x 10 = 2.7 m/s2 b) Aplicando 2da ley en el eje x, considerando los dos bloques A y B unidos como una partcula:

Fmx = FRx = (mA + mB)a = 9.9 x 2.7 = 26.7 N

F

FBA

N

mAg

Fof

N

FgA

A

F A

B

4. Un ciclista viaja en un crculo de 25 m de radio a una velocidad constante de 8.7 m/s. La ma-sa combinada de la bicicleta y el tripulante es de 85 kg. Calcule la fuerza (magnitud y ngulo con la vertical) ejercida por la pista sobre la bicicleta. Datos R = 25 m v = 8.7 m/s m = 85 kg F? Se considera el sistema bicicleta + tripulante como una partcula. Comentarios importantes: 1. Considerar todo como una partcula es vlido, pues slo interesan las fuerzas externas al sistema (ejercida por la pista) 2. La normal es siempre perpendicular a las superficies en contacto, (aunque la bicicleta est inclinada). Razn: por-que experimentalmente f = N, y la componente que interesa para calcular f es justamente la normal y no otra. 3. La fuerza centrpeta no es una fuerza de la naturaleza, sino el nombre que se le da a la resultante de las fuerzas actuando en la direccin radial. No es una fuerza que se aada al diagrama de cuerpo libre. 4. Cuando hay fuerza centrpeta, usualmente resulta conveniente tomar un sistema de ejes con el eje x en la direc-cin radial. Resolucin

RF N f

eje y N Fg = may = 0

N = Fg = mg = 85x10 = 850 N eje x f = mac = mv2/R = 85x(8.7)2/25 = 257.3 N

F N f 2 2F 850 257.3 = 881.8 N

tan = f/N = 257.3/850 = 0.30 = arctan(0.30) = 16.7o

N

Fg

f

N

Fg

f

F

5. Una curva peraltada de una carretera circular est diseada para que el trfico se mueva a razn de 95 km/h. El radio de la curva es de 210m. El trfico se mueve a lo largo de la carrete-ra a razn de 52 km/h en un da tormentoso. a)Cul es el coeficiente de friccin mnimo entre las llantas y la carretera que permita que los automviles tomen la curva sin patinar? b) Con es-te valor del coeficiente de friccin, cul es la velocidad mayor a la que puede ser tomada la curva sin que haya un patinaje? Datos vo = 95 km/h = 95x103/3600 = 26.4 m/s R = 210 m v = 52 km/h = 52x103/3600 = 14.4 m/s a) s (mnimo) b) vmx? Comentario: El diseo de un peralte se hace de forma tal que, para la velocidad propuesta, el ngulo de peralte es tal que proporciona toda la componente centrpe-ta necesaria, sin tomar en cuenta la friccin de las ruedas. El dato de vo se usa para calcular . eje x Nsen = mac = mv2/R Nsen = mv2/R (1) eje y Ncos Fg = may = 0 Ncos = mg (2) Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 1 y 2:

tan = v2/Rg = (26.4)2/210x10 = 0.332 = arctan(0.332) = 18.4o

a) mnimo? Comentarios: Suponga que no hay friccin. Si v < vo el auto se deslizara hacia abajo, porque la componente Nsen ahora es mayor que la fuerza centrpeta v2/R que hace falta para que el auto gire la friccin adicional siempre obra en contra del posi-ble movimiento, hacia fuera. Su efecto es reducir el valor de la resultante en el eje x hasta igualarlo a mv2/R. El mnimo valor de f posible (y de ) es aquel que junto a Nsen proporciona la fuer-za centrpeta necesaria. Note que un valor mayor de no altera-r el valor de f que cumpla la condicin anterior (recuerde que en una dimensin f = - Faplicada mientras que no se alcance el valor mximo).

eje x: Nsen fcos = mv2/R N(sen -scos) = mv2/R (1) eje y: Ncos + fsen Fg = 0 N(cos + ssen) = mg (2)

Dividiendo (1) entre (2):

v

Nsen

desde arriba

N

Fg

f

Fg

N

Rgv

sencoscossen 2

s

s

Rgv

tan1tan 2

tanRgv

Rgvtan

22

tan

Rgv1

Rgvtan

22

tanRgv1

Rgvtan

2

2

= 2100/)4.14(x332.01

2100/)4.14(332.02

2

s = (0.332 0.0987)/(1 - 0.0327) = 0.233/0.967= 0.24 b) vmxima? Comentarios: 1. Al aumentar v por encima de la velocidad de diseo, el auto tiende a escapar por la tangente y se necesita la friccin con el pavimento para no escapar. Ahora Nsen no basta para proporcionar la acele-racin centrpeta necesaria. 2. La friccin siempre se opone al movimiento (o al posible movimien-to) y ahora acta en sentido contrario al inciso anterior, evitando que el auto suba la cuesta lateralmente.

eje x Nsen + fcos = mv2/R N(sen + scos) = mv2/R (1)

eje y Ncos - fsen - Fg = 0 N(cos - ssen) = mg (2)

Dividiendo 1 entre 2 para eliminar N

Rgv

sencoscossen 2

Rgv

tan1tan 2

tan1tanRgv2 = 2100(0.332 + 0.24)/(1-0.332x0.24)

v = (2100x0.556/0.920)1/2 = 35.6 m/s = 128.2 km/h

N

Fg

f

6. Una barcaza de masa m est navegando por un canal a velocidad vo cuando sus motores se detienen. La fuerza de arrastre D en el agua est dada por D = bv. a) Halle la expresin del tiempo requerido para que la barcaza reduzca su velocidad a vf. b) Evale numricamente el tiempo para que la barcaza de 970 kg, que navega inicialmente a razn de 32 km/h, reduzca su velocidad a 8.3 km/h; el valor de b es de 68 N.s/m. Datos m = 970 kg vo = 32 km/h v = 8.3 km/h b = 68 Ns/m Comentario: Note que f y v son vectores. Al trabajar en una dimensin, segn los convenios usuales, consideramos (+) lo que est hacia la derecha, y () en sentido contrario. En este ca-so, si v es (+), entonces f = d = - bv . La friccin por viscosidad f en gases y lquidos usualmen-te depende de la velocidad. (Ej. trate de correr dentro del agua. Qu sucede?) a) Aplicando la 2da ley: FR = ma

dvbv mdt

Esta es una ecuacin diferencial de 1er orden, que relaciona la variable con su primera deriva-da. El mtodo de solucin de este tipo de ecuacin se logra agrupando las variables, mediante integracin:

b dvdtm v

o

t v

t 0 v

b dvdtm v

o

tvv

0

b t ln(v)m

f

o

vmt lnb v

b) Evaluando con los datos de ms arriba:

