Problemas - julioyarasca.files.wordpress.com fileDetermine el valor de a tales que A y B no admitan...

Problemas

Julio Yarasca

CEPRE-UNI

December 16, 2015

Julio Yarasca (CEPRE-UNI) Problemas December 16, 2015 1 / 24

Ejemplo

Calcule el determinante:

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

∣∣∣∣∣∣∣∣


Tenemos

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

∣∣∣∣∣∣∣∣f2 − f1f3 − f1f4 − f1

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 10 1 2 30 2 5 90 3 9 19

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣1 2 32 5 93 9 19

∣∣∣∣∣∣c3 − (c1 + c2)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 02 5 23 9 7

∣∣∣∣∣∣c2 − (2c1)

=

∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 23 3 7

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1 23 7

∣∣∣∣ = 1


Ejemplo

Calcule el siguiente determinante

|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣2016 2015 2015 20152015 2016 2015 20152015 2015 2016 20152015 2015 2015 2016

∣∣∣∣∣∣∣∣


Sea λ = 2015, tenemos

|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣λ+ 1 λ λ λλ λ+ 1 λ λλ λ λ+ 1 λλ λ λ λ + 1

∣∣∣∣∣∣∣∣f1 − f4f2 − f4f3 − f4

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −10 1 0 −10 0 1 −1λ λ λ λ+ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣c4 + c1 + c2 + c3

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 00 1 0 00 0 1 0λ λ λ 4λ+ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 0λ λ 4λ+ 1

∣∣∣∣∣∣= (4λ+ 1) = 8061


Ejemplo

Determine el valor de la traza de la inversa de la matriz

A =

1 2 31 1 20 1 2


Tenemos 1 2 3 1 0 01 1 2 0 1 00 1 2 0 0 1

f2 − f3←→

1 2 3 1 0 01 0 0 0 1 −10 1 2 0 0 1

f1 − 2f3←→

0 0 −1 1 −1 11 0 0 0 1 −10 1 2 0 0 1

f3 + 2f1←→

0 0 −1 1 −1 −11 0 0 0 1 −10 1 0 2 −2 −1

f1 × f2f3 × f2←→

1 0 0 0 1 −10 1 0 2 −2 −10 0 1 −1 1 1

Por lo tanto A−1 =

0 1 −12 −2 −1−1 1 1

, por lo tanto la traza es -1.


Ejemplo

Resuelva el sistemax − 2y + 3z = 22x − 3y + z = 13x − y + 2z = 9


Tenemos A =

1 −2 32 −3 13 −1 2

y b =

219

, entones |A| = 18 , aplicando la

regla de Cramer tenemos

x =

∣∣∣∣∣∣2 −2 31 −3 19 −1 2

∣∣∣∣∣∣|A|

=54

18= 3

y =

∣∣∣∣∣∣1 2 32 1 13 9 2

∣∣∣∣∣∣|A|

=36

18= 2

z =

∣∣∣∣∣∣1 −2 22 −3 13 −1 9

∣∣∣∣∣∣|A|

=18

18= 1


Ejemplo

Determine el valor de a tales que A y B no admitan inversa:

A =

1 3 −12 a 01 −2 1

B =

1 1 1a 1 0−1 3 a− 1

Solución:

1 Calculemos el determinante de A,

|A| = 1 ·∣∣∣∣ a 0−2 1

∣∣∣∣− 2 ·∣∣∣∣ 3 −1−2 1

∣∣∣∣+ 1 ·∣∣∣∣ 3 −1a 0

∣∣∣∣ = 2a− 2

Entonces para que no exista inversa tenemos |A| = 0 entonces para a = 1tenemos que no existe inversa.

2 Calculemos el determinante de B,

|B| = 1 ·∣∣∣∣ 1 03 a− 1

∣∣∣∣− a ·∣∣∣∣ 1 13 a− 1

∣∣∣∣+ (−1) ·∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 5a− a2

Entonces para que no exista inversa tenemos |B| = 5a− a2 entonces paraa = 5 o a = 0 tenemos que no existe inversa.


Ejemplo

Determine el valor de n para que el sistema sea consistente.

x + y − z = 1y + (n + 2)z = 1

(n + 1)y + 4z = 1


Solución:La matriz aumentada es 1 1 −1 1

0 1 n + 2 1

0 n + 1 4 1

f3 − (n + 1)f2←→

1 1 −1 1

0 1 n + 2 1

0 0 4− (n + 2)(n + 1) 1− (n + 1)

←→

1 1 −1 1

0 1 n + 2 1

0 0 −(n − 2)(n + 1) 2− n

1 Si n = 2 el sistema es consistente.

2 Si n = −1 es sistema es inconsistente.

3 Si n 6= 2 y n 6= −1 tenemos que el sistema es consistente.

Por lo tanto para n 6= −1 el sistema es consistente.


