Problemas de entrenamiento PRIMER NIVEL Problema 1

El sbado, la Sra. Jurez gast $ 360 en la compra de ropa y zapatos. Gast una cuarta parte en zapatos. Con el resto compr un pantaln a $ 85, una campera a $ 120 y un saco de lana. Cunto pag por el saco?

Solucin: La cuarta parte de 360: 360 / 4 = 90 El resto 360 90 = 270 Menos el pantaln 270 85 = 185 Menos la campera 185 120 = 65 Respuesta: por el saco pag $ 65

Problema 2

El cuadriltero ABCD est formado por 2 tringulos issceles iguales y ACB = 25. Cunto mide cada uno de los ngulos interiores del cuadriltero?

Problema 3 Para la reunin Walter quiere comprar cajas de chocolates y bolsas de caramelos. Cada caja de chocolates cuesta $ 3 y cada bolsa de caramelos, $ 2. Si quiere gastar no menos de $ 9 ni ms de $ 18 y quiere llevar siempre de los dos artculos, cmo puede hacer la compra? Da todas las posibilidades.

Solucin C = 2 x ACB = 2 x 25 = 50; = C 50 En el tringulo ADC: D + 2 x ACB = 180

D = 180 - 50 = 130 D = B = 130

Problema 4

La figura ACDE tiene 882 cm de permetro. ABDE es un rectngulo. CD = 282cm BC =

BD AB es la mitad de BD

Cul es el permetro del tringulo BCD?

Solucin: _ 882 282 600 es el permetro de ACDE MENOS EL LADO CD. AB + BC + DE + AE = 600 cm. Como BC es 2AB; AE es 2AB y DE = AB. 6 x AB = 600 600 / 6 = 100 AB = 100 cm y BC = 200 cm. El permetro del tringulo BCD es BC+ BD + DC = 200 cm. + 200 cm. + 282 cm = 682 cm Respuesta: El permetro del tringulo BCD es 682 cm.

Problema 5 Esta semana Andrea, Blas y Camila compraron chupetines. El lunes, Andrea comi la cuarta parte de lo que haban comprado. El martes, Blas comi un tercio de lo que quedaba y, el mircoles, Camila comi la cuarta parte de lo quedaba. El jueves quedaba una docena de chupetines. Cuntos chupetines haban comprado los chicos? Solucin: El lunes, Andrea comi ; quedaron . El martes, Blas comi 1/3 de lo que quedaba 1/3 x = ; quedaron 2/4. El mircoles, Camila comi de 2/4, x 2/4 = 1/8. Haba 2/4 = 4/8, Camila se comi 1/8, el jueves quedaron 3/8; 12 chupetines son los 3/8

del total. 3/8 del total = 12 = 3 = 3 x 4 1/8 del total = 4 8/8 del total = 32 Respuesta: Los chicos haban comprado 32 chupetines.

Problema 6

Durante las vacaciones, Agustina, Camila y Martina se sacaron 35 fotos en total. Agustina est sola en 8 fotos. Camila est sola en 10 fotos. Agustina est en 19 fotos. Martina siempre est sola. En cuntas fotos est Martina? En cuntas fotos est Camila? Solucin Agustina est sola en 8 fotos y en 11 fotos con alguien ms. Camila est sola en 10 fotos. Martina est siempre sola entonces, en las 11 fotos en que est acompaada, Agustina est con Camila. Camila est en 21 fotos ( 10 + 11). Agustina o Camila estn en 19 fotos (8 + 10 +11). Martina esta en 6 fotos (35 29 ). Respuesta: Camila est en 21 fotos y Martina en 6. Tambin se puede resolver usando un diagrama como el siguiente

Problema 7 En la figura, ABC es un tringulo

equiltero de 18 cm de permetro,

CD =AC y el cuadriltero ACDE tiene

20 cm de permetro.

Cul es el permetro del ABC DE?

