Problemas+Examenes+Hasta+2012

Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales y de Telecomunicacin

Ingeniaritza eta Telekomunikazio Goi Eskola Teknikoa

TRANSMISIN DE CALOR

Ejercicios Resueltos

3 Ingeniera Industrial

Transmisin de Calor Ejercicios resueltos

Universidad Pblica de Navarra - 2 -

NDICE TEMAS 1,2 y 3. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIN ..................... 3

PROBLEMAS DE CAUCHY ........................................................................................ 27

TEMA 4. CONDICIN DE CALOR EN RGIMEN TRANSITORIO ....................... 35

TEMA 5: MTODOS NUMRICOS EN LA CONDUCCIN DE CALOR ............... 59

TEMA 6: FUNDAMENTOS DE LA CONVECCIN .................................................. 61

TEMA 7,8 y 9: CONVECCIN EXTERNA-INTERNA FORZADA, CONVECCIN NATURAL ..................................................................................................................... 64

TEMA 11 y 12: TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIN ...................... 103

Transmisin de Calor

Universidad Pblica de Navarra

TEMAS 1,2 y 3. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIN 1.- JUNIO 2000

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Una pared plana (material A) a una temperatura de 1727 ambiente exterior (a 27lminas muy delgadas (material B) entre las cuales existe una lmina (material C) de espesor 15 mm. La distancia entre la pared y el aislante es de 50 mm. La

conveccin entre el aislante y el entorno se supone constante y de valor 12

Las propiedades del material A son las siguientes:

Las del material B son:

Las del material C son:

Se pide plantear el sistema de ecuaciones que resuelto da el valor de las temperaturas en las dos lminas del material B. SOLUCIN DEL PROBLEMA

El circuito de analoga elctrica es el siguiente RADIACINCONVECCIN


TEMAS 1,2 y 3. TRANSFERENCIA DE CALOR POR


Una pared plana (material A) a una temperatura de 1727 ) mediante una pared tipo sandwich formado por dos

lminas muy delgadas (material B) entre las cuales existe una lmina (material C) de espesor 15 mm. La distancia entre la pared y el aislante es de 50 mm. La

in entre el aislante y el entorno se supone constante y de valor 12

Las propiedades del material A son las siguientes:

Las del material B son:

Las del material C son:

Se pide plantear el sistema de ecuaciones que resuelto da el valor de las os lminas del material B.

SOLUCIN DEL PROBLEMA

El circuito de analoga elctrica es el siguiente

RADIACIN CONDUCCIN

Ejercicios resueltos

- 3 -

TEMAS 1,2 y 3. TRANSFERENCIA DE CALOR POR

Una pared plana (material A) a una temperatura de 1727 se aisla del ) mediante una pared tipo sandwich formado por dos

lminas muy delgadas (material B) entre las cuales existe una lmina (material C) de espesor 15 mm. La distancia entre la pared y el aislante es de 50 mm. La

in entre el aislante y el entorno se supone constante y de valor 12

Se pide plantear el sistema de ecuaciones que resuelto da el valor de las

CONDUCCIN



Teniendo en cuenta que tomamos 1 de superficie como referencia, el balance de calor quedara de la siguiente manera: Calor radiante 1 2 = Calor conductivo 2 3= Calor radiante + convectivo 3 4 Calor radiante 1 2: 1 1 1

1 1 1 10,8 10,1 1 5,67 1010,25 2000

Calor conductivo 2 3: "#$#

0,0150,3 20 Calor radiante + convectivo 3 4 1 1

1% % 5,67 10 0,1 300 12 300 Igualando las 3 expresiones nos queda un sistema no lineal con dos incgnitas & 5,67 1010,25 2000 20 5,67 10 0,1 300 12 300 Resolviendo el sistema se llega a la siguiente solucin: '( )*(+, , - ),.,, , / '0 1.*, ( - )2*., ( /

Calor que fluye al ambiente: alrededor de 16,6 3456



2.- JUNIO 2000. CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Obtngase una expresin para la distribucin de temperatura en un cilindro hueco con fuentes de calor que varan de acuerdo con una relacin lineal:

brag +=&

Las temperaturas interna y externa son iT en ir y eT en er respectivamente. El campo de temperaturas puede considerarse funcin exclusiva del radio:

01

2

2

=++k

g

dr

dT

rdr

Td &

SOLUCIN DEL PROBLEMA La expresin en derivadas totales que se nos facilita, ha sido simplificada debido a que: nos dicen que el campo de temperaturas se puede considerar funcin exclusiva del radio

(as nos evitamos las derivadas parciales respecto de la coordenada z y del ngulo ); se supone rgimen permanente (no vara la temperatura con el tiempo, la temperatura depende solo del radio r ); y se supone que la conductividad del material es constante

(por eso se puede sacar la k del parntesis). Con todo esto tenemos que la expresin que nos dan se puede escribir de las siguientes formas equivalentes:

01

2

2

=++k

g

dr

dT

rdr

Td &

y 0

1=+

g

dr

dTkr

dr

d

r&

Vamos a trabajar con la segunda forma ya que es ms fcil de operar:

k

g

dr

dTr

dr

d

r

&=

1

A la hora de empezar a integrar, tendremos en cuenta que las fuentes de generacin de

calor son funcin del radio ( brag +=& ): ( )

k

brar

dr

dTr

dr

d

k

bra

dr

dTr

dr

d

r

21 +=

+=

Lo siguiente va a ser realizar la primera integracin de esta forma:

r

Cr

br

a

kdr

dTCr

br

a

kdr

dTr 121

32

32

1

32

1+

+=+

+=

Y de la misma manera se realiza la segunda integracin con la que se obtiene la expresin de la distribucin de la temperatura (o campo de temperaturas) para un

cilindro hueco, con ctek = y brarfg +== )(& vlida para: ei rrr :



2132 ln

94

1)( CrCr

br

a

krT ++

+=

Una vez obtenida la expresin anterior, hay que fijarse que tenemos dos incgnitas que

son las constantes de integracin: 1C y 2C . Deberemos conseguir dos ecuaciones para solucionar el sistema de ecuaciones con dos incgnitas. Analizando el enunciado del problema, se puede apreciar que nos aportan dos condiciones de Dirichlet, es decir

conocemos dos temperaturas: iT y eT en 2 radios diferentes: ir y er , respectivamente. Por lo que calculamos la temperatura en el radio interior y en el radio exterior segn la expresin del campo de temperaturas, y las igualamos a los datos ya conocidos.

2132 ln

94

1)( CrCr

br

a

kTrrT iiiii ++

+===

2132 ln

94

1)( CrCr

br

a

kTrrT eeeee ++

+===

Restamos las dos expresiones, y as eliminamos una de las incgnitas ( 2C ):

+

+=

i

eieieie r

rCrr

brr

a

kTT ln)(

9)(

4

11

3322

Y de esta expresin despejamos y obtenemos una incgnita:

+

+

=

i

e

ieie

i

e

ie

r

r

rrb

rra

k

r

r

TTC

ln

)(9

)(41

ln

3322

1

Ahora que disponemos de una de las incgnitas, solo nos queda sustituir sta en una de las expresiones anteriores con el objetivo de calcular el valor de la otra incgnita (en

este caso se ha sustituido 1C en la expresin de iT despejando el valor de 2C ):

Una vez que tenemos las dos expresiones de las constantes de integracin, las sustituimos en la expresin del campo de temperaturas en funcin del radio, y trabajando un poco esa expresin, y sacando factores comunes, obtendremos la solucin

a la cuestin planteada en el problema siendo vlida para ei rrr :

( )i

i

e

ieie

i

i

e

ieiii r

r

r

rrb

rra

kr

r

r

TTr

br

a

kTC ln

ln

)(9

)(41

ln

ln94

13322

322

+

++=

( )

++

++

= )(9

)(4

1)(

9)(

4

1

ln

ln

)( 33223322 iiiieieie

i

e

i rrb

rra

kTrr

brr

a

kTT

r

r

r

r

rT

Transmisin de Calor


4.- PARCIAL 9/06/2001. CUESTIN 2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Determinar el radio crtico rc de aislamiento. La esfera maciza a aislar tiene una temperatura Ti en su superficie, un radio ri, una conductividad trmica ki, el aislante es una esfera hueca de radio interior ri y exterior re, la temperatura en su superficie externa es Te y su conductividad trmica es ke, la temperatura del medio es T y el coeficiente de conveccin es h. Discutir el efecto del aislante en funcin de los valores relativos de los radios. SOLUCIN DEL PROBLEMA Esfera maciza: Temperatura Aislante: Temperatura superficial (Te), espesor (re

Se trata de un problema de conduccin en geometra esfrica, por lo que hallamos en primer lugar la ecuacin del flujo de calor en coordenadas esfricas para una geometra de este tipo:

A partir del flujo de calor, dun mximo Q) hallamos el valor del radio crtico:

ri

re

ki

ke


PARCIAL 9/06/2001. CUESTIN 2


Determinar el radio crtico rc de aislamiento. La esfera maciza a aislar tiene una temperatura Ti en su superficie, un radio ri, una conductividad trmica ki, el aislante es una esfera hueca de radio interior ri y exterior re, la temperatura en su

ie externa es Te y su conductividad trmica es ke, la temperatura del y el coeficiente de conveccin es h. Discutir el efecto del aislante en

funcin de los valores relativos de los radios.


Esfera maciza: Temperatura superficial (Ti), radio (ri), ki Aislante: Temperatura superficial (Te), espesor (re-ri), ke

Se trata de un problema de conduccin en geometra esfrica, por lo que hallamos en primer lugar la ecuacin del flujo de calor en coordenadas esfricas para una geometra

A partir del flujo de calor, derivando la expresin respecto re e igualando a cero (para un mximo Q) hallamos el valor del radio crtico:

Ti

Te

h (coeficiente de conveccin) T (Temperatura del medio)


- 7 -

Determinar el radio crtico rc de aislamiento. La esfera maciza a aislar tiene una temperatura Ti en su superficie, un radio ri, una conductividad trmica ki, el aislante es una esfera hueca de radio interior ri y exterior re, la temperatura en su

ie externa es Te y su conductividad trmica es ke, la temperatura del y el coeficiente de conveccin es h. Discutir el efecto del aislante en

Se trata de un problema de conduccin en geometra esfrica, por lo que hallamos en primer lugar la ecuacin del flujo de calor en coordenadas esfricas para una geometra

erivando la expresin respecto re e igualando a cero (para

h (coeficiente de conveccin)

(Temperatura del medio)

Transmisin de Calor


En el grfico que viene a continuacin se observa el efecto del aislante en funcin de los valores relativos de los radios: Mediante esta ecuacin hallamos el que habra en un principio sin el aislante:

Una vez conocido el flujo de calor sin aislamiento, del cual el efecto del aislante es efectivo.

Por lo tanto si ri



PARCIAL 25/04/2005. CUESTIN 2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Dos placas de materiales A y B y espesores a y b respectivamente estn en contacto. Consideramos que el origen de coordenadas est a la izquierda de la placa A, la superficie de contacto en x = a y la superficie derecha de B, en x = a+b, en contacto con el aire. La superficie izquierda de A est perfectamente aislada y la derecha de B tiene un coeficiente de conveccin h con aire a una temperatura T.

La placa A genera calor de manera uniforme

q y su conductividad trmica es constante de valor kA; B no genera calor y su conductividad trmica vara con la temperatura segn la ley kB = + T. Se pide plantear las ecuaciones del campo de temperaturas. SOLUCIN DEL PROBLEMA Campo de temperaturas de los materiales:

A: 21

2

2CxC

k

qxT

AA ++=

B: 0=

dx

dTk

dx

dB

( ) 0=

+

dx

dTT

dx

d

( ) 3CdxdT

T =+

( ) dxCdTT =+ 3 432

2CxCTT +=+

0)(

2 432

=++ CxCTT

Resolviendo la ecuacin anterior se obtiene:

22

)(2

4 432

++=

CxCT

Dado que T no puede ser slo negativa, se escoge la raz positiva. Escribiendo la expresin anterior de la siguiente manera:

( )

++

= 43

22

CxCT



Esta expresin del campo de temperaturas puede parecer extraa; como sencilla comprobacin para 0, debemos obtener la expresin del campo de temperaturas para k constante:

6543

43

2

00)(

2limlim CxC

CxCCxCTB +=

+=

++

=

Por lo tanto, se tiene TA y TB en funcin de las constantes C1, C2, C3 y C4, que se determinan por las condiciones de contorno siguientes:

1. Aislamiento en x = 0 0

0

=

=x

A

dx

dT

2. Misma temperatura en x = a ( ) ( ) axBaxA TT == =

3. Mismo flujo de calor en x = a ( )[ ]

ax

BaxB

ax

AA dx

dTT

dx

dTk

=

=

=

+=

Tambin puede ponerse la expresin anterior de la siguiente manera:

( )[ ]ax

BaxA

ax

AA dx

dTT

dx

dTk

=

=

=

+=

4. El calor generado sale por conveccin: ( )[ ]+=

= TThaq baxB



Sustituyendo las expresiones correspondientes:

1. 122

Cxk

q

dx

dTA +=

01 =C

2. ( )

++

=+

43

2

2

2

2CaCC

k

q

A

3. ( )43

2

3

2

22

2

2CaC

C

Ck

qa

k

qk

AA

++

++=

4.

( )( )

+++

=

TCbaChaq

43

22

De este sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas, se obtienen los valores de las constantes C1, C2, C3 y C4 que sustituidas en TA y TB, dan las expresiones de los campos de temperatura en ambos materiales.



PARCIAL 09/07. PROBLEMA 2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Un tubo macizo, de material A y radio r1, disipa una potencia calorfica g (Wm-3). El tubo est aislado por un cilindro hueco constituido por material B, siendo r1 su radio interior y r2 su radio exterior. La disipacin de potencia al ambiente se realiza exclusivamente por conveccin. Se pide determinar el mximo valor de g, teniendo en cuenta las siguientes limitaciones en cuanto a las condiciones de operacin: La mxima temperatura alcanzable en el material A ser 250C La mxima temperatura alcanzable en el material B ser 180C La mxima temperatura alcanzable en la superficie exterior ser 110C Datos: r1 = 0.02 m r2 = 0.06 m kA = 0.1 Wm-1C-1 kB = 0.3 Wm-1C-1 h = 5 Wm-2C-1 Tamb = 10C SOLUCIN DEL PROBLEMA Se sabe que los campos de temperaturas en los materiales A y B son, respectivamente:

1

.2

4C

k

grT

a

a += 32 ln CrCT

b += Por condicin de superficie de frontera en r = r1, se debe cumplir lo siguiente:

)()( 11 rTrTba

= 3ln

4 121

.2

CrCCk

gr

a

+=+

11 r

b

b

r

a

a dr

dTk

dr

dTk

=

1

21

.

4

2

r

Ck

k

rgk b

aa =

1

2



La tercera condicin la obtenemos de la condicin de rgimen estacionario:

( )

+= amb

rT

TCrCrhrgb

44 344 21)(

32222

1

.

2

ln2pipi

A cada valor de g, le corresponde unos valores de C1, C2 y C3 que nos suministrarn el valor de los campos de campos de temperaturas en A y B, valores que deben contrastarse con los mximos valores de operacin permitidos.

de :

.3

.221

2 103

2

3.02

02.0

2gg

k

rC

b

=

==

de :

10102089.106.0ln103

210

06.052

02.0ln

2

.3

.3

.2

222

.2

13 +=

+

=+= ggg

rCThr

grC amb

de :

10103991.24

10102089.102.0ln103

2 .32

1

..

3.

31

3

2

+=++= gk

rgggC

aCC

444 3444 2143421

La mxima temperatura en A se obtiene en el centro del cilindro (r=0):

Tmax = C1 5

..3

1 1010103991.2250 +== ggC

La mxima temperatura en B se obtiene en r1:

5.

.3

.3

.3

312max

102.1

10103991.110102089.1)02.0ln(103

2180)ln(

+=+=+=

g

gggCrCT b

La mxima temperatura en la superficie se obtiene para Tb en T2.

5..

3.

3.

3322max, 105.110106667.010102089.1)06.0ln(103

2)ln( +=+=+= ggggCrCTs

Luego el condicionamiento ms estricto es el debido a la temperatura de operacin mxima del material A. La mxima produccin de calor por unidad de volumen es:

35.

10 = mWg

3

2

3

1

Transmisin de Calor


18.- 2.36 HOLMAN ENUNCIADO DEL PROBLEMA

En una pared slida de 8cm de espesor y calefaccin elctrica. La cara derecha est expuesta a un entorno convectivo con

y T()=30C; mientras que la cara izquierda est expuesta a

y T()= 50C. Cul es la generacin de calor por unmxima que puede permitirse para que la temperatura mxima en el slido no exceda de 300C?

h= 75 Cm

W

2

T()=50C q? T( SOLUCIN DEL PROBLEMA Como vemos es un problema que bsicamente consta de una pared slida con generacin interna de calor, en la que adems se dar una transferencia de calor a travs de ella por conduccin, estando expuesta a dos convecciones diferente. (El origen de coordenadas se tomar en el medio de la pared). El problema se abordar considerando que se refiere a un tipo de problema unidimensional con coordenadas cartesianas, con generacin interna de calor constante y conductividad trmica tambin constante. Astemperaturas, as como su derivada que luego nos ser muy til, corresponde a lo siguiente:

212

2cxcx

k

qT + +=

1cxk

q

dx

dT+=

Lo siguiente ser aplicar las condiciones impuestas en el problema que como ahora veremos nos formarn un sistema de ecuaciones de 5 ecuaciones con 5 incgnitas. La primera corresponde a la transferencia de calor en el lado izquierdo de la pared, donde sabemos que lo que saldr por conveccin, y que es igual a la conduccin en ese punto:


2.36 HOLMAN


En una pared slida de 8cm de espesor y , se instalan hilos de calefaccin elctrica. La cara derecha est expuesta a un entorno convectivo con

C; mientras que la cara izquierda est expuesta a

C. Cul es la generacin de calor por unidad de volumen mxima que puede permitirse para que la temperatura mxima en el slido no

C h=50 Cm

W

2

k=2.5 Cm

W

C q? T()=30C

X 8cm

OBLEMA

Como vemos es un problema que bsicamente consta de una pared slida con generacin interna de calor, en la que adems se dar una transferencia de calor a travs de ella por conduccin, estando expuesta a dos convecciones diferente. (El origen de coordenadas se tomar en el medio de la pared).

El problema se abordar considerando que se refiere a un tipo de problema unidimensional con coordenadas cartesianas, con generacin interna de calor constante y conductividad trmica tambin constante. As, sabemos que la ecuacin del campo de temperaturas, as como su derivada que luego nos ser muy til, corresponde a lo

Lo siguiente ser aplicar las condiciones impuestas en el problema que como ahora veremos nos formarn un sistema de ecuaciones de 5 ecuaciones con 5 incgnitas. La primera corresponde a la transferencia de calor en el lado izquierdo de la pared, donde

bemos que lo que saldr por conveccin, y que es igual a la conduccin en ese punto:


- 14 -

, se instalan hilos de calefaccin elctrica. La cara derecha est expuesta a un entorno convectivo con

C; mientras que la cara izquierda est expuesta a

idad de volumen mxima que puede permitirse para que la temperatura mxima en el slido no

Como vemos es un problema que bsicamente consta de una pared slida con generacin interna de calor, en la que adems se dar una transferencia de calor a travs de ella por conduccin, estando expuesta a dos convecciones diferente. (El origen de

El problema se abordar considerando que se refiere a un tipo de problema unidimensional con coordenadas cartesianas, con generacin interna de calor constante

, sabemos que la ecuacin del campo de temperaturas, as como su derivada que luego nos ser muy til, corresponde a lo

Lo siguiente ser aplicar las condiciones impuestas en el problema que como ahora veremos nos formarn un sistema de ecuaciones de 5 ecuaciones con 5 incgnitas. La primera corresponde a la transferencia de calor en el lado izquierdo de la pared, donde

bemos que lo que saldr por conveccin, y que es igual a la conduccin en ese punto:

Transmisin de Calor


De la misma forma, se hace lo mismo en el lado derecho de la pared, donde los fenmenos que se dan son los mismos que antes:

Las dos siguientes ecuaciones corresponden al campo de temperaturas en los puntos extremos de la pared, una para la parte izquierda y otra para la derecha respectivamente:

La ltima ecuacin se corresponde con el clculo de la temperatura mxima para lo cual haremos la derivada del campo de temperaturas respecto a x e igualaremos a cero. Al hacer la derivada e igualar a cero obtenemos la coordenada x donde se produce el mximo del campoarriba para el campo de temperaturas ya conseguimos la quinta ecuacin del sistema de ecuaciones.

