Problemas con Dígitos - Olimpiada Nacional Escolar …...Uso de Desigualdades Proposici on Sean...
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Problemas con Dıgitos
Claudio Vicente Espinoza Choqquepura
Lima, agosto de 2010
Claudio Vicente Espinoza Choqquepura Problemas con Dıgitos
Introduccion
Al enfrentar problemas que involucran los dıgitos de un enteropositivo, sabemos antes de resolver el problema dos cosas: Elprimer dıgito del numero es significativo, es decir distinto de 0, yademas cada uno de los dıgitos esta en el conjunto {0, 1, 2, . . . , 9},asumiendo que estemos usando la representacion decimal delnumero. El proposito de esta presentacion es resaltar algunosresultados mas que se pueden utilizar para solucionar este tipo deproblemas.
Claudio Vicente Espinoza Choqquepura Problemas con Dıgitos
Uso de Desigualdades
Consideremos el siguiente problema introductorio de laAMC(American Mathematics Competition):
Ejemplo
Hallar todos los numeros enteros positivos menores que 1000 queson iguales a seis veces su suma de dıgitos.
Claudio Vicente Espinoza Choqquepura Problemas con Dıgitos
Uso de Desigualdades
Consideremos el siguiente problema introductorio de laAMC(American Mathematics Competition):
Ejemplo
Hallar todos los numeros enteros positivos menores que 1000 queson iguales a seis veces su suma de dıgitos.
Claudio Vicente Espinoza Choqquepura Problemas con Dıgitos
Uso de Desigualdades
El primer dato nos dice que los numeros tienen a lo mas 3 cifras,luego estamos en capacidad de analizar cada caso:
I Si el numero fuese de la forma abc, entonces necesitamosresolver
abc = 6(a + b + c)
=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c
=⇒ 94a + 4b = 5c.
Luego como a ≥ 1, pues es primer dıgito, entonces 5c ≥ 94 locual es un absurdo pues 5c es a lo mas 45.
Claudio Vicente Espinoza Choqquepura Problemas con Dıgitos
Uso de Desigualdades
El primer dato nos dice que los numeros tienen a lo mas 3 cifras,luego estamos en capacidad de analizar cada caso:
I Si el numero fuese de la forma abc, entonces necesitamosresolver
abc = 6(a + b + c)
=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c
=⇒ 94a + 4b = 5c.
Luego como a ≥ 1, pues es primer dıgito, entonces 5c ≥ 94 locual es un absurdo pues 5c es a lo mas 45.
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Uso de Desigualdades
El primer dato nos dice que los numeros tienen a lo mas 3 cifras,luego estamos en capacidad de analizar cada caso:
I Si el numero fuese de la forma abc, entonces necesitamosresolver
abc = 6(a + b + c)
=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c
=⇒ 94a + 4b = 5c.
Luego como a ≥ 1, pues es primer dıgito, entonces 5c ≥ 94 locual es un absurdo pues 5c es a lo mas 45.
Claudio Vicente Espinoza Choqquepura Problemas con Dıgitos
Uso de Desigualdades
El primer dato nos dice que los numeros tienen a lo mas 3 cifras,luego estamos en capacidad de analizar cada caso:
I Si el numero fuese de la forma abc, entonces necesitamosresolver
abc = 6(a + b + c)
=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c
=⇒ 94a + 4b = 5c.
Luego como a ≥ 1, pues es primer dıgito, entonces 5c ≥ 94 locual es un absurdo pues 5c es a lo mas 45.
Claudio Vicente Espinoza Choqquepura Problemas con Dıgitos
Uso de Desigualdades
El primer dato nos dice que los numeros tienen a lo mas 3 cifras,luego estamos en capacidad de analizar cada caso:
I Si el numero fuese de la forma abc, entonces necesitamosresolver
abc = 6(a + b + c)
=⇒ 100a + 10b + c = 6a + 6b + 6c
=⇒ 94a + 4b = 5c.
Luego como a ≥ 1, pues es primer dıgito, entonces 5c ≥ 94 locual es un absurdo pues 5c es a lo mas 45.
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Uso de Desigualdades
I Si el numero fuese de la forma ab, entonces nos queda laecuacion
ab = 6(a + b)
=⇒ 10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b
Ahora tenemos que a es un dıgito, distinto de cero pues esprimera cifra, que es multiplo de 5. Luego a = 5 y por la tantob = 4 y el unico numero en este caso es 54.
