Problemas de Álgebra. Repaso y recuperación. 1º.- Justificar que para dos matrices A y B no son ciertas, en general, las siguientes igualdades: a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

b) (A + B)(A - B) = A2 - B2

2º.- Hallar todas las matrices A que conmutan con o sea que verifican la

ecuación A B = B A.

0 10 2

B ⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟

3º.- Hallar An siendo . 1 1 11 1 11 1 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4º.- Consideramos un sistema ecológico formado por tres vegetales: trigo (T), romero (R) e hinojo (H), dos animales herbívoros: conejos ( C) y ratones (RA) y tres animales carnívoros: zorros (Z), águilas (A) y gatos monteses (G). Supongamos que las cantidades de vegetales consumidas diariamente por los herbívoros y las cantidades de herbívoros consumidos diariamente por los carnívoros son las que vienen dadas en las siguientes tablas:

T R H C RA C 1 0.5 2 Z 1 2 R 2 0 1 A 0.5 3 G 2 1

Hallar las cantidades de cada vegetal que consume, indirectamente, cada uno de los carnívoros cada día. 5º.- (León, 1994) Una compañía de muebles fabrica butacas y mecedoras de tres modelos: E, modelo económico; M, modelo medio y L de lujo. Cada mes la compañía produce 20 modelos E, 15 M y 10 L de butacas y 12 modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras. a) Representa en una matriz 2x3 dicha información. b) A partir de la matriz del apartado anterior obtener la matriz de producción de un trimestre.

6º.- (León, 1994) Sea M la matriz e I la matriz identidad de orden 3x3.

Calcula la matriz J tal que M = J + I. Calcula también las matrices J

1 1 10 1 10 0 1

⎛ ⎞⎜⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟

2 , J 3 y J 1994.

7º.- (Madrid, 1994) En una academia de idiomas se imparte inglés y alemán en cuatro niveles y dos modalidades: grupos normales y grupos reducidos. La matriz A

expresa el número de personas de cada grupo, donde la primera

columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los alemán y las filas a los niveles primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. Las columnas de la matriz

reflejan el porcentaje de estudiantes, común para ambos

idiomas, que siguen curso reducido -primera fila- y curso normal -segunda fila- para cada uno de los niveles.

130 160120 80210 130100 60

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜=⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟

⎟

⎟⎟

0,2 0,25 0,4 0,750,8 0,75 0,6 0,25

B ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠

a)Obtener la matriz que proporciona el número de estudiantes por modalidad e idioma. b)Sabiendo que la academia cobra 18 €. por persona en grupos reducidos y 12€. por persona en grupo normal, halla la cantidad ingresada en cada uno de los idiomas. 8º.- (Andalucía, 1998) Si A y B son dos matrices cualesquiera, ¿es correcta la siguiente cadena de igualdades?: (A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B) = AA - AB + BA - BB = A2 - AB + BA - B2 = A2 - B2

Justifique la respuesta. 9º.- Halla las inversas de las siguientes matrices:

a) b) 3 1 01 1 12 1 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 01 0 1

1 1 2B

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) d) 1 0 00 3 00 0 1

C⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 10 2 20 1 1

D⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

10º.- Comprueba que la matriz AB, siendo A y B las matrices del ejercicio anterior, es invertible y halla su inversa.

11º.- Comprueba que la matriz inversa de es ella misma. 1 0 00 0 10 1 0

A⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

12º.- (Cantabria, 1994) Dadas las matrices , 1 2 32 1 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 02 21 1

B−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

y

. Se pide: 1 11 0

C−⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

⎟

⎟⎟

⎟

Determinar si es posible, y si no lo es, justificarlo, una matriz B tal que

Determinar si es posible, y si no lo es, justificarlo, una matriz c tal que:

1º.- Obtener C + AB. 2º.- Calcular C -1+ (AB) -1 ; (C + AB) -1.

13º.- (Castilla - León, 1998) Sea la matriz . 0 0 11 0 00 1 0

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Comprueba que A-1 = AT (AT es la matriz traspuesta de A). Utilizando el resultado anterior, calcula (AT . A)1998. 14º.- (Extremadura, 1998) Determinar la matriz X que satisface la ecuación 3X+I = A.B - A2, siendo:

1 1 22 0 33 1 2

A−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, e I la matriz unidad de orden 3. 1 0 2

2 1 13 2 1

B−⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠

15º.- (Baleares, 1998) Tres familias van a una heladería. La primera pide dos helados grandes, uno mediano y uno pequeño; la segunda familia pide uno grande, dos medianos y dos pequeños y la tercera dos grandes y tres pequeños. Escribe una matriz 3x3 que exprese el número de helados grandes medianos y pequeños que pide cada familia. Si la primea, la segunda y la tercera han gastado en total en la heladería 700, 800 y 775 ptas, respectivamente, calcula el precio de un helado grande, el de un helado mediano y el de un helado pequeño. 23º.- (Zaragoza, 1998) Considerar una matriz A de orden m x n con m ≠n. Razonar si se puede calcular la expresión A AT - AT A, siendo AT la matriz traspuesta de A.

16º.- (Cantabria, 1996) Dada la matriz . Hallar: A3 24 2

A ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠

2, A3, A -1.

: 35

A B ⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

35

C A ⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

17º.- (Cantabria, 1997) Sea la matriz A = ⎜ ⎟⎝ ⎠

donde y es un número entero.

eterminar los valores de y para los cuales la matriz A tiene inversa. alcula la inversa de A en estos casos.