0=dx

dT

, 0. 1 =+ cxK

q

121 .)(

2K

q-max

cc

q

KcT +=

21

21

2max c

q

Kc

q

KcT ++=

Como podemos ver es un sistema de ecuaciones bastante complicado para poder resolverlo a mano, por eso ahora se ofrece una alternativa, para lo cual ante la imposibilidad de decirle a ANSYS que calcule la genertemperatura mxima, lo que se ha hecho es siguiendo el problema que ha dejado el profesor de la asignatura, meter el valor de la generacin de calor interno como sabido o calculado previamente (fundamentalmente se hara probageneracin hasta que la temperatura mxima se ajustar a los 300C del problema). Esto sera lo que hay que introducir en cdigo para ANSYS:


(1) De la misma forma, se hace lo mismo en el lado derecho de la pared, donde los

fenmenos que se dan son los mismos que antes:

(2)

Las dos siguientes ecuaciones corresponden al campo de temperaturas en los puntos extremos de la pared, una para la parte izquierda y otra para la derecha

(3)

(4)

n se corresponde con el clculo de la temperatura mxima para lo cual haremos la derivada del campo de temperaturas respecto a x e igualaremos a cero. Al hacer la derivada e igualar a cero obtenemos la coordenada x donde se produce el mximo del campo de temperaturas, que al sustituirla en la ecuacin de arriba para el campo de temperaturas ya conseguimos la quinta ecuacin del sistema de

, q

Kx

.c1=

21 cq

Kc+

2c

2

21

2

5,2.max c

q

cT +=

Como podemos ver es un sistema de ecuaciones bastante complicado para poder resolverlo a mano, por eso ahora se ofrece una alternativa, para lo cual ante la imposibilidad de decirle a ANSYS que calcule la generacin de calor para una cierta temperatura mxima, lo que se ha hecho es siguiendo el problema que ha dejado el profesor de la asignatura, meter el valor de la generacin de calor interno como sabido o calculado previamente (fundamentalmente se hara probando con diferentes valores de generacin hasta que la temperatura mxima se ajustar a los 300C del problema). Esto sera lo que hay que introducir en cdigo para ANSYS:


- 15 -

De la misma forma, se hace lo mismo en el lado derecho de la pared, donde los

Las dos siguientes ecuaciones corresponden al campo de temperaturas en los puntos extremos de la pared, una para la parte izquierda y otra para la derecha

n se corresponde con el clculo de la temperatura mxima para lo cual haremos la derivada del campo de temperaturas respecto a x e igualaremos a cero. Al hacer la derivada e igualar a cero obtenemos la coordenada x donde se

de temperaturas, que al sustituirla en la ecuacin de arriba para el campo de temperaturas ya conseguimos la quinta ecuacin del sistema de

(5) Como podemos ver es un sistema de ecuaciones bastante complicado para poder resolverlo a mano, por eso ahora se ofrece una alternativa, para lo cual ante la

acin de calor para una cierta temperatura mxima, lo que se ha hecho es siguiendo el problema que ha dejado el profesor de la asignatura, meter el valor de la generacin de calor interno como sabido o

ndo con diferentes valores de generacin hasta que la temperatura mxima se ajustar a los 300C del problema). Esto



/PREP7 C*** conduccin !(aqu creamos la parte de conduccin con 9 nudos) ET,1,32 R,1,1 MP,Kxx,1,2.5 N,1,0,0,0 N,9,0.08,0,0 FILL,1,9,7 TYPE,1 MAT,1 REAL,1 E,1,2 *REPEAT,8,1,1 C*** conveccion izquierda !creamos el nudo 10 ET,2,34 N,10,-0.01,0,0 MP,HF,2,75 TYPE,2 MAT,2 E,1,10 C*** conveccion derecha !creamos el nudo 11 ET,3,34 N,11,0.09,0,0 MP,HF,3,50 TYPE,3 MAT,3 E,9,11 FINISH /SOLU D,10,TEMP,50 D,11,TEMP,30l ESEL,S,TYPE,,1 BFE,ALL,HGEN,1,2.65e5 !este es el valor de generacin interna calculado ALLS NSUB,2 SOLVE FINISH C*** Mapa de temperaturas y calor !para mostrar los datos resueltos /POST1 /TRIAD,OFF /SHOW,WIN32C /CONT,1,128,AUTO SETLAST PLNSOL,TEMP PRNSOL,TEMP PRRSOL,HEAT FINISH La resolucin que nos da es la siguiente: PRINT TEMP NODAL SOLUTION PER NODE ***** POST1 NODAL DEGREE OF FREEDOM LISTING *****



LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 2 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0 NODE TEMP 1 201.67 2 241.88 3 271.48 4 290.48 5 298.88 6 296.68 7 283.89 8 260.49 9 226.49 10 50.000 11 30.000 MAXIMUM ABSOLUTE VALUES NODE 5 VALUE 298.88 PRINT HEAT REACTION SOLUTIONS PER NODE ***** POST1 TOTAL REACTION SOLUTION LISTING ***** LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 2 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0 NODE HEAT 10 -11376. 11 -9824.5 TOTAL VALUES VALUE -21200. Por ltimo, mencionar que como vemos la temperatura mxima se nos ajusta muy bien a los 300C (en el nudo 5) del problema con esa generacin interna de calor. En el problema propuesto en internet por el profesor de la asignatura queda con mayor precisin, debido a que coge ms puntos en el interior de la pared, pudiendo aproximar mejor.



SEPTIEMBRE 2008 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Un cono truncado de 30cm de alto est hecho de Aluminio. El dimetro de la superficie superior es de 7,5cm y el de la inferior es de 12,5 cm. La superficie inferior se mantiene a 93C y la superior a 540C. La superficie lateral est aislada. Suponiendo flujo de calor unidimensional, cul es el flujo de calor en W? En primer lugar, se supone la conductividad trmica del Al constante e igual a su valor a 300C. Despus, plantear el problema suponiendo conductividad trmica variable con la temperatura, tal y como es realmente. SOLUCIN DEL PROBLEMA La conductividad trmica del Aluminio en unidades del sistema internacional es 202 W/mC.

dx

dTkAQ =&

En este caso el rea es funcin de la equis, por tanto tenemos que encontrar una relacin entre ambas:

baxr += Siendo:

==

=

== 76'40833'03'0

0375'00625'0supinf altura

rrtga

0375'0inf == rb Sustituimos el rea e integramos:

dx

dTbaxkQ 2)( += pi&

=+

93

540

3'0

02)(

dTkbax

dxQ pi&

[ ]935403'0

0

1Tk

baxa

Qpi=

+

&



[ ]540930375,0

1

062,0

1=

pik

a

Q&

WQ 38'224254'10

2020833'0447=

=

pi&

Si ahora suponemos que la conductividad trmica no es constante sino que vara segn

( )Tkk oo += 1 . dx

dTkAQ =&

( )( )dx

dTbaxTkQ oo

21 ++= pi&

( ) ( ) +=+L

o

T

T

oo

L

dTTkbax

dxQ pi 1

02

&

+=

+

2

0 2

1TTk

baxa

Q oo

L pi

&

( ) ( )

+=

+

22

2

11oL

ooLo TTTTkbbaLa

Q pi

&

( ) ( )

baLb

TTTTka

QoLoLo

+

+

=

112

220pi&



SEPTIEMBRE 2008-2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Una pared plana de espesor 2L tiene una generacin de calor interna que vara de

acuerdo con la expresin axgg o cos&& = donde og& es el calor generado por unidad de volumen en el centro de la pared (x = 0) y a es una constante. Si ambas caras de la pared se mantienen a una temperatura constante de Tp, obtngase una expresin para la prdida total de calor de la pared por unidad de rea superficial. SOLUCIN DEL PROBLEMA

0cos

2

2

=+k

axg

dx

Td o&

1Ca

senax

k

g

dx

dT o +=&

212cos CxCax

ka

gT o ++=

&

El campo de temperaturas ha de ser una funcin par, debido a que ambas paredes se

encuentran a la misma temperatura. Para que esto se cumpla, necesariamente .01 =C Por otra parte, nos dan la temperatura de las paredes, as pues:

22cos CaL

ak

gT op +

=

&

y despejando:

aLak

gTC op cos22

=

&

Por lo tanto, la ecuacin del campo de temperaturas queda:

( )aLaxak

gTT op coscos2

+=&

El calor que se fuga por ambas caras por unidad de rea es:

Lxdx

dTk

A

Qq

=

== 2&

&



Derivamos la ecuacin del campo de temperaturas y particularizando para x = L:

senaLak

g

dx

dT o

=

&

Finalmente, sustituimos en la ecuacin anterior:

senaLa

gq o =

&& 2

Transmisin de Calor


AGOSTO 2009-CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA En el interior de un anillo cilndrico largo de acero inoxidable AISI 302 cuyo radio interior es Ri=5cm y radio exterior Re=30cm se quema un combustible produciendo un calor de Q=50W por cada cm de longitud de eje. Este calor se disipa por conveccin al refrigerante que est a Tconveccin h=40Wm-2Cacero. Para mayor sencillez en el clculcon la temperatura, siendo sus valores los correspondientes a la temperatura de 600K. SOLUCIN DEL PROBLEMA Tenemos una geometra cilndrica y sin generacin de calor por lo que la ecuacin del campo de temperaturas tendr la forma:

