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José Luis Hernández Pérez - Ricardo David Fernández Cruz - Jaime Solá de los Santos .
Madrid 2014
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Problemas de Las Olimpiadas
Internacionales De Física
José Luis Hernández Pérez
Ricardo David Fernández Cruz
Jaime Solá de los Santos
Madrid 2014
José Luis Hernández Pérez - Ricardo David Fernández Cruz - Jaime Solá de los Santos .
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XLV. OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. 2014.
KAZAKHSTAN
PROBLEMA 1
Este problema consta de tres partes independientes
PARTE A. Mecánica
Sobre la parte interior de un cilindro hueco de masa M y radio R, con
un espesor de pared pequeño, se coloca un disco de masa m.
Inicialmente el cilindro está en reposo sobre un suelo horizontal y el
disco se encuentra localizado a una altura R por encima del suelo, tal
como puede observarse en la figura
Consideramos un sistema de referencia cartesiano ligado al suelo, dicho sistema de
referencia es inercial. Las fuerzas reales que actúan sobre el cilindro son: peso Mg,
fuerza de rozamiento del cilindro con el suelo FR, fuerza con que el disco empuja al
cilindro Nc, y la fuerza con que el suelo empuja al cilindro N1. Las fuerzas que actúan sobre el disco son: su peso mg y la fuerza con que el cilindro
empuja al disco, Nd. (ver la figura A1).
R
M
m
FR
N1
Mg mg
Nd
Nc
+
+
C C
Encontrar la fuerza de interacción entre el
disco y el cilindro justamente en el instante
en que el disco pasa por la parte inferior de
su trayectoria.
Suponer que entre el disco y la parte
interior del cilindro no existe rozamiento y
que el cilindro se desplaza por el suelo sin
deslizar.
Fig. A1
+ O
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Las fuerzas Nc y Nd son de acción y reacción, por tanto, sus módulos son iguales:
Nc=Nd=N. La fuerza de rozamiento FR se dirige hacia la derecha, porque cuando el
disco se desplaza por el interior del cilindro, éste se mueve hacia la izquierda.
Al cilindro de la figura A1, le aplicamos las leyes de Newton, desde los ejes inerciales
en O, cuyos sentidos positivos se indican en la figura, (esta cuestión es convencional).
(1)aM2αsenNMaaMαsenNaMR
aRMF
RγacilindroelrodarPor
γRMR
γRM
R
γIF;γIRFM;MaFαsenNF
CCCC
C
R
C
2
RRCCRx
La aceleración del cilindro es un vector paralelo al suelo y dirigido de derecha a
izquierda
Procedemos igual con el disco
- (2)amαsenN X ; N cos α – m g = m ay
La aceleración del disco respecto de O, es un vector con dos componentes. Sin
embargo como en nuestro estudio consideramos el instante en el que el disco llega al
suelo y entonces su velocidad es solo según el eje X y dirigida de izquierda a derecha,
nos basta con tener solo en cuenta la componente según X de la aceleración, sin
necesidad de ocuparnos también de la otra.
Comparando (1) y (2)
CtevmvM2dt
dvm
dt
dvM2ama2M XC
XC
xc
En el instante inicial las velocidades del cilindro y del disco son cero, luego Cte=0
(3)vmvM2 XC
El vector velocidad del cilindro es paralelo al suelo y dirigido de derecha a izquierda
Ambos vectores se han determinado con respecto al sistema inercial ligado al suelo.
La fuerza de rozamiento actúa en el sentido de proporcionar un momento de fuerza para
que el cilindro gire, pero no es una fuerza disipativa por no haber deslizamiento.
La energía inicial del sistema es potencial mgR y cuando el disco pase por la parte
inferior de su trayectoria, la energía es: cinética de traslación del disco, cinética de
traslación del cilindro y cinética de rotación del cilindro. Como no hay rozamiento entre
el cilindro y el disco, éste desliza sin rotar.
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(4)vmvM2Rgm2
vm2
1vM
R
vMR
2
1vm
2
1vM
2
1Iω
2
1vm
2
1vM
2
1Rgm
2
X
2
C
2
X
2
C2
2
C22
X
2
C
22
X
2
C
Despajamos vX de la ecuación (3) y sustituimos en la ecuación (4).
(5)
m2M
R gM
M
m
m2MM
Rgmv
m
2M1M
Rgmv
m
M2Mv
m
Mv2vMRgm
m
vM4vM2v
m
M2mvM2Rgm2v
m
M2v
2
C
C
22
C
22
C
2
C
2
C
2
2
C
2
C
2
CCX
Sustituyendo (5) en (3)
(6)m2M
gRM2vvm
m2M
gRM
M
mM2 XX
Vamos ahora a determinar la velocidad del disco respecto del cilindro cuando el disco
pase por la parte inferior, pero antes explicamos con un ejemplo el proceso.
Fig. A2
O
Y
Y´
H
X´
t = 0
C
X
vC
vH
O
Y
Y´
H
X´
t´= Δt
C
X
vC
vH xC xH
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En la figura A.2, y ligado al suelo se ha considerado un sistema de referencia inercial
OXY. C es un carrito que en el instante t=0 tiene una velocidad vC respecto de OXY y
ligado a él se considera un sistema de referencia O´X´Y´. H representa a un hombre que
se desplaza sobre el carrito con una velocidad vH respecto de OXY. Al cabo de un corto
tiempo las posiciones del H y del carrito C se indican en la segunda figura de A2.
La posición del hombre respecto del sistema ligado al carrito (O´X´Y´) es:
tvtvvtvtvXXX relHCHCHc
En el problema, el carrito es el cilindro hueco y el hombre el disco, por tanto, la
velocidad relativa del disco respecto del cilindro es la suma de vC y vH = vX
La fuerza que el cilindro ejerce sobre el disco en la parte inferior, es igual y contraria a
la suma del peso del disco más la fuerza centrípeta para girar alrededor del punto C,
Fig.A1.