8º.- Una matriz cuadrada M es ortogonal si cumple que M t M = I siendo I la matriz

e es ortogonal. ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟

1 y⎛ ⎞

2 0

DC 1

1 1 0⎛⎜ ⎟1 1 11 0 1

Aunidad. Determinar si la matriz siguient−⎝ ⎠

0 0 1

⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

20º.- Se considera , mostrar que

1º.- Dada la matriz ,¿qué relación existirá entre a y b para que se verifique

. 22º.- Explicar por qué no es cierta la regla la suma por la diferencia es igual a la

os cuando 2

atrices?. Si la respuesta es afirmativa ué

⎝ ⎠

y respond las cuestiones:

producto?.

ento de la m ct indica lo que cuesta transportar el producto con la empresa E2?

uál es la empresa que

19º.- Calcular por inducción respecto de n:

0 1 1

n

⎜ ⎟⎜ ⎟

1 11 1⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 n

⎛ ⎞

1 10 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

10 1

n nA ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

00a

Ab

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

la igualdad: A2 = A

diferencia de cuadrad los elementos son matrices, esto es: (A + B)(A - B) � A2 - B 3º.- ¿Es conmutativo el producto de m2

demostrarlo, si es negativa poner un ejemplo que lo ponga de manifiesto. Hallar q

matrices conmutan con la matriz 1 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ .

0 1

24º.- Siendo 1 01 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, calcular A250 + A20.

Efectúa el producto de las matrices e a

a) ¿Qué representa el elemento a1 1 de la matrizb) ¿Qué elem atriz produ o nosCc) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir c

ás barato transporta el producto B a todos los países. m

25º- Dada la matriz0 1 21 0 2A

− −⎛ ⎞⎜ ⎟

1 1 3= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

triz identidad, determinar, si es

k para el que la ma

26º.- Resolver la siguiente ecuación matricial:

⎟

27º.- Resolver la siguiente ecuación:

1 1 5 2 1

x

z

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 28º.- Sean A, B y C matrices cuadradas del mismo orden con coeficientes en R. Es un hecho conocido que de la igualdad AB = AC no puede, en general, deducirse que B =

.

do A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

A y B para poder realizar el producto AB. Si A M(mxn) , B M(nxp) y C (qxr), ¿qué condiciones deben cumplir p, q y r para que las operaciones que se indican

igua⎛ ⎞

− y siendo I la ma

posible, un valor de triz (A - kI)2 sea la matriz nula.

1 1 1 3x x−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=

3 2 1 2y y⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜−

2 0 5 3 41 1 2 1 1y− + = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜

C a) Probar la afirmación buscando dos matrices 2x2 distintas B, C tales que AB = AC,

ensi 1 11 1⎝ ⎠

b) Demostrar que, sin embargo, si A � 0 y AB = AC, entonces B = C. (Castellón, 1995).

29º.- Definir el producto de matrices y señalar qué condiciones deben cumplir las matricesMa continuación puedan ser efectuadas y cuáles el orden de la matriz resultante?: a) ACB, b) A(B + C) . 30º.- Calcular las matrices A y B de dos filas y tres columnas que satisfacen las siguientes ldades:

3 2 13 1 3

A B+ =

(País Vasco, 1995)

31º.- Dada la matriz Ak⎝ ⎠

número real, razonar para qué valores de

se verifican las siguientes igualdades:

a) A = A b) A = I c) A = 0

⎜ ⎟⎝ ⎠

6 0 22 2

2 2 2A B

−⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

1k⎛ ⎞= ⎜ ⎟ , siendo k un

1k

2 2 2

32º.- Demostrar con las matrices: 1 12 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y

1 14 1

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

que no se cumple la

propiedad conmutativa del producto de matrices.

Comprobar que se cumple la siguiente igualdad: (A + B)2 = A 2 + B 2.

33º.- Comprueba que las matrices y ⎟⎠

son “divisores de

cero”.

4º.- Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios: A, B y

PM

PP

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido

presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino,

como indica la matriz E

ME

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(euros por tonelada).

Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones:

) ¿Qué representa el elemento a1 1 de la matriz producto?. esta transportar el producto

s de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa que

35º.- (Cataluña, 1998) Considera la matriz

2 0 10 0 40 0 0

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0 00 2 00 0 0

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜⎝

3C, a cuatro países africanos P1, P2, P3, P4, según se describe en la matriz

A B CP⎛ ⎞

1 2 3 4P P P P⎛ ⎞

1

21

3

4

200 100 120110 130 200220 200 100150 160 150

12

2

500 450 375 350510 400 400 350

ab) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuC con la empresa E2? c) Indica qué elementomás barato transporta el producto B a todos los países.

1 32 23 1

2 2

A

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎜ ⎟=⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟

. Comprueba que la

traspuesta de A coincide, en este caso, con la inversa de A.

6º.- (Madrid, 1998) En un colegio se imparten los cursos 1º, 2º y 3º de ciertas s y

3enseñanzas. Los profesores tienen asignado un número de horas de clase, tutoríaguardias a cubrir, de acuerdo con la siguiente matriz:

1º20 5 3

2º18 6 5

3º22 1 22

Clase Guardia Tutoria

M

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜=⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟

⎟⎟

El colegio paga cada hora de clase a 2000 pesetas,

cada hora de guardia a 500 pesetas y cada hora de tutoría a 1000 ptas, según el

vector: . El colegio dispone de 5 profesores para primer curso, 4 para

segundo y 6 para tercero, representados por el vector:

2000500

1000C

⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

( )5 4 6P = . Calcúlese cada uno de los siguientes productos de matrices e interprétense los resultados: a) PM b) MC c) PMC 37º.- (Zaragoza, 1998) a) Considerar una matriz A de orden m x n con m ≠ n. Razonar si se puede calcular la expresión A At - At A, siendo At la matriz traspuesta de A.