Solucin: Como el tringulo es equiltero, hice el permetro del tringulo dividido 3 (los lados del tringulo) y me dio 6 cm. (18cm/ 3 = 6 cm). AC mide 6 cm. AB + BC = 18 cm 6 cm = 12 cm +

CD + DE + EA = 20 cm 6 cm = 14 cm Permetro de ABCDE = AB + BC + CD +DE + EA = 26 cm

Problema 8 Cada __ representa un dgito.

6 __ __ x 6 __ __ 1 __

1 __ __ __

__ __ __ __ 0

Cules son los nmeros que se multiplican? Da todas las posibilidades

Solucin: La cifra de las unidades del primer factor es 5 0 6 __ __ Si fuera cero, la cifra de las decenas del primer producto parcial

x 6 debera ser par (mltiplo de 6). __ __ 1 __

1 __ __ __

__ __ __ __ 0

Entonces la cifra de las unidades del primer factor es 5.

6 __ 5

x - 6 6 x 5 = 30 x

__ __ 10 6 x la cifra de las decenas, ms 3 termina en 1

Slo puede ser 6 x3 + 3 = 21 6 x 8 + 3 = 51.

i) Si es 3: 6 3 5 La cifra de las decenas del segundo factor slo puede ser 2 3 de lo contrario X __ 6 no habra un 1 en las unidades de mil del segundo producto parcial. 3 8 1 0 1 __ __ __ __ __ __ __ 0

6 3 5 6 3 5 x 2 6 x 2 6 3810 y 3810 son soluciones 1270 1905 16510 22860

ii) Si es 8

6 8 5 6 8 5 x 2 6 x 2 6 4110 es solucin pero 4110 no es solucin. 1370 2005 17810 24160

Problema 9 El lunes Ana abri una caja de caramelos. Todos los mediodas saca algunos caramelos de la caja. El mircoles a la tarde, quedaban los dos tercios del total de caramelos. El jueves a la tarde, quedaban 24 caramelos que eran la cuarta parte del total. Cuntos caramelos sac Ana de la caja el jueves al medioda?

Solucin: 24 caramelos es la cuarta parte del total, 24 x 4 = 96. Haba en total 96 caramelos. El mircoles le quedaron 2/3; 2/3 de 96 = 64. El mircoles tena 64 caramelos El jueves quedaban 24 caramelos. 40 caramelos Respuesta: Ana sac 40 caramelos de la caja el jueves al medioda.

Problema 10 Luis eligi tres piezas de madera de un rompecabezas: un tringulo equiltero, un cuadrado y un rectngulo. La pieza rectangular tiene 24 cm de permetro. Con las tres piezas arm la figura 1 que tiene 46 cm de permetro. Despus la desarm e hizo la figura 2.

Cul es el permetro de la figura?

Solucin: Si los lados del rectngulo son l y a, 2l + 2a = 24 cm; l + a = 12 cm Los lados de la figura 1 son:

Permetro figura 1 = (l + a) + a + (l + a) + (l + a) + a = 12 cm + a + 12 cm + 12 cm + a = 36 cm + 2a 46 cm = 36 cm + 2a 2a = 10 cm a = 5 cm; l = 7 cm. Indicamos en la figura 2 las longitudes conocidas:

Per. del tringulo = 12 cm x 3 = 36 cm

Per. del cuadrado = 5 cm x 4 = 20 cm

Per. del rectngulo = (5 cm + 7 cm )x 2 = 24 cm El permetro de la figura 2 es

(per tringulo 5 cm) + ( per cuadrado 5 cm x 2) + (per rectngulo 5 cm) =

= (36 cm 5 cm) + 20 cm 10 cm) + (24 cm 5 cm ) = = 31 cm + 10 cm + 19 cm = 60 cm.

Respuesta: El permetro de la figura 2 es 60 cm.

