Problemas Maq Hidraulicas

MECANICA DE FLUIDOS II- MEC 2249 1/11

Docente: Emilio Rivera Chvez

Maquinaria hidrulica - Resolucin de Problemas

PROBLEMA 1. El modelo de la rueda de una turbina tiene un dimetro de 30 cm y desarrolla una potencia de 35 kW bajo un salto neto de 7,5 m a 1200 rpm. El prototipo ha de proporcionar 10.000 kW en un salto neto de 6 metros y un rendimiento del 90%. Determinar el dimetro y la velocidad de rotacin del prototipo: Resumen de datos:

Modelo: Prototipo

Dm

= 0.3 m Dp = ?

Pm = 35 kW Pp = 10000 kW

Hn = 7.5 m Hn = 6 m

nm = 1200 np = ?

Velocidad de rotacin del prototipo

En el punto de funcionamiento con rendimiento mximo, la velocidad especfica del

modelo y el prototipo son iguales:

.mod. SprotSS nnn

Es decir:

4545 //p

pp

m

mm

H

Pn

H

Pn

De donde la velocidad de rotacin del prototipo esta dada por:

p

m

m

p

mpP

P

H

Hnn

45/

Dimetro del rodete del prototipo: Debido a la semejanza geomtrica y cinemtica, los tringulos de velocidades son tambin

semejantes, esto implica que los coeficientes de tobera ptimos tambin lo son:

Cm=Cp:

Y como las velocidades del modelo y el prototipo estn dadas por

pnpprot

HgCU 2

mnm

HgCU 2mod

Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones, se tiene:

mnm

pnpprot

HgC

HgC

U

U

2

2

mod

Adems como sabemos U=D/2, entonces:

mn

pn

mm

pp

H

H

Dn

Dn

60

60

/

/

De donde, el dimetro del prototipo estar dado por:

mn

pn

p

mmp

H

H

n

nDD




1650

V0 u

Vr2

PROBLEMA 2.- Una turbina Pelton trabaja bajo una altura neta de 240 m. Sus caractersticas son:

Coeficiente de tobera = 0,98 ; 1 = 0 2 = 165 ; Vr2 = 0,70 Vr1 ; u = 0,45Vo; dimetro del chorro: d0 = 150 mm; dimetro medio de la rueda, D = 1800 mm. Determinar: a) La fuerza tangencial ejercida por el chorro sobre las cucharas b) La potencia desarrollada por la turbina c) El rendimiento hidrulico

d) El rendimiento global, siendo:mec = 0,97; vol = 1

POLIGONO DE VELOCIDADES

a) La fuerza tangencial sobre las cucharas se puede calcular dividiendo el Par

Torsor entre el radio medio de la rueda (distancia del eje de rotacin al

punto medio de las cucharas):

Fu=T/r (1) Por lo que primero debemos calcular el par torsor, a partir de la ecuacin de

Euler:

Del polgono de velocidades se tiene:

V0

Vr1 u

u165

0

1650

Vr2 V2

1650

Entrada

Salida

)()( 22211 VrVrQT

)(3101 uVVV r

)(cos 4222 rVuV

))(.)(())(.(

).()(

uVuVQruuVVQrT

uVVQruVVQrT rr

0000

1020

7070

70

).'(.)(. 000 4503030 VVQruVQrT

055030 VQrT ..




Finalmente

La velocidad a la salida de la tobera, V

0

se puede calcular a partir de la altura

de carga neta H=240m y del coeficiente de tobera =0.98;

)(620 ngHV

Y reemplazando estos datos en la ecuacin 5, obtenemos el Par.

b) La potencia desarrollada por la turbina (potencia en el eje) se puede

calcular a partir del par torsor.

TP

r

uVrdP 20

2

0 16504

.

r

VVrdP 020

2

0

4501650

4

..

)(.

. 7450

16504

3

0

2

0

rVrdPm

c) El rendimiento hidrulico se puede calcular a partir de la relacin:

n

m

h

mt

QgH

P

P

P

d) el rendimiento global se calcula a partir de los rendimientos: hidrulico, volumtrico y mecnico,

=volmect ** Se deja para el estudiante, realizar los clculos numricos.

