Problemas Fun Lim Cont 1 V
description
Transcript of Problemas Fun Lim Cont 1 V
![Page 1: Problemas Fun Lim Cont 1 V](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081809/55cf8ee2550346703b96a6eb/html5/thumbnails/1.jpg)
Graduado en Ingenierıa ....Curso academico 201n–201(n+ 1)
1er semestreProblemas de funciones lımites y continuidad en una variable
1) Estudiar el mayor dominio posible y la imagen de las siguientes funciones:
a)√x ; b)
√4− x2 ; c) 3
x2; d) ln(1− x) ; e) ln
(√1+x2
1−x2
)2) Determinar la paridad de las siguientes funciones:
a) 3x2 + 5x4 ; b) |x| ; c) |x+ 1| ; d) x2
1+x
3) Suponiendo que 0 esta en el dominio de la funcion impar f , calcular f(0).
4) Sea f(x) = 1 + 2x. ¿Para que valores de las constantes a y b conmuta la funciong(x) = ax+ b con f?. Es decir ¿cuando (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x)?
5) Si f(x) = 11−x , determinar el dominio de f ◦ f ◦ f .
6) Hallar el periodo de las siguientes funciones:
a) cosx ; b) tan x ; c) senx2
7) Indicar, razonadamente, si son o no entornos del punto√
2 los siguientes conjuntos:
a) (−1, 3); b) (√
2, 3); c)[−√
2,√
2]; d) (1, 2) ∪ {n, n ∈ N}; e) [−2, 2] ∩Q
8) Demostrar que si V1 y V2 son entornos de x0 ∈ R tambien lo es V1 ∩ V2.
9) Sea
f (x) =
{1 si x es entero,
0 si x no es entero.
1. Dibujar f(x)
2. ¿Para que valores existe lımite de la funcion?
10) Calcular los siguientes lımites:
a) lımx→∞
x2 + 2
3x3 + 2x+ 1b) lım
x→∞
2√x− 1−
√x+ 1
c) lımx→∞
(x2 + 1
x2 − 1
)2x+3
d) lımx→2
x2 − 5x+ 6
x3 − 2x2 − x+ 2e) lım
x→∞
√x+ 3−
√x+ 1√
x+ 2−√x+ 4
f) lımx→∞
(lnx)1x
11) Determinar a para que el lımite lımx→∞
(√x2 + 2x
x2 − 2
)ax
valga e.
1
![Page 2: Problemas Fun Lim Cont 1 V](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081809/55cf8ee2550346703b96a6eb/html5/thumbnails/2.jpg)
12) Determinar
a) lımx→0
√1 + sen x−
√1− senx
xb) lım
x→∞
(cos
√2π
x
)x
c) lımx→0
cosx−√
cos 2x
sin2 xd) lım
x→0
cosx−√
cos 2x
sin3 x
e) lımx→0
ln(cosx)4√
1 + x2 − 1f) lım
x→0
(cosx
)cot2 x13) Calcular los siguientes lımites:
a) lımx→0
(x2 − 1) exp1
xb) lım
x→1
|x− 1|x− 1
c) lımx→0
x sen1
x
14) Calcular los siguientes lımites:
a) lımx→0
sen 3x sen 5x
(x− x3)2b) lım
x→0
4√x4 + 2x5
ln(1 + 6x)c) lım
x→0
ln(1 + x)
e2x − 1
d) lımx→0
ax − 1
bx − 1; b 6= 1 e) lım
x→0
(x+ e2x
) 1x f) lım
x→0
(arcsenx
x
) 1x2
15) Calcular
a) lımx→∞
2x+1
ln( x2
x2−1). b) lım
x→0
senx3
ln(1 + x+ x2). c) lım
x→0
e2x2 − 1
1− cos(2x).
d) lımx→0
tannx− n tanx
n sinx− sinnx. e) lım
x→0
(sin(x)
2x
) 1x2
.
