1. Una maquina presenta una probabilidad fe fabricar una pieza defectuosa de 0.0001. si en un año fabrica 20 000 piezas ¿Cuál es la probabilidad de que el número de piezas defectuosas producidas en un año sea mayor que las 2?

Si X es la variable número de piezas defectuosas de entre 20 000 fabricadas en un año, se ajustará a un modelo binomial con n = 20 000 y p = 0.0001. Al ser n muy grande y p muy pequeño con np < 5, podemos aproximar la variable X por una Poisson de parámetro λ=np=2. La probabilidad pedida será:

P (X>2 )=1−P ( x=0 )−P (X=2 )=1−e−2 20

0 !−e−2 2

1

1 !−e−2 2

2

2!=0.3233

2. El número de accidentes por semana en una fábrica sigue una ley de Poisson de parámetro λ=2. Calcular:a. Probabilidad de que en una semana haya algún accidente.b. Probabilidad de que haya 4 accidentes en dos semanas.c. Probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana y otros

dos en la semana siguiente.d. Si sabemos que ha habido algún accidente hallar la

probabilidad de que en esa semana no haya más de tres accidentes.

a. Si X es la variable número de accidentes por semana, sabemos que se ajusta a un modelo de Poisson de parámetro λ=2. Tenemos lo siguiente:

P (X>0 )=1−P (X=0 )=1−e−2 20

0 !=0.8646

b.

Si X es el número de accidentes en la primera semana e Y es el número de accidentes en la segunda semana, estamos ante dos variables independientes de Poisson de parámetro λ=2. Se pide P(X+Y=4), pero la variable X + Y es una variable de Poisson de parámetro λ=2+2=4. Tenemos:

P (X+Y=4 )=e−4 44

4 !=0.1954

c.

Consideremos la intersección de dos sucesos independientes y hagamos lo siguiente:

P [ (X=2 )∩ (Y=2 ) ]=P (X=2 )×P (Y=2 )=e−2 22

2 !×e−2

22

2 !=0.0733

d. Se pide la siguiente probabilidad condicionada.

P (X ≤3|X>1 )=P(1≤ X ≤3)P(X≥1)

=e−221

1!+e−2 2

2

2 !+e−2 2

3

3 !

1−e−2 20

0 !

=0.8348

3. Los buses llegan a cierta terminal de transporte, y se sabe que siguen un proceso de Poisson, con tasa de 8 buses por hora, de modo que el número de llegadas por un período de horas es una variable de Poisson con parámetro λ=8 t.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 buses lleguen durante un periodo de una hora?

b) ¿Cuantos buses se pueden esperar a que lleguen durante 90 minutos?

La llegada de los buses a la terminal de transporte se distribuyen según Poisson. Sea X una variable que representa el número de buses que llegan a la terminal de transporte durante un periodo de tiempo.

λ=(8buses ) ( tiempo )=8 (1 )=8

a) Se pide calcular la probabilidad de que lleguen exactamente 5 buses durante una hora.

P (X=5 )= e−λ λk

k !=e−8

(8¿¿5)5 !

=0.091¿

Por tanto, existe una probabilidad del 9.1% de que lleguen exactamente 5 buses a la terminal durante una hora.

b) Se pide calcular la cantidad de buses que podrían llegar en un tiempo de hora y media.

E (X )=λ=8 (1.5 )=12buses

Ahora bien, por propiedad de la distribución de Poisson, Var (X )=12 . Con lo cual tendríamos que la desviación estándar, D.E. , para este caso es

D .E≔√12≈3.46.

Se espera entonces, que en una hora y media lleguen, en promedio, 12 buses a la terminal de transporte, con una desviación estándar de 3 buses. Esto quiere decir que, en realidad, se espera que lleguen entre 9 y 15 buses.