SEGUNDO NIVEL

Problema 1 ABC es un tringulo de lados 3. 4 y 5 cm. Sobre cada lado de ABC se dibuja un rectngulo que tiene un lado igual al doble del otro. Cul es el permetro de la figura que resulta? Si hay ms de una solucin, mustralas todas.

Solucin: Permetro fig 1 = 5 cm + 3 cm + 4 cm + 2 x 2 (5 cm + 3 cm + 4 cm) = 5 x (12 cm) = 60 cm

Permetro fig 2 = 5 cm + 3 cm + 4 cm + 2 x (5 cm + 3 cm + 4 cm) = 2 x (12 cm) = 24 cm Respuesta: Hay 2 figuras, de permetros 60 cm y 24 cm.

Problema 2 Para recaudar fondos para su viaje de fin de curso, los chicos de sptimo venden gaseosa y tortas durante los recreos. Venden cada lata de gaseosa a $ 1 y cada porcin de torta a $ 2. Hoy vendieron 36 gaseosas y 32 porciones de torta. Si pagaron $ 8 la docena de gaseosas y $ 12 por cada torta de las que obtuvieron 8 porciones, cul fue la ganancia del da?

Solucin: Vendieron 36 gaseosas a $1 cada una $ 36 32 porciones de torta a $2 cada una $ 64 Recaudaron .$ 100 Compraron 3 docenas de gaseosas a 4 8 cada una $ 24 4 tortas a $ 12 cada una $ 48 Gastaron ..$ 72 Gastaron $ 28 Repuesta: la ganancia fue de $28

Problema 3 Juan tiene una lata vaca,. Si la llena completamente con arena, todo pesa 870 gramos. Si slo llena con arena las tres cuartas partes, todo pesa 735 gramos. Cunto pesa la lata vaca?

Solucin. _ 870 As me dio cuntos gramos pesa una cuarta parte de la arena 735 135

135 x 3 = 405 As s cunto pesan las tres cuartas partes de la arena. _ 735 lo que pesa la lata con tres cuartas partes de arena

405 lo que pesan las tres cuartas partes de la arena 330 lo que pesa la lata vaca

Respuesta: La lata vaca pesa 330 gramos.

Problema 4

El polgono ABCDEF tiene todos sus lados iguales. Adems BM =MF y CN = NE. El rectngulo BCEF tiene 146 cm de permetro. El cuadriltero ABCD tiene 114 cm de permetro. El tringulo ABF tiene 98 cm de permetro. Cul es el permetro del tringulo ABM? Cul es el rea del polgono ABCDEF?

Solucin: Compar los permetros de las figuras BCEF y ABF. Como los lados: AB = BC , AF = FE y BF = BF, la diferencia entre los dos permetros resulta CE. Entonces CE = (146 98) cm; CN = NE = 48 cm / 2 = 24 cm = 48cm BM = 24 cm Del rectngulo BCEF nos falta averiguar las medidas de BC y FE que son iguales. Al permetro de BCEF le restamos las medidas de CE y BF. 146 cm 48 cm x 2 = 50 cm BC + EF = 50 cm BC = EF = 25 cm AB = 25 cm Del cuadriltero ABCD nos falta averiguar las medidas de AM y ND que son iguales. 114 cm (50 cm x 2) = 14 cm AM + ND = 14 cm AM = ND = 7 cm Permetro del tringulo ABM = AB + BM + AM = 25 cm + 24 cm + 7 cm = 56 cm rea del polgono = 2x rea BCNM + 4 x rea ABM = 2 x 25 cm x 24 cm + 4 x 7 cm x 24 cm 2 = 1200 cm2 + 336 cm2 = 1536 cm2 Respuesta: El permetro del tringulo ABM 56 cm. El rea del permetro ABCDEF es 1536 cm2.

Problema 5 Anibal quiere comprar una bicicleta. En el negocio le ofrecen: pagar al contado con un 3% de descuento o pagar en 3 cuotas iguales con un 5% de recargo. Si elige pagar en cuotas, cada cuota es de $ 73,50. Cunto pagara de contado?