Condiciones de contorno: En RL:

En RE:

As que:

La mxima temperatura tendr lugar en la cara interior del anillo si lo introducimos en la ecuacin anterior


CUESTIN 1


En el interior de un anillo cilndrico largo de acero inoxidable AISI 302 cuyo radio interior es Ri=5cm y radio exterior Re=30cm se quema un combustible

calor de Q=50W por cada cm de longitud de eje. Este calor se disipa por conveccin al refrigerante que est a T=20C, con un coeficiente de

2C-1. Calcular la mxima temperatura que soporta el

Para mayor sencillez en el clculo, suponer invariables las propiedades del acero con la temperatura, siendo sus valores los correspondientes a la temperatura de


Tenemos una geometra cilndrica y sin generacin de calor por lo que la ecuacin del mperaturas tendr la forma:

La mxima temperatura tendr lugar en la cara interior del anillo si lo introducimos en la ecuacin anterior obtenemos:


- 22 -

En el interior de un anillo cilndrico largo de acero inoxidable AISI 302 cuyo radio interior es Ri=5cm y radio exterior Re=30cm se quema un combustible

calor de Q=50W por cada cm de longitud de eje. Este calor se =20C, con un coeficiente de

1. Calcular la mxima temperatura que soporta el

o, suponer invariables las propiedades del acero con la temperatura, siendo sus valores los correspondientes a la temperatura de

Tenemos una geometra cilndrica y sin generacin de calor por lo que la ecuacin del

, por lo que



JUNIO 2010 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Obtngase una expresin para la distribucin de temperatura en una pared plana en la que las fuentes de calor distribuidas varan de acuerdo con la relacin lineal ( )[ ]pp TTqq += 1&&

donde pq&

es una constante e igual al calor generado por unidad de volumen, a la

temperatura de la pared pT

. Ambas caras de la placa se mantienen a pT

y el espesor de la placa es L2 . Plantear ecuaciones sin resolver. SOLUCIN DEL PROBLEMA Las consideraciones que debemos hacer son: Suponemos estado estacionario Flujo de calor unidimensional El campo de temperaturas va a ser unidimensional en direccin x. Por lo que la ecuacin diferencial que utilizamos es:

02

2

=+k

g

dx

Td &

Sustituimos g& por su expresin ( )[ ]

k

TTg

dx

Td pp +=

12

2

0

2

2

=++k

Tg

k

Tg

k

g

dx

Td pppp

( ) 01

2

2

=++ ppp T

k

g

k

Tg

dx

Td

Nos queda una ecuacin diferencial de segundo grado.



JUNIO 2010 CUESTIN 3 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

En una pared slida de 8cm de espesor y CmWk /5,2 = , se instalan hilos de calefaccin elctrica. La cara derecha est expuesta a un entorno con

CmWh /50 2 = y CT 30= , mientras que la cara izquierda est expuesta a

CmWh /75 2 = y CT 50= . Cul es la generacin de calor por unidad de volumen mxima que puede permitirse para que la temperatura mxima en el slido no exceda de 300C? Plantear ecuaciones sin resolver. SOLUCIN DEL PROBLEMA El campo de temperaturas es unidimensional en direccin x

21

2

2)( CxC

k

xgxT ++=

&

Aplicamos a continuacin las condiciones de frontera:

Pared izquierda Igualdad de flujos de calor ) )ii convQcondQ && =

( )iix

TThAdx

dTAk

=

=

0 ( )ii

x

TThdx

dTk

=

=

0

Pared derecha Igualdad de flujos de calor ) )dd convQcondQ && =

( )ddx

TThAdx

dTAk

=

=

08.0 ( )dd

x

TThdx

dTk

=

=

08.0 Necesitamos otra ecuacin ya que tenemos tres incgnitas y dos ecuaciones. El enunciado nos dice que la temperatura mxima en el slido no exceda de 300C, por lo que de ah podemos sacar la tercera ecuacin que hace falta. Se saca primero la x donde la temperatura es mxima y a continuacin lo introducimos en la expresin de temperatura.

0=dx

dT

01 =+= Cxk

g

dx

dT &

g

kCxT

&

1max =



21

1

2

1

2300max C

g

kCC

g

kC

k

gT ++

==

&&

&

Ya tenemos tres ecuaciones con tres incgnitas.

Transmisin de Calor


JUNIO 2010 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Un tubo macizo, de material A y radio r1, disipa una potencia calorftubo est aislado por un cilindro hueco constituido por material B, siendo r1 su radio interior y r2 su radio exterior. La disipacin de potencia al ambiente se realiza exclusivamente por conveccin. Se pide determinar el mximo valolimitaciones en cuanto a condiciones de operacin: La mxima temperatura alcanzable en el material A ser de 250CLa mxima temperatura alcanzable en el material B ser de 180CLa mxima temperatura alcanzable en la superficie exterior ser de 110C Datos: r1=0,02m r2=0,06m kA=0,1 Wm-1C-1 kB=0,3 Wm-1C-1 h=5 Wm-2C-1 T=10C

SOLUCIN DEL PROBLEMA Mirar Parcial 09/07 problema 2.



Un tubo macizo, de material A y radio r1, disipa una potencia calorftubo est aislado por un cilindro hueco constituido por material B, siendo r1 su radio interior y r2 su radio exterior. La disipacin de potencia al ambiente se realiza exclusivamente por conveccin.

Se pide determinar el mximo valor de , teniendo en cuenta las siguientes limitaciones en cuanto a condiciones de operacin:

La mxima temperatura alcanzable en el material A ser de 250C La mxima temperatura alcanzable en el material B ser de 180C La mxima temperatura alcanzable en la superficie exterior ser de 110C


Mirar Parcial 09/07 problema 2.


- 26 -

Un tubo macizo, de material A y radio r1, disipa una potencia calorfica . El tubo est aislado por un cilindro hueco constituido por material B, siendo r1 su radio interior y r2 su radio exterior. La disipacin de potencia al ambiente se

, teniendo en cuenta las siguientes

La mxima temperatura alcanzable en la superficie exterior ser de 110C



PROBLEMAS DE CAUCHY PROBLEMA DE CAUCHY- CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Considere una placa rectangular de longitud a en la

direccin x y longitud b en la direccin y. Suponga que todos los lados se encuentran a una temperatura de 0 C excepto el superior que se encuentra a f(x). Determine la ecuacin del campo de temperaturas.


Consideramos la ecuacin bidimensional de la conduccin del calor:

77" 77& 0 Las condiciones de contorno son las siguientes:

(0, ) 0

( , ) 0

( ,0) 0

( , ) ( )

0

0

T y

T a y

T x

T x b f x

x a

y b

=

=

=

=

Nos encontramos con un problema de Cauchy que se resolver a partir del mtodo de separacin de variables. Suponiendo que la temperatura es el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende nicamente de una de las variables x e y.

Al derivar se obtiene:

' 0

''x

xx

T X Y X

T X Y

= +

=

'

''

y

yy

T XY

T XY

=

=

Sustituyendo en la ecuacin de la conduccin del calor:

( , ) ( ) ( )T x y X x Y y=



2 2

2 20

T T

x y

+ =

'' '' 0X Y XY+ =

'' ''X YC Cte

X Y= = =

Ecuacin 1: ''X

CX

= '' 0X CX =

Ecuacin 2: ''Y

CY

= '' 0Y CY+ =

Aplicando las condiciones de contorno:

(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0

( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0

T y X Y y X

T a y X a Y y X a

= = =

= = =

( ,0) ( ) (0) 0 (0) 0

( , ) ( ) ( ) ( )

T x X x Y Y

T x b X x Y b f x

= = =

= =

De la condicin de contorno ( , )T x b no se obtiene informacin. En resumen:

Concretando las condiciones de contorno con las pautas que se dan en el

enunciado del problema:

2 2

2 2

1

1

1

1

0

(0, )

( , )

( ,0)

( , ) ( )m

T T

x y

T y T

T a y T

T x T

xT x b T T sen

a

pi

+ =

=

=

=

= +

Haciendo el cambio de variable: 1( , ) ( , )u x y T x y T=

x x

xx xx

u T

u T

=

=

y y

yy yy

u T

u T

=

=

2 2

2 2

( , ) ( , )0

u x y u x y

x y

+ =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

(0, ) (0, ) 0

( , ) ( , ) 0

( ,0) ( ,0) 0

( , ) ( , ) ( ) ( )m m

u y T y T T T

u a y T a y T T T

u x T x T T T

x xu x b T x b T T T sen T T sen

a a

pi pi

= = =

= = =

= = =

= = + =

'' 0

(0) 0

( ) 0

X CX

X

X a

=

=

=

'' 0

(0) 0

Y CY

Y

+ =

=



Los pasos a seguir para resolver el problema van a ser los mismos que se han

utilizado al principio, cuando se ha planteado el caso genrico. Suponiendo que ( , )u x y es el producto de dos funciones, cada una de las cuales

depende nicamente de una de las variables x e y.