Considerar la matriz 1 0 12 1 1

A−⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

⎟ . Resolver por el método de Gauss:

1) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es At A. 2) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A At. 38º.- (Cantabria, 1994) Una empresa produce dos tipos de televisores A y B . Todos se fabrican en tres terminaciones: N, L y S, a los siguientes precios, en pesetas, cada unidad: N L S A 10000 20000 30000 B 30000 45000 60000 Sabiendo que por año se producen las unidades que figuran en la tabla: A B N 9000 3000 L 6000 2000 S 3000 1000 1) Dar la información anterior en dos matrices P y Q. P será una matriz, con menor número de filas que de columnas, que suministrará la producción por año y Q una matriz, con mayor número de filas que de columnas, que suministrará información sobre los precios. 2) Calcular: P.Q y Q.P 3) ¿Qué información suministra la diagonal principal de P.Q y de Q.P?.

39º.- Dada la matriz . Se pide hallar: 7 49 3

A ⎛ ⎞= ⎜− −⎝ ⎠

⎟

⎟

(A-1)2. (A2)-1. (Cantabria, Junio 2002).

40º.- Sea la matriz, . 5 33 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Hallar la matriz B, tal que (Cantabria, Junio 2003). 14 16 189 10 11

A B ⎛ ⎞⋅ = ⎜

⎝ ⎠ 41º.- Sean las matrices A y B dadas a continuación:

1 23 2

aA

a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 3

a aB

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Se pide: Hallar el producto A.B. Determina el valor o los valores de a para el que no existe inversa de A.B. (Cantabria, septiembre 2001). 42º.- Si X e Y son matrices que verifican el sistema

1 42

2 0X Y ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠,

1 11 0

X Y−⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Hallar X e Y. Hallar, si es posible, X-1 e Y-1. (Cantabria, septiembre 2001).

43º.- Sea la matriz donde y es un número entero. 12 0

yA ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠

⎟

Determinar los valores de y para los cuales la matriz A tiene inversa. Calcular la inversa de A en estos casos. (Cantabria, septiembre 1997).

44º.- .- a) Dadas las matrices , 2 33 4

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 22 3

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠, se pide calcular

razonadamente la matriz X que cumple A·X·B=I, siendo I la matriz identidad correspondiente. b) ¿Es cierto que para cualesquiera matrices 2x2, C y D, se cumple (C-D)·(C+D)=C2 -D2 ?. Razona la respuesta.

Determinantes 1º.- Se sabe que A es una matriz de orden n y que │A│ = 2. Calcula, cuando sea posible, con estos datos: a) │xA│ (siendo x un número real) b) │A . At│ c) │A + A│ d) │A-1│

2º.- Sabiendo que 5 0 3 11 1 1

x y z= . Calcular los siguientes determinantes:

a) 3 3 35 0 31 1 1

x y z b) 2 5 2 2 3

1 1 1

x y zx y z+ + c)

3 3 35 0 31 1 1

3º.- Sabiendo que 1a b cd e fg h i

= y utilizando correctamente las propiedades de los

determinantes, calcula:

a) 3 3a d c f b ed fg i h

+ + +− − −

3c b)

f e dc b ai h g

4º.- Probar, sin desarrollar, que 2 9 94 6 87 4 1

es múltiplo de 13 teniendo en cuenta que

299, 468 y 741 son múltiplos de 13.

5º.- Dada la ecuación 2

1 1 11 11 1

xx

= 0 . Se pide: a) Hallar una solución sin desarrollar el

determinante. b) Hallar las restantes soluciones.

6.- Calcular el valor del determinante

1 0 0 a

0 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

(Selectividad Septiembre 1994)

7.- Encontrar las transformaciones de filas y columnas que hay que hacer con el determinante adjunto para probar la igualdad. Justificar la respuesta.

a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 a

= (a + 3)(a - 1)3 (Selectividad Junio 1995)

8.- Obtener el determinante ∆ en función de ∆1, siendo:

∆ = a b b c c aa b b c c aa b b c c a

+ + ++ + ++ + +' ' ' ' ' '' ' '' ' ' ' ' ' ' ''

∆1 = a b ca b ca b c

' ''' '' ''

' Selectividad Junio 1997

9.- Desarrollar, basándose en las propiedades de los determinantes, el siguiente determinante: a b c c

a b c ab b c

++

+ a

10.- Calcular los determinantes siguientes:

a)

11

11

x x x xx x x xx x x xx x x x

++

++

b)

1 1 0 01 0 0 10 1 1 00 1 0 1

c) 2 2 2

10 10 105 5 5a b c

a b c

11.- Resolver las ecuaciones:

a)

11

01

1

x x xx x xx x xx x x

−−

=−

−

b)

1 1 1 10

00 00 0

x a aa bx c

=

12- Calcular x para que el determinante de la matriz A sea 0.

