7/17/2019 Problemas de Máximos y Mínimos

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PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1) A un vendedor de cámaras fotográficas le cuesta 1440€ cada modelo de la marca CANIK. Hacomprobado que al precio de 2400€/unidad vende 30 cámaras al mes, y que por cada 20€ de descuento enel precio puede vender 3 unidades más al mes. Halla a qué precio debe venderlos para obtener el máximobeneficio posible. (sol 2020 €/unidad)

2) En un edificio de la costa existen 60 apartamentos para alquilar por semanas durante la temporada deverano. El importe del alquiler por una semana es de 400€, precio para el cual todos los apartamentos sonalquilados. El propietario observa que si se incrementa el alquiler en 50€, dos de los apartamentos quedandesocupados, que si el incremento es de 100€ son cuatro los apartamentos que quedan desocupados, y asísucesivamente. ¿A qué precio debe alquilar los apartamentos para que los ingresos sean máximos?

3) Se quiere vallar un campo rectangular que hay junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta8€/m y la utilizada en los otros 3 lados cuesta 1€/m, halla las dimensiones del campo de mayor superficieque puede ser vallado con 2880€.

4) El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es

21

35 254 x x+ +

  €, y el

precio de venta de una unidad es de 504

 x−   €. Halla el número de unidades que debe venderse

diariamente para que el beneficio sea máximo.

5) Dos balas disparadas por sendos cañones siguen trayectorias definidas por las funciones

( ) ( ) ( )2

1 1 f t a t b t c= − + − +   y ( ) ( ) ( )2

1 1g t c t b t a= − + − + , donde t es el tiempo medido sobre un eje

horizontal, y ( ) f t   y ( )g t   miden la altura sobre dicha horizontal. Se pide:

a) Sabiendo que a c≠ , ¿en qué instante las dos balas alcanzan la misma altura?

b) ¿Qué condición deben cumplir las constantes a, b y c para que la diferencia de las alturas( ) ( ) f t g t −  presente un máximo? ¿Y para que nos presente un mínimo?

6) Un camión ha de recorrer 400 km en una carretera llana a una velocidad constante de x km/h. Las leyesde circulación dicen que los camiones pueden circular a una velocidad entre 60 km/h y 90 km/h. Se

supone que el carburante cuesta 1,20€/l, y que el consumo es de2

10120

 x +

  litros a la hora. Se supone,

además, que el conductor cobra 40€ a la hora y que obedece las leyes de tráfico. Se pide:a) Expresa los costes totales de la operación en función de x.b) Determina el valor de la velocidad que minimiza el coste. ¿Cuál sería el coste a esa velocidad?c) A qué velocidad debe ir para que el coste sea máximo? ¿Cuál sería el coste a esa velocidad?

(sol 72,11 con coste 576,89, y 90 con coste 591,11)

7) Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel seamínimo. (sol 5x10).

8) Halla los puntos de la parábola 25 y x=  cuya distancia al punto P(0,5) sea mínima.

(sol7 2 49 7 2 49

, ,10 10 10 10

−

)

9) ¿Cómo debe torcerse un alambre de longitud a para formar un rectángulo de área máxima?

(sol 4a )

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10) Una piedra preciosa pesa 12 gr. Sabemos que el valor de una piedra preciosa es proporcional alcuadrado de su peso y que su valor es de 1440€. Se divide esta piedra precios en dos trozos. Calcula elpeso y el valor de cada trozo sabiendo que la depreciación es máxima. (sol 6 gr cada trozo)

11) Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentralas dimensiones de la ventana normanda de área máxima si su perímetro es de 10m.

(sol r=1,4 y=1,4)

12) A una placa de vidrio rectangular de dimensiones 15 cm y 10 cm se le ha roto en una esquina unpedazo en forma triangular, de modo que la longitud ha disminuido en 5cm y la anchura en 3 cm. De laparte restante se quiere formar una nueva placa rectangular de bordes paralelos a los anteriores y desuperficie máxima. Halla las dimensiones de la nueva placa.

13) Divide un alambre de 6 m de longitud en dos partes de manera que al formar con ellas un cuadrado ycon la otra un círculo, la suma de sus áreas sea máxima. Ídem para que sea mínima. (sol 0 y 3,36)

14) Una estatua de 2 m de altura está sobre un pedestal de 5m. ¿A qué distancia de la estatua se ha decolocar un hombre de 1,70 m de alto para ver la estatua bajo un ángulo máximo?

15) En las orillas de un río hay dos árboles de 50 m y 20 m de altura. Un pájaro se encuentra en la copadel más alto y quiere ir a la copa del más bajo, pero bebiendo agua del río. Sabiendo que un árbol estáfrente al otro y que la distancia entre sus copas es de 50 m, averigua en qué punto debe beber para querecorra una distancia mínima.

16) Entre todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de radio R, halla el de volumenmáximo.

17) Un haz de rectas pasa por el punto P(2,3). Halla la ecuación de la recta que forma con los ejes untriángulo de área mínima.

18) Una persona, que está a 5 km de la carretera, quiere ir a un pueblo que está a una distancia de 10 kmen línea recta de donde se encuentra. La carretera pasa por el pueblo y se sabe que dicha persona camina a4 km/h fuera de la carretera y a 5 km/h por la carretera. ¿A qué distancia del pueblo debe tomar lacarretera para tardar el menor tiempo posible en ir? (sol 6,48 km)

19) En una esfera de radio 5 se inscribe un cono. ¿Cuáles serán sus dimensiones para que sea el de mayorvolumen?

20) Dadas dos esferas de radios respectivos de 2 y 4 m tales que la distancia entre sus centros es 10cm, sesitúa un punto luminoso en la línea de sus centros. ¿En qué posición habrá que situarlo para que la sumade las superficies iluminadas sea máxima? (El área del casquete esférico es 2Rh, donde R es el radio dela esfera y h es la altura del casquete).

21) La resistencia a la flexión de una viga de madera de sección rectangular de dimensiones  x a×   esproporcional a su longitud al cuadrado 2 x y a su anchura a . Calcula las dimensiones de la sección de laviga más resistente que se puede obtener a partir de un tronco de árbol de 40 cm de diámetro de sección.

22) ¿Desde qué punto de la banda de un campo de fútbol de 67 m de anchura yporterías de 7 m de largas deberías lanzar una falta para tener las mayoresposibilidades de que el tiro vaya a portería? El largo del campo es 100 m.

(sol 33,32 m del fondo)

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23) Un eucalipto de 20 años de edad tiene 10 m de altura y 30 cm de diámetro, y su madera se puedevender a 5 €/m3. A partir de ese año crece a razón de 20 cm de alto por año y 1 cm de ancho por año, sinembargo su madera se deprecia a razón de 0,10 €/m3 por año. ¿A qué edad será más ventajoso talarlos?

(sol 48,64 años)

24) Un ciclista tiene que ir desde el punto Ahasta el punto B pasando por una carretera

C. Su velocidad es de 400 m/min porcarretera y de 200 m/min cuando circulacampo a través. Determina la trayectoria quedebe seguir para que el tiempo invertido enel recorrido sea mínimo, teniendo en cuentalas medidas que aparecen en el dibujoadjunto.

(sol 426,80 m de A)

25) En la elipse2 2

2 21

 x y

a b+ =  se inscribe un rectángulo de lados paralelos a los ejes. Halla sus dimensiones

de modo que éste tenga área máxima. (sol2

a x  = ).

26) La sección transversal de un canal abierto tiene forma de trapecio isósceles. Sabiendo que el área dela sección viva del agua en el canal es de 160 m2  y el nivel del agua es de 8 m, ¿cuál debe ser lainclinación de los costados para que el perímetro mojado de la sección sea mínimo? (sol 60º)