( , ) ( ) ( )u x y X x Y y= ''

''xx

yy

u X Y

u X Y

=

=

'' '' 0X Y XY+ =

'' ''X Y

C CteX Y

= = =

Llegamos a las mismas expresiones:

Se estudian las diferentes soluciones que tiene el problema en funcin del signo

que adquiera la constante C: CASO I: 20C C > = :

Resolvemos la ecuacin diferencial para este valor de la constante:

2 2 21 2'' 0 0

x xX X m m X C e C e = = = = +

1 2

1 2

(0) 0 0

( ) 0 0a aX C C

X a C e C e = + =

= + = 1 2 0C C= =

Si 1 2

1 2 0

x xX C e C e

C C

= +

= =

( ) 0X x = ( , ) 0u x y =

La funcin ( , )u x y que obtenemos al considerar C positiva no satisface la cuarta

condicin de contorno ( , ) ( )m

xu x b T sen

a

pi=

'' 0

(0) 0

( ) 0

X CX

X

X a

=

=

=

'' 0

(0) 0

Y CY

Y

+ =

=



CASO II: 0C = :

Resolvemos la ecuacin diferencial cuando la constante es igual a cero:

1 2

2

1 2 1 1

'' 0

(0) 0 0

( ) 0 0 0 0 0

X X C x C

X C

X a C a C C a C

= = +

= =

= + = + = =

Si 1 2 0C C= = ( ) 0X x = ( , ) 0u x y =

Ocurre lo mismo que en el caso anterior, la funcin obtenida no satisface la condicin

de contorno ( , ) ( )mx

u x b T sena

pi=

CASO III: 20C C < = :

2

1 2'' 0 cos( ) ( )X X X C x C sen x + = = +

1 2 1

1 2 2

(0) 0 1 0 0 0

( ) 0 cos( ) ( ) 0 0 cos( ) ( ) 0

X C C C

X a C a C sen a a C sen a = + = =

= + = + =

2 ( ) 0C sen a =

Tenemos dos posibles soluciones a la ecuacin 2 ( ) 0C sen a = que darn diferentes valores a la funcin ( , )u x y :

1) Si 2 0C =

1

2

0

0

C

C

=

=

( ) 0 ( , ) 0X x u x y = =

La funcin ( , )u x y obtenida no cumple la condicin de contorno ( , ) ( )mx

u x b T sena

pi= .

2) Si ( ) 0sen a = :

( ) 0sen a = a n pi = ( ) nn Na

pi = 2( ) ( )n x

X x C sena

pi =

2 2 23 4 3 4'' 0 0 ( ) ( )

n ny y

y y a aY Y m m Y y C e C e Y y C e C epi pi

= = = = + = +

3 4 3 4 3(0) 0 1 1 0 ( ) ( )n n

y ya aY C C C C Y y C e epi pi

= + = = =

3 5( ) ( ) ( )n n

y ya a

n yY y C e e C Sh

a

pi pi pi= =



Recordando que ( , ) ( ) ( )u x y X x Y y=

2

5

( ) ( )

( ) ( )

n xX x C sen

an y

Y y C Sha

pi

pi

=

=

6( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )n nn x n y n x n y

u x y C sen Sh u x y C sen Sha a a a

pi pi pi pi = =

Se averigua para que valor de nC se cumple la condicin de contorno que anteriormente

no se cumpla, ( , ) ( )mx

u x b T sena

pi=

( ) ( ) ( )n mn x n b n x

C sen Sh T sena a a

pi pi pi =

1

1

( )

m

n

TC

bSh

a

pi

=

=

1( , ) ( , )u x y T x y T=

( , ) ( ) ( )( )

mT x yu x y sen Shb a aSh

a

pi pipi

=

Ecuacin del campo de temperaturas

1( , ) ( ) ( )( )

mT x yT x y T sen Shb a aSh

a

pi pipi

= +



MAYO 2010-PROBLEMAS CAUCHY-Problema 2


Dada una placa rectangular de longitud a en la direccin x y longitud b en

la direccin y. Suponga que tres de sus lados (el inferior y los dos laterales) se encuentran a una temperatura Tl excepto el superior que se encuentra a Tl+Tmsen(x/a). Determine la ecuacin del campo de temperaturas.


Estaramos ante el modelo de conduccin estacionaria bidimensional, el cual responde al siguiente modelo matemtico:

8698:6 + 8698;6 = 0 (Txx + Tyy = 0) T(x,0) = Tl T(0,y) = Tl T(a,y) = Tl T(x,b) = Tl+Tmsen(x/a)

Para resolverlo introducimos una nueva funcin que llamaremos U(x,y) = T(x,y) - Tl. Como Ux = Tx, Uy = Ty, Uxx = Txx, Uyy = Tyy el problema anterior se transforma en el siguiente:

Uxx + Uyy = 0 U(x,0) = 0 U(0,y) = 0 U(a,y) = 0 U(x,b) = Tmsen(x/a)

Para resolver el problema aplicamos el mtodo de separacin de variables, descomponiendo la funcin U(x,y) en el producto de dos funciones, U(x,y) = X(x)Y(y). Con esto las condiciones iniciales quedan de la siguiente forma:

U(x,0) = X(x)Y(0) = 0 Y(0) = 0 U(0,y) = X(0)Y(y) = 0 X(0) = 0 U(a,y) = X(a)Y(y) = 0 X(a) = 0

Teniendo en cuenta que Txx = XY y que Tyy = XY

la ecuacin diferencial del problema se nos transforma en:

XY + XY = 0

Dividiendo por el producto XY y reordenando obtenemos:



> = k Siendo k una constante arbitraria. De eta forma podemos considerar las ecuaciones diferenciales ordinarias X- kX = 0 e Y + kY = 0, que junto con las condiciones iniciales nos permitirn resolver el problema.

Empezaremos por resolver:

X- kX = 0

X(0) = 0 X(a) = 0

La ecuacin asociada es r2 k = 0, cuya solucin depender del valor de k (positivo, negativo o nulo). Evaluaremos los tres casos:

1. k > 0. k = 2, entonces la solucin de la ecuacin diferencial es:

X = C1?@:+C2?@: Evaluando en las condiciones iniciales obtenemos:

X (0) = C1?@A+C2?@A = C1 C2 = 0 X (a) = C1?@+C2?@= 0

La nica solucin es C1 C2 = 0, y por lo tanto X (x) = 0, U(x,y) = 0 y T(x,y)=Tl. Esta solucin no es factible, ya que no es solucin del problema inicial, ya que no cumplira la cuarta condicin inicial T(x,b) = Tl+Tmsen(x/a).

2. k = 0, en este caso la solucin a la ecuacin sera:

X = C1+C2x

Evaluando en las condiciones iniciales obtenemos:

X (0) = C1+C20 = C1 = 0 X (a) = C1 C2B = C2B 0

Nos encontramos ante el mismo caso anterior, la solucin X (x) = 0, la cual ya hemos visto no puede ser solucin del problema inicial.

3. k < 0. k = -2, la solucin a la ecuacin sera:

X = C1cos F"+ C2sen(x)

Con las condiciones iniciales:

X (0) = C1cos F0+ C2sen(0) = C1 = 0 X (a) = C1cos FB+ C2sen(a) = C2sen(a) = 0



Si suponemos C2 = 0 obtendramos la solucin nula, la cual ya hemos visto no es solucin del problema inicial, por tanto la nica solucin posible es: F GH siendo n = 1, 2, 3, 4 y por tanto $ G6H66

Luego todas las posibles soluciones se pueden escribir, renombrando las constantes, como:

Xn = Cnsen(

GH x) n = 1, 2, 3, 4 Pasamos ahora a resolver el sistema para la Y:

Y- G6H66 Y = 0

Y(0) = 0 La solucin general de la ecuacin ser:

Y (y) = A1?IJK L+A2?IJK L Aplicando la condicin inicial obtenemos A1+A2 0, reordenado y renombrando las constantes obtenemos:

Y n = A1?IJK L-?IJK L = Ansinh PGH yR Obteniendo por tanto la siguiente solucin del sistema inicial:

U = XY = Bnsinh PGH yR sen(GH x) T = U + Tl = Bnsinh PGH yR sen(GH x) + Tl

Si evaluamos la ltima condicin inicial:

T(x,b) = Bnsinh PGH bR sen(GH x) + Tl = Tl+Tmsen(x/a)

Para que se cumpla la igualdad n = 1, y adems Bn = TUVWXYPJKZR

Con lo cual la solucin al problema queda:

T(x,y) = Tl + TUVWXYPJKZR sinh PH yR sen( H x)



TEMA 4. CONDICIN DE CALOR EN RGIMEN TRANSITORIO

JUNIO 2000. CUESTIN 2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Dedzcase una ecuacin diferencial (no

se resuelva) para la distribucin de temperatura de una aleta recta triangular.

Tmese, por conveniencia, el eje de

coordenadas tal como se muestra, y supngase flujo de calor unidimensional. Supondremos adems que la aleta tiene un metro de profundidad.


Al ser un flujo estacionario el calor que entra deber ser igual al que sale, ya que

si no fuera as aumentara o disminuira la temperatura de un punto de la aleta con el tiempo. El problema se trata efectuando un balance de energa en un elemento de espesor dx. Energa que entra por la cara izquierda = Energa que sale por la cara derecha + Energa perdida por conveccin

Energa que entra por la cara izquierda:

Energa que sale por la cara derecha. Y haciendo un desarrollo en serie de Taylor:

Energa perdida por conveccin, P (permetro):

Introducimos estas expresiones en el balance y operando obtenemos:



Analizando un poco la geometra se saca que A= 2y, y con una regla de tres se obtiene que:

Entonces el rea que depende de x ser:

Si realizamos el cambio de variable = T - T obtenemos lo siguiente:

Observando la ecuacin se ve que el primer trmino se anula, quedando:

Operando:

NOTA: para obtener el permetro podemos utilizar geometra bsica, por

ejemplo: 8:8[ cos\ ]^_X`6a6 donde: tan\ d6e y por tanto:

7f 1 P:ge Ra6 7" Todo esto si quisiramos expresar el h#iGj as: h#iGj 2 % 7f k



PARCIAL 20/04/2002


La expresin diferencial del campo de temperaturas de una aleta circular, con simetra radial en temperaturas, es del tipo:

02

2

=+++ DCTdr

dTB

rd

TdA

Determinar el valor de A, B, C y D. Se suponen conocidos todos los parmetros trmicos y geomtricos del problema: coeficiente de conveccin h, conductividad trmica del material de la aleta k, radio exterior de la aleta R, radio interior R0, espesor de la aleta w muy pequeo frente a R y R0, temperatura ambiente T, etc.