0

2

00 550304

VrdVT ..)(

)(.)( 516504

2

0

2

0 VrdT




PROBLEMA 3: Una turbina Francis est conectada en acoplamiento directo a un alternador de 11

pares de polos. En su punto de operacin se tiene: Hn= 45 m; N = 3660 kW; = 89%; mec= 98,4% ;

vol = 1. Si se considera que el plano de comparacin coincide con el nivel inferior del agua, aguas abajo, la entrada en el rodete se encuentra a 2,1 m y la salida del mismo a 1,8 m. El rodete tiene un dimetro D1 = 1,55 m. Las presiones a la entrada y salida del rodete son: 23,5 m.c.a. y (-2,5) m.c.a.

respectivamente. El agua sale del rodete con 2 = 90, siendo constante la velocidad del flujo en todo el rodete, Vn1 = Vn2 . Las velocidades a la entrada y salida del tubo de aspiracin son: 6 m/s y 1 m/s, respectivamente. Prdidas en la tubera, despreciables. Calcular:

a) Angulo 1 de los labes del rodete a la entrada b) Caudal y dimetro de salida del tubo de aspiracin c) N especfico de revoluciones d) Prdidas en el distribuidor y en el rodete e) Prdidas en el tubo de aspiracin Polgono de velocidades:

De la ecuacin 1(a)

De la ecuacin 2, se tiene que:

Combinado 3 con 4, resulta:

1

r1

r2

1

1

u1=r1

vr1 V1

)(coscos aVuVV rt 1111111

)( asenVsenVV rn 211111

)(cos

cos 31

111

1

11

1

rr

t

V

uV

V

uV

)(411

1

1

1

1

sen

senV

sen

VV nr

)(cos

cos 5

1

1

111

1

1

11

1

sen

senV

uV

sen

V

uV

n

t

2=90 2

)(coscos bVuVV rt 10222222

u2=r2

vr2

V2

)( bVsenVsenVV rn 2222222




Esta ltima ecuacin nos permite escribir las siguientes relaciones para

calcular el ngulo 1

(6)

La potencia mecnica se calcula a partir de la ecuacin de Euler , la cul se

puede escribir de la siguiente manera:

La potencia hidrulica, que se obtiene a partir de la primera ley de la

termodinmica, esta dada por:

QHgph

Donde

Hn=H - ht

Y como las prdidas de carga en la tubera de presin son despreciables, se tiene

que:

H=Hn=45 m c.a.

Ahora recordando que el rendimiento hidrulico de la turbina estar dado

por:

Hg

VrVr

QHg

VrVrQh

)coscos()coscos( 222111222111

(7)

Y para condiciones de mximo rendimiento el ngulo 2

=90, setiene:

Hg

Vr

Hg

Vr th

11111

)cos(

(8)

Esta ltima ecuacin utilizaremos en nuestro caso para calcular la velocidad

Vt1 (componente tangencial de la velocidad absoluta del agua).

1

1r

HgV ht

El el rendimiento hidrulico se puede calcular a partir del rendimiento total

que esta dado por: =hvolmec; entonces:

mecvol

h

Por otra parte la componente normal de la velocidad del fluido a la salida de rodete es igual en modulo a la velocidad de entrada del fluido al difusor

(tubo de aspiracin), debido que no tiene componente tangencial (2=90).

2

2

2

2

22 ntn VVVV ; Adems como se sabe smVV /632

senV

uV

V

uVctg

n

t

1

111

1

11

1

cos

)cos( 111222 VrVrQPm

(9)




Entonces el ngulo 1, se calcula con la ecuacin 6, sustituyendo los valores

correspondientes:

b) Para calcular el caudal y el dimetro del difusor, procedemos del siguiente

modo:

gH

PQgQHP

El dimetro de salida del difusor:

3

2

3

4

4 V

QDDVVAQ SS

c) La velocidad especifica se calcula a partir de la ecuacin:

45/H

Pnns

Para calcular las perdidas consideramos el siguiente esquema y planteamos

sucesivamente la ecuacin de energa. (Bernoulli).

d) Las perdidas en el distribuidor se calcula planteando la ecuacin de energa

entre el punto 0 (entrada al distribuidor) y 1 (entrada al rodete).

1

11

1

n

t

V

uVctg

V2

V3

333 zpV ,,

Z2=1.8 m

Rodete




dhzg

p

g

Vz

g

p

g

V 1

1

2

10

0

2

0

22

1

1

2

1

2z

g

p

g

VHh nd

Para las prdidas en el rodete, planteamos la ecuacin de energa entre los

puntos 1 y 2:

rhzg

p

g

Vz

g

p

g

V 2

2

2

21

1

2

1

22

2

2

2

21

1

2

1

22z

g

p

g

Vz

g

p

g

Vhr

e) Las prdidas en el tubo de aspiracin se puede calcular planteando la

ecuacin de energa entre los puntos 2 y A.

21

2

22

2

2

22SSA

AA hhzg

p

g

Vz

g

p

g

V

Donde:

hS2, es la prdida de carga en el tubo de aspiracin.

g

VhS

2

2

3

2 es la perdida debido a la salida del difusor, por ensanchamiento

brusco de la vena lquida.

Adems ZA=0; VA=0 y pA=0

Entonces: 222

2

21

2Ss hz

g

p

g

Vh

---------------- La velocidad angular N de una turbina, cuando va acoplada a un generador, se relaciona con el nmero de pares de polos, p, y la frecuencia f, mediante la siguiente relacin:

p

fN

60

---------------- ** Se deja para el estudiante realizar las sustituciones de los valores numricos y realizar los clculos correspondientes.

2n




Ejemplo 1.- Una bomba centrfuga tiene un punto de funcionamiento, en condiciones de rendimiento mximo, dado por un caudal de 2400 litros/minuto y Hm= 60 m; las prdidas internas de la bomba

equivalen a 5 veces la energa cintica relativa, a la salida del agua de la bomba, y las prdidas en la tubera equivalen a 15 q2. El dimetro a la salida de la bomba es D2 = 0,2m, y la seccin til de salida

del rodete es 0,2D22. El rendimiento hidrulico es 0,75.

Determinar: a) El valor de las prdidas internas de la bomba.

b) El valor del ngulo 2 a la salida.

c) La velocidad tangencial a la salida y el nmero de rpm de la bomba. d) La potencia til y el par motor

e) El nmero especfico de revoluciones.

RESOLUCION (a) Las prdidas de carga en el interior de la bomba (rodete-voluta), en mca, se pueden calcular a partir de la carga hidrulica (manomtrica) y del rendimiento hidrulico, as:

mcaHHHHHHadems

mcaH

HH

H

mTiimT

h

m

T

T

m

h

20

80

;

b) El ngulo 2, se puede calcular con las ecuaciones provenientes del polgono de velocidades a la salida del rodete:

De la ecuacin (2a), se tiene:

2

2

2

r

n

V

Vsen

La velocidad Vn2, se puede calcular a partir del caudal,

2

22

220 D

Q

A

QV

n

n.

= 5 m/s

Por otra parte sabemos, por el enunciado del problema, que la prdida de carga interna es:

Relacin de la que se puede calcular la velocidad relativa del fluido al salir del rodete,

m/s.Hg

V ir 85985

22

Finalmente, el ngulo 2, ser:

2

21

2

r

n

V

Vsen = 34.36O

g

VH ri

25

2

2

)(coscos aVuVV rt 20222222

)( bsenVsenVV rn 222222

1

r1

r2

2

1 2

u2

vr2

V2

vr1 V1

u1




(c) La velocidad tangencial y por tanto la velocidad angular se pueden calcular a partir de la ecuacin de Euler. A partir del tringulo de velocidades (ecuacin 2a), se obtiene:

Para condiciones de mximo rendimiento, 1=0, entonces: Resolviendo esta ecuacin (de segundo grado), para u2, se obtiene el valor de la velocidad perifrica a la salida del rodete, puesto que todos los dems parmetros de esta ecuacin son conocidos.

La velocidad angular en rpm, se calcula a partir de la relacin: 2

60

2

2

2D

un

(d) La potencia til se calcula a partir de la altura manomtrica de la bomba: Entonces la potencia de entrada en el eje de la bomba, esta dado por: Como, en este caso, los rendimientos: volumtrico y mecnico son igual a la unidad, finalmente se tiene, para este problema, En consecuencia el par aplicado ser igual a: (e) La velocidad especifica, se calcula a partir de la ecuacin:

* Se deja para el estudiante, los clculos aritmticos, los que debern ser realizados usando el sistema internacional de unidades.