1 0 00 10 0 11 0 0

xx

Ax

0

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

13.- Sabiendo que los números 243, 405, 324 son múltiplos de 27. Demostrar que 2 4 34 0 53 2 4

múltiplo de 27.

14.- Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades:

(i) 2 8 2 8 1

824 100 0 4 0 1

= =4

(ii) 5 30 20 1 6 4 1 6 46 9 12 15 2 3 4 15 2 3 4 01 3 0 1 3 0 2 3 4

= =− −

=

15.- Concepto de determinante de orden n. Resolver sin desarrollar, aplicando y justificando las propiedades utilizadas de los determinantes:

2 3

2 3

2 3

a a ab b bc c c

(Córdoba, junio 1990)

16.- Hallar el rango de la siguiente matriz, según los valores de los parámetros a, b y c:

a) b) 0

2 12 1 0 3

a aa a

a a

⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

11 0

0 1 31 1

a

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) d) 5 5 5a b c

b c a c a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

0 04 6 8 22 3 4 1

a a⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

17.- Hallar el valor de m para que la matriz A tenga rango 2:

1 0 2 12 1 3 24 1

Am

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠4

18.- Contesta razonadamente las siguientes cuestiones: a) Sean A, B y C matrices cuadradas de orden n ¿Podemos afirmar que si A.B = C.B entonces A = B? b) Sea A una matriz de M(3,4), completa las columnas 3ª y 4ª de forma que resulte una

matriz A de rango 2.

1 2

1/ 2 1

3 6

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

c) Demuestra sin desarrollar, explicando en qué propiedades te basas, que el siguiente

determinante es múltiplo de 30. 8 6 225 10 018 12 3

−

− −

d) Sea A una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos son todos iguales a -1. Hallar la matriz B tal que A.B sea una matriz de orden n cuyos elementos sean todos iguales a 1. 19.- (Baleares. Junio 1995). Calcula los valores de a, b y c, para los que el rango de A =

1, siendo: .

121 13

ab

A

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

20.- (Cantabria 1995). a) Calcular el rango de la matriz según

los valores de m

1 11 1

1 1

m mM m m

m m

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Para m = 0, estudiar si existe una matriz M(4x3) tal que: M.X = I (siendo I la matriz identidad) 21.- (León, 1995). a) Concepto de rango de una matriz. Escribe una matriz con tres filas y dos columnas cuyo rango sea 1. b) Se considera una matriz cuadrada de orden 3. Si el rango es 3 y le suprimimos una columna, demuestra que el rango de la nueva matriz es 2. Si el rango es 2 y le suprimimos una columna, ¿podemos afirmar que el rango de la nueva matriz es 2?. Razona tu respuesta. 22.- Se considera la matriz

A(t) = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0102

1112tt

a) Determinar los valores del número real t para los que el determinante de A(t) es cero. b) Hallar la inversa de la matriz A(t) para t = -1. c) Resolver para t = 1 el sistema.

A(t) Prueba previa Selectividad 1998. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

101

zyx

23.- Siendo las matrices

A = y B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

41222031

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

113012

01

a) ¿ es cierto que det(AB) = det(BA) ? b) Calcular, si es posible, la inversa de AB (Prueba previa Selectividad 1998)

24.- Demostrar que si A es una matriz de orden 2x2 y At su traspuesta, entonces se verifica que (At)-1 = (A-1)t . (Prueba previa selectividad 1994)

25.- Dada la matriz A = 2 1

4 3

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a) Determina si tiene inversa y obtenla. b) Comprueba, aplicando la definición, que la solución es correcta. c) Escribe un ejemplo de matriz de 2x2 que no tenga inversa. (Prueba previa selectividad 1994)

26.- Averiguar para que valores del parámetro t la matriz A = no tiene

inversa

1 0 4

0 t 4

-1 3 t

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

a) Calcular la matriz inversa de A para t = 1, si es posible b) Llamando B a la matriz inversa de A, si det(A) = 5, ¿ cuanto vale det(B) ? (Prueba previa selectividad 1994) 27.- Sea A una matriz cuadrada y sea I la matriz unidad. Pruébese que si A2 + 5A = I, entonces A es una matriz regular. (Selectividad Septiembre 1994) 28.- Sean A y B dos matrices cuadradas de igual tamaño. Se sabe que las matrices M = A + B y N = A - B son regulares. Analícese si A y B han de ser, entonces, regulares. ( Si la respuesta es afirmativa, justifíquese; en caso contrario, dese un contraejemplo que lo confirme). (Prueba previa selectividad 1995)

29.- Dadas las matrices: I4 y A = . Calcular:

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟

a) La inversa de I4 - A. b) (I4 - A)n siendo n>3. c) La inversa de I4 + A. d) (I4 + A)(I4 - A)-1

30.- Calcular la inversa, cuando exista, de: 0 1 0

00

a bb a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

31.- Probar que la matriz tiene inversa y calcularla: 1 00 10 0 1

mm

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

32.- Consideremos la matriz . Se pide: 0 3 41 4 51 3 4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

33- Demuestra que se verifica la igualdad A3 + I = O siendo I la matriz identidad y O la matriz nula. 34- Justifica que A es invertible y obtén A-1 . - Calcula razonadamente A10 .

35.- Hallar para que valores de m la matriz A tiene inversa: 1 1

2 13 1 1

mA m

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟ . Calcular

su inversa para m = 1.

