Problemas Resueltos sobre Límites Trigonométricos

Límites trigonométricos. Problemas resueltos.

Límites trigonométricos. Problemas resueltos.

Problemas

11 22

33 44

55

66

0

lims nx

e x

lims nx a

e x

20

s n cos 1limx

e x

x

20

cos 1limx

x

x

2

0

s nlim

s nx

e x

x e x

2 20

2s nlim

2s n 1 s n 1x

x e x

x e x e x x

Límites trigonométricos. Problemas resueltos.

Límite de la Función Seno

11 0

lims nx

e x

SoluciónSolución Por la definición de la función Seno, sabemos que 0 < sen(x) < x para x > 0.

Aplicando la Regla del Sandwich obtenemos:

0

lim s n 0.x

e x

Como sen(–x) = –sen(x), también

0

lim s n 0.x

e x

Por tanto se tiene:

Respuesta

0

lims n 0.x

e x

Límites trigonométricos. Problemas resueltos.

Límite de la Función Seno

22

lims nx a

e x

SoluciónSolución Por las fórmulas trigonométricas,

sen(x) = sen(x – a + a) = sen(x – a)cos(a) + cos(x – a)sen(a).

Por Problema 1,

lims n 0.x a

e x a

Por Ejercicio 1, limcos 1.x a

x a

Utilizando lo anterior y las propiedades de los límites se obtiene

Respuesta

lims n s n .x a

e x e a

Límites trigonométricos. Problemas resueltos.

Usando el Límite sen(x)/x

33

20

cos 1limx

x

x

Por las fórmulas trigonométricas,

Por tanto,

2

2 2

cos 1 2s n 2.

x e x

x x

Reescribimos:

2

2

cos 1 s n 212 2

x e x

xx

Y se obtiene:

Respuesta

20

cos 1 1lim .

2x

x

x

2cos 1 2s n .2x

x e

Aquí usamos el hecho de que:

0

s n 2lim 1.

2x

e x

x

SoluciónSolución

Límites trigonométricos. Problemas resueltos.

Usando el Límite sen(x)/x

44

20

s n cos 1limx

e x

x

Usando el resultado del Problema 3 y reescribiendo

Concluimos:

Respuesta Respuesta

2 2

s n cos 1 s n cos 1cos 1

cos 1

e x e xx

xx x

Aquí usamos el hecho de que:

0

s n cos 1lim 1.

cos 1x

e x

x

20

s n cos 1 1lim .

2x

e x

x

SoluciónSolución

Límites trigonométricos. Problemas resueltos.

Usando el Límite sen(x)/x5

Solución Reescribimos:

2

0

s nlim

s nx

e x

x e x

2 2

02

s n s n1

s n s n x

e x e x xx e x e xx

Respuesta

2

0

s nlim 1

s nx

e x

x e x

Límites trigonométricos. Problemas resueltos.

Límites Reescribiendo

2 20

2s nlim

2s n 1 s n 1x

x e x

x e x e x x

SoluciónSolución

2 2

2 2

2 2 2 2

2s n

2s n 1 s n 1

2s n 2s n 1 s n 1

2s n 1 s n 1 2s n 1 s n 1

x e x

x e x e x x

x e x x e x e x x

x e x e x x x e x e x x

Reescribimos

2 2

2 2

2 2

2 2

2s n 2s n 1 s n 1

2s n 1 s n 1

2s n 2s n 1 s n 1

s n 2s n

x e x x e x e x x

x e x e x x

x e x x e x e x x

x e x e x x

66

Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador para librarnos de las raíces cuadradas del denominador.

Límites trigonométricos. Problemas resueltos.

Límites Reescribiendo

2 20

2s nlim

2s n 1 s n 1x

x e x

x e x e x x

Solución(cont.)Solución(cont.)

2 2

2 2

2 2

2s n

2s n 1 s n 1

2s n 2s n 1 s n 1

s n 2s n

x e x

x e x e x x

x e x x e x e x x

x e x e x x

Reescribimos

2 2s n1 2 2s n 1 s n 1

s n s ns n 2 1

e xx e x e x x

x

e x e xx e x

x x

0

3 22.

2 1x

Usamos que sen(x)/x tiende a 1 cuando x 0.

Se divide por x.

66

Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa