Problemas variados de trigonometría

1) En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) de lados , y respectivamente se cumple que: y Siendo p el semiperímetro del triángulo, calcular el valor de la Solución: De acuerdo al enunciado, efectuamos la siguiente gráfica

Si p es el semiperímetro entonces: .....(1)

Reemplazando (1) en entonces luego :

.....(2) Análogamente reemplazando (1) en entonces: luego:

.....(3)

reemplazando (2) en (3) : por tanto

de la figura : entonces :

2) De la siguiente figura siendo ABCD un cuadrado. se pide calcular

Solución: Efectuemos los trazos que indica la figura adjunta , que esta de acuerdo a la solución siguiente:

Consideremos que la longitud de cada lado del cuadrado sea : “a” Unamos B y Q entonces: . Unamos Q y D entonces : QD = a. Luego el Δ AQD es isósceles. Por D trazamos una perpendicular a AQ en N entonces : AN = NQ. Como AD AB y ND AQ entonces Δ rectángulo BQA : AQ = .....(1) Δ rectángulo QND : NQ = entonces : AQ = ....(2) Igualando (1) y (2) se obtiene:

Por tanto:

3) Si AD = 4 AC y “O” : centro de la circunferencia . Calcular: cos .

Solución:

Veamos la siguiente figura :

Si AC = a entonces AD = 4a , luego: CD = 3a.

Hagamos: DB = b.

Por propiedad de relaciones métricas en una circunferencia: Luego: ....(1) En el triángulo rectángulo ABD : ....(2)

Reemplazando (1) en (2) ; de donde

Triángulo rectángulo OBD : ....(3)

Luego (1) en (3):

De la figura: finalmente :

4) En un sector circular cuyo ángulo central es “” está inscrito un lado del cuadrado de lado “L”. El radio de la circunferencia correspondiente es: Solución: Grafiquemos la figura siguiente de acuerdo al enunciado del problema y efectuemos Los trazos correspondientes :

Trazemos OT perpendicular a NP entonces: OH también será perpendicular a MQ Luego OT actúa como bisectriz del ángulo central dividiendo a “ “ en partes iguales y también actúa como mediana de MQ y NP. Triángulo rectángulo OMH : Unamos O y N ,siendo : OA = OB = R entonces : ON = R Triángulo rectángulo OTN (sombreado de amarillo) por Pitágoras: Reduciendo:

5) Del gráfico adjunto , calcular: ....(☺)

Solución:

Hagamos AD = DB = a . Unamos el punto B con C entonces en la semicircunferencia . Por D levantemos la perpendicular DN ( N en AC). rectángulo AND : rectángulo DBC :

rectángulo DNC : entonces: ....(1)

Por razones trigonométricas de ángulos compuestos en el primer miembro de (1):

Luego: ....(2) Sustituyendo (1) y (2) en (☺):

Por Tanto:

6) Si AB = BC y AM = 2, MN = 3 ,NC = 4, calcular el valor de sen

Solución:

Observando la figura : al ser el triángulo ABC isósceles (AB = BC) entonces

Por M trazemos una paralela a AC que corte a BC en P Por tanto PC = 2 entonces NP = 2 y

Por Pitágoras en el triángulo rectángulo MNP : MP = y además que:

por consiguiente:

cos = Por propiedad de coseno del ángulo mitad:

despejando cos : por tanto :

7) Sabiendo que : Arcsen a + Arcsen b + Arcsen c = ....(☺) Reducir : E = Solución: De (☺) hagamos: Arcsen a = entonces sen = a ....(1) Arcsen b = entonces sen = b ....(2) Arcsen c = entonces sen = c ....(3)

Además que: + + = ....(4)

Sustituyendo (1), (2) , (3) y (4) en E :

Por identidades trigonométricas:

Multiplicando la expresión anterior por “2”:

Por propiedad del ángulo doble:

Transformando “suma a producto” la expresión encerrada entre paréntesis y efectuando seno del ángulo doble al término :

.....(5)

De otro lado de (4):

Entonces: ....(6) ....(7)

Sustituyendo (6) y (7) en(5):

Reduciendo:

Transformando “diferencia a producto” : ....(8)

Reemplazando (1) , (2) y (3) en (8):

8) En la figura mostrada ¿A qué distancia se encuentra el globo respecto al lago?

Donde H es la altura que se encuentra la vista del niño respecto al suelo y el ángulo “” el ángulo de elevación.Se sobreentiende que la respuesta debe estar en función de “H” y “”.

Solución:Consideremos al globo G y la imagen I como objetos puntuales y “a” la distancia que se encuentra el globo de la superficie del lago.