36.- Hallar los valores de x para los que la matriz A no tiene inversa 1

2 2x

Ax

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

37.- Comprobar que la matriz 2 2

1a aA

a

⎛ ⎞−= ⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟

0

tiene inversa para cualquier valor de a y

calcular su inversa. 38.- Demostrar que si A y B son matrices invertibles se cumple (A.B)-1 = B-1 A-1 . Suponiendo que A es inversible, ¿se cumple que (A2 )-1 = (A-1)2 ?.

39.- Sea la matriz 2 0 2

0 20 0

xA x

x

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Halla los valores de x para los que A tiene inversa. b) Halla la matriz F cuadrada de orden 3 que es solución del siguiente sistema matricial A.Y + B = I , siendo A la matriz anterior para x = 3, I la matriz identidad de orden 3

y . 1 0 12 0 03 1 0

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

40.- Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

a) b) 5 2 0 0 1 10 0 1 1 0 03 1 0 1 1 0

X⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜=⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

0 1 2 1 2 2 01 1 3 1 3 1 0

4 1 5 5 1 4 0X

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜− = −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜− − − −⎝ ⎠ ⎝

41.- Resolver el sistema matricial:

7 12 3

3 11

4 83 2

11 10

X Y

X Y

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

42.- (Salamanca, 1994) Resolver la ecuación: 1 1 2

1 0 3 1 71 2 4

x x xx

−− + = −

−.

43.- (Cantabria, 1997) Sea la matriz A = a) Hallar los valores de y para los

cuales la matriz A tiene inversa.

12 0

y ⎞⎛⎟⎜

⎝ ⎠

b) Calcular la inversa de A en estos casos. 44.- (Cádiz, 1995) Una matriz se llama ortogonal cuando su inversa es igual a su

traspuesta. Calcular x e y para que sea ortogonal la matriz:

3 05

3 05

0 0 1

x

A y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

45.- (Cantabria, 1995). a) Definir la inversa de una matriz.

b) Estudiar para qué valores de k la matriz 1 12 1 13 2 4

kA

k

⎛ ⎞⎜ k ⎟= +⎜⎜ ⎟

⎟− −⎝ ⎠

tiene inversa.

c) Calcular A-1 para k = 0.

46.- (Huelva, 1995) Dada la matriz 0 2 10 0 10 0 0

A−⎛ ⎞

⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟

0⎟⎟

demostrar que A3 es la matriz

nula y que si I es la matriz unidad de orden 3, entonces: I + A + A2 es la matriz inversa de I - A. 47.- (La Rioja, 1995). ¿Tiene inversa siempre una matriz cuadrada diagonal de dimensión 4?. Justifica la respuesta. ¿Tiene inversa la matriz B?. En caso de que la tenga calcúlala.

1 0 0 00 00 0 00 0 0

aB

bc

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜=⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

siendo a, b y c números reales.

48.- (León, 1995). Se considera la matriz 1 0 10 34 1

A aa

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a) Calcular los valores de a para los cuales la matriz A no tiene inversa. b) Para a = 2, calcula la inversa de A.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ejercicios y Problemas 1. Inventa un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas con solución entera y busca tres sistemas equivalentes a él. 2.- Determinar a y b para que la ecuación ax = b tenga: a) solución única b) infinitas soluciones c) ninguna solución. 3.- Ejemplos resueltos: Sean los sistemas:

a) b) 2 1

22 3 4

x y zy z

x y z

+ + =⎧⎪ − =⎨⎪ + − =⎩

−43

⎟⎟

2 32 4 6

3 1

x y zx y zx y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩

Para resolver por Gauss el sistema a) tomamos, en primer lugar, la matriz ampliada:

1 2 1 10 1 1 22 3 1 4

⎛ ⎞⎜ − −⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Procedemos a escalonar la matriz mediante operaciones elementales:

Se realizan las siguientes operaciones sobre la matriz ampliada:

1 2 1 10 1 1 22 3 1 4

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

(-2)F1 + F3

1 2 1 10 1 1 20 1 1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

F2 + F3 1 2 1 10 1 1 20 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Una vez escalonada la matriz, pasamos a discutir el sistema. En el ejemplo el sistema es compatible y, como el número de filas con algún elemento no nulo es 2 y menor que el número de incógnitas, indeterminado.

Se pasa de la matriz al sistema asociado: 2 1

1x y z

y z+ + =⎧

⎨ − = −⎩ y, a continuación pasamos

una de las incógnitas (p.e. z) al segundo miembro. Esta incógnita va a actuar como

parámetro 2 1

1x y z

y z+ = −⎧

⎨ = − +⎩.

De la segunda ecuación se obtiene el valor de y y sustituyendo en la primera se obtiene x = 3 -2z. Por lo tanto el conjunto solución del sistema será: ( ){ }3 2 , 1, ,S z z z z= − − ∈R

⎟⎟

. b) Escribimos la matriz ampliada del sistema:

1 2 3 42 4 6 33 1 1 1

⎛ ⎞⎜⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Para escalonar la matriz realizamos las siguientes operaciones:

-2F1 + F2 ; Permutar las filas 2ª y 3ª y queda la matriz: 1 2 3 40 5 10 110 0 0 5

⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

A la vista de tercera fila se concluye que es un sistema incompatible. 4.- Un sistema lineal de dos ecuaciones con cuatro incógnitas ¿puede ser compatible e indeterminado? Razonar la respuesta con algún ejemplo. (Prueba previa selectividad 1994)

