Problemas Resueltos de Fundamentos Matemáticos-2016

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

CURSO : TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

PROFESOR : Mg. Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Problema Nº 1

Encuentre la intensidad de campo eléctrico E

debido a los siguientes potenciales eléctricos:

a) -2x 3e

b) 3θr 3

c) 1/ 21

z

Resolución

Cuando el potencial eléctrico es conocido, la intensidad de campo eléctrico E

se halla aplicando

gradiente de potencial, es decir:

Caso (a): -2x 3e ( está en coordenadas rectangulares)

Se sabe que en coordenadas rectangulares, el gradiente de la función escalar viene dado por:

x y z a a a x y z

En este caso la función potencial eléctrico sólo depende de la variable x (-2x 3e ), por lo tanto

para hallar el gradiente de es suficiente derivar parcialmente respecto a la variable x. En

consecuencia la ecuación anterior queda

xa

x

x

x aex

)3( 2

Luego, la intensidad de campo eléctrico E

viene dado por:

2x 2xx x

VE 6 a 6 a ( )

me e

* Del resultado hallado se concluye que el campo vectorial E

(intensidad de campo eléctrico) está en la

dirección + x, cuya magnitud es variable dependiendo de la posición x. Para representar

gráficamente este campo vectorial se puede utilizar MATLAB u otro software similar; también se

pueden dar diferentes valores para x (0, 1, 2, -1, -2, etc), luego hallar los valores respectivos de E

y

finalmente graficarlos.

Caso (b): 33 r ( está en coordenadas esféricas)

Se sabe que en coordenadas esféricas, el gradiente de la función escalar viene dado por:

E

r θ

1 1 a a a

r r θ r Senθ

Cuando la función potencial eléctrico depende de las tres variable ( yr, ), para hallar el

gradiente de se debe derivar parcialmente respecto a cada una de las tres variables. Haciendo esto

y sabiendo que la intensidad de campo eléctrico E

es igual a menos el gradiente del potencial

eléctrico, tenemos que:


(intensidad de campo eléctrico) tiene las

tres componentes del sistema esférico (una en la dirección radial, otra en la dirección y la tercera

componente en la dirección ). Además, su magnitud varía dependiendo de los valores que

adopten las variables yr, . Para representar gráficamente este campo vectorial se puede

utilizar MATLAB u otro software similar; también se pueden dar diferentes valores para las variables

yr, , luego hallar los valores respectivos de E

y finalmente graficarlos.

Caso (c): 1/2z

1

( está en coordenadas cilíndricas)

Se sabe que en coordenadas cilíndricas el gradiente de la función escalar “” viene dado por:

z

1 a a a

ρ ρ z

Cuando la función potencial eléctrico está en coordenadas cilíndricas y depende de las tres

variables ( zy, ), para hallar el gradiente de se debe derivar parcialmente respecto a cada

una de las tres variables.

Luego, la intensidad de campo eléctrico E

viene dado por

1/ 2 1/ 2

z2 1/2

z 1 z 1E a a a

2 z

1/ 2 1/ 2

z2 2 1/2

z z 1 VE a a a

2 m z


(intensidad de campo eléctrico) tiene las

tres componentes del sistema cilíndrico (una en la dirección radial, otra en la dirección y la tercera

componente en la dirección z ). Además, su magnitud varía dependiendo de los valores que adopten

las variables zy, . Para representar gráficamente este campo vectorial se puede utilizar

MATLAB u otro software similar; también se pueden dar diferentes valores para las variables

zy, , luego hallar los valores respectivo de E

y finalmente graficarlos.

2 3 2 2r θ r θ

1 1 3 VE 3 r θ a r a ( 3) a 3 r θ a r a a

r r senθ r senθ m

Problema Nº 2

De los siguientes campos vectoriales, ¿cuál o cuáles representan campos electrostáticos en el vacío?

a) y

x yA (cosx a senxa )e

b) 2

zB 5 ( a + a )ze

c) r θ

1C ( 2cosθ a + senθ a )

r

Resolución

Se sabe que un campo vectorial representa a un CAMPO ELECTROSTÁTICO EN EL VACÍO, cuando su ROTACIONAL es igual a CERO.

Es decir: A 0 A es un campo electrostático

en el vacío.

Caso a): y y y

x y x yA (cosx a senx a ) cosx a senx ae e e

En este caso la función vectorial

A está dada en coordenadas rectangulares, por lo tanto su rotacional viene dado por:

y yz x z xx y z

A AA A A AA a a a

y z z x x y

Luego:

y y y y

x y z

0 0

(0) ( senx) ( cosx) (0) ( senx) ( cosx)A a a a

y z z x x y

e e e e

y yzA cosx + cosx a 0e e

A

SI es un campo electrostático en el vacío.