Solucin: Si elige pagar en cuotas, en total abona $73,50 x 3 = $220,50 Por ` pagar en cuotas tiene un 5% de recargo, entonces $220,50 es el 105% del precio (P) de la bicicleta- 105 % de P = 105 P = $ 220,50 100 P= 100 x $220,50 100 P = $210 Si paga al contado tiene un 3% de descuento, entonces abona: P 3% de P. 97 P = 97 x $210 = $ 203,70 100 100 Respuesta : Al contado pagara $203,70

Problema 6: En la tienda, los pantalones de lana cuestan $ 70, los pantalones de algodn y las remeras $12. El sbado, tenan una promocin: si compra un pantaln de lana, le regalamos una remera. Ese da recaudaron $ 2540. Si haban vendido 34 pantalones y haban regalado 15 remeras, Cuntas remeras vendieron?

Solucin. Regalaron 15 remeras. Vendieron 15 pantalones de lana. Y un pantaln de lana $ 70 15 de lana $ 70 x 15= $ 1050 Vendieron 19 pantalones de algodn (34 15) 19 de algodn $ 950 (50 x 19) 2540 1050 = 1490 1490 950 = 540 Recaudaron $540 por x remeras de $12 cada una. X = 540 / 12 = 45 Respuesta: Vendieron 45 remeras.

Problema 7

El rectngulo ACDF tiene 102 cm de permetro. BC = 24 cm, CD = 15 cm y DO = 26 cm. El cuadriltero BCDO tiene 70 cm de permetro. El tringulo ABO tiene 30cm de permetro. Cul es el permetro de AOEF?

Solucin: El permetro de BCDO es 70 cm. 26 cm + 24 cm + 5 cm = 65 cm 70 cm 65 cm = 5cm OB= 5 cm EO = EB- OB 15 cm 5 cm = 10 cm EO = 10 cm

El permetro de ACDF es 102 cm 24 cm + 24 cm + 15 cm + 15 cm= 78 cm 102 cm 78 cm = AB + FE 24 cm = AB + EF 24 cm / 2 = 12 cm AB = EF = 12cm El permetro de ABO es 30 cm 12 cm + 5 cm = 17 cm 30 cm 17 cm = 13 cm AO = 13 cm Per AOEF = 13cm +10 cm+12 cm + 15 cm = 50 cm Respuesta: El permetro de AOEF es 50 cm

Problema 8: En un club que tiene 5200 socios slo el 40 % est en condiciones de votar. Hay tres listas: Blanca, Verde y Celeste. El 25% de los electores vota la lista Blanca, el nmero de electores que vota la lista Verde es el doble de los que votan la Blanca y el resto de los electores vota la lista Celeste. Cuntas personas votaron la lista Celeste?

Solucin: Socios en condiciones de votar: 40% de 5200 = 40 de 5200 = 2080 100 Vota la lista Blanca: 25 % de 2800 = 25 de 2800 = 520 100 Vota la lista Verde: el doble de los que votan la lista Blanca = 2 x 520 = 1040 Vota la lista Celeste el resto de los votantes 2080 (520 + 1040) = 520 Respuesta: 520 personas votaron la lista Celeste.

Problema 9:

Luis dibuj dos tringulos issceles, ambos con lados desiguales de 30 cm y tales que: -La razn de los permetros es 2 -La razn entre los otros lados es 11/4 Con esos dos tringulos Luis arma un romboide haciendo coincidir los lados de 30 cm. Cul es el permetro de este romboide?

Solucin: Llamaremos L al lado desconocido del tringulo A1 y l al lado desconocido del tringulo A2 (15 + 21) 4= 11 l 15 x 4 + 8 l = 11l 15 x 4 = 11 l - 8 l 15 x 4 = 3 l 5 x 4 = l l = 20 cm L = 15 cm + 2 l = 15 cm * 40 cm L = 55 cm Permetro dek romboide = 2 L + 2l = 110 cm + 40 cm = 150 cm Repuesta: El permetro del romboide es 150 cm.