M3
m1gm3
M
m3gm
M
gmg2mgm
M
mM2gR
R
mgmF
M
mM2
mM2
RgM
R
mgm2
M
m
mM2
RgM
R
mgmF
mM2
RgM2
mM2
RgM
M
m
R
mgm
R
vmgmF
2
22
22
rel
PARTE B. Física molecular
Una burbuja de radio r= 5,00 cm contiene un gas ideal diatómico, la
película jabonosa tiene un espesor h= 10,0 m, dicha burbuja está
situada en el vacío. La tensión superficial de la disolución jabonosa es
= 4,00.10-2 N/m y su densidad = 1,10 g/cm3. 1) Determinar la
capacidad molar del gas en el proceso de suministrarle calor de manera
muy lenta de modo que la burbuja permanece en equilibrio mecánico. 2)
Encontrar la expresión de la frecuencia angular de las pequeñas
oscilaciones radiales de la burbuja, en el supuesto de que la capacidad
calorífica de la película jabonosa es mucho mayor que la del gas.
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Suponer que el equilibrio térmico se alcanza mucho más rápidamente
que el periodo de las oscilaciones. Ayuda. Laplace demostró que existe una diferencia de presión dentro y fuera de una superficie curvada originada por la tensión superficial de la
interfase entre el líquido y el gas, siendo r
σ2Δp
1. La película jabonosa tiene dos superficies, debido a tener un cierto espesor h, sin
embargo éste lo vamos a considerar muy pequeño frente al radio, por lo que podemos
hacer una aproximación considerando a los dos radios, interior y exterior, iguales. En
consecuencia la presión capilar es: .r
σ4 Dado que la presión externa es nula y existe
equilibrio mecánico, esa es la presión del gas contenido en la burbuja.
Aplicamos el primer principio de la termodinámica
(1)dT
dV
n
pCCdVpdTCndTCndQ VV
Aplicamos la ecuación de los gases perfectos al gas que está contenido en la burbuja.
drrπ3
12dVrπ
3
4V
nR
drrπ3
32
dTdTnRdrrπ3
32TRnrπ
3
16nRTrπ
3
4
r
σ4
23
23
Sustituyendo en (1)
R4R2
3R
2
5R
2
3C
nR
drσrπ
3
32
drrπ3
12
rn
σ4CC V
2
V
2) En principio, al suministrar una cantidad de calor al gas contenido en la burbuja
aumentaría su temperatura y además intercambiaría energía calorífica con la solución
jabonosa
JJ
GG
JJGGcm
ΔtcmΔt´Δt´cmΔtcm
Teniendo en cuenta, según el enunciado, que cJ>>cG , t´ tiende a cero, esto significa
que la película jabonosa mantiene su temperatura y además el gas también la mantiene,
por tanto, consideramos el proceso isotérmico y a costa de la energía recibida, efectuará
trabajo contra la burbuja que aumenta de volumen, pero como es de comportamiento
elástico esta membrana efectuará oscilaciones entre dos posiciones de distintos radios.
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Imaginemos que la burbuja en un instante t, tiene un radio r+x, siendo x pequeño
comparado con r.
La diferencia entre la fuerza debida a la presión del gas (ahora designado con p´) y la
debida a la tensión superficial crea una fuerza resultante que tiende a llevar a la burbuja
a su radio primitivo. En esta situación se producirán un conjunto de oscilaciones
radiales de la burbuja. La ecuación diferencial.
(1)dt
xdmxr·4π4σxr·4πp;
dt
xdmxr·4π
xr
2σ2·xr·4πp
22
22
222
Veamos la relación entre p´ y la presión del gas p, cuando los radios son: r y r+x.
2233
3
3
3
xr3xr3xr
rp
xrπ3
4
rπ3
4
pV´
Vpp´p´V´pV
Puesto que x<< r , los términos de x al cubo y al cuadrado los despreciamos
r
3x1
r
σ4p´
r
3x1p
r
x91
r
x31
p
r
3x1
r
3x1
r
x31
p
r
3x1
1p
xr3r
rpp´
2
223
3
Considerando el espesor h de la burbuja. La masa m de la película jabonosa es:
·h·ρrπ4ρVm 2
Sustituyendo en (1)
2
222
dt
xd··h·r4xr4·4xr4
r
x31
r
4
2
22
22
dt
xdρhrx4σr4σ
r
xr2
r
x
r
r)·
r
3x(14σ
2
22
2
2
3
2
222
dt
xdhρrx4σr4σ
r
x6
r
x3
r
xr32x
r
x
r
r·4σ
2
22
dt
xdhρrx8σx4σr4σxr4σ ; ; )2(;
dt
xdx
hr
82
2
2
Como en un movimiento vibratorio armónico es x·dt
xd 2
2
2
; identificando:
h
2
r
2
hr
82
; 1
36
12
2108
·1100·10.10
·10.00,4·2
10.5
2
s
mkgm
mN
m
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La ecuación (2) es la de un movimiento armónico simple
PARTE C. Electricidad
En el instante inicial el interruptor S (ver figura) está abierto y el
condensador 1 de capacidad 2C posee una carga qo ; el condensador 2 de
capacidad C está descargado y por las bobinas, de coeficientes de
autoinducción L y 2L respectivamente, no pasa corriente.
Cuando S esté abierto el circuito de la figura superior es un circuito oscilante con
capacidad CE y autoinducción LE = L+ 2L =3L.
C3
2C
C
1
2C
1
C
1E
E
El periodo de dicho circuito es:
LC2
1ωLC2π2C
3
2L3π2CLπ2T EE
Designamos con t al tiempo transcurrido desde que se ha iniciado la descarga, con q1 la
carga eléctrica del condensador 1 y con q2 la del condensador 2 y con I la intensidad de
la corriente eléctrica que circula por las bobinas.
Según el principio de conservación de la carga eléctrica.
21o qqq
Dado que no existen resistencias en el circuito, aplicamos el principio de conservación
de la energía
1
2
L
2L
2C
C
S
El condensador 1 comienza
a descargarse y justamente
cuando la corriente que
circula por las bobinas es
máxima, se cierra de forma
instantánea el interruptor S.