Caso b): 2

zB 5 ( a + a )ze


A está dada en coordenadas cilíndricas, por lo tanto su rotacional viene dado por:

z zz

B B ( B ) BB B1 1B a a a

z z

ρ ρρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

Luego:

2 2 2 2

z

0 0

1 (5 ) (0) (5 ) (5 ) 1 ( (0)) (5 )B a a a

z z

z z z z

ρ

e e e ρ e

ρ ρ ρ ρ

2 B 10 a 0 ze

B

NO es un campo electrostático en el vacío.

Caso c): r θ r θ

1 2 1C ( 2cosθ a + senθ a ) cosθ a + senθ a

r r r


A está dada en coordenadas esféricas, por lo tanto su rotacional es igual a:

2

2C senθ a 0

r

C

NO es un campo electrostático en el vacío.

Problema Nº 3

Si el campo vectorial

r viene dado por: x y zr x a y a z a

Además se sabe que: r = r

y “n” es un número entero, demuestre que:

a) n n 2 r n r r

b) 2 n n 2(r ) n(n + 1) r

c) n n(r r ) (n + 3) r

Resolución

Según el enunciado el campo vectorial

r está dado en coordenadas rectangulares, por lo tanto su magnitud o módulo viene dado por:

2 2 2x y zr x a y a z a r = x + y + z

Además, para demostrar que las tres igualdades son correctas, en el caso a) hallo el gradiente, en el caso b) hallo el laplaciano y en el caso c) hallo la divergencia de lo que nos solicitan y verifico si es igual a lo que nos dan.

Caso a)

n

n 2 2 2 n 2 2 2 2 r ( x + y + z ) (x + y + z )

En coordenadas rectangulares: x y za a a x y z

. . . (I)

Derivando “ ” con respecto a “x” tenemos:

n n n 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 n 22 2n

(x + y + z ) (x + y + z ) (2 ) nx x + y + z nx r x x 2

x

θ θr rr θ

(senθ C ) (rC )C (rC )C C1 1 1 1C a a a

r senθ θ r senθ r r r θ

r θ

0 0

1 2 1 2( senθ) ( cosθ) (r( senθ)) ( cosθ)

1 (senθ (0)) 1 1 (r(0)) 1r r r rC a a ar senθ θ r senθ r r r θ

Análogamente derivamos “ ” con respecto a “y” y con respecto a “z”, obteniendo:

n 2ny r y

;

n 2nz r z

Reemplazando en la ecuación (I) tenemos:

n r n 2 n 2

x y zn r x a y a z a n r r

Lo que se quería demostrar

Caso b): n

2 n 2 2 2 2 2(r ) ( x + y + z )

En coordenadas rectangulares, el Laplaciano de “ ” es: 2 2 2

2

2 2 2 x y z

. . . (II)

Derivamos dos veces “ ” con respecto a “x”:

2

2 x x x

; Donde: x

=

n 1

2 2 2 2nx x + y + z

n n n2

1 1 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

2

nnx x + y + z n(1) x + y + z nx( 1) x + y + z (2x)

x 2 x

2n 2 2 n 4

2n r nx (n 2) r

x

Análogamente, las segundas derivadas de “ ” con respecto a “y” y con respecto a “z”, son:

2

2 y

=

n 2 2 n 4n r ny (n 2) r ;

2

2 z

=

n 2 2 n 4n r nz (n 2) r

Reemplazando en la ecuación (II) tenemos:

2 n n 2 2 n 4 n 2 2 n 4 n 2 2 n 4(r ) n r nx (n 2) r + n r ny (n 2) r + n r nz (n 2) r

2

2 n n 2 n 4 2 2 2 n 2

r

(r ) 3n r n(n 2) r (x + y + z ) = n (n + 1) r


Caso c):

nn 2 2 2 2

x y z(r r ) ( x + y + z (x a y a z a ))

n n nn 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

x y z

F

(r r ) (x x + y + z a y x + y + z a z x + y + z a )

Sabemos: yx z

FF FF

x y z

. . . (III)

Derivamos “ xF ” con respecto a “x”:

xF

x

=

n n2 2 2 2 2 2 n 2 n 2 n 22 2x x + y + z (1) x + y + z x(nx r ) = r + n x r

x

Análogamente, la derivada de “yF ” con respecto a “y” y la derivada de “ zF ” con respecto a “z”, son:

yF

y

=

n 2 n 2r + n y r ; zF

z

=

n 2 n 2r + n z r

Reemplazando en la ecuación (III) tenemos:

n n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2(r r ) r + n x r r + n y r r + n z r

n n n 2 2 2 2 n n 2 2 n(r r ) 3r + n r (x + y + z ) = 3r + n r r (n + 3) r


Problema Nº 4

Compruebe el teorema de la divergencia para la función vectorial 2 cosrA r a r sen a

.

Se sabe que S es la superficie de una porción de esfera definida por

0 3 , 0 / 2 , 0 / 2r m .

Resolución

Para comprobar que se cumple el teorema de la divergencia, calculo por separado cada uno de los lados de la igualdad y verifico si son iguales.

Cálculo de

SdAS

(Flujo de la función vectorial

A a través de la superficie cerrada “S”)

La gráfica de la porción de esfera, descrita en el enunciado, es la siguiente:

De la figura:

raddsenrSd 2

1 ; mr 3

adrdsenrSd 2 ; 2/

adrdrSd 3 ; 00

)(4

adrdrSd ; 2/

3Sd

4Sd

1Sd

x

z

y

2Sd

La integral cerrada, a través de la superficie S, la descomponemos en cuatro integrales abiertas. Es decir:

43214321

SdASdASdASdASdASSSSS

. . . (I)

Donde:

2

81)( 2

2/

0

2/

0

2

11

ddsenrrSdAS

; 9)(cos

3

0

2/

0

22

drdsenrsenrSdAr

S

033

SdAS

(

A no tiene componente

a ) ; 044

SdAS

(

A no tiene componente

a )

Reemplazo en la ecuación (I): 0092

81

SdAS

= 2345,136

Cálculo de dVAV

Se sabe: 2 cosrA r a r sen a

. La divergencia de

A , en coordenadas esféricas, es:

01

cos11 22

2

rsenrsensen

senrrr

rrA coscos24

rA

Luego: dVAV

= drddsenrrr

3

0

2/

0

2/

0

2)coscos24(

dVAV

= 92

81

= 2345,136 se demuestra el teorema de la divergencia

Problema Nº 5

Comprobar el teorema de Stokes para la función vectorial

F , dada por

2 2 2( ) ( ) ( 3 )x y zF x y a x y a xz a

A través de la trayectoria cerrada L mostrada en la figura.

.

1

3

2

z

y (m)

x (m)

(m)

L

0

Resolución

Para comprobar que se cumple el teorema de Stokes, calculo por separado cada uno de los lados de la igualdad siguiente y verifico si son iguales.

SdFdF

SL

Cálculo de

dFL

(Circulación del campo vectorial a través de la curva cerrada “L”)

Esta integral cerrada la descomponemos en cuatro integrales abiertas, porque la curva cerrada “L” la podemos descomponer en cuatro segmentos, como se muestra en la figura siguiente. Luego, se cumple que:

43214321

dFdFdFdFdFLLLLL

. . . (1)

De la figura, tenemos que:

mzyxadzd z 20;0;0;1

02;30;0;2

zmmyxadzadyd zy

03;10;0;3

ymmxzadyadxd yx

01;0;0;4

xmzyadxd x

Reemplazando

1d ,

2d ,

3d y

4d en la ecuación (1), realizando el producto escalar en cada una

de las integrales abiertas y colocando los límites de dichas integrales, tenemos que:

0

1

1

0

0

3

22

3

0

0

2

222

2

0

2 )()()()3()()3( dxyxdyyxdxyxdzxzdyyxdzxzdFL

Evaluando las integrales abiertas, obtenemos:

2

5)

2

1(7)9(0

dFL

1

3

2

z

y (m)

x (m)

(m)

L

0

2d

3d

1d

4d

xy 33

S1

S2

Cálculo de

SdFS

)(

Primero hallo el rotacional, en coordenadas cartesianas, de la función vectorial

F . Para ello aplico la fórmula correspondiente y obtengo:

zyx axazaF )12()30()00( 2

zy axazF )12(3 2 Además, la integral abierta sobre la superficie “S” la podemos descomponer en dos integrales abiertas,

una aplicada a la superficie “S1” y otra aplicada a la superficie “S2”. Por lo tanto, se cumple que:

2121

)()()( SdFSdFSdFSSS

. . . (2)

Se cumple que:

)()(;)()( 21

zx adydxSdadzdySd

Reemplazando el rotacional de

F y los diferenciales de superficie

21 SdySd en la ecuación (2), y

evaluando las integrales abiertas sobre las superficies S1 y S2 obtenemos que:

2

5)(

SdFS

Se cumple el teorema de Stokes

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