I Si el numero es de un dıgito nos queda a = 6a, luego aqui nohay soluciones enteras positivas.
Por lo tanto el unico numero que cumple es 54.�
Claudio Vicente Espinoza Choqquepura Problemas con Dıgitos
Uso de Desigualdades
I Si el numero fuese de la forma ab, entonces nos queda laecuacion
ab = 6(a + b) =⇒
10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b
Ahora tenemos que a es un dıgito, distinto de cero pues esprimera cifra, que es multiplo de 5. Luego a = 5 y por la tantob = 4 y el unico numero en este caso es 54.
I Si el numero es de un dıgito nos queda a = 6a, luego aqui nohay soluciones enteras positivas.
Por lo tanto el unico numero que cumple es 54.�
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Uso de Desigualdades
I Si el numero fuese de la forma ab, entonces nos queda laecuacion
ab = 6(a + b) =⇒ 10a + b = 6a + 6b
=⇒ 4a = 5b
Ahora tenemos que a es un dıgito, distinto de cero pues esprimera cifra, que es multiplo de 5. Luego a = 5 y por la tantob = 4 y el unico numero en este caso es 54.
I Si el numero es de un dıgito nos queda a = 6a, luego aqui nohay soluciones enteras positivas.
Por lo tanto el unico numero que cumple es 54.�
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Uso de Desigualdades
I Si el numero fuese de la forma ab, entonces nos queda laecuacion
ab = 6(a + b) =⇒ 10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b
Ahora tenemos que a es un dıgito, distinto de cero pues esprimera cifra, que es multiplo de 5. Luego a = 5 y por la tantob = 4 y el unico numero en este caso es 54.
I Si el numero es de un dıgito nos queda a = 6a, luego aqui nohay soluciones enteras positivas.
Por lo tanto el unico numero que cumple es 54.�
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Uso de Desigualdades
I Si el numero fuese de la forma ab, entonces nos queda laecuacion
ab = 6(a + b) =⇒ 10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b
Ahora tenemos que a es un dıgito, distinto de cero pues esprimera cifra, que es multiplo de 5. Luego a = 5 y por la tantob = 4 y el unico numero en este caso es 54.
I Si el numero es de un dıgito nos queda a = 6a, luego aqui nohay soluciones enteras positivas.
Por lo tanto el unico numero que cumple es 54.�
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Uso de Desigualdades
I Si el numero fuese de la forma ab, entonces nos queda laecuacion
ab = 6(a + b) =⇒ 10a + b = 6a + 6b =⇒ 4a = 5b
Ahora tenemos que a es un dıgito, distinto de cero pues esprimera cifra, que es multiplo de 5. Luego a = 5 y por la tantob = 4 y el unico numero en este caso es 54.
I Si el numero es de un dıgito nos queda a = 6a, luego aqui nohay soluciones enteras positivas.
Por lo tanto el unico numero que cumple es 54.�
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Uso de Desigualdades
En este problema, el primer dato que hemos utilizado es que losnumeros eran menores que 1000, es decir nos decıan de maneratacita la cantidad de dıgitos que podıa tener el numero, con lo cualsolo tenıamos que resolver algunas ecuaciones lineales, comoocurre en varios problemas. Ahora que hubiese pasado si no nosdaban la cantidad de dıgitos, incluso aunque analicemos losprimeros casos no podrıamos resolver completamente el problemasi antes no acotamos la cantidad de cifras del numero en cuestion.La siguiente proposicion puede ser util para estos casos:
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Uso de Desigualdades
Proposicion
Sean C (n) y S(n) la cantidad de dıgitos y la suma de dıgitos delnumero n respectivamente, entonces
10C(n)−1 ≤ n < 10C(n) y S(n) ≤ 9C (n)
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Uso de Desigualdades
Proposicion
Sean C (n) y S(n) la cantidad de dıgitos y la suma de dıgitos delnumero n respectivamente, entonces
10C(n)−1 ≤ n < 10C(n) y S(n) ≤ 9C (n)
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Uso de Desigualdades
Usemos el resultado anterior para generalizar el problema anterior
Ejemplo
Hallar todos los numeros enteros positivos que son iguales a seisveces su suma de dıgitos.
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Uso de Desigualdades
Usemos el resultado anterior para generalizar el problema anterior
Ejemplo
Hallar todos los numeros enteros positivos que son iguales a seisveces su suma de dıgitos.