Determinar la intensidad
máxima de corriente que
circula por S.
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)1(CL6
q4qq3qI
2
q4qq3q
C2
qq2qq2qq3LI
IL3C
C2
q
C2
qI3L
2
1
C
q
2
1
C2
q
2
1
C2
q
2
1
1o
2
1
2
o
1o
2
1
2
o1o
2
1
2
o
2
1
2
o2
2
2
1O
2
1
2
o22
2
2
1
2
o
Para determinar la intensidad máxima de la corriente derivamos la ecuación (1)
respecto de q1 e igualamos a cero
ooo2
01o1
1o
2
1
2
o
o1
1
q3
1q
3
2qq
q3
2q0q4q60
qq4q3q2
q4q6
CL6
1
dq
dI
Sustituimos estos valores de las cargas en I.
CL18
q
LC6
q3
2q4q
9
43q
I ooo
2
o
2
o
max
(2)
Al cerrar instantáneamente el interruptor S, en el circuito superior el condensador tiene
una carga (2/3) qo , y la bobina almacena una energía 2
max LI2
1. La intensidad máxima
en el circuito superior IMS, se producirá cuando la energía almacenada en el
condensador pase a la bobina.
max
o
2
o
MS
2
o
2
o2
MS
2
MS
2
o
2
o2
MS
2
max
2
o
I5CL18
q5
CL18
q5I
CL18
q
CL18
q4I
ILCL18
qL
C18
q4IL
2
1IL
2
1
2C
q3
2
2
1
En el circuito inferior la intensidad máxima IMI
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10
max
o
2
o
MI
2
o
2
o2
MI
2
MI
2
o
2
o2
MI
2
max
2
o
I2CL18
q2
CL18
q2I
CL18
q
CL18
qI
IL2CL18
qL2
C9
qI2L
2
1IL2
2
1
C
q3
1
2
1
Las intensidades máximas anteriores no coinciden en el tiempo a través de S.
En el instante inicial (cierre instantáneo de S), en el circuito superior la energía del
condensador supera a la energía almacenada en la bobina.
36C
q
18LC
qL
2
1LI
2
1E;
C9
q
C36
4q
2C
q3
2
2
1E
2
o
2
o2
maxL
2
o
2
o
2
o
C
Por consiguiente a partir del instante de cierre de S, el condensador 1 se sigue
descargando. La ecuación de la intensidad de la corriente en el circuito superior es:
θtωsenI5θtωsenIi maxMSS
En el instante t=0 (cierre de S) la ecuación anterior conduce a:
5
52
25
51θcos
5
5
5
1θsenθsenI5Ii maxmaxS
En el instante inicial (cierre instantáneo de S), en el circuito inferior la energía de la
bobina es igual que la del condensador
C18
q
18LC
qLI2L
2
1E;
C81
q
C
q3
1
2
1E
2
o
2
o2
max2L
2
o
2
o
C
El condensador sigue recibiendo carga.
tωsenI2tωsenIi maxMSI
En el instante t=0 (cierre de S) la ecuación anterior conduce a:
2
2
4
21ψcos
2
2
2
1ψsenψsenI2Ii maxmaxI
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El diagrama rotatorio para las dos intensidades es:
C2L
q
CL18
q33II
02
22
5
55IψsenI2θsenI5(Y)I
3I2
22
5
525IψcosI2θcosI5(X)I
oo
maxS
maxmaxmaxS
maxmaxmaxmaxS
maxI5
maxI2
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PROBLEMA 2. Ecuación de estado de van der Waals
La conocida ecuación de estado de los gases ideales parte de la
suposición de que las moléculas ni tienen tamaño ni interactúan entre
sí. En realidad sí que tienen un tamaño finito e interaccionan entre
ellas.
Todas las partes de este problema se refieren a un mol de agua.
Parte A. Ecuación de estado de un gas no ideal
Teniendo en cuenta el tamaño finito de las moléculas la ecuación de
estado de un gas se escribe como RTbVP
P es la presión del gas, V el volumen ocupado por el gas y T la
temperatura, R es la constante de los gases, b representa una constante
extraída a partir del volumen de las moléculas.
El término b se introduce en la ecuación de los gases ideales restando del volumen V
medido del gas un volumen relacionado con el tamaño de las moléculas. A primera vista
se podría restar el volumen de las NA moléculas que existen en el mol de gas, pero esto
no es correcto porque las moléculas, consideradas como esferas rígidas, no pueden
aproximarse tanto como para tocarse entre sí, puesto que aparecen fuerzas eléctricas
repulsivas, esto conlleva a considerar a b mayor que el volumen de las moléculas. Las
estimaciones más sencillas suponen que b es cuatro veces el volumen de las
moléculas.(Puede consultarse el razonamiento en Química-Física de S.Glasstone,
página 270 .Editorial Aguilar).
3
AA
3
d2NN2
dπ
3
44b
Van der Waals propuso una ecuación, en la que se incluía un término en
la presión para considerar las fuerzas intermoleculares, que de forma
aproximada describen los estados gaseoso y líquido de la materia.
TRbV2V
aP
En dicha ecuación a es una constante.
A1. Estimar b y expresarla en función del diámetro d de las moléculas
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A una temperatura T inferior a la de un valor crítico TC la ecuación de
van der Waals, cundo se representa en un diagrama P-V, proporciona
una isoterma (curva 1 de la figura 1) denominada isoterma de van der
Waals, En la misma gráfica la curva 2 representa a un gas ideal para
esa misma temperatura.
La isoterma 1 de la figura 1 se separa de la isoterma real porque entre
B y A existe una línea recta trazada a una presión constante PLG Este
segmento recto se localiza entre los volúmenes VL (líquido) y VG (gas) y
Fig.1.- Isoterma de van der Waals de gas líquido (curva 1) y la isoterma de un gas ideal (curva 2 ).
Fig.2.- Diferentes isotermas de la ecuación de van der Waals
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representa que en esa zona coexisten en equilibrio las fases líquida y
gaseosa. A partir de la segunda ley de la termodinámica J. Maxwell
demostró que PLG debe escogerse cuando las áreas I y II (sombradas en
la figura 1) sean iguales.
Si se aumenta la temperatura, el segmento recto AB de la isoterma se
reduce a un punto en el que la temperatura y la presión son Tc y PGL=PC.
Los parámetros TC y PC se denominan críticos y por la vía experimental
se miden con gran precisión.
La isoterma TC presenta un punto de inflexión lo cual se traduce, desde el punto de
vista matemático, en dos ecuaciones:
0dV
Pdy0
dV
dP
T
2
C
C
2
TC
C
Despejamos PC de la ecuación de van der Waals y hallamos las derivadas
3C
4
C
C
4
C
3
C
C
4
C
4
C
CC
T
2
C
C
2
2
C
3
C
C
3
C
2
C
C
TC
C
2
CC
CC
bV
V
TR
a3
V
a6
bV
TR2
V
a6
bV
bV2TR
dV
Pd
bV
V
TR
a2:0
V
a2
bV
TR
dV
dP;
V
a
bV
TRP
Dividiendo miembro a miembro las dos últimas ecuaciones
b27
a8T R;b
4
27
T R
a2
bb3
b27
T R
a2
b3VbV
V
2
3
bV
V
bV
V
TR
2a
TR
3a
C
C
2
3
C
C
C
C
2
C
3
C
3
C
4
C
C
C
Sustituyendo en la ecuación de van der Waals
A2. Expresar las constantes a y b de la ecuación de van der Waals en función de TC y PC
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15
C
2
C
2
C
C
P
TR
64
27a
P8
TRb
2
C
C
C
C
CC
C
C
C
c
2
222C2C
C
2C
P8
TRP27a
b2
TRP3P
b2
TR
P27
a9
aP:ecuaciónprimeralaensusttyendo;
27P
ab
b27
a
b9
a
b27
a4P
2bb27
a8
b9
aP
b2
TR
b9
aP
mol
m3,1.10
m
N2,2.108
K647Kmol
mN8,31
b
mol
mPa0,55
mol
mN0,55
m
Nmol
mN
0,55
m
N2,2.10
K647Kmol
J8,31
64
27a
35
2
7
2
6
2
4
2
2
22
2
7
2
2
O2
H
O2
H
Según el apartado A1
m3,0.10mol6,02.102
mol
m3,1.10
2N
bd 103
123
35
3
A
Parte B. Propiedades de gas y líquido
Esta parte del problema se refiere a las propiedades del agua en los
estados gaseoso y líquido a la temperatura de T = 100ºC. La presión del
A3. Para el agua, TC=647 K y PC=2,2.107 Pa. Calcular las constantes a y
b del agua
A4. Estimar el diámetro de una molécula de agua
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16
vapor saturado a esa temperatura vale PGL= Po = 1,0.105 Pa y el volumen
molar del agua es = 1,8.10-2 kg/mol.
Estado gaseoso
Resulta razonable suponer que VG>>b es válida para la descripción de
las propiedades del agua en el estado gaseoso
A partir de la ecuación de van der Waals
TRbVV
ap G2
G
o
Teniendo en cuenta la suposición del enunciado GG VbV
o
o
22
GG
2
Go
G
Gop2
ap4TRRTV0aTVRVpRT
V
aVp
Para decidir entre el signo más o el menos, apliquemos la ecuación obtenida a un gas
ideal para el que a =0
RTRTVp2 Go
Si el signo fuese negativo VG =0, lo cual es imposible , por tanto, la solución es.
o
o
22
Gp2
ap4TRRTV
(1)
Sustituyendo valores en la ecuación anterior
3
5
52
G m0,03081,0.102
0,551,0.1043738,313738,31V
Si utilizamos la ecuación de los gases ideales
3
5
o
Go m0,03101,0.10
3738,31
p
RTV
Si empleamos la ecuación de los gasea ideales se obtiene prácticamente el
mismo volumen.
B1. Obtener la formula de VG expresándola en función de R, T , po y a
B2. Obtener el porcentaje de disminución del volumen debido a las
fuerzas intermoleculares.Go
GGo
Go
G
V
VV
V
ΔV
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17
Calculamos anteriormente el volumen con la ecuación (1), VG=0,0308 m3
Calculamos anteriormente el volumen con la ecuación de los gases ideales,
VGo=0,0310 m3
% 0,651000,0310
0,0308-0,0310%
Si el volumen del sistema se reduce por debajo de VG el gas comienza a
condensase. No obstante un gas muy puro puede permanecer en ese
estado metaestable, llamado vapor subenfriado, hasta que el volumen
alcanza un cierto valor VG min
En la figura 1, la isoterma de van der Waals penetra en la región en que coexisten las
fases gas y líquido y esa isoterma adquiere un valor máximo. Admitimos que el gas se
puede mantener como tal hasta ese punto, en el que se cumple que 0dV
dP
T
.
Despejamos la presión de la ecuación de van der Waals y hacemos la derivada
0
V
2a
bV
TR
dV
dP
V
a
bV
TRP
3
min
2
minGT
2
G
Hacemos la aproximación GminGmin V bV
783,55.10
0,0308
V
V
mol
m.1054,3
K733Kmol
Nm8,31
mol
mN0,552
TR
a2V
V
2aRT
4
Gmin
G
34
2
4
Gmin
Gmin
Estado líquido
Para el estado líquido resulta razonable admitir que P<<a/V2
B3. Evaluar cuántas veces el volumen del vapor de agua se puede reducir para que el gas permanezca en ese estado metaestable. En otras palabras determine el cociente VG/VGmin
B4. Expresar el volumen del agua líquida VL en función de a , b , R y T
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18
La ecuación de van der Waals aplicada con la condición del enunciado da lugar a:
TR2
a
TbR411a
TR2
a
TbR41aa
V
TR2
TbRa4aaV0abaVRTVRTbV
V
a
L
2
LL
2
LL2
L
Surge la duda sobre qué signo debe utilizarse en la ecuación anterior.