970 8.3t ln68 32

= 19.2 s

vo

f

Notar que

v/vo = e-(b/m)t vo

t

TRABAJO Y ENERGA 1. Para empujar una caja de 25 kg. por un plano inclinado a 27o, un obrero ejerce una fuerza de 120 N, paralela al plano. Cuando la caja se ha deslizado 3.6 m, cunto trabajo se efectu sobre la caja por a) el obrero, b) la fuerza de gravedad y c) la fuerza normal al plano inclinado? Datos

m = 25 kg d = 3.6 m a) Wo? = 27o b) WFg? F = 120 N c) WN?

a) dFW = Fdcos ( = 0, cos = 1) Wo = Fd = 120x3.6 = 432 J

b) WFg = Fgdcos(90+) = - mgdsen = - 25x10x3.6xsen270 = 408.6 J c) WN = Ndcos90o = 0 2. Se usa una cuerda para bajar verticalmente un bloque de masa M a una distancia d con una aceleracin constante haba debajo de g/4. a) Halle el trabajo efectuado por la cuerda sobre el bloque. b) Halle el trabajo efectuado por la fuerza de gravedad. Datos M, d, a = g/4 a) WT? b) WFg? a) WT = Tdcos180o = - Td T? Para obtener T hay que plantear diagrama de fuerzas

T Fg = - Ma T = M(g a) = M(g g/4) = Mg

WT = Mgd

b) WFg = Fgdcos0 = Mgd

F N

Fg

d

a

T

Fg d

3. Un bloque de 5 kg se mueve en lnea recta sobre una superficie horizontal sin friccin ba-jo la influencia de una fuerza que vara con la posicin como se muestra en la fig. 15. Cunto trabajo efecta la fuerza cuando el bloque se mueve desde el origen hasta x = 8.0 m? Resolucin En una dimensin, si la fuerza es variable,

21

x

x

dx)x(FW = rea bajo la curva (tomando

siempre el eje F = 0 como eje bsico) En el caso de valores negativos, el rea bajo la curva tambin se calcula hacia el eje F = 0, como puede com-probarse fcilmente a partir de la definicin de integral (ver figura sombreada).

Wtotal = W0-4 + W4-6 + W6-8

WO-4 = area trapecio = (4 + 2)x10 = 30 J W4-6 = 0 W6-8 = rea tringulo = x 2 x -5 = - 5 J Wtotal = 25 J

4. Un objeto de 10 kg se mueve a lo largo del eje x. En la figura 16 se muestra su aceleracin en funcin de su posicin. Cul es el trabajo neto realizado sobre el objeto al moverse desde x = 0 hasta x = 8 m? Datos m = 10 kg Trabajo neto = trabajo resultante. La aceleracin no es constante. Aumenta lineal-mente con la distancia segn una expresin del tipo: a = mx (ecuacin de una recta que pasa por el origen). El valor de m se obtiene del grfico para dos puntos conocidos; por ej., (0,0) y (8,20):

m = a/x = 20/8 = 2.5 m2/s2. Entonces, a(x) = 2.5x WR = 2

1

x

xR dx)x(F = 2

1

x

x

dx)x(am = 10x2.5 8

0

xdx = 8

0

2

2x25 25x82/2 = 800 J

F

x 0 2 4 6 8

10

5

0

- 5

- 10

F

x

0

a (m/s2)

x (m) 0 2 4 6 8

20

15

10

5

0

5. Un bloque de 263 g se deja caer sobre un resorte vertical con una cons-tante de fuerza k = 2.52 N/cm (Fig. 20). El bloque se pega al resorte y el resorte se comprime 11.8 cm antes de alcanzar el reposo momentnea-mente. Mientras el resorte est siendo comprimido, cunto trabajo efec-tan, a) la fuerza de gravedad y b) el resorte? c) Cul era la velocidad del bloque inmediatamente antes de que alcanzara el resorte? d) Si esta velo-cidad inicial del bloque se duplica, cul es la compresin mxima del re-sorte? Desprecie la friccin. Datos

m = 263 g = 0.263 kg WFg? k = 2.52 N/cm = 2.53 N/10-2m = 252 N/m Wresorte? x = 11.8 cm = 0.118 m vo? (antes de chocar) velocidad inicial de cada = 0 xmax si v se duplica?

a) WFg = dFg

= mgdcos0o = 0.263x10x0.118 = 0.31 J b) La fuerza elstica no es constante. Cumple la ley de Hooke, F = - kx. La fuerza elstica y el W realizado por ella son opuestos al sentido del movimiento (w < 0). En una dimensin, considerando x positivo,

Wresorte = x

0

kxdx = x

o

2

2xk = - kx2 = x 252 x 0.1182 = - 1.75 J

c) WR = Ec = Ecf Eco = - mvo2 Por otra parte, WR = Wk = Wresorte + WFg , es decir,

Wresorte + WFg = - mvo2

vo2 = - 2m(Wresorte + WFg) = - 2x0.263x( 1.75 + 0.31) = 10.95

v = 3.3 m/s

d) vo = 6.6 m/s x? El planteamiento es el mismo que en el inciso c, pero ahora se desea buscar x conocido vo. Note que es necesario escoger un origen comn para x (en este caso, la posicin del re-sorte en estado de equilibrio).

WR = Ec = Ecf Eco = - mvo2 Wresorte + WFg = - mvo2

- kx2 + mgx = - mvo2

Dividiendo y agrupando - kx2/m + 2gx + vo2 = 0 958x2 20x - 43.5 = 0

19161666922020x

2 = (20 409)/1916 = 0.224 m

Fg

Fe

d

CONSERVACION DE LA ENERGIA 1. Un cubo de hielo muy pequeo cae desprendido desde el borde de una cubeta semiesfrica sin friccin, cuyo radio es de 23.6 cm (ver figu-ra). A que velocidad se mueve el cubo en el fondo de la cubeta? Datos R = 23.6 cm = 0.236 m Comentarios 1. N siempre es a la direccin del movimiento y no trabaja. 2. La nica fuerza que trabaja es Fg (fuerza conservativa), y el sistema es conservativo. Escogiendo la posicin inicial y final segn la figura y el cero de la energa potencial en el fondo de la cubeta,

E1 = E2

mgR = mv2

gR2v = 236.0x10x2 = 2.2 m/s

2. El carrito sin friccin de una montaa rusa parte de A en la figura a la velocidad vo. Cul ser su velocidad a) en el punto B, b) en el punto C, y c) en el punto D? Suponga que el carrito puede ser considerado como una partcula y que siempre permanece en la va. Datos: vo, h Notar que la normal es siempre a la superficie y al movimiento (y no trabaja) mientras que Fg (conservativa) siempre es vertical y s trabaja. El sistema es conservativo. a) EA = EB mvo2 + mgh = mvB2 + mgh mgh se cancela y queda oB vv b) EA = EC mvo2 + mgh = mvC2 + mgh/2

vo2 + gh = vC2

ghvv 2oC c) EA = ED mvo2 + mgh = mvD2

vo2 + 2gh = vD2

gh2vv 2oD

En la medida que la altura disminuye, mayor energa potencial se transforma en energa ci-ntica, etc.

R

vo

hh/2

B

C

A

Dh

N

Fg

1

2

3. Un camin que ha perdido los frenos desciende por una pendiente a 80 mi/h. Por fortuna, existe una rampa de escape de emergencia al pie de la colina. La inclinacin de la rampa es de 15o (ver figura). Cul deber ser la longitud mnima L para que el camin llegue al reposo, al menos momentneamen-te? Datos v = 80 mi/h = 80x1609m/3600s = 35.75 m/s Consideraciones 1. Longitud mnima para que llegue al reposo longitud mxima posible que puede recorrer el camin esto ser cuando no haya ninguna friccin (f = 0). 2. La componente normal no trabaja en todo el recorrido. S-lo trabaja Fg sistema conservativo. Tomando la posicin inicial (1) al pie de la pendiente (h = 0) y la (2) en el momento que se detiene el camin (v = 0);

E1 = E2

mv2 = mgh ,

pero sen = h/L . Sustituyendo y despejando,

v2 = 2gLsen

o

2

15gsen2vL =

26.0x10x275.35 2 = 246 m

15o

L

Fg

N

h

1

2

4. Un bloque de 1.93 kg se coloca contra un resorte comprimido sobre un plano inclinado de 27o sin friccin (ver figura). El re-sorte, cuya constante de fuerza es de 20.8 N/cm se comprime 18.7 cm despus de lo cual el bloque se suelta. Qu tanto subir el bloque antes de alcanzar el reposo? Mdase la posi-cin final del bloque con respecto a su posicin precisamente antes de ser soltado. Datos m = 1.93 kg = 27o k = 20.8 N/cm = 20.8N/10-2m = 2080 N/m x = 18.7 cm = 0.187 m h, L? Las dos fuerzas que trabajan, Fe y Fg, son conservativas. Por tanto, escogiendo la posicin inicial en el momento de soltar el resorte (vo = 0), y la final cuando llega al reposo (v = 0):

E1 = E2

Epe(1) + Epg(1) = Epg(2)

La energa potencial del resorte se mide a partir de su posicin de equilibrio (x = 0). Cuando x = 0, Epe = Epe(2) = 0. La energa potencial gravitatoria se mide a partir de un cero arbitra-rio. Tomando este cero en la base del plano:

kx2 + mgy1 = mgy2

kx2 = mg(y2 y1)

y2 y1 = h = Lsen Despejando en las expresiones anteriores,

o

2

27mgsen2kxL =

454.0x10x93.1x2187.0x2080 2 = 4.15 m

27o

27o

1

2

L

0

y2 y1

Lh

sen = h/L

5. Un bloque de 2.14 kg. se deja caer desde una altura de 43.6 cm contra un resorte de constante de fuerza k = 18.6 N/cm, con se muestra en la figu-ra. Halle la distancia mxima de compresin del resorte. Datos m = 2.14 kg h = 43.6 cm = 0.436 m k = 18.6 N/cm = 18.6 N/10-2m = 1860 N/m vo = 0 (se deja caer) mxima compresin v = 0 x? Comentarios. 1. Las dos fuerzas que trabajan son conservativas el sistema es conservativo. 2. Note que el cero de la Ep elstica no es el mismo que el de Ep gravitatoria (aunque se pu-dieran escoger en el mismo lugar, lo que no resulta cmodo). El de la Ep gravitatoria es arbi-trario, el de Ep elstica no lo es (slo es cero en el estado de equilibrio x = 0). 3. El criterio para escoger los estados inicial (1) y final (2) es que: a) incluyan datos conoci-dos b) incluyan el parmetro que deseamos conocer.

E1 = E2

mgy1 = kx2 + mgy2

mg(y1 y2) = kx2

mg(h+x) = kx2

kx2 mgx mgh = 0

Ecuacin de segundo grado. Se resuelve ms fcilmente sustituyendo ahora los valores numricos:

930x2 21.4x 9.33 = 0

1860347084584.21x

18605.1874.21x

x1 = - 0.09 m , x2 = 0.112 m

La raz x1 no tiene sentido real o sentido fsico.