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Uso de Desigualdades
Solucion
Sea n uno de dichos numeros y sean k y S la cantidad y suma dedıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos
10k−1 ≤ n y S ≤ 9k.
Por condicion del problema n = 6S , entonces
10k−1 ≤ 6S ≤ 54k
Notemos que 103 > 54× 4, supongamos que 10m−1 > 54m paraalgun m > 3, entonces
10m = 10m−1 × 10 > 540m > 54(m + 1).
Luego por el principio de induccion matematica 10m−1 > 54m paratodo m ≥ 4.Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestronumero n tiene a lo mas tres dıgitos y desde aquı solo repetir lohecho en el ejemplo anterior.�
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Uso de Desigualdades
SolucionSea n uno de dichos numeros y sean k y S la cantidad y suma dedıgitos de n.
Por el resultado anterior tenemos
10k−1 ≤ n y S ≤ 9k.
Por condicion del problema n = 6S , entonces
10k−1 ≤ 6S ≤ 54k
Notemos que 103 > 54× 4, supongamos que 10m−1 > 54m paraalgun m > 3, entonces
10m = 10m−1 × 10 > 540m > 54(m + 1).
Luego por el principio de induccion matematica 10m−1 > 54m paratodo m ≥ 4.Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestronumero n tiene a lo mas tres dıgitos y desde aquı solo repetir lohecho en el ejemplo anterior.�
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Uso de Desigualdades
SolucionSea n uno de dichos numeros y sean k y S la cantidad y suma dedıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos
10k−1 ≤ n y S ≤ 9k.
Por condicion del problema n = 6S , entonces
10k−1 ≤ 6S ≤ 54k
Notemos que 103 > 54× 4, supongamos que 10m−1 > 54m paraalgun m > 3, entonces
10m = 10m−1 × 10 > 540m > 54(m + 1).
Luego por el principio de induccion matematica 10m−1 > 54m paratodo m ≥ 4.Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestronumero n tiene a lo mas tres dıgitos y desde aquı solo repetir lohecho en el ejemplo anterior.�
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Uso de Desigualdades
SolucionSea n uno de dichos numeros y sean k y S la cantidad y suma dedıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos
10k−1 ≤ n y S ≤ 9k.
Por condicion del problema n = 6S , entonces
10k−1 ≤ 6S ≤ 54k
Notemos que 103 > 54× 4, supongamos que 10m−1 > 54m paraalgun m > 3, entonces
10m = 10m−1 × 10 > 540m > 54(m + 1).
Luego por el principio de induccion matematica 10m−1 > 54m paratodo m ≥ 4.Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestronumero n tiene a lo mas tres dıgitos y desde aquı solo repetir lohecho en el ejemplo anterior.�
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Uso de Desigualdades
SolucionSea n uno de dichos numeros y sean k y S la cantidad y suma dedıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos
10k−1 ≤ n y S ≤ 9k.
Por condicion del problema n = 6S , entonces
10k−1 ≤ 6S ≤ 54k
Notemos que 103 > 54× 4, supongamos que 10m−1 > 54m paraalgun m > 3, entonces
10m = 10m−1 × 10 > 540m > 54(m + 1).
Luego por el principio de induccion matematica 10m−1 > 54m paratodo m ≥ 4.
Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestronumero n tiene a lo mas tres dıgitos y desde aquı solo repetir lohecho en el ejemplo anterior.�
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Uso de Desigualdades
SolucionSea n uno de dichos numeros y sean k y S la cantidad y suma dedıgitos de n.Por el resultado anterior tenemos
10k−1 ≤ n y S ≤ 9k.
Por condicion del problema n = 6S , entonces
10k−1 ≤ 6S ≤ 54k
Notemos que 103 > 54× 4, supongamos que 10m−1 > 54m paraalgun m > 3, entonces
10m = 10m−1 × 10 > 540m > 54(m + 1).
Luego por el principio de induccion matematica 10m−1 > 54m paratodo m ≥ 4.Con esto hemos probado que k ≤ 3, es decir nuestronumero n tiene a lo mas tres dıgitos y desde aquı solo repetir lohecho en el ejemplo anterior.�
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Uso de Desigualdades
Veamos ahora un problema un poco mas difıcil de una olimpiadarusa.
Ejemplo
Hallar todos los numeros naturales n tales que la suma de dıgitosde 5n es igual a 2n.
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Uso de Desigualdades
Veamos ahora un problema un poco mas difıcil de una olimpiadarusa.
