PROBLEMAS CON CONDICIONES
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3ª Sesión (Jueves 14 de abril)
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Existen dos tipos de problemas:
1.) Cálculo de una función con condiciones:
Calcular los coeficientes de una función, para que esta tenga: - El máximo o el mínimo en un punto dado
P(x,y) - El punto de inflexión en Q(x,y).
2.) Cálculo de una función a partir de las gráficas de las derivadas.
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1.) Cálculo de una función con condiciones:
- Nos deben dar la ecuación general de la función o decir el tipo de función.
- Para hallar los coeficientes de la función general, se necesitan tantas ecuaciones como incógnitas tengan la función general. Estas ecuaciones vienen dadas por: - Máximos o mínimos relativos – Nos da la información de la Primera
derivada . - Puntos de inflexión- Nos da la información de la segunda derivada.
dcxbxaxxf 23)(
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Ejemplo 1: - Calcular el valor de a y b para que la función:
tenga un mínimo relativo en el punto P(1,-4).bxaxxxf 23)(
Pasa por P(1,4) 34)1()1()1()1( 23 babaf
Mínimo en x=1 xbaxxxf 23)(' 2
3201213)1(' 2 babaf
Resolver el sistema
9366
3
32
3 )12(
bb
a
ba
ba
ba FF
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Ejemplo 2 - Calcular el valor de a y b para que la función:
tenga un punto de inflexión P(1,-1).
34)( bxaxxf
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Ejemplo 3: - Calcular el valor de a y b para que la función:
tenga un punto de máximo relativo en P(3,4).
5)( 23 bxaxxf
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2.) Definir algunas características de una función:
A partir de la gráfica de la 1ª derivada: - La monotonía. - La pendiente de la recta tangente en un punto. - Máximos o mínimos relativos. - Hacer una representación aproximada de la función.
A partir de la gráfica de la 2ª derivada. - La curvatura - Puntos de inflexión. - Hacer una representación aproximada de la función.
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Ejemplo 4: Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f’(x) es la recta
siguiente: - Calcula f(x) sabiendo que pasa por (0,0)
Monotonía
Máximos o mínimos
Crece: )1,(
Decrece: ),1(
En x=1
MÁXIMO
Función 1ª derivada Recta
Función Cuadrática (Parabola)
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Ejemplo 4: La función solución es una parábola: - Al pasar por el origen (0,0): - La Primera derivada: - Máximo en x=1: -La segunda derivada < 0:
FUNCIÓN SOLUCIÓN:
cxbxaxf 2)(0000)0( 2 ccbaf
bxaxf 2)('abbaf 2012)1('
)0,(2)( 2 axaxaxf
002)('' aaxf
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Ejemplo 5: Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f’(x) es la recta
siguiente: - Calcula f(x) sabiendo que pasa por (0,0)
Monotonía
Máximos o mínimos
Crece:
Decrece:
Función 1ª derivada
Función