43.6 cm

h

x 0

0

(1)

(2)

y1

y2

6. Sobre un objeto de 1.18 kg acta una fuerza neta conservativa dada exactamente por F= - 3x 5x2, donde F est en newton si x est en metros. a) Halle la energa potencial del ob-jeto en x = 2.26 m. Suponga que Ep(0) = 0. b) El objeto tiene una velocidad de 4.13 m/s en la direccin x negativa cuando est en x = 4.91 m. Halle la velocidad cuando pasa por x = 1.77 m. Datos m = 1.18 kg F = -3x -5x2 (N,m) a) Ep en x = 2.26 m si Ep(0) = 0 b) v = - 4.13 m/s cuando x = 4.91 m. v para x = 1.77 m? a) Para calcular la energa potencial hay que aplicar la definicin:

Ep = 21

P

Pap rd.F

= 2

1

P

Pc rdF

Como la funcin es de una sola dimensin,

Ep = 21

x

xc dx)x(F = 2

1

x

x

2 dx)x5x3( = 21

x

x3

352

23 xx

Por tanto, la funcin energa potencial debe tener la forma Ep(x) = 3/2 x2 + 5/3 x3 Evaluando en x = 2.26:

Ep(2.26) = 3/2 (2.26)2 + 5/3 (2.26)3 = 7.66 + 19.23 = 26.9 J b) Sistema conservativo energa mecnica constante

E1 = E2 mv12 + Ep1 = mv22 + Ep2

mEE2

vv 2p1p2122

Ep1 = 233.5 J, Ep2 = 13.9 J

v2 = [(4.13)2 + 2x21.96/1.18]1/2 19.7 m/s

4.91 m

4.13 m/s

1.77 m

v?

(1) (2)

7. El cordn de la figura tiene una longitud L = 120 cm y la distan-cia d a la clavija fija P es de 75.0 cm. Cuando la bola se suelta desde el reposo en la posicin mostrada, oscilar recorriendo el arco punteado. A qu velocidad ir a) cuando llegue al punto ms bajo de su oscilacin y b) cuando llegue al punto ms alto, una vez que el cordn haya topado con la clavija? Datos L = d + r = 120 cm = 0.12 m d = 75 cm = 0.075 m a) vA? b) vB? a) Punto mas bajo Comentarios. Note que la tensin no es cero, pero siempre es perpendicular al movimiento y no trabaja. slo trabaja Fg sistema conservativo. Por comodidad, el cero de la energa potencial gravitatoria se toma en A (se puede tomar en cual-quier otro lugar. El resultado ser el mismo).

E1 = EA

mgL = mvA2

12.0x10x2gL2vA = 1.55 m/s b) Punto ms alto

E1 = EB

mgL = mg2r + mvB2

gL = 2g(L-d) + vB2

- gL + 2gd = vB2

)Ld2(g2vB = )12.05.0(x20 = 0.77 m/s

r

d

P

L

r

d

P

L

A

B

1

8. En la figura del problema 7, demuestre que si la pesa del pndulo ha de oscilar comple-tamente alrededor de la clavija fija, entonces d > 3L/5. (Sugerencia. La pesa debe moverse en la parte superior de su oscilacin, de otro modo, el cordn se vendr abajo). Diagrama de fuerzas punto B :

T + Fg = man = mv2/r Mientras haya tensin en el hilo, significa que la bola no se cae al llegar a la parte superior. Si la velocidad no es suficiente, entonces T = 0. Luego, para que no caiga,

T = mv2/r mg = m(v2/r g) > 0

v2 > rg (1) Del inciso anterior, v2 = 2g(2d-L) Del grfico, r = L d Sustituyendo en (1)

2g(2d L) > (L d)g

4d 2L > L - d

5d > 3L

d > 3L/5

T Fg

9. Un joven est sentado en la parte superior de un montculo de hielo. Se da a si mismo un pequeo impulso y comienza a deslizarse hacia aba-jo. Demuestre que abandona el hielo en un punto cuya altura es de 2R/3 si el hielo carece de friccin (Sugerencia: La fuerza normal se anula cuando el joven abandona el hielo) Datos: R Consideraciones energticas: La normal no trabaja. La nica fuerza que lo hace es la atraccin gravitatoria sistema conservativo. Tomando la posicin inicial (1) a la altura conoci-da R, y la final (2) cuando se despega del hielo,

E1 = E2

mgR = mgh + mv2

v2 = 2g(R-h) (A)

Consideraciones dinmicas: Para que siga una circunferencia debe existir una acelera-cin centrpeta

mgcos N = mv2/R (B) Estas dos ecuaciones A y B se cumplen simultneamente. En particular, en el punto donde el joven se despega del suelo, N = 0 (termina la interaccin). Despejando en (B)

cos = v2/Rg

Sustituyendo v2 de (A) cos = 2g(R h)/Rg = 2(R-h)/R (C)

Por otra parte, de consideraciones geomtricas en la figura se ve que cos = h/R. Sustitu-yendo en (C),

h/R = 2(R-h)/R

h = 2R -2h

h = 2R/3

N

Fg

h

(1)

(2)

R

10. Una partcula de 2.0 kg de masa se mueve a lo largo del eje x a travs de una regin en la que su energa potencial U(x) vara como se muestra en la figura. Cuando la partcula est en x = 2.0 m, su velocidad es de 2.0 m/s. a) Calcule la fuerza que acta sobre la partcula en sta posi-cin. b) Entre que lmites tiene lugar el movimien-to? c) A que velocidad se mueve cuando est en x = 7.0 m?

a) En una dimensin F = - dEp/dx pendiente a la curva en el grafico Ep(x) vs. x. En x = 2.0 m la pendiente es constante tomando dos puntos cualesquiera, por ej., (4,-17) y (1,-3).

F = - Ep/x = - (-17 (-3)/(4 1) = - (-14/3) = 14/3 J/m

F = 14/3 N

b) Para calcular los lmites hay que calcular la energa mecnica:

E = Ec + Ep

E = mv2 + Ep(2.0)

E = x2.0x(-2.0)2 + (- 8)

E = - 4 J

Los interceptos con el grfico de Ep(x) para este valor de E coinciden con 1 y 14 m. Por tan-to, la partcula se puede mover en el intervalo

1 x 14.