Se considera un anillo de espesor dr ubicado a una distancia r del centro geomtrico de la aleta. Dado que se considera un rgimen estacionario, el calor que entra por conduccin en el anillo en r es igual al calor que sale del anillo por conduccin en (r+dr) ms el calor evacuado por conveccin por las caras superior e inferior del anillo.

Calor que entra por conduccin: dr

dTkrw

dr

dTkAq r pi2==

Calor que sale por conduccin:

+++

=

++=+=

++

22

2

2

2

2

2

)(2

)(2)(

drdr

TddTdr

dr

Tdr

dr

dTrkw

drdr

Td

dr

dTwdrrk

dr

dTdAAkq

drrdrr

pi

pi

Calor que sale por conveccin:

))(2(2)(

infsup == TTrdrhTThAq conv pi

Haciendo el balance de flujos de calor en el anillo: convdrrr qqq += +

Eliminando los trminos en dr

dTr , despreciando el trmino 2

2

2

)(drdr

Tdpor ser

diferenciales de orden superior y operando, queda:



0)(21

2

2

=+

TTkw

h

dr

dT

rdr

Td

Resolviendo la ecuacin del enunciado a partir de la anterior se obtienen los resultados:

1=A , r

B1

= , kw

hC

2= ,

kw

hTD =

2

Por lo tanto la solucin de la ecuacin diferencial es la funcin:

+

+=

r

kw

hKCr

kw

hICTT

220201

Donde I0 y K0 son, respectivamente, las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda especie. Las constantes C1 y C2 se determinarn en funcin de las condiciones de contorno.



PARCIAL 20/04/2002. CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Una aleta rectangular horizontal tiene

dimensiones L (longitud), z (anchura) y t (espesor) y arranca de una pared a T0. Sobre la cara superior de la aleta incide una radiacin solar I (W.m-2) que es absorbida completamente por el material. Se pide determinar el campo de temperaturas de la aleta.

Discutir los valores del campo de temperaturas en funcin de los distintos valores de la radiacin solar I. Para los valores numricos (en S.I.) siguientes T=20, h=10, k=40, z=0,25, t=0,005, I=800, T0=200, determinar el flujo de calor que la aleta extrae de la pared. Supuestos: flujo de calor unidireccional, aleta larga, conocidos todos los parmetros trmicos y geotrmicos.


Realizando un balance de energa en el elemento de espesor dx:

Energa entra por izquierda + energa absorbida radiacin solar = energa sale por derecha + energa cedida por conveccin al ambiente

$l mm" no lm" $l pmm" mm" m"q %rm"

Donde no es el trmino de absorcin de calor solar, que acta como fuente de calor para la placa, en

456, es decir no sg. Simplificando: mm" %r$l k t$u 0

Realizamos el cambio v k w xy3z { |6}|:6 w s3g 0 e integrando: Obtenemos una ecuacin homognea: w ~?5: ~?5:

Solucin particular: w ~A 0 ~A s3g 0 ~A s563g por tanto queda: w ~?5: ~?5: t$u



Aplicando las condiciones de contorno tal que: Para x, w valor infinito, lo cual implica que C2=0

Para x=0, w A k A k ~ s563g ~ A k s563g De lo que se obtiene el campo de temperaturas: k t$u A k t$u ?5:

Discusin de los valores

- si el valor del parntesis es cero, es decir, A k s563g 0, lo que implica un valor de radiacin solar de t $uA k, el campo de temperaturas es constante e igual a A

- si el valor del parntesis es positivo, es decir, A k s563g, implica que la racin solar t $uA k en caso de baja radiacin, el campo de temperaturas disminuye exponencialmente desde A hasta un valor constante e igual a k s563g

- si el valor del parntesis es negativo, es decir, A k s563g 0 se obtiene una intensidad de radiacin solar tal que: t $uA k, lo que significa que la radiacin absorbida es tan alta que la temperatura en un punto alejado es superior a A, es decir, fluye calor de la aleta a la pared, la aleta calienta la pared, no la refrigera.

El flujo de calor que fluye de la pared a la aleta es: n $l P|9|:R:A mm" A k t$u ?5: n $l A k t$u

Puesto que: xy3z AA,]A,AAAA,A,AA 102 10,0995 n 40 0,25 0,005 10,0995 200 20 800102 40 0,005 71,09 Puede decirse que: n 71



JUNIO 2010-Cuestin 8


Una barra caliente sobresale de una nave espacial. La barra pierde calor

por radiacin al espacio exterior. Suponiendo que la emisividad de la barra es y que la radiacin que sale de la barra no se refleja, establzcase la ecuacin diferencial de la distribucin de temperaturas en la barra. Establzcanse tambin las condiciones de contorno que debe satisfacer la ecuacin diferencial. La longitud de la barra es L , su seccin transversal es A , su permetro es P y la temperatura de su base es 0T . Supngase que el espacio exterior es un cuerpo negro a 0K.


Suposiciones iniciales:

Al estar la barra en el espacio solo pierde calor por radiacin La radiacin no se refleja El espacio exterior es un cuerpo negro a 0K por lo que todo el calor que emite la

barra lo absorbe el espacio Balance de energa:

O lo que es lo mismo: raddxxx qqq += +

Donde

dx

dTkAq x =

+=+ dx

dx

Td

dx

dTkAq dxx 2

2

( )44 0= TAsqrad Sustituyendo

4

2

2

TdxPdxdx

Td

dx

dTkA

dx

dTkA +

+= 4

2

2

0 TPdx

TdkA +=

Quedando la siguiente ecuacin diferencial

042

2

=

TkA

P

dx

Td



Con las siguientes condiciones de contorno:

1. En 0=x 0TT =

2. En Lx = 4TAdx

dTkA = 4T

dx

dTk =



JULIO 2010-Cuestin 1


Consideremos una aleta rectangular y todos sus parmetros geomtricos y

trmicos conocidos: w (anchura), t (espesor), L (longitud), h (coeficiente de conveccin),

T (temperatura ambiente), etc. Tras mediciones experimentales de la

temperatura de su superficie, se observa que el campo de temperaturas puede considerarse unidimensional en la direccin del eje de la aleta y que, tras ajustar dichos valores experimentales a una funcin coseno hiperblico, el campo de temperaturas responde aproximadamente a la expresin )( 321 CxCChCT =

donde x est medido desde el arranque de la aleta hacia su extremo y 1C , 2C y 3C

son suministrados por el programa informtico de ajuste y, por lo tanto, conocidos. Se pide determinar el flujo de calor evacuado por la aleta, su eficiencia y su

efectividad.


Nos dan el campo de temperaturas de aleta, que viene dado por )( 321 CxCChCT =

Primeramente nos piden calcular el flujo de calor evacuado por la aleta. Para ello aplicamos la ecuacin de Fourier para la conduccin de la aleta.

0=

=

xc dx

dTkAQ&

Para ello realizamos los siguientes clculos:

wtAc =

)())((

3221321 CxCShCC

dx

CxCChCd

dx

dT=

=

)()()0( 32132132210

CShCCCShCCCCShCCdx

dT

x

===

=

Sustituyendo en la ecuacin de Fourier anterior podemos calcular el flujo de calor evacuado.

)())(( 3213210

CShCkwtCCShCCkwtdx

dTkAQ

xc ==

=

=

&



Nos faltan por calcular la eficiencia y la efectividad de dicha aleta. Eficiencia: Sabemos que la eficiencia viene definida por la siguiente expresin:

aletaQ

aletaQ

max&

&=

)(max

= TThLpaletaQ b&

Sabemos que:

)(2 twp +=

)()()0()0( 3131321 CChCCChCCCChCxTTb =====

Por lo tanto

))()((2max 31 += TCChCtwhLaletaQ&

Sustituyendo cada flujo de calor por su expresin tenemos:

))()((2

)(

31

321

+

=

TCChCtwhL

CShCkwtC

Efectividad: La efectividad viene definida por la siguiente expresin:

aletaQ

aletaQ

sin&

&=

)(sin

= TThAaletaQ bb&

Sabemos que:

twAb =

)()()0()0( 3131321 CChCCChCCCChCxTTb =====

Por lo tanto

))((sin 31 = TCChChwtaletaQ&



Sustituyendo cada flujo de calor por su expresin tenemos:

))((

)(

31

321

=

TCChChwt

CShCkwtC

))((

)(

31

321

=

TCChCh

CShCkC



PARCIAL 2/05/2006. PROBLEMA 2. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Consideremos un dispositivo electrnico de potencia nominal PN del que

todas sus propiedades fsicas son conocidas (m, v, , cp, k). Inicialmente el dispositivo se encuentra a la temperatura ambiente T, y en un instante determinado el dispositivo se conecta.

Si el coeficiente de conveccin es conocido y se desprecian los gradientes espaciales, se pide determinar la evolucin temporal de temperaturas en el dispositivo, bajo dos supuestos:

1. la potencia se aplica en forma de escaln (instantneamente pasa a

consumir la potencia nominal). 2. la potencia se aplica en forma de rampa (transcurren segundos hasta

alcanzar la potencia nominal). SOLUCIN DEL PROBLEMA

Caso 1: potencia en escaln Por el primer principio de la termodinmica: Qi = U , donde: Q = calor aportado en forma de potencia calor disipado por conveccin U = incremento de temperatura del dispositivo Qi = U PN dt hA(T- T)dt = mcdT Reordenando la ecuacin separando variables:

)(hP

mcdTdt

=

TTAN

Haciendo el cambio de variable =T - T , de esta forma si t =0 T=T t=0, = 0. dT = d

=

0 N

t

0 hAP

mcddt

[ ] ( )[ ]0Nt0 hAPlnhA

1mct

=

=

=

NN

N

P

hA1ln

hA

mc

hA0P

hAPln

hA

mct

Despejando

=

tmc

hAN

e1hA

P

Sustituyendo = T - T



+=

tmc

hAN

e1hA

PTT

Analizando la expresin y el grfico se puede conocer cmo ser la evolucin temporal de la temperatura. En un principio se incrementar la temperatura del dispositivo de forma rpida, para luego hacerlo de una forma ms suave. Llegar un momento (cuando t, es decir, para un tiempo lo suficientemente grande), en el que el calor que se aporta al dispositivo mediante la potencia sea disipado totalmente por conveccin, y la temperatura del dispositivo permanecer por tanto constante. Caso 2: potencia en escaln

Se divide el problema en dos tramos: 0



Buscamos C2 y C3 de forma que satisfagan la ecuacin:

0Cmc

hAC 32 =+

mc

PC

mc

hA N2 =

De estas dos ecuaciones obtenemos los valores de C2 y C3

22 N

3h

mcPC

A=

De esta forma: w yxz y5#x6z6

Con lo cual la solucin de la ecuacin quedar de la forma: w ~? g yxz u y5#x6z6 Para hallar el valor de C1 tomaremos la condicin inicial 0(0) = 0 ~?xz5# A r%l 0 r%l ~ r%l Sustituimos el valor de C1 w r%l ?xz5# g r%l u r%l Para hallar la evolucin de la temperatura sustituimos = T - T k r%l ?xz5# g r%l u r%l k r%l u r%l 1 ?xz5# g Tramo t>

Nos encontramos ante una situacin igual a la del caso 1, ya que a partir de la potencia permanece constante a un valor PN. La nica diferencia es la temperatura inicial. En este caso la temperatura inicial no ser T sino la temperatura en el instante . Dicha temperatura la podemos hallar con la ecuacin del tramo 0



SEPTIEMBRE 2007 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Un bloque de aluminio pulido de 1 m de ancho, 1 m de largo y 40 cm de espesor est apoyado en el suelo sobre una de sus caras cuadradas, estando perfectamente aisladas esta cara y las laterales. Sobre la cara cuadrada restante incide una radiacin solar concentrada mediante espejos , de manera que la radiacin incidente es cien veces la radiacin solar del ambiente que ha sido

estimada, esta ltima, en 950 456 (energa solar total).

El bloque est ubicado en una montaa donde la presin del ambiente es de

800 mbar, la temperatura ambiente es de 0 C y el viento de 72 35x ,

correspondiendo a un da fro y claro. El paraleleppedo de Al se encuentra inicialmente a la temperatura ambiente.

Se pide determinar la expresin matemtica del campo de temperaturas, el

valor de la mxima temperatura alcanzada y el tiempo aproximado necesario para alcanzarla. Por simplicidad suponer las propiedades del aire independientes de la temperatura, siendo sus valores los correspondientes a la temperatura ambiente. SOLUCIN DEL PROBLEMA

Dado que en cada de superficie de placa los aportes de calor y las fugas son idnticos, es posible considerar el campo de temperaturas independiente de x e y, es decir, T= T(z) .

El nmero de Biot tiene como expresin: a De la tabla A-3, obtenemos los siguientes valores para el aluminio:

$ 237 45 , 2702 35, 903 3 (El valor de k entre 200 y 400 K apenas vara)



Las propiedades del aire a 0 C se obtienen a partir de la tabla A-15: $ 0,02364 45- , 1,729 10 35[, 1006 3-, r 0,7362 Para obtener la densidad, al no estar a 1 atm, podemos hacerlo de dos maneras:

- Gases ideales: y9 A,A,a6,a 1,02 35 - Segn tabla A-15: A,,A,A A 1,02 35

Aplicando el nmero de Reynolds (para 72 35x 20 5[ )

? je A,A,A ? 1,18 10 La expresin de Nusselt correspondiente a este valor de Re es:

xe3 0,037 ?eA. 871 ra 1619,95 % 38,29 456- El nmero de Biot queda, por tanto: (tomando longitud con ms diferencia de temperatura)

,6a,6 0,06 0,1 Puede aplicarse el modelo de sistema concentrado, es decir, temperatura prcticamente constante en todo el volumen del aluminio, slo depende del tiempo, T= T(t) . El balance de calor en el paraleleppedo es: hzs hz |9|g 100 l % l k l ?4 Donde:

950 456 ?B m?u? 0,09 lfumBm fB m? B m uBB 11.3 k 0- 273 ??BuB ?"u? 0,03 fmBm fB m? B m uBB 11.3 1 Bu m? B m? u l ~? #i 230 ~?fm?u? B mB & B 0,4 2702 903 mmu 100 950 0,09 38,29 273 0,03 230

975962,4 mmu 19007,76 38,29 1,701 10



Esta es la ecuacin diferencial del campo de temperaturas. Las perdidas por conveccin y radiacin sern mximas cuanto mayor sea la temperatura T. La mxima temperatura se alcanzar en el rgimen estacionario, cuando |9|g 0, luego: 19007,76 38,29 1,701 10 0 493,5 220,5- En esta situacin las prdidas son:

- Conveccin: 38,29 493,5 273 8443 - Radiacin: 0,03 493,5 230 96

Por lo que la suma de las perdidas es ms o menos igual a la radiacin solar

absorbida (8550 W). Se observa adems, que las perdidas por radiacin son totalmente despreciables frente a las de conveccin. De manera aproximada, pues, podemos suponer que no hay prdidas radiantes y obtener as el tiempo aproximado que tardar en alcanzarse dicha temperatura:

975962,4 mmu 19007,76 38,29 mmu 0,019476 3,923 10 mB mu mB 99I mu

gA

1 B B G u u 13,923 10 0,019476 3,923 10 220,5 2730,019476 3,923 10 0 273 110250f u 30 %Bf



JUNIO 2008-Problema 3 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Una placa delgada (2mm de espesor) de cobre puro deslustrado est inicialmente a la temperatura ambiente de 20C. Esta placa se expone a la irradiacin solar ambiental (900W/m2), un da fro y claro, durante media hora. El coeficiente de conveccin placa-aire se estima de 4Wm-2C-1 para la parte superior de la placa. La parte inferior de la placa intercambia calor por radiacin con el suelo a 10C y con el aire mediante un coeficiente de conveccin igual a 2Wm-2C-1. La placa est perfectamente aislada a conduccin. Se pide determinar la evolucin de la temperatura de la placa y la temperatura final en grados Celsius.


La temperatura de la placa se supone uniforme en todo momento y por lo tanto es aplicable el mtodo de sistema concentrado. El balance de calor es el siguiente: |9|g %sup(T-Tamb) - %inf(T-Tamb) (T4-T4cielo) - (T4-T4suelo) Conocemos los siguientes datos: s = 0.65; = 0.75 Datos de la tabla 11-3 del libro (pag 153) Cu = 8933, Cp(300K) = 385 Datos de las tablas y diagramas de propiedades

m = V = 1m2210-3 m893335

Tcielo = 230K Obtenido de la teora del libro(pag 151) Tamb = 273+20 = 293 Tsuelo = 273+10 = 283 Sustituyendo en la ecuacin del balance de calor inicial; |9|g %sup(T-Tamb) - %inf(T-Tamb) (T4-T4cielo) - (T4-T4suelo)

210-3 8933 385 |9|g = 0.65900 4(T-293) 2(T-293) 0.755.67108(T4-2304) 0.755.67108(T4-2834) Agrupando trminos: Podemos resolverlo tanto en grados Kelvin como en Centgrados: Si T est en Kelvin; con Tinicial = 293



210-3 8933 385 |9|g = 0.65900 6(T-293) - 0.755.67108(2T4-2304-2834) Si T est en C; con Tinicial = 20

210-3 8933 385 |9|g = 0.65900 6(T-293) - 0.755.67108[(2(T+273)4-2304-2834)] La ecuacin diferencial se resuelve mediante el comando ODE23 de Matlab. Siendo la temperatura al cabo de media hora de T=46.5C



JUNIO 2009-Problema 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Un depsito para el almacenamiento de hidrgeno lquido se caracteriza por la existencia de vaco en su interior (para evitar mezclas explosivas con el oxgeno del aire) y por tener las paredes a una temperatura prxima al cero absoluto.

Se introduce un sensor que puede considerarse una esfera de cobre

comercial de 1cm de dimetro en su interior. En el momento de introduccin, el sensor est a 30C. Las paredes del depsito son de aluminio anodizado.

Se pide determinar la variacin de la temperatura (C) del sensor en

funcin del tiempo (s) de permanencia en el interior del depsito. Sabiendo que el sensor no funciona bien cuando su temperatura es inferior a 0C, cundo comenzar el sensor a darnos medidas errneas? SOLUCIN DEL PROBLEMA

Consideraciones:

Debido al pequeo tamao de la esfera (sensor) y a su alta conductividad, es posible el empleo del modelo de sistema concentrado.

El interior del depsito funciona como una superficie negra, con indiferencia de la emisividad de sus paredes de aluminio o de cualquier otro material.

No hay conveccin, dado que hay vaco. El sensor no genera calor

Anlisis: La expresin de la evolucin de temperaturas en el tiempo ser: l y|[ ~ |9|g z5 mu 9 m Si integramos la expresin anterior: z mugA m99 z u 9 99 P 9 9R

9 z u 9 ~ z u 9/ 273 Donde el tiempo t est en segundos y la temperatura en C. Si establecemos que T=0C y despejamos el tiempo obtenemos t=2965.62 seg., as que:

El sensor se enfra hasta los 0C en aproximadamente 50 minutos



AGOSTO 2009-Cuestin 3 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Consideremos un dispositivo electrnico del que todas sus propiedades fsicas (m, v, c, k, ...) son conocidas y constantes, excepto su resistencia elctrica, que sigue una ley del tipo R() = T. Inicialmente el dispositivo se encuentra a la temperatura ambiente T. En el instante inicial el dispositivo se conecta y la intensidad de corriente I(A) se establece de manera prcticamente intantnea.

El coeficiente de conveccin es conocido y se desperdician los gradientes

espaciales de temperatura. Determinar la evolucin temporal de la temperatura.