Ejemplo

Determine los valores de m para que el sistema

(2m − 1)x −my + (m + 1)z = m − 1(m − 2)x + (m − 1)y + (m − 2)z = m

(2m − 1)x + (m − 1)y + (2m − 1)z = m

1 Tenga solución única.

2 Sea consistente.

3 Sea inconsistente.


|A| =

∣∣∣∣∣∣2m + 1 −m m + 1

m − 2 m − 1 m − 2

2m − 1 m − 1 2m − 1

∣∣∣∣∣∣ c1 − c3=

∣∣∣∣∣∣m −m m + 1

0 m − 1 m − 2

0 m − 1 2m − 1

∣∣∣∣∣∣= m

∣∣∣∣ m − 1 m − 2

m − 1 2m − 1

∣∣∣∣ = m(m + 1)(m − 1)

Tenemos que existe solución única si m 6= 0, m 6= 1, m 6= −1, analicemos estos casos.

1 Si m = 0, la matriz aumentada es

1 0 1 −1−2 −1 −2 0

−1 −1 −1 0

aplicando operaciones �las nos

queda

1 0 1 −10 −1 0 −20 0 0 1

por lo tanto el sistema es inconsistente.


3 −1 2 0

−1 0 −1 1

1 0 1 1

aplicando operaciones �las nos queda 1 0 1 1

0 −1 −1 3

0 0 0 2

por lo tanto el sistema es inconsistente.


−1 1 0 −2−3 −2 −3 −1−3 −2 −3 −1

aplicando operaciones �las nos

queda

−1 1 0 −20 −5 −3 5

0 0 0 0

por lo tanto el sistema es consistente.


Ejercicio 1

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Sea A ∈ Rn×n tal que AtA = 0 entonces A = 0.

II. Sea A ∈ Rn×n tal que tr(AtA) = 0 entonces A = 0.

III. Sea A ∈ Rn×n tal que AB = BA para todo B ∈ Rn×n entonces A = λIn paraalgún λ ∈ R.

a) VFV b) VFF c) VVV d) FVV e) FVF


Ejercicio 2

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de sudiagonal son distintos de cero.

II. Sea A ∈ Rn×n tal que Ap+1 = 0, donde p ≥ 1 entonces I + Ar y I − Ar soninvertibles para r ∈ {1, 2, 3 · · · , p}.

III. Existen dos matrices A,B ∈ Rn×n tal que AB = 2In + AB.

a) VFV b) VFF c) VVF d) FVV e) FVF


Ejercicio 3

Sea A ∈ R2×2, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. det(A + I ) = det(A) + tr(A) + 1

II. det(A + λI ) = det(A) + λtr(A) + λ2

III. det(A2 − I ) = (det(A) + 1)2 − (tr(A))2

a) VFV b) VFF c) VVF d) FVV e) VVV


Ejercicio 4

Sea A,B ∈ Rn×n invertible, indique el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

I. adj(A−1) = [adj(A)]−1

II. adj(AB) = adj(B)adj(A)

III. adj(At) = [adj(A)]t

a) VFV b) VFF c) VVF d) FVV e) VVV


Ejercicio 5

Cálcule el determinante de la matrizx a b c dx x a b cx x x a bx x x x ax x x x x

a) x(x − 4)4 b) x(x − 2)4 c) x4(x − 2) d) x(x − 1)4 e) x2(x − 4)3


Ejercicio 6

Sean A;B y C matrices de orden cinco. Indique el valor de verdad de lassiguientes a�rmaciones:

I. Si AC = B ∧ det(B) 6= 0, entonces C = A−1B.

II. ∀λ ∈ R\{0} : det(λ(A− At)) = 0 :.

III. Si B es invertible ∧ C = B−1AB, entonces |I − C |+ |A− I | = 0.

a) FFF b) VFV c) FVV d) VFF e) VVV


Ejercicio 7

Si a ∈ R−, determine el máximo valor de la traza de la inversa de la matriz 1 −a 00 a 1a −a2 1

a) 0 b) −1 c) −2 d) 2, 5 e) 1, 5


Ejercicio 8

Calcule el valor de∣∣∣∣∣∣∣∣2a −a 1 0

a + b − 2 1 −b −aa− 5 2 1 −a1− b b −1 −b

∣∣∣∣∣∣∣∣÷∣∣∣∣∣∣a −b 1a 1 2b −1 b

∣∣∣∣∣∣a) −a b) b c) a d) −1 e) 1


UNI-2012-I

Si ∣∣∣∣∣∣c 2c c5b a 3b

b + 5c b + d b + 3c

∣∣∣∣∣∣ = −4

Halle ∣∣∣∣∣∣c 0 ca b 0d c b

∣∣∣∣∣∣donde a, b, c , d ∈ R+ y b ∈ R−

a) -4 b) -2 c) 2 d) 4 e) 6


UNI-2013-I

Sea A una matriz cuadrada de orden 2× 2, si se sabe que su determinante es ∆ yla traza de la matriz A2 es T . Determine el valor traza(A)2

a) T + ∆ b) T 2 + ∆ c) 2∆ + T d) ∆ + 2T e) ∆2 + 2T


Problemas - julioyarasca.files.wordpress.com fileDetermine el valor de a tales que A y B no admitan...

Documents

Transcript of Problemas - julioyarasca.files.wordpress.com fileDetermine el valor de a tales que A y B no admitan...