Los puntos 1 y 14 son puntos de retorno, etc. c)

E = Ec + Ep

mv2 = E - Ep

v = [(2/m)(E Ep(7.0)]1/2

v = [(2/2)(-4 (-17)]1/2 = [13]1/2

v = 3.6 m/s

0 5 10 15

0

- 5

-10

-15

-20

x (m)

Ep(x) (J)

Datos m = 2.0 kg x = 2.0 v = - 2.0 m/s a) F? b) lmites? c) v para x = 7.0 m?

11. Un paracaidista de 68 kg cae a una velocidad terminal constante de 59 m/s. Qu tipo de intercambio de energa tiene lugar? Datos m = 68 kg v = 59 m/s constante Razn de cambio de la energa? (dE/dt) Resolucin El paracaidista cae a v constante bajo la accin de dos fuerzas, la gravedad y la resistencia del aire (friccin por viscosidad). Desde el punto de vista energtico, v = constante Ec = constante. Por tanto,

Wnc = E (1) E = mgh2 mgh1 = mgh dE = mgdh

dE/dt = mgdh/dt = mgv

dE/dt = 68x10x59 = 40120 J/s

dE/dt = 40.12 kw

La energa mecnica del paracaidista disminuye, pues mgh final es menor que mgh inicial. Entonces la pregunta obligada es: adonde va esa energa? Para contestar a esta pregunta hay que tomar en cuenta otras energas adicionales a la energa cintica y potencial que no hemos considerado hasta ahora. La energa mecnica disipada por la friccin se transforma en otros tipos de energa. En es-te caso particular en energas cintica y potencial desordenadas y microscpicas de las mo-lculas del aire que frena al paracaidista y de la superficie del paracaidista. Esta energa se denomina usualmente energa trmica, y est asociada al incremento de la temperatura (del aire y del paracaidista). Note 1) Que se hablado de energa trmica y no de calor. El calor es energa en transito a nivel microsc-pico y desordenado, concepto diferente al de energa trmica. 2) Que la variacin de energa es igual al trabajo (negativo) realizado por la friccin. De aqu que, en principio, el trabajo tambin se pueda considerar como otra forma de transmisin de la energa dife-rente al calor: en este caso, transformando la energa potencial gravitatoria en energa trmica.

12. Un ro desciende 15 m al pasar por unos rpidos. La velocidad del agua es de 3.2 m/s al entrar en los rpidos y 13 m/s cuando sale. Qu porcentaje de la energa potencial perdida por el agua al atravesar los rpidos aparece como energa cintica del agua corriente aba-jo?Qu le sucede al resto de la energa? Datos h = 15 m vo = 3.2 m/s v = 13 m/s % energa pot. transf. en cintica? Consideremos una porcin cualquiera de agua de masa m que desciende por el ro. (Veremos ms adelante que du-rante el proceso se puede considerar toda la masa de esa porcin concentrada en su centro de masa)

Ep = mgh Ec = 212221 vvm

Para calcular el % formamos el cociente Ec/Ep = gh2vv 21

22 =

15x10x22.313 22 = 0.53 (53%)

El resto de la energa se transforma en otros tipos de energa: se vaporiza cierta cantidad de agua (para lo cual es necesario absorber calor), hay friccin por viscosidad (incremento de la energa mo-lecular del agua rotacin y vibracin de las molculas -), ruido (incremento de las vibraciones acs-ticas), arrastre de arena y piedras del ro, etc. 13. Durante un deslizamiento de rocas, una roca de 524 kg se cae desde el reposo por la ladera de una colina que tiene 488 m de longitud y 292 m de altura. La velocidad de la roca cuando llega al pie de la colina es de 62.6 m/s. Cuanta energa mecnica pierde la roca durante el deslizamiento debido a la friccin?

La nica fuerza no conservativa trabajando sobre la roca es la friccin, pero se desconoce el ngulo de la pendiente, el valor de f, etc. No obstante, aplicando cri-terios energticos, y despreciando la posible energa de rotacin de la piedra al llegar abajo: Wnc = E = E2 E1

Wf = mv2 mgh

Wf = x 524 x 62.62 524x10x292

Wf = 1026715,12 1530080

Wf = -503364,88 J

Wf = - 503.4 kJ

Este es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (friccin, etc.). Ser igual a la energa perdida por la roca, con signo cambiado: energa perdida = 503.4 kJ.

15m

Datos m = 524 kg L = 488 m h = 292 m v = 62.6 m/s vo = 0

m

h

2

1

14. Un proyectil cuya masa es de 9.4 kg se dispara verticalmente hacia arriba. En su vuelo se disipan 68 kJ de energa mecnica a causa del arrastre del aire. Qu tanto ms alto habra llegado si el arrastre del aire fuese despreciable (por ej., haciendo aerodinmico el proyectil? Datos m = 9.4 kg Wf = - 68 kJ = 68x103 J h? Comentarios. 1. Aunque no lo especifica, es necesario considerar que el dato del arrastre del aire es slo hasta alcanzar la altura mxima, y no todo el vuelo. 2. Note que el trabajo de la friccin siempre es negativo, ya que siempre se opone al movimiento. Cuando el cohete sube considerando la friccin del aire, e introduciendo la velocidad inicial vo,

Wnc = E = E2 E1

Wf = mgho mvo2 (1)

Si eliminamos la friccin del aire (Wf = 0), la energa antes disipada se emplear en alcanzar una altura superior h