La densidad del agua a 100ºC es 0,958 g/cm3 Un mol de agua (0,018 kg) en estado
líquido ocupa un volumen a 100ºC de
35
33m1,72.10V
V
kg0,018
m0,958.10
aguadekg1
El cociente 5
3
5 10.72,1m
kg8,9.10
3738,312
0,55
T2R
a
, por consiguiente el
término incluido en el paréntesis debe ser menor que la unidad y eso conlleva utilizar el
signo menos.
Calculemos el volumen que ocupa un mol de agua a 100ºC proporcionado por la
ecuación deducida anteriormente, empleando el signo menos.
355
L m4,01.100,55
3738,313,1.10411
3738,312
0,55C)(100ºV
Como se observa un valor muy diferente del valor experimental, lo que en definitiva nos
dice que la ecuación de van der Waals no puede aplicarse en estado líquido si
queremos obtener valores que se acerquen razonablemente a los experimentales.
Suponiendo que bRT<< a encontrar las siguientes características del
agua. ¡ No se sorprenda si alguno de los datos obtenidos no coinciden con los valores
tabulados conocidos!
Hagamos un comentario sobre la suposición del enunciado
T 50 100 150 200 250 300
bRT= 0,012 0,026 0,039 0,051 0,064 0,077
B5. Expresar la densidad del agua líquida en función de , a , b y R y
calcular su valor
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19
a/bRT 46 21 14 11 8,6 7,1
La suposición de que a>>bRT se cumple cuando T tiende a cero, si ponemos esta
condición en la ecuación de van der Waals, el segundo miembro tiende a cero y el
primero debe hacerlo para mantener la igualdad, luego VL-b tiende a cero, esto es, el
volumen tiende al valor de b
335l m
kg581
mol
m3,1.10
mol
kg0,018
b
μ
V
μρ
Calculamos la densidad del agua líquida a 100ºC
35C100ºm
kg944
10.01,4
0,018ρ
Un resultado que nada tiene que ver con la densidad del agua a 100º C que según las
tablas es 958 kg/m3
.Volvemos a lo comentado en el apartado anterior la ecuación de van der Waals no es
aplicable al estado líquido a 100ºC
Escogemos la ecuación
a
TRb411
2RT
aVL y representamos VL frente a T a
temperaturas bajas con lo que se obtiene prácticamente una línea recta de ecuación
B6. Expresar el coeficiente de expansión térmica ΔT
ΔV
V
1α L
L
en función
a,b, R y dar su valor.
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20
y = 2E-08x + 3E-05
R2 = 0,9983
0,0000285
0,000029
0,0000295
0,00003
0,0000305
0,000031
0,0000315
0 50 100 150 200
temperatura en K
Vo
lum
en
en
m3
14
58
8
8
58
8
l
58
L
K6,3.103.10752.10
2.10α75KTpara
TT´
TT´2.10
3.10T2.10
1αTT´2.10ΔV3.10T2.10V
Para T =20 K ; = 6,6.10-4 K-1 ; Para T =293 K , = 5,6.10-4 K-1
El coeficiente del agua a 20 ºC es 2,1.10-4 K-1
.
El término de la ecuación de van der Waals que tiene en cuenta la interacción molecular
es: 2
La/V , término que tiene las dimensiones de una presión .Veamos la variación de ese
término al pasar del líquido a gas
B7. Expresar el calor de vaporización del agua en función de , a , b ,R y calcularlo.
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21
kg
J.1067,0
mol
m4,01.10
mol
kg0,018
mol
mN0,55
L
a
TRb411
2RT
aμ
a
Vμ
aL
V
a
V
a
V
adV
V
aμLE
6
35
2
4
LLLG
2
GV
LV
El calor latente de vaporización del agua que se encuentra en las tablas es 2,26,106 J/kg,
como se observa valor muy discrepante de este cálculo.
Suponemos que las moléculas cuando forman una superficie molecular están en
contacto entre si. Si hay NA moléculas (imagínese que son cubos) ofrecen una superficie
OHA 2lN2 , siendo OH2
l la longitud de la arista y el 2 porque se forman dos superficies
una por arriba y otra por debajo.
La tensión superficial se define como la energía que hay que aportar por unidad de
superficie.
Si las NA moléculas pasan del estado gaseoso a formar la capa monomolecular la
energía el L (expresado en J/mol). Al suponer que las moléculas se tocan la longitud de
la arista coincide con OH2d , obtenido en el apartado A1.
2210123
6
2
OHA m
J0,12
m3.10mol6,02.102
mol
kg0,018
kg
J0,76.10
dN2
Lσ
2
La tensión superficial del agua en contacto con aire y a una temperatura de 20ºC es
0,073 J/m2 .
Nosotros opinamos que no deberían haberse incluido estos apartados en el
problema, dado que los valores obtenidos tan lejos de los reales pueden desorientar al
alumno.
Parte C. Sistema líquido –gas
La regla de Maxwell implica que sean iguales las áreas I y II en la
figura 1 determinadas por la recta AB que corta a la isoterma de van der
Waals junto con las aproximaciones realizadas en la parte B, conducen
B8. Considerar una capa monomolecular de agua, estimar la tensión superficial del agua.
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22
a que la presión de vapor pLG dependa de la temperatura según la
ecuación
T
BApln
LG
en la que A y B son constantes que pueden expresarse en función de a y
b
Rb
aB;1
2b
alnA
Designamos con pV la presión del vapor saturado en la superficie libre del líquido y con ´
Vp , la presión del vapor justamente encima de la superficie del menisco de radio r.
Nos piden la diferencia entre estas presiones, que tiene que ser un valor muy pequeño.
El equilibrio de presiones medidas a la altura del menisco y a la misma altura en el
líquido nos conduce a:
C1. Encontrar el pequeño cambio de presión pT del vapor saturado sobre la superficie curvada del líquido, expresándolo en función de la
densidad del vapor, S, la densidad del líquido, L, la tensión
superficial, y el radio de la superficie ,r.