Problema 10:

Dos terrenos rectangulares que tienen igual permetro estn en venta. El permetro es de 8,66 m de fondo. El segundo tiene 10 m de frente. Si un metro cuadrado cuesta $ 450, Cul es el precio de venta del segundo terreno?

Solucin: El permetro del primer terreno es de 81,32 m ((8,66 + 32) x 2) El permetro del segundo terreno es tambin 81,32m. 81,32 m = 2 x (10m+ fondo) = 20 m + 2 de fondo. 81,32 m 20 m = 2 fondo 61,32 m = 2 fondo fondo = 30,66m Superficie del 2 terreno = 10m x 30,66 m = 306,60 m2. Precio del segundo terreno = 306,60 x 4500 = $ 137.970. Respuesta: el precio de venta del segundo terreno es de $ 137.970.

Problemas de entrenamiento TERCER NIVEL

Problema 1 Anbal tiene 12 bolitas iguales que quiere regalar a sus 3 amigos: Toms, Pedro y Manuel, De cuntas maneras puede hacerlo? Da todas las posibilidades.

Solucin: Determinamos cuntas bolitas puede regalarle Anbal a sus tres amigos. Toms (T), Pedro (P) y Manuel (M). Las cantidades son:

*10- 1 y 1 * 7 4 y 1 * 6 3y3 *9 - 2 y 1 * 7 3 y 2 * 5 5 y 2 *8 3 y 1 * 6 5 y 1 * 5 4 y 3 *8 2 y 2 *6 4 y 2 * 4 4 y 4

Veamos cmo puede repartir estas cantidades. En el caso 10 1 y 1: Anbal puede elegir a cualquiera de los 3 amigos para darle 10 bolitas. Elegido el que recibe 10, a los otros les da 1 bolita a cada uno. Hay 3 maneras de repartir las 12 bolitas en 10 - 1 y 1.

10 1 1

T P M

P T M

M T P

En el caso 9 - 2 y 1, Anbal puede elegir a cualquiera de los 3 amigos para darle 9 bolitas. Elegido el que recibe 9, puede elegir a cualquiera de los otros 2 amigos para darle 2 bolitas. Elegidos los que reciben 9 y 2, el que queda recibe 1 bolita. Hay 3 x 2 = 6 maneras de repartir las 12 bolitas en 9 - 2 y 1.

9 2 1

T P M

T M P

P T M P M T M T P M P T

Los casos 8 - 2 y 2, 6 - 3 y 3 , 5 - 5 y 2 son equivalentes al 10 - l y l. Los casos 8 - 3 y 1, 7 - 4 y 1, 7 - 3 y 2, 6 - 5 y l, 6 - 4 y 2, 5 - 4 y 3 son equivalentes al 9 - 2 y 1. El caso 4 - 4 y 4 es nico, le regala 4 bolitas a cada amigo. Hay 4 casos de 3 maneras cada uno, 7 casos de 6 maneras cada uno y 1 caso de una manera. Son 4x3 + 7x6+1= 55 posibilidades. Anbal puede regalar las 12 bolitas de 55 maneras.

Problema 2 De una hoja rectangular se cortan tres pedazos como indica la figura. A es un cuadrado de 144 cm2 de rea. B es un cuadrado de 81 cm2 de rea. C es un tringulo rectngulo de 102 cm" de rea. Cul es el rea del pedazo que sobra?