0 = mgh mvo2 (2) Eliminando la energa cintica en (1) a partir de (2),

Wf = mg(ho h) = - mgh h = - Wf/mg

h = - (-68x103)/9.4x10 = 723 m

vo

ho 2

1

15. Un bloque de 1.34 kg que se desliza sobre una superficie horizontal choca con un resor-te de 1.93 N/cm de constante de fuerza. El bloque comprime al resorte 4.16 cm desde la posicin de relajamiento. La friccin entre el bloque y la superficie disipa 117 mJ de energa mecnica cuando el bloque es llevado al reposo. Halle la velocidad del bloque en el instante del choque con el resorte. Datos m = 1.34 kg k = 1.93 N/cm = 193 N/m x = 4.16 cm = 0.0416 m Wf = - 117 mJ = - 0.117 J v = 0 vo = ? Comentarios. 1. Aunque el problema no lo dice explcitamente, es necesario considerar que los 0.117 J se refieren slo al segmento x donde el muelle es comprimido, de aqu que las posiciones ini-cial y final son las de la figura. 2. W < 0 siempre

Wnc = E = E2 E1 Wf = Ec2 + Epe2 (Ec1 Epe1)

Wf = kx2 mv12

mW2x

mkv f21

34.1117.0x20416.0x

34.1193v 21 = 0.65 m/s

(1) (2)x

16. Un objeto pequeo de masa m = 234 g se desliza por un ca-rril con extremos elevados y una parte central plana, como se muestra en la figura. La parte plana tiene una longitud L = 2.16 m. Las porciones curvas del carril carecen de friccin. Al atrave-sar la parte plana, el objeto pierde 688 mJ de energa mecnica, debido a la friccin. El objeto es soltado en el punto A, que tiene una altura h = 1.05 m sobre la parte plana del carril. Dnde lle-ga el objeto finalmente al reposo? Datos m = 234g = 0.234 kg L = 2.16 m Wf = - 688 mJ = - 0.688 J h = 1.05 m vo = 0 ? Para determinar si el bloque se detiene antes o despus de llegar al punto B es necesario comparar la energa inicial con la energa disipada en el tramo recto de longitud L.

mgh = 0.234x10x1.05 = 2.457 J

Esta energa es mayor que la mayor posible disipada en el tramo (0.688 J), por lo tanto el bloque se detiene (v = 0) despus que comienza a subir por el otro extremo de la pista.

Wnc = E = E2 E1 Wf = mgh2 mgh1

h2 = h1 + Wf/mg

h2 = 1.05 0.688/0.234x10 = 0.76 m

h

L

A

h

L

A

B

1 2

1

CONSERVACION MOMENTO LINEAL 1. Un hombre de 72.5 kg est subido a un carro de 38.6 kg que est en marcha a una velo-cidad de 2.33 m/s. El hombre salta del carro de modo que toca el suelo a una velocidad horizontal de cero. Halle el cambio resultante en la velocidad del carro. Datos mh = 72.5 kg vh = 0 mc = 38.6 kg vc? voc = 2.33 m/s Comentarios 1. Fry = N Fg = 0; no hay fuerzas externas actuando en el eje x. El teorema de conserva-cin del momento lineal expresa que si

externasiF

= 0, entonces tetanconsP . 2. El problema se resuelve escogiendo adecuadamente dos instantes cualesquiera, (antes y despus que salt, sin que importe cmo lo hizo) y analizando P. 2. Note que el teorema se refiere a un determinado sistema de referencia inercial. Significa que siempre hay que medir las cantidades de movimiento con respecto al mismo sistema inercial de referencia. 3. La velocidad del hombre en el instante final (despus de saltar) es cero respecto a tierra. El salta hacia atrs con velocidad - voc respecto al carro de manera que contrarresta la velo-cidad voc que llevaba inicialmente. Escogiendo un sistema de referencia ligado a tierra:

Po = Pf

(mh + mc)voc = mhvh + mcvc (vh = 0)

vc = (1 + mh/mc)voc

vc = (1 + 72.5/38.6)x2.33 = 6.7 m/s

voc v = 0

2

2. Una plataforma de ferrocarril de peso W puede rodar sin friccin a lo largo de una va ho-rizontal recta. Inicialmente un hombre de peso w est parado sobre la plataforma que avan-za hacia la derecha a velocidad vo. Cul es el cambio en la velocidad de la plataforma si el hombre corre hacia la izquierda (ver fig.), de modo que su velocidad con relacin a la plataforma es de vrel en el mo-mento antes de que salte hacia fuera en el extremo izquier-do? Datos W, w, vo, vrel

0Fexternas

i tetanconsP Como slo hay mov. en el eje x, Po = P Comentarios Este problema se resuelve ms fcilmente escogiendo un sistema de referencia que se mueva con la velocidad constante vo de la plataforma hacia la derecha. (Un sistema que se mueve con v = constante respecto a otro inercial tambin es inercial; las leyes de Newton y cualquier resultado obtenido a partir de ellas tambin se cumplen en ese sistema principio clsico de la relatividad ) Con respecto a este sistema de referencia, Po = 0 antes de que el hom-bre comience a moverse. Independientemente de lo que haga el hombre para saltar, si vrel es su velocidad al saltar en sentido contrario,

0 = - mhvrel + Mpvp

Despejando y sustituyendo en la ecuacin anterior,

vp = (mh/Mp)vrel

vp es la nueva velocidad con respecto al sistema mvil. Con respecto a tierra, la nueva ve-locidad ser vo + vp, y el incremento que pide el problema (con respecto a tierra) ser ese valor menos la velocidad inicial vo de la plataforma; es decir:

vp = vo + vp vo = (mh/Mp)vrel

como mh = w/g, Mp = W/g vp = (w/W)vrel

Nota 1: Compruebe que se obtiene exactamente el mismo resultado, pero de forma bastan-te ms laboriosa, tomando un sistema ligado a tierra como referencia. Recuerde que

v'v es una relacin vectorial.

vo

vo vrel

3

3. Una vasija en reposo explota, rompindose en tres partes. Dos partes, una con el doble de la masa de la otra se desprenden, de modo que una es perpendicular a la otra, a la mis-ma velocidad de 31.4 m/s. La tercera parte tiene el triple de masa de la parte ms liviana. Halle la magnitud y direccin de su velocidad inmediatamente despus de la explosin. (Es-pecifique la direccin dando el ngulo desde la lnea de recorrido de la parte menos pesa-da). Datos m2 = 2m1 v1 = v2 = 31.4 m/s m3 = 3m1 v3? Comentarios. 1. Supongamos la vasija apoyada en una mesa. Como las nicas fuerzas N y Fg que actan estn en equilibrio,

externasiF

= 0 y P

=

constante (teorema de conservacin del momentum lineal). Signifi-ca que la cantidad de movimiento debe ser la misma antes que despus de la explosin:

oPP .