W.Thomson demostró que la presión
del vapor saturado depende de la
curvatura de la superficie del
líquido. Considérese un líquido que
no moja al capilar (ángulo de
contacto 180º), al sumergir el capilar
en el líquido el nivel disminuye
respecto de la superficie libre del
líquido debido a la tensión
superficial.(ver la figura 3). Fig.3.- Un tubo capilar está
sumergido en un líquido que no moja al material del capilar.
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SL
S
SL
LSL
T
SL
L
SL
LLTV
´
V
SL
SVLV
´
VLV
ρρ
ρ
r
σ2
ρρ
ρρρ
r
σ2Δp
1ρρ
ρ
r
σ2
r
σ2-
ρρgr
σ2gρ
r
σ2-hgρΔppp
ρρgr
σ2h
r
σ2hgρphgρp
r
σ2phgρp
Los estados metaestables considerados en el apartado B3 se utilizan
ampliamente en experimentos reales como la cámara de niebla empleada
en el registro de partículas elementales. También ocurre en fenómenos
naturales, tales como la formación de rocío matinal en donde el vapor
subenfriado se condensa formando gotas. Las gotas muy pequeñas se
evaporan rápidamente pero las que tienen cierto tamaño pueden crecer
aún más. .
Calculamos las presiones del vapor saturado a 20º C y a 15º C.
Pa1,32.10C)p(15º11,79288
213519,2C)p(15ºLn
Pa1,49.10C)p(20º11,9293
213519,2C)p(20ºLn
21358,313,1.10
0,55B;19,21
3,1.10
0,55lnA
5
5
525
Si la presión de la gota es mayor que la exterior tenderá a evaporarse y si es menor
tenderá a crecer, en el límite
5
sL
s5
T 1,49.10ρρ
ρ
r
σ21,32.10C)p(20ºΔpC)p(15º
La densidad del vapor la calculamos suponiendo que el vapor se comporta como un gas
ideal
C2. Suponer que al anochecer y a la temperatura de te=20ºC, el aire se encuentra saturado de vapor de agua, pero al amanecer del día
siguiente la temperatura ha descendido en T=5,0º C. Suponiendo que la presión de vapor no ha cambiado estimar el radio mínimo de las gotas que todavía pueden crecer.
Utilizar la tensión del vapor del agua de las tablas, cuyo valor es = 0,073 N/m
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24
m.105,89990,17.10
0,990,0732r0,17.10
0,991000
0,99
r
0,0732
m
kg0,99
288KKmol
mN8,31
mol
kg0,018
m
N1,32.10
TR
μC)p(15ºρ
9
5
5
3
2
5
S
Los valores de las tablas de la presión de vapor de agua saturado son: a 15ºC , 1,71 kPa
y a 20ºC , 2,34 kPa.
Aplicando estos datos:
m1,9.101000
0,0130,0732r
m
kg0,013
8,31.288
0,0181710ρ;630
ρρ
ρ
r
σ2 6
3S
sL
s
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25
PROBLEMA 3. Un modelo simple de la descarga en un gas
Una corriente eléctrica que circula a través de un gas recibe el nombre de
descarga eléctrica en un gas. Existen diversos tipos de descargas, como
la de las lámparas incandescentes, la descarga en arco en la realización
de soldaduras y la conocida descarga eléctrica entre las nubes y la tierra
en forma de rayo.
Parte A. Descarga en un gas no automantenida
En esta parte del problema se estudia la descarga de un gas no
automantenida. Para mantener la descarga de forma permanente se
necesita que actúe un ionizador externo, Zext ,el cual crea por pares iones
y electrones libres por unidad de volumen y por unidad de tiempo de
forma uniforme en todo el volumen.
Cuando el ionizador externo está en funcionamiento, el número de
electrones e iones en el gas aumenta. El aumento de la densidad de
electrones y de iones en el gas se contrarresta debido a un proceso de
recombinación por el que se unen electrones con iones para formar
átomos neutros. El número de recombinaciones Zrec en el gas por unidad
de volumen y de tiempo esta dado por
inenrrecZ
En la anterior ecuación, r es una constante denominada coeficiente de
recombinación, ne y ni son las densidades de los electrones y los iones
respectivamente.
Suponer que el tiempo t=0, se conecta el ionizador externo y las
densidades de los electrones y de los iones son nulas. La densidad de
electrones ne(t) depende del tiempo según la ecuación:
bttaghαon(t)en
no, a y b son constantes y tagh es la tangente hiperbólica.
Al actuar el ionizador en el seno del gas aparecen iones al mismo tiempo una parte de
ellos desaparece por recombinación En un principio se producen más iones que
desaparecen, pero a medida que su número crece aumenta la recombinación por lo que
tras un tiempo grande, su número permanece constante.
La velocidad de variación de la densidad de los iones (o de los electrones) con respecto
del tiempo vale;
A1. Expresar no , a y b en función de Zext y de r.
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ieextrecext nnrZZZdt
dn
Como se producen los mismos iones que electrones, ne=ni = n(t), al sustituir en la
ecuación anterior
2
oext
2
ext bt)taghar(nZnrZdt
dn
Según el enunciado en el tiempo t=0, no hay ni iones ni electrones, por tanto no =0.
Cuando transcurra un tiempo grande, t , y ya no varíe la densidad de electrones
sino que se mantiene constante 0dt
dn .
r
ZaarZ
0e
0earZ
ee
eearZbttagharZ0
ext2
ext
2
2
ext
2
2
ext
22
ext bt
bt
btbt
btbt
b?
Suponer que existen dos ionizadotes disponibles. Cuando el primero
funciona la densidad de electrones en el gas alcanza un valor de
equilibrio de ne1=12.1010 cm-3. Cuando lo hace el segundo el valor de
equilibrio para la densidad de electrones es ne2=16.1010 cm-3 .
Cuando funciona el primer ionizador y se alcanza el equilibrio.
: r
Zan;
r
Za
1
ext
e1
1
ext
Cuando funciona el segundo ionizador y se alcanza el equilibrio.