Solucin: Lado del cuadrado A = la raz cuadrada de 144 cm2 = 12 cm Lado del cuadrado B = la raz cuadrada de 81 cm2 = 9 cm

El tringulo C tiene un cateto igual al lado del cuadrado A, entonces su otro cateto es igual a 102 cms x 2 = 17 cm 12 cm El rea de la hoja rectangular es (12 cm + 9 cm) x (12 cm + 17 cm) = = 21 cm x 29 cm = 609 cm2 El rea del pedazo que sobra es : 609 cm2 144 cm2 81 cm2 102 cm2 = 282 cm2

Problema 3

En un monedero hay solamente monedas de 25 y de 50 centavos. El nmero de monedas de 25 centavos es el triple del nmero de monedas de 50 centavos. Si se gastan 8 monedas de cada clase, ahora, la cantidad de monedas de 50 centavos es la quinta parte de la cantidad de monedas de 25 centavos. Cunto dinero haba inicialmente en el monedero?

Solucin Si hay n monedas de 50 centavos. El nmero de monedas de 25 centavos es 3n. Si se gastan 8 monedas de cada clase, hay n 8 monedas de 50 centavos y 3n - 8 monedas de 25 centavos Entonces: (n - 8) -5 = 3n - 8 5n - 40 = 3n 8 5n - 3n = 40 - 8 2n = 32 n = 32 2 n = 16 Inicialmente haba en el monedero: 16 x 50 centavos + 16 x 3 x 25 centavos= 800 centavos + 1200centavos = 2000 centavos

Problema 4 Encontrar un nmero entre 200 y 250 tal que si Le restamos 5 y lo dividimos por 7, El resultado Es un nmero entero que tiene resto 4 al dividirlo por 9.

Solucin:

Llamamos x al nmero buscado. Si (x 5) / 7 es un nmero entero k, entonces (x 5) /7 = k x - 5 = 7 x k x = 7 k + 5 El nmero entero k tiene resto 4 al dividirlo por 9, luego: k = 9n + 4 para algn entero n. Reemplazando k en (*) x =7 (9n + 4) +5 x = 63n + 28 + 5 x = 63n + 33 Si n = 1 x = 63 + 33 = 96 no est entre 200 y 250. Si n = 2 x = 126 + 33 = 159 no est entre 200 y 250. Si n = 3 x = 189 + 33 = 222 s est entre 200 y 250. Si n = 4 x = 252 + 33 = 285 no est entre 200 y 250.

El nmero buscado es 222.

Problema 5

ABCDEF es un hexgono regular de 24 cm de permetro. El trapecio ABCG es rectngulo. Cul es el rea de la regin sombreada?

Solucin:

La regin sombreada se puede descomponer en el trapecio AFED y el tringulo rectngulo GDC. Marcamos O, el punto medio de AD. Si unimos O con cada vrtice del hexgono ABCDEF, el hexgono queda partido en 6 tringulo equilteros iguales. El rea del trapecio AFED es la mitad del rea del hexgono. El rea del tringulo GDC es la mitad del rea del tringulo OCD y 1/12 del rea del hexgono. Entonces: rea de la regin sombreada = rea ABCDEF + 1/12 rea ABCDEF = 7/12 rea ABCDEF Lado del hexgono= 1/6 permetro = 1/6 x 24 cm = 4 cm Calculamos la apotema del hexgono Apotema = OM En el tringulo rectngulo OME OM2 + ME2 = OE2 OM2 = OE2 ME2 OM2 = (4cm)2 (2 cm)2 OM2 = 12 cm2 OM = raz cuadrada de 12 cm OM = 3,46 cm

rea del hexgono = permetro x apotema = x 24 cm x 3,46 cm = 41,52 cm2 rea de la regin sombreada = 7/12 x 41,52 cm2 = 24,22 cm2

Problema 6

Una hormiga recorre cada hora una distancia igual a dos tercios de lo recorri la hora anterior. Si en tres horas recorri 76 cm, cuntos cm recorri durante la primera hora?

Solucin: Una hormiga recorre -en la primera hora x - en la segunda hora 2/3 x - en la tercera hora 2/3 . 2/3 x = 4/9 x

En total recorri 9/9 x + 6/9 x + 4/9 x = 19/9 x 19/9 x = 76 cm

1/9 x = 76 cm / 19 = 4 cm En la primera hora recorri 9/9 x = 9 x 4 cm = 36 cm. En la segunda, 6/9 x = 6cm x 4 cm = 24 cm y en la tercera, 4/9 x = 4cm x 4cm = 16 cm. Respuesta: Recorri 36 cm en la primera hora.