2. Para evitar complicaciones de razonamiento, se asume que las velocidades de las dos partes mencionadas no tienen componentes en el eje y. Al inicio, 0vMP oo

. Como la botella explota en tres pedazos, entonces: 0ppp 321

0vmvmvm 332211

Note que v1 = v2 slo en valor modular. Sustituyendo:

312111 vm3vm2vm = 0

)v2v(v 2131

3 (v1 = v2)

v3 = (1/3) 2121 v4v = (v1/3)5

v3 = 23.4 m/s

Note que si los pedazos 1 y 2 salieron en direcciones paralelas a la superficie, el pedazo 3 tambin sale en una direccin paralela (no hay posible componente en el eje y).

tan = v2/v1 = 2v1/v1 = 2 = arctan(2) = 63.4o = 180 = 116.6o

N

Fg

v1

2v2 v3

?

4

4. Un ncleo radiactivo, inicialmente en reposo, se desintegra emitiendo un electrn y un neutrino en ngulos rectos entre s. La cantidad de movimiento del electrn es de 1.2x10-22 kgm/s, y la del neutrino es de 6.4x10-23 kgm/s. a) Halle la direccin y magnitud de la canti-dad de mov. del ncleo al recular. b) La masa del ncleo residual es de 5.8x10-26 kg Cul es su energa cintica de retroceso? El neutrino es una de las partculas fundamentales de la naturaleza. Datos pe = 1.2x10-22 kgm/s pn = 6.4x10-23 kgm/s a) pN? b) Si mN = 5.8x10-26 kg, EcN? a)

PPo

Nne ppp0

neN ppp

Escogiendo los ejes coordenados x e y de manera que coincidan con los vectores pe y pn (son perpendiculares), es posible expresar

jpipp neN

Calculando el valor modular, 462442

N 10x4.610x2.1p = 10-22 4096.044.1

pN = 1.36 x 10-22 kgm/s

tan = pn/pe = 0.64/1.2 = 0.53 = arctan(0.53) = 28o

Forma un ngulo de 180 28 = 152o con el electrn.

b) Ec = mv2 = m2v2/2m = p2/2m

Ec = (1.36x10-22)2/2x5.8x10-26 = 0.1594 x 10-18 J

Ec 1.6 x 10-19 J = 1 eV

Nota: En el micromundo se utiliza mucho el electrn-volt como medida de la energa, pues las energas son muy pequeas al ser expresadas en joules. (1 eV es la energa que ad-quiere un electrn al ser acelerado por una diferencia de potencial de 1 volt): 1 eV= 1.6 x 10-19 J.

pe

pn

pN

5

5. Una bala de 3.54 g se dispara horizontal-mente contra dos bloques que descansan so-bre una mesa sin friccin como se muestra en la figura A. La bala atraviesa el 1er bloque, que tiene una masa de 1.22 kg y se empotra en el segundo, que tiene una masa de 1.78 kg. Al hacerlo, se imprimen en los bloques velocida-des de 0.630 m/s y 1.48 m/s respectivamente, como se muestra en la figura B. Despreciando la masa extrada del primer bloque por la bala, halle a) la velocidad de la bala inmediatamente despus de salir del primer bloque y b) la velocidad original de la bala. Datos mb = 3.54 g = 0.00354 kg vA = 0.630 m/smA = 1.22 kg vB = 1.48 m/s mB = 1.78 kg vb? vob? Comentario Las fuerzas en el eje y estn equilibradas, y no hay fuerzas externas actuando en el eje x durante todo el proceso. 0F

ext P = constante. Como el movimiento es en

una dimensin, se puede obviar el tratamiento vectorial y considerar Po = P. a) En el 2do choque, si vb es la velocidad de la bala despus de pasar el bloque A y antes de llegar a B,

mbvb = (mb + mB)vB (2)

vb = (mb + mB)vB/mb = (0.00354 + 1.78)x1.48/0.00354

vb = 759 m/s

b) En el 1er choque, mbvob = mbvb +mAvA (1)

vob = vb +mAvA/mb

vob = 759 + 1.22x0.63/0.00354 = 976 m/s

Note que tambin se debe cumplir la relacin para todo el proceso como un todo; es decir:

PB = Po

mbvob = mAvA + (mb +mB)vB

Se obtiene esta misma ecuacin cuando se sustituye (2) en (1).

vob

A B

0.630 m/s 1.48 m/s

1

CHOQUES 1. Los bloques de la figura se deslizan sin friccin a) Cul es la velocidad v del bloque de 1.6 kg despus de la colisin? b) Es la colisin elstica? Resolucin No hay fuerzas externas, P = constante, se cumplen las condiciones de choque, P1 = P2 a)

m1vo1 + m2vo2 = m1v1 + m2v2

v = vo1 + (m2/m1)(vo2 v2)

v1 = 5.5 + (2.4/1.6)(2.5 4.9) = 1.9 m/s

b) Comparando las energas cinticas del sistema antes y despus del choque, m1vo12 + m2vo22 = x1.6x5.52 + x2.4x2.52 = 31.7 J

m1v12 + m2v22 = x 1.6 x 1.92 + x2.4x 4.92 = 31.7 J

Como la energa cintica se conserva durante el proceso, el choque es elstico.