: r
Zan;
a
Za
2
ext
e2
2
ext
Cuando funcionan los dos ionizadotes simultáneamente
3112102102
e2
2
e1e
2
e2
2
e1
2
ext
1
ext2
e
2
ext
1
ext
e
2
ext
1
extext
cm2.1016.1012.10nnn
nnr
ZZn
r
ZZan;
r
ZZ
r
Za
A2. Encontrar la densidad de electrones ne en el equilibrio si los dos ionizadores externos funcionan simultáneamente.
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¡Atención! A continuación se supone que el ionizador
externo está funcionando durante un largo periodo de
tiempo de modo que el proceso se encuentra en estado
estacionario , esto es, no depende del tiempo. No se considera
el campo eléctrico de los portadores de carga.
Se supone que el gas llena un cilindro que tiene dos platos conductores
en sus extremos de área S cada uno y separados entre sí una distancia
SL . Por medio de los platos se aplica al cilindro un voltaje U que
crea un campo eléctrico E entre los mencionados platos. Admitir que las
densidades de ambas clases de cargas permanecen prácticamente
constantes a lo largo del cilindro.
Debido al campo eléctrico E, ambos portadores de cargas (electrones, e,
e iones i) tienen la misma velocidad v proporcional al campo v= E,
expresión en la que es una constante llamada movilidad de la carga.
En el estado de equilibrio dentro del cilindro se están produciendo electrones por unidad
de tiempo: Zext LS. En esa unidad de tiempo desaparecen por recombinación Zrec LS, y
además existe una intensidad de corriente Ie. Si n representa los electrones que
desaparecen al llegar al ánodo (electrodo positivo) que forman parte de la intensidad de
la corriente, la carga es ne y por definición de intensidad
e
I
t
n
t
neI e
e
El balance por unidad de tiempo en el estado estacionario es:
e
ISLnnr
e
ISLZSLZ e
ie
e
recext
Como se producen los mismos iones que electrones, el argumento anterior sirve para los
iones
e
ISLnnr
e
ISLZSLZ i
iei
recext
La intensidad de la corriente electrónica es EβSe
InEβSenvSenI e
eeee y la
de la corriente iónicaEβSe
InEβSenvSenI i
iiii
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores y sumándolas
A3. Expresar la corriente eléctrica I en el cilindro en función de U, , L, S , Zext , r y e ( e = carga elemental de electricidad)
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28
2e
II
EβSe
IISLrSLZ
e
II
EβSe
I
EβSe
ISLr2SL2Z ie
2
ie
ext
ieie
ext
Designamos con I a la intensidad total y como la contribución de la corriente electrónica
y la iónica son iguales, resulta que 2
IIIIII ieie . La relación entre el
campo E y el voltaje aplicado es U = E L, sustituyendo en la última ecuación
0SLZIe2
1I
SUβe4
Lr
2e
I
SUβe4
ILr
2e
I
UβeS
4
ILr
SLZ ext
2
222
3
222
23
2
2
ext
L
Resolviendo la ecuación de segundo grado
3
22
ext
4
22
22
3
ext22
3
222
3
ext22
3
222
3
ext222
3
2
Lr
Uβ
ZLr411-SUβe
SUβe
Lr
SLZSUβ
Lr411
I
SUβe2
Lr
SLZSUβ
Lr41
e2
1
e2
1
SUβe2
Lr
SLZSUβe4
Lr4
e4
1
e2
1
I
I tiene que ser positivo por ello se ha elegido el término positivo en la solución.
Si el voltaje aplicado U es suficientemente pequeño 1Uβ
ZLr422
ext
4
, aproximamos el
término de la raíz cuadrada de la ecuación anterior a:
A4. Encontrar la resistividad gas cuando el voltaje aplicado sea
suficientemente pequeño y expresarlo en función de , L , Zext , r y e.
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ULr
ZrS βe2Zr
Uβ
L2
Lr
SUβeI
ZrUβ
L2asaproximamo
Uβ
ZLr41
ext
ext
2
3
22
ext
2
22
ext
4
La última ecuación es la ley de Ohm I=U/R, de donde deducimos R
extext
gas
ext
gasZ
r
βe2
1
rZβe2
rρ
ZrSβe2
Lr
S
Lρ
I
UR
Parte B. Descarga en un gas automantenida
En esta parte del problema se considera cómo la ignición de una
descarga del gas automantenida conduce a que la corriente eléctrica en
el cilindro sea automantenida.
¡Atención! En lo que sigue se supone que el ionizador
continua funcionando con la misma rapidez Zext , se desprecia
el campo eléctrico debido a los portadores de carga por lo
que el campo eléctrico a lo largo del cilindro es uniforme y
la recombinación no se tendrá en cuenta.
En la descarga del gas automantenida existen dos procesos importantes
que anteriormente no se habían considerado. El primero es la emisión
secundaria de electrones y el segundo la formación de una avalancha de
electrones.
La emisión secundaria
ocurre cuando los
iones chocan con el
electrodo negativo,
llamado cátodo, y los
electrones rebotan
hacia el electrodo
positivo, llamado
ánodo. El cociente
entre el número de
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30
electrones que rebotan por unidad de tiempo Ne, y los que chocan contra
el cátodo Ni es el denominado coeficiente de emisión electrónica
secundaria
iN
eNγ .
La formación de la avalancha electrónica se explica a continuación. El
campo eléctrico acelera a los electrones libres, los cuales adquieren la
suficiente energía cinética para que al chocar contra los átomos del gas
los ionicen, y como resultado de este proceso, el número de electrones
que se desplazan hacia el ánodo aumenta considerablemente. Este
proceso se describe mediante el denominado coeficiente de Townsend ,
el cual caracteriza un incremento en el número de electrones dNe ,
debido a los electrones Ne que han atravesado la distancia dl
eNαdl
edN
La corriente total I en una sección normal del cilindro que contiene el
gas es la suma de dos corrientes: una iónica Ie(x) y una electrónica Ie(x).
En el estado estacionario esta última corriente depende de la coordenada
x, véase la figura superior.
La corriente electrónica Ie(x) varía a lo largo del eje X según la ecuación
2
x1
A
1AeC(x)eI
Siendo A1, A2 y C1 constantes.