Problema 7

En la circunferencia de centro O y dimetro AB se marcan los puntos C y D, uno en cada semiplano respecto de AB, de modo que DOB = 36 y CAO = 29- Cunto miden los ngulos ADO y AOC?

Solucin

En el tringulo issceles ADO, de lados iguales AO y OD: OAD +ADO + DOA = 180 OAD = ADO = x DOA = 180 - 36 = 144 Entonces 2 x + 144 = 180 2x = 36 x = 18 ADO = 18

En el tringulo issceles ACO, de lados iguales AO y OC: APC + OCA + CAO =180 OCA = CAO = 29 AOC = y Luego y + 2 x 29 = 180 y + 58 = 180 y = 122 AOC = 122

Problema 8

Cuntos trminos hay en la sucesin de nmeros enteros: 10, 17, 24, 31,38, , 374?

Solucin:

En la sucesin de nmeros enteros 10, 17, 24, 31,38, , 374 la diferencia entre dos trminos consecutivos es siempre 7- 1 10 2 17 = 10 + 7 3 14 = 17 + 7 = (10 + 7) 7 = 10 + 7 x 2 4 31 = 24 + 7 = 10 + 7 x 2 + 7 = 10 + 7 x 3 5 38 = 31 + 7 = 10 + 7 x 3 + 7 = 10 x 4 y as sucesivamente. Entonces el trmino del lugar n es el nmero 10 + 7 x (n- 1). Para saber qu lugar ocupa el nmero 374 resolvemos: 10 + 7 x (n 1) = 374 7 x (n 1) = 374 10 7 x (n 1) = 364

n 1 = 364 / 7 n 1 = 52 n = 53 Respuesta: En la sucesin hay 53 trminos.

Problema 9

Un comerciante compr un rollo de tela a $36 el metro. Al lavarla perdi un cuarto de su longitud. Despus de lavada, la vendi a $ 60 el metro. Por la venta de todo el rollo gan $576. Cuntos metros de tela tena el rollo que compro

Solucin Compr un rollo de x m a $ 36 el m. Gast $ 36 x Al lavarla le quedaron ( x x)m. Por la venta recaud $ 60 ( x x). Como gan $576 por la venta de todo el rollo. 60 ( x x) 36 x = 576 60 x 15 x 36 x = 576 9 x = 576 x = 576 / 9 x = 64 Respuesta El rollo que compr tena 64 m de tela.

Problema 10

Completar el siguiente tablero con nmeros distintos de cero; de modo que el producto de los tres nmeros de cada fila, de cada columna y de cada diagonal sea siempre el mismo.

4 12 2 24

Solucin a b 4 c 12 d e 2 24

Llamo x al producto de los tres nmeros de cada fila, de cada columna y cada diagonal. Se cumplen las igualdades:

x = 24 . 12 a x = 288 a x = 2 . 12 b x = 24 b x = 24 . 4 d x = 96 d x = 4 . 12 e x = 48 e x = a.c.e

x = e . 2 . 24 x = 48 e x = c . d . 12 x = a . b . 4 Si x = 96 d y x = 12 cd, entonces 96 = 12 c c = 96 / 12 c = 6 Ahora puede obtener los otros nmeros. x = 24 . 12 . a = 288 . 6 = 1728 x = 1728 x = a.c.e = 6 . 8 .e 1728 = 48 e e = 1728 / 48 e = 36

x = c.e . 12 = 8 . d . 12 = 96 d 1728 = 96 d d = 1728 / 96 d = 18 x = a . b . 4 . b = 24b 1728 = 24b b = 1728 / 24 b = 72

El tablero completo es 6 72 4 8 12 18 36 2 24