2. Un elefante furioso embiste a razn de 2.1 m/s contra una mosca que revolotea. Supo-niendo que la colisin sea elstica, a qu velocidad rebota la mosca? Ntese que el pro-yectil (el elefante) es mucho ms masivo que el blanco (la mosca). Datos voe = 2.1 m/s Comentarios El choque elstico en una dimensin para dos partculas est resuelto de manera general en la seccin 10.4, con la solucin en las ecuaciones 15 y 16, donde se aplica el convenio usual de signos: la velocidad dirigida hacia la derecha es positiva, y negativa en caso con-trario.

2o21

21o

21

211 vmm

m2vmmmmv

(15)

2o21

121o

21

12 vmm

mmvmm

m2v (16)

Resolucin Interesa calcular v2 (velocidad de la mosca despus del choque). Llamando 1 al elefante y 2 a la mosca, entonces voe = vo1. Como la mosca revolotea, es decir, cambia continuamente la direccin de su vuelo, se puede considerar con buena aproximacin que vo2 0. Sustitu-yendo entonces en (16) y dividiendo por la masa del elefante m1 m2,

1o21

12 vmm

m2v = 1omm v1

2

1

2 2vo1 = 4.2 m/s

Pregunta: Cmo justifica Ud. el haber considerado al elefante como una partcula? O es que no hace falta hacerlo?

5.5 m/s 2.5 m/s

v? 4.9 m/s

antes

despus

2

3. Dos esferas de titanio se aproximan una a la otra frontalmente a la misma velocidad y chocan elsticamente. Despus de la colisin una de las esferas, cuya masa es de 300 g, permanece en reposo. Cul es la masa de la otra esfera? Datos vo1 = - vo2 m2 = 300 g v2 = 0 m1 = ? Comentarios El choque elstico en una dimensin para dos partculas est re-suelto de manera general en la seccin 10.4, con la solucin en las ecuaciones 15 y 16, donde se aplica el convenio usual de signos: la velocidad dirigida hacia la derecha es positiva, y negativa en ca-so contrario.

2o21

21o

21

211 vmm

m2vmmmmv

(15)

2o21

121o

21

12 vmm

mmvmm

m2v (16)

Resolucin Sea 1 la bola que incide desde la izquierda y 2 a la que queda detenida despus del choque. Interesa calcular m1 a partir de las ecuaciones anteriores. Sustituyendo los valores conoci-dos de los datos en (16) y simplificando,

1o21

121o

21

1 vmmmmv

mmm20

= 2m1 m2 + m1 = 0

3m1 = m2

m1 = m2/3 = 100 g

v2 = 0 ?

vo1 vo2

3

4. Una bala de 4.54 g de masa se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 2.41 kg en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente de friccin cintica entre el bloque y la superficie es de 0.210. La bala llega al reposo dentro del bloque, el cual se mueve 1.83 m. a) Cul es la velocidad del bloque inmediatamente despus que la bala llega al reposo dentro de l? b) Cul es la velocidad de la bala? Datos m = 4.54 g = 4.54x10-3 kg k = 0.21 x = 1.83 m a) vB? b) vb? Comentarios. Para resolver el problema es necesario, como aproximacin, considerar dos etapas por separado: 1. Choque perfectamente inelstico de la ba-la. 2. Retroceso del bloque hasta frenar. La aproximacin no toma en cuenta el peque-o intervalo de tiempo en que el bloque se mueve mientras la bala no ha terminado de penetrar. La misma es vlida porque las fuer-zas durante un choque son fuerzas impulsivas (ver grfico), y el impulso proporcionado por la friccin es despreciable mientras la bala penetra (fracciones de segundo).

choque

Fdt friccin

fdt

a) Despus que la bala penetr Wnc = E

- fx = Ec Eco - k(mB+mb)gx = - (mB+mb)vB2

xg2v kB = 83.1x10x21.0x2 = 2.77 m/s b) Choque perfectamente inelstico (los dos cuerpos quedan unidos despus del choque)

mbvb = (mb + mB)vB

vb = (1 + mB/mb)vB = 77.2x10x54.441.21 3

= 1473 m/s

x

vB? vb?

F (106 N)

t (ms)

impulso sobre la bala (rea bajo la curva)

Impulso de la fric-cin (ampliado)

4

5. Una bala de 5.18 g que se mueve a 672 m/s golpea un bloque de madera de 715 g que est en reposo sobre una superficie sin friccin. La bala sale con su velocidad reducida a 428 m/s. Halle la velocidad resultante del bloque. Datos mb = 5.18 g = 0.00518 kg vob = 672 m/s mm = 715 g = 0.715 kg voB = 0 vb = 428 m/s vB? Comentarios Las fuerzas en el eje y sobre el bloque estn equilibradas, y el efecto de la gravedad sobre la bala du-rante el choque se desprecia porque las fuerzas impulsivas asociadas a un choque son muchsimo mayores que la gravedad, y slo duran fracciones de segundo. Con excelente aproximacin, slo actan fuerzas internas en el sistema bala-bloque durante el proceso. Se conserva la cantidad de movimiento del sistema; Fext = 0, P = constante (teorema de conservacin de P) P = Po.

mbvob = mbvb + mBvB

vob = bobB

b vvmm = 428672

715.000518.0 = 1.77 m/s

6. Un objeto de 2.0 kg de masa choca elsticamente contra otro objeto en reposo y continua movindose en la direccin original, pero a un cuarto de su velocidad original. Cul es la masa del objeto golpeado? Datos m1 = 2kg v1 = vo1 vo2 = 0 m2? Conservacin de P

m1vo1 = m1v1 + m2v2 m1vo1 = m1vo1 + m2v2 m1vo1 = m2v2 (1)

Conservacin de Ec (choque elstico) m1vo12 = m1v12 + m2v22 m1vo12 = 1/16 m1vo12 + m2v22 15/16 m1vo12 = m2v22 (2)

Elevando (1) al cuadrado y dividiendo miembro a miembro entre (2): 9/15 m1 = m2

m2 = 1.2 kg

vo2 = 0

vo1

672 m/s 428 m/s

vB?

5

7. Una bola de acero de 0.514 kg de masa est sujeta a un cordn de 68.7 cm de longitud del que se deja caer cuando el cordn est horizontal