Ejemplo
Hallar todos los numeros naturales n tales que la suma de dıgitosde 5n es igual a 2n.
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Uso de Desigualdades
Solucion:
En primer lugar notemos que 5n < 10n, es decir 5n tiene a lo masn dıgitos y por lo tanto su suma de dıgitos es a lo mas 9n. Luegolos numeros n que buscamos deben cumplir que
2n ≤ 9n.
Ahora vamos a tabular los primeros valores de n, 2n y 9n:
n 2n 9n
1 2 92 4 183 8 274 16 365 32 456 64 547 128 63...
......
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Uso de Desigualdades
Solucion:En primer lugar notemos que 5n < 10n, es decir 5n tiene a lo masn dıgitos y por lo tanto su suma de dıgitos es a lo mas 9n. Luegolos numeros n que buscamos deben cumplir que
2n ≤ 9n.
Ahora vamos a tabular los primeros valores de n, 2n y 9n:
n 2n 9n
1 2 92 4 183 8 274 16 365 32 456 64 547 128 63...
......
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Uso de Desigualdades
Solucion:En primer lugar notemos que 5n < 10n, es decir 5n tiene a lo masn dıgitos y por lo tanto su suma de dıgitos es a lo mas 9n. Luegolos numeros n que buscamos deben cumplir que
2n ≤ 9n.
Ahora vamos a tabular los primeros valores de n, 2n y 9n:
n 2n 9n
1 2 92 4 183 8 274 16 365 32 456 64 547 128 63...
......
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Uso de Desigualdades
Observemos que a partir de n = 6 se cumple que 2n > 9n, laprueba de esto se realiza por induccion. Como para n = 6 esto escierto y ademas
2n > 9n =⇒ 2n+1 > 18n =⇒ 2n+1 > 9(n + 1),
tenemos que 2n > 9n para todo n ≥ 6. Los unicos valores de n quepodrıan son
n 5n S(5n) 2n
1 5 5 22 25 7 43 125 8 84 625 13 165 3125 11 32
Por lo tanto S(5n) = 2n solamente para n = 3.
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Uso de Desigualdades
Veamos ahora otro resultado tambien util
Proposicion
Si S(n) representa la suma de dıgitos de n entonces se cumplen lassiguientes propiedades
S(a + b) ≤ S(a) + S(b)
S(ab) ≤ S(a)S(b)
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Uso de Desigualdades
Veamos ahora otro resultado tambien util
Proposicion
Si S(n) representa la suma de dıgitos de n entonces se cumplen lassiguientes propiedades
S(a + b) ≤ S(a) + S(b)
S(ab) ≤ S(a)S(b)
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Uso de Desigualdades
Demostracion:Consideremos las representaciones polinomicas de a y b
a = a0 + a110 + a2102 + · · ·b = b0 + b110 + b2102 + · · · ,
donde para cada i se cumple ai , bi ∈ {0, 1, . . . , 9}. Luego
a + b = (a0 + b0) + (a1 + b1)10 + · · ·+ (ai + bi )10i + · · ·
Si ocurriese que ai + bi ∈ {0, 1, . . . , 9} para cada i entonces
S(a + b) = S(a) + S(b)
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Uso de Desigualdades
Si esto no ocurriese tendrıamos que corregir el numeralcomenzando por los dıgitos de menor orden, cada vez quenecesitemos realizar esta operacion restamos 10 a cada dıgito ysumamos 1 al dıgito de orden inmediato superior, luego cada vezque realicemos esta operacion estamos restando 9 a S(a) + S(b)para al final obtener S(a + b).Luego hemos probado que S(a + b) = S(a) + S(b)− 9k, donde kes la cantidad de correciones necesarias al realizar la suma demanera vertical, en particular tenemos
S(a + b) ≤ S(a) + S(b).
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Uso de Desigualdades
En el caso del producto ocurre algo similar:
ab = (a0 + a110 + · · · )(b0 + b110 + · · · )
= a0b0 + (a0b1 + a1b0)10 + · · ·+ (∑
i+j=k
aibj)10k + · · ·
=∑k≥0
ck10k .
Podrıa ocurrir que ck ≤ 9 para todo k, en este caso los numeros ckserıan iguales a los dıgitos de ab, si esto no ocurriese tendrıamosque corregir el numeral en cuya caso S(ab) serıa menor que lasuma de los ck . En ambos casos se cumple que:
S(ab) ≤∑k≥0
ck =∑k≥0
∑i+j=k
aibj
= (∑i≥0
ai )(∑j≥0
bj) = S(a)S(b).