5.- En un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas la matriz del sistema tiene un menor de orden 2 distinto de cero, todos sus menores de orden 3 son nulos y la matriz ampliada tiene un menor de orden 3 distinto de cero. Hallar de manera razonada el determinante de la matriz ampliada. ¿Cuál es el rango de ambas matrices? ¿Tiene solución el sistema? (Prueba previa selectividad 1994)

6.- Sean S y S’ dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen solución única. Si ambos sistemas tienen la misma solución y si también tienen la misma matriz de términos independientes, analícese si, entonces, ambos sistemas han de tener igual la matriz de coeficientes. (Si la respuesta es afirmativa, justifíquese; en caso contrario, dese un contraejemplo que lo confirme) (Prueba previa selectividad 1994)

7.- Una fábrica de electrodomésticos tiene un producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a 3 establecimientos que demandan toda la producción. En una determinada semana, el primer establecimiento solicitó tantas unidades como el segundo y el tercero juntos, mientras que el segundo establecimiento pidió un 20% más que la suma de la mitad de lo pedido por el primero más la tercera parte de lo pedido por el tercero. ¿Cuales fueron las cantidades solicitadas por los tres establecimientos? (Selectividad Junio 1994) 8.- Resolver la siguiente ecuación:

(Selectividad Junio 1994) 2 0 5

1 1 -2

-1 1 1

x

y

z

+

-3

1

2

=

4

-1

1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

9.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

ax + y + z = 1

x + ay + z = b

x + y + az = 1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

a) discutir el sistema en función de a y b b) resolver el sistema para a = b = -2 (Selectividad Junio 1994)

10.- Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de soluciones del sistema

x + y + z = a - 1

2x + y + az = a

x + ay + z = 1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

y resolverlo cuando sea compatible determinado. (Selectividad Junio 1994)

11.- a) Considerar una matriz A de orden m x n con m ≠ n. Razonar si se puede calcular la expresión AAt – AtA, siendo At la matriz traspuesta de A.

b) Considerar la matriz A = 1 0 12 1 1

−⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

⎟ . Resolver por el método de Gauss:

1.- El sistema de ecuaciones homogéneo cuya matriz de coeficientes es AtA. 2. El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es AAt. 12.- (Prueba previa selectividad 1996) a) Demostrar la condición necesaria y suficiente del teorema de Rouché para que el siguiente sistema sea compatible

a a a a

a a a a

a a a a

x

x

x

c

c

c

n

n

m m m mn n n

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

1

2

1

2

....

....

..... .... .... .... ....

....

..... ....

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

b) Dado el sistema

2 12 2

3 4

x y zx y z mx y mz

+ − = −⎧⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩

, hallar razonadamente los valores del parámetro m para los cuales el

sistema es compatible. 13.- Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro a:

2

1ax y zx ay z a

x y az a

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪

+ + =⎩

a) discutir el sistema según los valores de a. b) Resolver el sistema para a = - 1. 14.- Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales (en él a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z):

ay bx ccx ay bbz cy a

+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩

Si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única. Hallar dicha solución. (Selectividad Junio 1996)

15.- Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones lineales:

Selectividad Septiembre 1997

3 25 8 9 3

2 3

x y z mx y z

x y z

− + =− + =+ − = −

⎧

⎨⎪

⎩⎪ 1

16.- a) Discutir según los valores de k, el sistema de ecuaciones:1

20

x y zx y kz kx y kz

− + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩

b) Resolverlo, utilizando la Regla de Cramer, para k = 1. 17.- Se considera un sistema S de m ecuaciones lineales con n incógnitas, que es compatible determinado. Sea S’ el sistema que resulta de prescindir en S de la última ecuación. Contesta de forma razonada. a) ¿Puede ser incompatible el sistema S’ ? b) ¿Es compatible el sistema S’ ? c) ¿Ha de ser compatible indeterminado el sistema S’ ? Selectividad Septiembre 1997

18.- Dada el sistema homogéneo . Se pide: 0

32 3

x y zx y

x my z

+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + + =⎩

00

a) Determinar para qué valores del parámetro m tiene otras soluciones además de la trivial. b) Hallar, para el valor de m calculado en el apartado a), las soluciones del sistema.

19.- (Oviedo, junio 2003) La matriz de los coeficientes de un sistema es y

la de los términos independientes, .

1 2 111 4 1

a aa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11

2a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) ¿Para qué valores de a el sistema no tiene solución? b) Para cierto valor de a un individuo encontró 2 soluciones del sistema. ¿Cuánto valía a?. ¿Tenía más soluciones el sistema? c) Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga una única solución y, para dicho valor, resuélvelo.

20.- (Zaragoza, junio 2003) Se considera la matriz , siendo a un

parámetro real.

1 2 31 3 32 5

Aa

⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟

0

0

4

a) Calcular el rango de A según los valores del parámetro a. b) Discutir si existe la solución del sistema:

000

xA y

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

según los valores de a. En caso afirmativo, resolverlo.

c) Para a = 6, discutir si existe solución del sistema: . 010

xA y

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

21.- (Alicante, Junio 95) Si se sabe que existen números x e y que verifican el sistema:

¿qué relación debe existir entre los parámetros m y n? ( )( )

2

2 2

1 3

2 1 21

m x my

mn x nyx y

⎧ − + =⎪⎪ − + =⎨⎪ + =⎪⎩(Ayuda: obsérvese que la última ecuación no puede tener como solución x = 0, y = 0). 22.- (Valladolid, Junio 92). Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

donde a, b y c son los números que se obtienen, respectivamente,

como resultado de la primera, segunda y tercera tirada, al lanzar un dado de seis caras al aire.