Designamos con (x)Ie la intensidad eléctrica debida a los electrones a la altura x de la
sección del cilindro y dx)I(x la intensidad a una distancia dx de la anterior.
La intensidad dx)I(x > (x)Ie ya que por una parte se han producido nuevos
electrones debido al ionizador externo (Zext) y por otra a los que aparecen debido al
efecto de avalancha (efecto Townsend)..
Los electrones viajan a una velocidad v y emplean un tiempo dt en recorrer la distancia
dx.. El cociente I/e representa el número de electrones por unidad de tiempo, luego el
número de electrones en el tiempo dt es:
dtdxdx
(x)dI
e
1dt
e
I(x)dx)(xIdN ee
e
(1)
Zext representa el número de electrones (también de iones) que el ionizador externo
produce por unidad de tiempo y de volumen, por tanto, en el tiempo dt y en el volumen
Sdx, se producen :los siguientes electrones: dtSdxZdN ext
ext
e .
B1. Encontrar A1 y A2 y expresarlas en función de Zext , , e, L y S
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31
Debido al efecto de avalancha y de acuerdo con la ecuación el enunciado:
dxNαdN e
α
e
Recordemos que la densidad electrónica es el número de electrones por unidad de
volumen, que dx= v dt y que I = ne e S v
dtdxe
(x)IαvdtdxSnαdN
dxS
Nn e
e
α
e
e
e
Llevando los resultados de los dos efectos a la ecuación (1) resulta:
(2) (x)IαSeZdx
(x)dI
e
(x)IαSZ
dx
(x)dI
e
1eext
ee
ext
e
Según el enunciado del apartado
x
1Ax
1A
eACdx
(x)dIAeC(x)I 11
e21e
Sustituyendo en la ecuación (2)
21ext11 AαeCαSeZeACx
1Ax
1A
Para que la igualdad se cumpla
α
SeZAAαSeZ
AαeC α eAC
ext22ext
1111
x1
Ax1
A
La corriente iónica Ii varía lo largo del eje X según la ecuación
2xB
1CeB(x)I 2
i
Siendo B1, B2 y C2 constantes.
La intensidad de corriente iónica Ii es, en valor absoluto, igual a la intensidad de
corriente electrónica Ie, ya que el ionizador externo produce los mismos electrones que
iones (véase la parte A del problema), la velocidad de los electrones y de los iones se
considera igual (véase el enunciado anterior a la pregunta A3), y en el fenómeno de la
avalancha, cada electrón al chocar con un átomo neutro da lugar a un electrón y a un
ión. La diferencia es que la corriente electrónica se desplaza en el sentido positivo del
eje X, y la iónica en sentido contrario. Este paralelismo nos permite escribir
(x)IαSeZdx
(x)dIeext
i
B2. Encontrar B1 y B2 y expresarlas en función de Zext , , e, L, S y C1
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Hallamos la derivada de Ii(x) respecto de X y sustituimos en la ecuación del enunciado
21ext2121i AαeCαSeZeBBeBBdx
(x)dI x1
Ax2
Bx2
B
En la última ecuación sabemos que 2ext1 AαeSZyAα , luego.
111112
12121121
CBCααByαAB
xAxByCαBBeCαeBBx
1Ax
2B
1
Los iones se mueven hacia el electrodo negativo (cátodo) y son rechazados por el
electrodo positivo (ánodo), en consecuencia no puede haber corriente registrada en este
electrodo:
0(L)I i .
Cuando x=0 nos encontramos en el cátodo donde llegan los iones positivos que al
chocar contra el electrodo dan lugar a electrones que justamente lo abandonan. El
enunciado nos dice la relación γNNN
Nγ ie
i
e , como la intensidad es
proporcional al número de electrones por unidad de tiempo, podemos escribir la
ecuación
(x)Iγ(x)I ie
La intensidad total es la suma de las intensidades iónica y electrónica cuyas ecuaciones
están dadas en el enunciado
2121ei AeC CeB(x)I(x)IIx
1Ax
2B
Hemos visto que: αB,CB,α
SZeAα,A 211
ext
21
α
Sext
ZeC
α
Sext
ZexαeCC
xαeCI
2121
Cuando x =L , Ii(L)=0
B3. Encontrar el valor de Ii(x) cuando x= L
B4. Encontrar la relación de Ii(x) y Ie(x) cuando x= 0
B5. Encontrar la corriente total I y expresarla en función de Zext, , , e, L y S. Se supone que permanece finita.
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(3)e
CCeCe-BCCeB0(L)I
αLαLL
2BL
2B
2111221i
Cuando x=0, (0)Iγ(0)I ie
)4(
γ1α
SeZ
1
CγC
α
SeZCγγ1CCCγACCBγAC
ext21
ext
2121212121
Igualando (3) y (4)
γγ1e
1
α
SZe
eγγ1
e
α
SZeC
eα
SZeeγγ1Ce
γ1α
SZe
γ1
eγ1C
γ1α
SZe
γ1
Cγ
e
C
Lα-Lα
Lα
LαLαLαLα
Lα
extext
2
ext
2
ext
2
ext22
Llevando el valor de C2 a la intensidad total, resulta:
)5(1γγ1
Lα-e
1
α
SextZe
α
SextZe
γγ1Lα-
e
1
α
SextZeI
Sea el coeficiente a de Townsend constante. Si la longitud del cilindro
crece y se alcanza un valor crítico LC>L , entonces el ionizador externo
puede desconectarse y la descarga es automantenida.
De la ecuación (5) se deduce que si la longitud del cilindro aumenta, el denominador de
la fracción que figura dentro del paréntesis cuadrado puede hacerse negativo lo cual
conlleva a valores de I negativos, lo cual carece de sentido para una descarga con el
ionizador externo funcionando.
Townsend propuso que el paso a la descarga automantenida se produce cuando
B6. Encontrar LC y expresar su valor en función de Zext, , , e , L y S
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γ
11ln
α
1L
γ
γ1lnLα
γ
γ1Lαe
γ1
γ
Lαe
1
γ1
γLαe0γγ1
Lαe
CC
C
C
CC