16) Demostrar que cuando x→ 0, son equivalentes x2
y√
1 + x−1. Utilizar este resultadopara calcular
√0,98 de forma aproximada.
17) Razonar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) lımx→∞
x · sen
(1− 1
x2
)x3= 1. b) lım
x→0
e2x2 − 1
1− cos(2x)= 1.
18) Demostrar que la funcion f (x) = x−1x+2
es continua en el punto x = 1.
19) Estudiar la continuidad de
f (x) =
{x−1|x|−1 si x 6= 1,
0 si x = 1.
2
![Page 3: Problemas Fun Lim Cont 1 V](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081809/55cf8ee2550346703b96a6eb/html5/thumbnails/3.jpg)
20) Analizar la continuidad de la funcion
f(x) =
{− senx
xsi x 6= 0,
2 si x=0
en el punto x = 0.
21) Calcular el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas:
a) f(x) =
sin(ax) si x > 0,
0 si x = 0,
x2 + a si x < 0.
b) f(x) =
{e
−1x−1 si x < 1,
x+ a si x ≥ 1.
22) Estudiar las discontinuidades de las siguientes funciones:
a) exp( 1x)senπ
xb) arctan
(1
x−2
)c) sen
(x+2x−5
)d) xe
1x
23) Demostrar que la ecuacion x6+3x2−x = 2 tiene al menos una raız real en el intervalo(0, 1).
24) Razonar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La funcion f(x) =
{x sin( 1
x) si x 6= 0,
0 si x = 0presenta una discontinuidad evitable
en x = 0.
2. La funcion f(x) =
{ex
xsi x 6= 0
0 si x = 0posee una discontinuidad evitable en x = 0.
25) Dibujar la grafica de una funcion f que satisfaga las siguientes condiciones:
1. Domf = [−3, 3].
2. f(−3) = f(−1) = 1; f(2) = f(3) = 2.
3. f tiene una discontinuidad infinita en −1 y una discontinuidad finita en 2.
4. f es continua por la derecha en −1 y continua por la izquierda en 2.
26) Sea la ecuacion x3 + 2x+ 1 = 0, determinar el numero de soluciones reales que poseedicha ecuacion y calcularlas con un error menor de 10−1.
27) Sabiendo que la funcion f(x) = x3 + 3x− 1 no posee maximos ni mınimos relativos,calcular las soluciones de la ecuacion x3 + 3x− 1 = 0 con un error menor de 10−1.
28) Probar que el polinomio p(x) = x3 + x2 + 2x − 1 tiene una y solo una raiz real.Calcularla con un error menor de 10−1.
3
![Page 4: Problemas Fun Lim Cont 1 V](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081809/55cf8ee2550346703b96a6eb/html5/thumbnails/4.jpg)
29) Calcular con un error menor de 0,2 las soluciones de la ecuacion x3 +6x2 +9x+1 = 0que pertenecen al intervalo (−3,−1), sabiendo que la funcion f(x) = x3+6x2+9x+1posee un maximo relativo en x = −3 y un mınimo en x = −1.
30) Calcular las soluciones de la ecuacion 2x3 + x2 − x + 1 = 0 con un error menor de0,1, sabiendo que la funcion f(x) = 2x3 + x2 − x + 1 posee un maximo relativo en
x = −√7−16∼= −0,607 y un mınimo relativo en x =
√7−16∼= 0,274.
31) Sabiendo que la funcion f(x) = x3 − 3x + 1 posee un maximo relativo en x = −1 yun mınimo relativo en x = +1, analizar el numero de soluciones reales que posee laecuacion x3 − 3x + 1 = 0 mediante el teorema de Bolzano. Si existe alguna menorque cero, determinarla con un error menor de 0.1.
32) Sabiendo que la funcion f(x) = x4 + 3x3 + 2 solo posee un extremo relativo, unmınimo en x = −9
4, analizar el numero de soluciones reales que posee la ecuacion
x4 + 3x3 + 2 = 0 mediante el teorema de Bolzano.
4