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Uso de Desigualdades
En el caso del producto ocurre algo similar:
ab = (a0 + a110 + · · · )(b0 + b110 + · · · )= a0b0 + (a0b1 + a1b0)10 + · · ·+ (
∑i+j=k
aibj)10k + · · ·
=∑k≥0
ck10k .
Podrıa ocurrir que ck ≤ 9 para todo k, en este caso los numeros ckserıan iguales a los dıgitos de ab, si esto no ocurriese tendrıamosque corregir el numeral en cuya caso S(ab) serıa menor que lasuma de los ck . En ambos casos se cumple que:
S(ab) ≤∑k≥0
ck =∑k≥0
∑i+j=k
aibj
= (∑i≥0
ai )(∑j≥0
bj) = S(a)S(b).
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Uso de Desigualdades
En el caso del producto ocurre algo similar:
ab = (a0 + a110 + · · · )(b0 + b110 + · · · )= a0b0 + (a0b1 + a1b0)10 + · · ·+ (
∑i+j=k
aibj)10k + · · ·
=∑k≥0
ck10k .
Podrıa ocurrir que ck ≤ 9 para todo k, en este caso los numeros ckserıan iguales a los dıgitos de ab, si esto no ocurriese tendrıamosque corregir el numeral en cuya caso S(ab) serıa menor que lasuma de los ck . En ambos casos se cumple que:
S(ab) ≤∑k≥0
ck =∑k≥0
∑i+j=k
aibj
= (∑i≥0
ai )(∑j≥0
bj) = S(a)S(b).
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Uso de Desigualdades
En el caso del producto ocurre algo similar:
ab = (a0 + a110 + · · · )(b0 + b110 + · · · )= a0b0 + (a0b1 + a1b0)10 + · · ·+ (
∑i+j=k
aibj)10k + · · ·
=∑k≥0
ck10k .
Podrıa ocurrir que ck ≤ 9 para todo k, en este caso los numeros ckserıan iguales a los dıgitos de ab, si esto no ocurriese tendrıamosque corregir el numeral en cuya caso S(ab) serıa menor que lasuma de los ck . En ambos casos se cumple que:
S(ab) ≤∑k≥0
ck =∑k≥0
∑i+j=k
aibj
= (∑i≥0
ai )(∑j≥0
bj) = S(a)S(b).
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Uso de Desigualdades
Una aplicacion de la proposicion anterior, puede ser el siguienteproblema:
Ejemplo
Para cada entero positivo n, sea S(n) la suma de dıgitos de n.Probar que para todo n se cumple
S(2n) ≤ 2S(n) ≤ 10S(2n)
(Irlanda 1996)
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Uso de Desigualdades
Una aplicacion de la proposicion anterior, puede ser el siguienteproblema:
Ejemplo
Para cada entero positivo n, sea S(n) la suma de dıgitos de n.Probar que para todo n se cumple
S(2n) ≤ 2S(n) ≤ 10S(2n)
(Irlanda 1996)
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Uso de Desigualdades
SolucionUsando la primera parte de la proposicion con a = b = nobtenemos:
S(2n) = S(n + n) ≤ S(n) + S(n) = 2S(n)
Ahora usando la segunda parte de la proposicion con a = 2n yb = 5 nos queda:
S(n) = S(10n) ≤ S(2n)S(5) = 5S(2n)
Multiplicando por 2 a cada lado obtenemos el resultado pedido.
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Uso de Desigualdades
SolucionUsando la primera parte de la proposicion con a = b = nobtenemos:
S(2n) = S(n + n) ≤ S(n) + S(n) = 2S(n)
Ahora usando la segunda parte de la proposicion con a = 2n yb = 5 nos queda:
S(n) = S(10n) ≤ S(2n)S(5) = 5S(2n)
Multiplicando por 2 a cada lado obtenemos el resultado pedido.
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Uso de Desigualdades
SolucionUsando la primera parte de la proposicion con a = b = nobtenemos:
S(2n) = S(n + n) ≤ S(n) + S(n) = 2S(n)
Ahora usando la segunda parte de la proposicion con a = 2n yb = 5 nos queda:
S(n) = S(10n) ≤ S(2n)S(5) = 5S(2n)
Multiplicando por 2 a cada lado obtenemos el resultado pedido.
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