)( 1122 tt VrVrQT

)(cos)cos(

31112222

g

VrVur

Qg

TH rT

)cos)cos(( 1112222 VrVurQT r

)()cos(

42222

g

VuuH rT

QgHTPu m

mecmanv

m

mecmanv

QHgPuPuTP

man

mQHgP

PT

mH

Pnn




Ejemplo 2.- Utilizando la grfica de comportamiento de la Bufalo Forge Co. Qu bomba centrifuga debera escogerse para mover 100 galones/minuto de agua desde un tanque hasta un tanque B? Los tubos de entrada y salida son de acero. No tenga en cuenta la prdida de altura en el tubo de entrada. El agua est a 60

oF.

RESOLUCION:

Antes de entrar a la grafica

es conveniente, realizar un

balance energtico del

sistema de bombeo, usando para ello la ecuacin de energa (primera ley de la

termodinmica), esto nos permitir establecer la relacin de la cabeza en

funcin de las diferentes prdidas de carga del sistema.

pgHZZg

VVppQ

t

W

t

Q)( 12

2

1

2

212

2

pTp HZQg

t

W

HgHZZgQt

W

)( 12 pT HH 409

Las perdidas de carga en el sistema, en este caso, estan dadas por la friccin en

el tubo de impulsin, (despreciamos las prdidas en accesorios y en el tubo de

succin, en una situacin real es conveniente tomar en cuenta estas perdidas)

las mismas que se calculan a partir de la ecuacin de Darcy. El coeficiente de

friccin f se puede obtener del diagrama de Moody en base al numero de

Reynolds y la rugosidad relativa (tal como el estudiante aprendio en la parte

I de esta materia).

g

V

D

LfH p

2

2

2

2

22DVRe 2D

e

Con la carga total Ht, el caudal Q y la relacin 2x3 (dimetro de salida y de

entrada), se entra a la grafica del fabricante (Bufalo & Co) y se obtiene la

potencia mecnica de la bomba. Es decir se selecciona la bomba segn

catalogo. (se deja para el estudiante completar el problema, siguiendo el

procedimiento sealado y la explicacin complementaria dada por el docente

en el aula).

10 pies

400 pies

D=3

D=2

A

B

1 pie 1

2

n




Anexo: Problemas de examen

Importante: En los problemas 1,2 y 3 dibuje esquemas del rotor-alabes y los polgonos de velocidad respectivos. Problema 1. Una turbina Pelton de 1 inyector se alimenta de un embalse cuyo nivel de agua se encuentra 300 m por encima del eje del chorro, mediante una tubera de 6 Km de longitud y 680 mm de dimetro interior y un coeficiente de rozamiento de 0,032. La velocidad perifrica de los labes es 0,47 VO El coeficiente de reduccin de velocidad de entrada del agua en el rodete (coeficiente de tobera) vale 0,97 Las cucharas desvan el chorro 175, y la velocidad del agua (velocidad relativa) se reduce en ellas en un 15%. El chorro tiene un dimetro de 90 mm El rendimiento mecnico es 0,8 y el rendimiento volumtrico 1. Determinar: a) La altura neta de la turbina y la altura de Euler b) Los tringulos de velocidades y el rendimiento hidrulico c) La potencia til en el eje de la mquina Problema 2. La primera etapa de una turbina a gas de flujo axial tiene una relacin de dimetro base a punta de 0.85 y el dimetro de punta es 4 pies. Por la mquina fluyen 50 lbm/s de productos de combustin. En

la primera etapa, la presin es 5 atm y la temperatura 1800 oR. Si 1=38

o y 2=55

o y debe desarrollar

25 caballos de fuerza. Cul debera ser la velocidad del rotor?. Suponga que las propiedades de gas corresponden a las del aire para el fluido de trabajo. Problema 3. Una turbina de agua de reaccin de flujo radial, rota con una velocidad de 100 rpm y un caudal de 0.290 m

3/s. Los radios son r1=0.5 m y r2 = 0.25 m. El ngulo del labe estacionario final es

1=21o. (a) Cul debera ser la velocidad V1 para operacin optima? Suponga que 1=60

o. No utilice

formulas, sino los principios bsicos. (b) Determine el par y la potencia desarrollados suponiendo un

ngulo 2=1. Al igual que en el inciso (a) trabaje a partir de los principios bsicos. No utilice formulas. Problema 4. Una turbina Francis de caractersticas: Q = 3 m

3/s, Hn = 200 m y velocidad especfica ns < 115, est

conectada directamente a un alternador de 50 ciclos/s; = 0,85 a) Calcular la potencia b) Elegir la velocidad de rotacin en rpm, tomando en cuenta que ns< 115

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