234

ax y zbx y zx y cz

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

Se lanza tres veces al aire un dado de seis caras. Determinar la probabilidad para que al sustituir en el sistema a, b y c por los valores obtenidos, el sistema resulte compatible determinado. 23.- Estudiar el sistema que se expresa a continuación, de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y, en función del parámetro a.

2 2

2(1 ) 7

2 4

x ayx a y aax a y a a

− + =⎧⎪− + + = +⎨⎪ − + = + −⎩

Resolver el sistema para a = 2

24.- Dado el sistema , se pide: 2

22

x my zmx zx y z

+ + =⎧⎪ + =⎨⎪ + + =⎩

a) Discutir y clasificar el sistema en función de los valores del parámetro m. b) Resolverlos en los casos que sea posible.

24.- (Cantabria, 1998) Estudia el sistema que se expresa a continuación, de dos

ecuaciones y dos incógnitas x e y, en función del parámetro n 2

3

24 20

n x nyn x y n

⎧ + =⎪⎨

4− − = − +⎪⎩

26.- (Cantabria, 1998) Estudia el sistema que se expresa a continuación, de tres

ecuaciones y dos incógnitas x e y, en función del parámetro a:2 2

2(1 ) 7

2 4

x ayx a y aax a y a a

⎧− + =⎪− + + = +⎨⎪− + = + −⎩

27.- (Cantabria, Junio 1999) Sea el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x e y, y un parámetro n.

( )

2

2

12 1 4n x ny

n n x y⎧ − =⎪⎨ − − =⎪⎩ n

1

−

+

9

2

1. Expréselo en forma matricial siendo los elementos de una de las matrices que intervienen las variables. 2. Discútalo según los valores del parámetro. 3. Determine su solución para n = 3.

28.- (Cantabria, Junio 2000) Se considera el siguiente sistema de dos ecuaciones:

( )2

2

1

3 2 6

n x ny

n n x y n

⎧ + =⎪⎨

− − =⎪⎩

1. Estudiar el sistema en función del parámetro n. 2. En aquellos casos que sea posible, resolverlo.

29.- Dado el sistema: 2 2

29 27 36

nx n y

nx y n n

⎧ + =⎪⎨⎪− − = − −⎩

a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro n. b) Hallar la solución del sistema para los valores de n en que resulte compatible indeterminado. c) Resolver el sistema para n = 1

30.- Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2 4

02 2

x y azy z

ax z

− − = −⎧⎪ − =⎨⎪ + =⎩

. Se pide:

a) discutir el sistema en función de los valores de a. b) resolver el sistema para el valor a = 2. 31.- Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro a:

2

1ax y zx ay z a

x y az a

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪

+ + =⎩

a) discutir el sistema según los valores de a. b) Resolver el sistema para a = - 1.

32.- Dada el sistema homogéneo Se pide: 0

32 3

x y zx y

x my z

+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + + =⎩

00

a) Determinar para qué valores del parámetro m tiene otras soluciones además de la trivial.

b) Hallar, para el valor de m calculado en el apartado a), las soluciones del sistema.

33.- (Selectividad Septiembre 1994) Se va a confeccionar una dieta con tres clases de alimentos: A, B y C. El alimento A tiene 10 calorías por cada 100 gramos, el B tiene 30 calorías por cada 100 gr. y el C 40 calorías por cada 100 gr. 1º) Si la dieta consta de G gramos de alimento por día, está restringida a exactamente 800 calorías y la cantidad de alimento A ingerida debe ser doble en peso que la de C, hallar en función de G las cantidades que deben ingerirse de cada uno de los alimentos. 2º) Hallar los valores entre los que está comprendido G para que las condiciones exigidas a la dieta se puedan cumplir. 34.- (Prueba previa selectividad 1995) La tabla adjunta muestra el número de

unidades/gramo de vitaminas A, B y C que posee por unidad de peso cada uno de los productos P, Q, R y S. a) Analícese si se pueden elaborar dietas en las que entren A B C todos los productos y que contengan 20 unidades de vitamina P 1 2 0 A, 25 de vitamina B y 6 de vitamina C ¿cuantas hay? Q 1 0 2 b) En función de la cantidad del producto Q que entra en la dieta, R 2 1 0 obtener las cantidades de los otros productos ¿ Entre que S 1 1 1 valores habría de estar la cantidad de producto Q?

35.- (Selectividad Junio 1995) Cierta empresa periodística tiene 650 millones de entradas al año entre ventas, publicidad y subvenciones. Si aumenta el 50% la publicidad, esto le ocasiona un incremento del 10% en las ventas y una cierta disminución de la subvención, con lo cual las entradas disminuyen en 45 millones. A fin de mantenerse en los 650 millones de entradas, el director piensa tomar una de las dos decisiones siguientes: - Reducir la publicidad inicial al 30 %, con lo cual disminuiría la subvención en un 10% y las ventas se mantendrían. - Reducir la publicidad inicial en un 40%, con lo cual las ventas se mantendrían y la subvención aumentaría en un 20%. ¿ Cuál de las decisiones es la correcta? Justifíquese cada una de las afirmaciones que se hagan? 36.- (Selectividad Septiembre 1995) Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 20 monedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente., con lo que su beneficio total sería de 6 monedas de oro. Pero consigue más (cosa que hoy no llama la atención), pues con la venta obtiene de ellos ganancias del 80%, del 90% y del 85% respectivamente, lo que arroja un beneficio total de 17 monedas de oro, ¿cuanto le costó cada objeto?