Por la ley de reflexión de la luz (óptica geométrica): GL = LI = a

De la figura adjunta: ML = H y como GI MÑ y GÑ IÑ entonces

Además que: GM = a – H y MI = a + H.

Triángulo rectángulo GMÑ : ÑM = (a – H) Ctg ....(1)

Triángulo rectángulo ÑMI : ÑM = (a + H) Tg .....(2)

Igualando (1) y (2): a Ctg H Ctg = a Tg + H Tg

a( Ctg Tg ) = H( Tg + Ctg )

Despejando “ a “ y aplicando identidades trigonométricas de cociente , pitagóricas y propiedad del ángulo doble se deduce finalmente que:

(Este problema fue tomado en el examen de admisión a la Universidad de Ingeniería de Lima-Perú en el año 1997)

9) Si: ....(1)

Calcular: en función de y

Solución:

De (1):

Entonces: ...(2)

sabemos que: ....(3)

Remplazando (3) en (2) :

Desarrollando y ordenando:

Simplificando :

Luego:

De donde: ....(4) esto implica que: ....(5)

reemplazando (4) y (5) en “N”:

Operando y simplificando:

10) Siendo: ...(1) ...(2) Hallar una relación entre “a” y “b” que sea independiente de “x”.

Solución:

Por propiedad del seno del ángulo triple en (1):

Entonces reduciendo: luego: ....(3)

De otro lado de (2) por propiedad del ángulo triple:

Reduciendo:

luego: ....(4)

Dividiendo (4) entre (3) obtenemos: ...(5) Del resultado obtenido en (5) dibujemos el triángulo rectángulo siguiente :

Por Pitágoras: ...(6) De otro lado multipliquemos (3) y (4) y simplificando: ....(7)

Ahora bien del triángulo rectángulo : y

Sustituyendo estas expresiones en (7) y efectuando operaciones tendremos que: 11) Determinar el valor de “K” para que “R” sea independiente de “ ”. Siendo

Solución:

Sabemos que :

Entonces: ...(1)

Análogamente: ...(2)

Sustituyendo (1) y (2) en R y simplificando:

Operando:

Reduciendo: Para que R sea independiente de entonces el término se debe cancelar, esto

se logra igualando a cero el factor . Por tanto: entonces:

12) Si en cuadrilátero inscriptible ABCD se cumple: Calcular (en función de “a”, “b” , “c” y “d”.

Solución: Como ABCD es un cuadrilátero inscriptible entonces

Por la ley de cosenos en el triángulo BAD:

....(1)

Por la ley de cosenos en el triángulo BCD:

Luego de la expresión anterior: ...(2)

Igualando (1) y (2) y despejando :

....(3)

Del dato: entonces : por tanto:

Ordenando y operando:

....(4)

Remplazando (4) en (3): ....(5)

De otro lado recordemos que ...(6) Sustituyendo (5) en (6):

Entonces: Por consiguiente:

13) Si A , B y C son los ángulos interiores de un triángulo cualquiera. Hallar el mínimo valor de : .

Solución:

Si A, B y C son los ángulos interiores de un triángulo entonces:

entonces: ....(1)

Si se cumple (1) entonces se establece que:

....(2) (*) -Ver nota al final del ejercicio- Multiplicando a F por 2 y restando al resultado 2 unidades miembro a miembro :

...(3)

Usando (2) la expresión (3) puede escribirse así:

Ordenando convenientemente y reduciendo:

El segundo miembro es positivo o igual a cero entonces:

por tanto : Luego el mínimo valor de : (*) Justifiquemos que

Ponemos

donde

c.q.d.

14) En la siguiente figura; hallar (x + y), si y

Solución:

De la figura:

En el rectángulo ABC :

En el rectángulo ACD :

En el rectángulo EDA :

En el rectángulo AEF :

Por dato: AF = 3 entonces : entonces : ...(1)

En el rectángulo GFA : ....(2) Igualando (1) y (2):

Por el teorema de Pitágoras en el mismo triángulo :

Por tanto: 15) De la figura:

Hallar:

Solución: Considerando la figura siguiente, por D y B trazamos perpendiculares a la prolongación De AC en M y N respectivamente.

rectángulo DMC : DMC y BCN : por semejanza

Luego : ....(1)

rectángulo AMD : ....(2)

rectángulo ANB : ....(3)

De la figura : ....(4)

Por tanto : sustituyendo (1), (2) y (3) en (4):

Luego:

Entonces:

Por consiguiente:

....(5)

De otro lado de M se desprende que:

...(6)

Reemplazando (5) en (6):

Huaral (Perú) , 10 de marzo de 2002 Julio A. Miranda Ubaldo Profesor de matemáticas Email: jmiub@yahoo.com