PROBLEMAS DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL

Problema 1

Desde el extremo de una plataforma móvil de 80 kg, inicialmente en reposo, un niño de 40 kg corre hacia el otro extremo a una velocidad constante de 1 m/s (respecto de la plataforma). Determinar la velocidad de la plataforma y el sentido de su movimiento. ¿Qué principio físico aplicas?

 Solución

Solución

Sistema aislado

F ext =0   F ext = dP dt   P=cte

Principio de conservación del momento lineal. El momento lineal inicial es cero, (el niño está en reposo sobre la plataforma).

El niño empieza a correr con velocidad de 1 m/s respecto a la plataforma, es decir, con velocidad (1+v) respecto de Tierra, siendo v la velocidad de la plataforma.

0=40(1+v)+80·vv=-1/3 m/s

El niño se mueve hacia la derecha y la plataforma se mueve hacia la izquierda

Problema 2

Un niño de 40 kg está en el extremo de una plataforma de 80 kg y 2 m de longitud.  El niño se desplaza hasta el extremo opuesto de la plataforma. Supondremos que no hay rozamiento entre la plataforma y el suelo.

¿Cuánto se desplaza el centro de masas del sistema formado por la plataforma y el niño?. Razónese la respuesta.

¿Cuánto se desplaza el niño respecto del suelo? ¿Cuánto se desplaza la plataforma respecto del suelo?

 Solución

Sistema aislado

F ext =0   F ext =m d v cm dt    v cm =cte

Si el c.m. está en reposo continua en reposo

Posición del c.m. respecto del extremo izquierdo d ela plataforma

x cm = 40·0+80·1 40+80 = 2 3  m

Como vemos en la figura, el niño se mueve 4/3 m y la plataforma 2/3 m

Problema 3

Una partícula de 5 kg de masa, moviéndose a 2 m/s, choca contra otra partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo. Si el choque es frontal y elástico, hallar la velocidad de cada partícula después del choque.

 Solución

Choque elástico. Conservación del momento lineal. En un choque elástico no hay pérdida de energía cinética

{ 5·2=5· v 1 +8 v 2 1 2 5· 2 2 = 1 2 5 v 1 2 + 1 2 8 v 2 2 }{ v 1 =− 6 13  m/s v 2 = 20 13  m/s

Problema 4

Un núcleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de 140 y 90 u.m.a.. La Q de la reacción es de 190 MeV. (un mega M es 106 veces). Datos: 1 u.m.a. = 1.66 10-27 kg, 1eV = 1.6 10-19 J.

Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos.

 Solución

1.-Conservación del momento lineal

0= m 1 v 1 + m 2 v 2

Los fragmentos m1 y m2 salen en la misma dirección pero en sentido contrario. La relación entre los módulos de las velocidades esm1v1=m2v2

2.-Balance energético de la colisión La energía “potencial” nuclear se convierte en energía cinética de los fragmentos

Q= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas v1 y v2

v 2 = Q m 2 ( m 2 m 1 +1 )    v 1 = m 2 m 1 v 2  

v2= 7 154 447 m/s, v1=11 129 140 m/s

Problema 5

Un cuerpo de 5 kg de masa se mueve sobre una mesa lisa con velocidad de 10 m/s y choca contra otro cuerpo de 10 kg de masa, que se desplaza en dirección perpendicular al anterior con velocidad de 5 m/s. Ambos bloques después del choque quedan unidos y se desplazan juntos. Calcular:

La velocidad de ambos después del choque.

La dirección de su velocidad.

La pérdida de energía cinética en el choque

 Solución

Conservación del momento lineal5·(10i) +10·(5j)=15·v

v= 10 3 (i+j)  v= 10 3 2  m/s  θ=45º

Balance energético de la colisión

1 2 5· 10 2 + 1 2 10· 5 2 +Q= 1 2 15 ( 10 3 2 ) 2   Q=− 625 3  J

Problema 6

Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra otra partícula de masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve a 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la dirección original.

Hallar la velocidad de la segunda partícula.

La Q del proceso.

 Solución

Solución

Se aplica el principio de conservación del momento lineal

Masa (kg)V. antes del choque

V. después del choque

0.2 0.4 i 0.2·cos40 i+0.2·sin40 j

0.3 0 v

0.2(0.4 i)=0.2(0.2·cos40 i+0.2·sin40 j)+0.3·v

v=0.164 i-0.086 j m/s

Módulo:  v=0.186 m/s, ángulo θ=-27.5º

Balance energético

Q= 1 2 0.3 v 2 + 1 2 0.2· 0.2 2 − 1 2 0.2· 0.4 2 =−6.84· 10 −4  J

Problema 7

Una partícula de masa 4 kg y velocidad 2 m/s choca contra otra de 3 kg que está en reposo. La primera se desvía –45º respecto de la dirección inicial y la segunda 30º.

Calcular las velocidades de ambas partículas después del choque.

¿Es elástico?

 Solución

Se aplica el principio de conservación del momento lineal

Masa (kg) V. antes del choque V. después del choque

4 2 i v1·cos45 i-v1·sin45 j

3 0 v2·cos30 i+v2·sin30 j

4·2i=4(v1·cos45 i-v1·sin45 j)+3(v2·cos30 i+v2·sin30 j)

Tenemos el sistema de ecuaciones

8= 4v1·cos45+3v2·cos300=-4v1·sin45+3 v2·sin30

La solución del sistema es: v1=1.04 m/s, v2=1.95 m/s

Balance energético

1 2 4· 2 2 +Q= 1 2 4 v 1 2 + 1 2 3 v 2 2   Q=−0.14 J

Problema 8

Tres partículas A, B y C de masas mA = mB = m y mC = 2m, respectivamente se están moviendo con velocidades cuyo sentido se indica en la figura y de valor vA = vB = v y vC = 2v.

Se dirigen hacia el origen del sistema de coordenadas al que llegan en el mismo instante. Al colisionar A y B quedan adheridas y salen en la dirección indicada con velocidad v/2.

Determinar:

La velocidad y dirección sale la partícula C.

¿Es un choque elástico?. Razona la respuesta

 Solución

Conservación del momento lineal

Masa (kg) V. antes del choque V. después del choque

m -v i -(v/2)·sin60 i-(v/2)·cos60 j

m v i -(v/2)·sin60 i-(v/2)·cos60 j

2m -2v j vc

m(-v i)+m(v i)+(2m)(-2v) j=(2m)( -(v/2)·sin60 i-(v/2)·cos60 j)+(2m) vc

v C =v sin60i+(−4+cos60)j 2 =v 3 4 i−v 7 4 j { v c = 13 2 v m/s θ=−76.1º

Balance energético

1 2 m v 2 + 1 2 m v 2 + 1 2 (2m) (2v) 2 +Q= 1 2 m ( v 2 ) 2 + 1 2 m ( v 2 ) 2 + 1 2 (2m) v C 2   Q=− 3 2 m v2

Problema 9

Las esferas de la figura tienen masas mA = 20 g, mB = 30 g y mC = 50 g. Se mueven hacia el origen sobre una mesa sin fricción con velocidades vA= 1.5 m/s y vB = 0.5 m/s. Las tres esferas llegan al origen simultáneamente.

¿Cuánto tiene que valer vC (módulo y dirección) para que las masas queden en el origen, sin moverse, después del choque?

¿Se ha perdido energía cinética en el choque? Si es así, cuánta

 Solución

Conservación del momento lineal

Masa (kg) V. antes del choque V. después del choque

0.02 -1.5 i 0

0.03 -0.5cos60 i-0.5sin60 j 0

0.05 vc 0

0.02(-1.5 i)+0.03 (-0.5cos60 i-0.5sin60 j)+0.05vc =0

v C =0.75i+0.15 3 j{ v c =0.79 m/s θ=19.1º

Balance energético de la colision

1 2 0.02· 1.5 2 + 1 2 0.03· 0.5 2 + 1 2 0.03· v c 2 +Q=0  Q=−0042 J

Problema 10

Una partícula de 5 kg de masa moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo.Si la primera partícula se desvió 50º de la dirección original del movimiento. Hallar la velocidad de cada partícula después del choque. Se supone que el choque es elástico

 Solución

Se aplica el principio de conservación del momento lineal

Masa (kg) V. antes del choque V. después del choque

5 2 i v1·cos50 i+v1·sin50 j

8 0 v2

5(2 i)=5(v1·cos50 i+v1·sin50 j)+8·v2

Si el choque es elástico, Q=0, la energía cinética inicial es igual a la final

1 2 5· 2 2 = 1 2 5· v 1 2 + 1 2 8· v 2 2

Despejamos el vector v2 en la primera ecuación, hallamos su módulo v2 y lo introducimos en la segunda.

v 2 = (10−5 v 1 cos50)i−(5· v 1 sin50)j 8 v 2 2 = (10−5 v 1 cos50) 2 − (5· v 1 sin50) 2 64 20=5 v 1 2 +100+25 v 1 2 −100 v 1 cos50 8 65 v 1 2 −100cos50· v 1 −60=0{ v 1 =1.575 m/s{ v 2 =0.974 m/s θ=−50.7º v1 =−0.586 m/s{ v 2 =1.512 m/s θ=10.7º