37.- (Cantabria, junio 1996) Sea un número A un número de cuatro cifras tal que la cifra de las unidades de millar y la cifra de las decenas es la misma. La suma de las cuatro cifras de A es 27. La diferencia entre el número A y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 3546. La suma de las cifras de las unidades y de las centenas de A es un número igual a la cifra de las decenas de A. 1. Plantear un sistema de ecuaciones que permita determinar el número A. 2. Determinar el número A. 38.- (Cantabria, septiembre 1996) Un supermercado tiene en oferta aceite, leche y galletas. Un consumidor compra dos litros de aceite, cuatro de leche y una caja de galletas y gasta 1800 ptas; otro compra cuatro litros de aceite, un litro de leche y dos cajas de galletas, gastando 3075 ptas. y un tercero compra un litro de aceite, dos de leche y cuatro cajas de galletas, gastando 1600 ptas. 1. Plantear el sistema de ecuaciones que permita determinar los precios de los tres productos. 2. Resolverlo. 39.- (Cantabria, junio 1997) Un determinado inversor dispone de un capital C que invierte en tres productos financieros: a, b y c. Se desea saber cuál es el interés de a, cuál el de b y cuál el de c, sabiendo que: Si invierte el 25% en a, el 45% en b y el resto en c obtiene una rentabilidad del 4'6 %. Si invierte el 50% en a, el 40% en c y el resto en b obtiene una rentabilidad del 4'8 %. Si invierte exclusivamente y a partes iguales en b y en c obtiene una rentabilidad del 6'5%. Se pide:

Plantear el sistema de ecuaciones correspondiente. Resolverlo.

40.- (Cantabria, Junio 1999) Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino de 10 grados (10% de alcohol). Si, por el contrario, se mezclan 20 litros de vino blanco con 60 litros de vino tinto, se obtiene un vino de 11 grados. ¿Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de vino tinto? 41.- (Cantabria, Junio 2000) La distancia de tres playas (A, B y C) del lugar de veraneo de una familia es tal que el doble de la distancia a A es el triple de la distancia a B. La suma de las distancias a A, B y C es de 90 000 m. y el doble de la distancia a B más el triple de la distancia a C menos la distancia a A es igual a 130 000 m. ¿Cuál es la distancia a cada playa?. 42.- (Cantabria, Septiembre 2000) ¿Cuántos litros de leche con 35% de materia grasa han de mezclarse con leche de 4% de materia grasa para obtener 20 litros con 25% de materia grasa? 43.- (Cantabria, Septiembre de 2001) Hallar los coeficientes a, b y c del polinomio

3 2x ax bx c+ + + para que sea divisible por x – 3, tenga resto -6 al dividirlo por x – 1 y resto -4 al dividirlo por x + 1. 44.- (Cantabria, Septiembre 2002) De un número de tres cifras se conoce que la suma de éstas es 13. Si se intercambian las cifras de las unidades y de las centenas, el número

disminuye en 198, y si se intercambian las de las unidades y decenas, el número aumenta en 36. Se pide: encontrar el número. 45.- (Cantabria, junio 2003) Comprar: dos refrescos, un bocadillo y dos dulces, nos cuesta 14 euros. Si compramos: siete refrescos, tres bocadillos y cuatro dulces, el importe es 17 euros. Determinar el precio de un bocadillo y de un refresco en función del precio de un dulce. Hallar lo que nos cobrarían si adquirimos: tres refrescos, dos bocadillos y seis dulces. 46.- (Cantabria, septiembre 2003) La edad de una madre es, en la actualidad, el triple que la edad de su hijo. La suma de las edades de padre, madre e hijo es de 80 años. Dentro de 5 años, la suma de las edades de la madre y del hijo será 5 años más que la del padre. ¿Cuántos años tienen el padre, la madre y el hijo en la actualidad?. 47.- (Cantabria, junio 2004) Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 19152 euros. La última versión del videojuego ha salido a la venta por un importe de 36 euros. Además de la última versión ha vendido, con un descuento del 30% y del 40%, otras dos versiones anteriores del videojuego. El número total de ejemplares vendidos de las dos versiones anteriores ha sido la mitad del de la última versión. ¿Cuántos ejemplares vendió de cada versión?. 48.- (Cantabria, septiembre 2004) Si una persona invierte el 40% de sus ahorros en acciones del tipo A y el resto en acciones del tipo B, el interés medio resultante es del 5%, mientras si realiza la inversión al revés (es decir coloca el 40% en B y el resto en A) el interés medio resultante es del 6%. 1) ¿Qué interés proporcionan las acciones del tipo A y cuál las acciones del tipo B? 2) ¿Cuál será el interés medio resultante si se invirtiera la misma cantidad en los dos tipos de acciones? 49.- (Baleares, junio 2003) En una heladería se venden helados pequeños, medianos y grandes. Dos de los pequeños más uno mediano más dos grandes valen 9,5 euros. Uno pequeño más uno mediano más tres grandes valen 10,50 euros. a) Con estos datos, ¿se puede saber cuánto vale un helado grande? b) Si además se sabe que dos helados grandes valen los mismo que tres pequeños, calcula cuánto vale un helado pequeño, cuánto uno mediano y cuánto uno grande.