Hacemos un balance: hG|ios6 h||ioxz99 ~

mmu t %l k ~ mmu mmu pt %l~ q t %lk~

La expresin anterior es del tipo $ $ por lo que tendremos que resolver primero la ecuacin homognea y despus calcular la solucin particular. La solucin es del tipo k $$ ?3ag $$

que si la particularizamos para nuestro problema obtenemos:

pk t %lkt %l q ?s6]xz5 g t %lkt %l





Una esfera inicialmente a una temperatura 0T , est sumergida en un fluido.

En el fluido se colocan calentadores elctricos de manera que la temperatura del fluido experimenta una variacin peridica dada por: )( tsenTTT Am += ,

donde mT , AT y son conocidos.

Dedzcase la expresin para la temperatura en la esfera en funcin del

tiempo.

Supngase que las temperaturas de la esfera y del fluido son uniformes en cualquier instante, de modo que pueda usarse el mtodo de la capacidad global y conocidos todos los parmetros geomtricos y trmicos del sistema.


Consideramos que las temperaturas de la esfera y del fluido son uniformes en cualquier instante, de modo que puede usarse el mtodo de la capacidad global. Haciendo uso del mtodo de la capacidad trmica global tenemos que:

dt

dTVCTTAhq ==

)(

La temperatura del fluido experimenta una variacin segn:

)( tsenTTT Am +=

Sustituyndolo en la ecuacin inicial:

dt

dTVCtsenTTTAhq Am =+= ))](([

Dividiendo los dos miembros de la ecuacin por VC nos queda:

dt

dTtsenTTT

VC

AhAm =+

))](([

Llamamos k a la siguiente relacin VC

Ahk

= , y sustituimos.



dt

dTtsenkTkTkT Am = )( 0)( =+ tsenkTkTkTdt

dTAm

La ecuacin diferencial resultante es:

)( tsenkTkTkTdt

dTAm +=+

Para dar la solucin a esta ecuacin necesitamos calcular separadamente la solucin homognea y la solucin particular.

Solucin de la homognea

Ecuacin homognea: 0=+ kTdt

dT

Solucin de la homognea: kth ecT

= 1

Lo podemos comprobar de la siguiente manera.

0=+ kTdt

dT kT

dt

dT= kdt

T

dT= ktcT =+ln ktecT = 1

Solucin particular

Ensayamos una solucin particular del tipo: 321 )cos()( kwtkwtsenkTp ++=

Sustituimos dicha solucin en la ecuacin diferencial de la temperatura:

)( tsenkTkTkTdt

dTAm +=+

)()cos()()()cos( 32121 wtsenkTkTkkwtkkwtsenkkwtwsenkwtwk Am +=+++

Igualando nos quedan los siguientes valores para las constantes de la solucin particular.

mTk =3

222 kw

kwTk A

+

=

22

2

3 kw

Tkk A

+=

Por lo que nos ya tenemos una ecuacin para la solucin particular.



mAA

p Ttsenk

Tkt

k

kTT +

++

+= )()cos(

22

2

22

Por lo tanto la ecuacin de la temperatura ser la suma de las dos soluciones.

mAAkt

ph Ttsenk

Tkt

k

kTecTTT +

++

+=+= )()cos(

22

2

221

Necesitamos la condicin inicial que nos da el enunciado para poder saber el valor de la constante que nos aparece en la expresin de la solucin homognea. Cuando 0=t 0TT =

mAA Tsenk

Tk

k

kTecT +

++

+= )0()0cos(

22

2

22

010

mA T

k

kTcT +

+=

2210

2201 k

kTTTc Am

++=

Sustituimos la expresin de la constante en la ecuacin de la temperatura y se obtiene la expresin final para la temperatura en la esfera.

)()cos(22

2

22220tsen

k

Tkt

k

kTe

k

kTTTTT AAktAmm

++

+

+++=



TEMA 5: MTODOS NUMRICOS EN LA CONDUCCIN DE CALOR

AGOSTO 2009-Cuestin 4


Consideremos una aleta de aleacin (k=25Wm-1C-1) de seccin transversal

triangular, cuya longitud es L=10cm, el espesor de la base es b=4cm y el ancho es mucho mayor que ambas dimensiones. La base de la aleta se mantiene a una temperatura T0=100C. La aleta pierde calor por conveccin al aire ambiente T=20C con un coeficiente de conveccin h=30Wm

-2C-1. Mediante el mtodo de diferencias finitas, con tres nodos igualmente

espaciados (arranque de la aleta nodo 0, centro de la aleta nodo 1, extremo de la aleta nodo 2), determinar las temperaturas en los nodos central (1) y extremo (2) de la aleta.

Se supone estado estacionario y transferencia de calor unidimensional.


Longitudes y arcos: tan w A a. 6. B 1.5B 0.5 A 2.5 0.5

lA 0.025495 l 0.050990 l 0.025495



0.030 0.010 Balances de calor:

$ A " $ " %lk 0$ " %lk 0

Tenemos un sistema que podemos escribir en forma matricial de la siguiente manera: P23.0594 55 6.5297R 1561.230.6 De aqu podemos obtener:

T1=84.4C y T2=67.8C



TEMA 6: FUNDAMENTOS DE LA CONVECCIN



Definir el problema de la disipacin de calor del lubricante que engrasa un

eje girando en una chumacera (asiento). Determinar el campo de temperaturas. Plantear las condiciones de contorno ms habituales. ((

' ' p('( ('(q ( ( ( (


En primer lugar definiremos los ejes. Podramos tomar un sistema de coordenadas cilndrico, que parecera lo lgico debido a la geometra, pero tomando un sistema de ejes cartesianos simplificaremos mucho los clculos.

Tal y como hemos definido el problema tenemos: u: velocidad del aceite en la direccin x v: velocidad del aceite en la direccin y L: espesor de la capa de aceite

Aplicamos al problema las ecuaciones diferenciales de la conveccin: 77" 77& 0

y y

x x



77" 77& 77& 7r7" ~ 77" 77& $ p77" 77&q 2 ux vy uy vx

A la hora de aplicar las ecuaciones al problema hay que tener en cuenta algunas consideraciones:

La velocidad del aceite en la direccin y es nula; debido a la geometra del problema y las coordenadas tomadas todas las velocidades son paralelas al eje x,

por tanto v=0, as como 8j8; 0, 0. La velocidad del aceite no vara con la direccin x, solo con la direccin y,

debido a la geometra y a las coordenadas tomadas, es decir, 0. Las propiedades del fluido no varan con la direccin x, debido a la geometra

del problema, por tanto presin no vara en la direccin x, 8y8: 0, y la temperatura tampoco vara con la direccin x, 898: 0 y 8698:6 0.

Teniendo en cuenta estas consideraciones las ecuaciones de la conveccin aplicadas al problema nos quedan: 0 77&

0 $ p77&q uy

En primer lugar calcularemos el campo de velocidades. Para ello supondremos que conocemos el radio del eje y la chumacera, as como la velocidad de giro del eje.

0 77& 0 77& ~& ~

Conocemos como condiciones de contorno: u(y=0) = 0 u(y=L) = R

Sustituyendo y despejando las dos constantes obtenemos el siguiente campo de velocidades:



& Ahora calcularemos el campo de temperaturas:

0 $ p77&q uy

Sustituyendo la u por el valor calculado anteriormente: 0 $ p77&q

Podemos ver que esta ecuacin es semejante a la que define el campo de temperaturas de conduccin en estado estacionario con generacin de calor en una geometra cartesiana. Resolviendo la ecuacin diferencial obtenemos:

P R y2$ ~& ~

Las condiciones de contorno ms habituales suelen ser las temperaturas de eje y la chumacera; con ello nos dan las temperaturas en y=0 y en y=L:

0 A P R 02$ ~0 ~ ~

e P R L2$ ~ ~

Con estos dos valores podramos calcular las constantes C1 y C2, y as determinar el campo de temperaturas.



TEMA 7,8 y 9: CONVECCIN EXTERNA-INTERNA FORZADA, CONVECCIN NATURAL PARCIAL 25/04/2005. CUESTIN 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

(Basado en el problema 5.71 del libro). Muchas de las relaciones sobre

transferencia de calor para la corriente sobre una placa plana son de la forma: %: "$ ~ ?:G Pr

Obtngase una expresin para x

x en funcin de las constantes C y n. Se pide determinar para el caso de temperatura de placa constante y para el caso de flujo de calor constante; en el primer caso ha de cumplirse que n % k y en el segundo que n %

k. SOLUCIN DEL PROBLEMA

a) Caso de n % k y u?

% 1 %: m" 1 $ :" m" e

Ae

A1 $ 1" ~ k " G Prm"

eA e $ ~ Pj RG Pr "Gm" eA e $ ~ Pej RG Pr G 3e G % G,

Es decir, % xG x

x G

Recordatorio: "Gm" eIGeA , ~ Pej RG Pr e b) Caso de n %

k y n u?

n %: k n "$ %: "$ k k n "$ ~ Pk " RG Pr k

k 1 km"

eA

1 n$ ~ Pk RG Pr ""G m"

eA



1 12 n $ ~ Pk RG G Pr n $ ~ Pk RG Pr

12 n$ e

12 n% 12

k n% 12 n 2 % .

k % 2 %

Es decir: % 2 % x

x 2 Recordatorio:

x:3 :, ~ P:j RG ?: , ::I m" eA :6IG Ae e6IG G e6eI



SEPTIEMBRE 2005 ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Un sistema de calefaccin impulsa

aire caliente por un conducto a 60C y con una velocidad de 4 m/s. El conducto mide 12 metros de largo, su seccin es de 20x20 cm y est formado por una chapa metlica de resistencia trmica despreciable. La superficie exterior del conducto tiene una emisividad de 0.3 y est expuesto al aire del stano a una temperatura de 10C, siendo el coeficiente de conveccin exterior de 10 456-. Determinar la temperatura de salida del aire caliente y la potencia trmica perdida. SOLUCIN DEL PROBLEMA

Hiptesis de partida 1.- Condiciones de flujo estable. 2.- El interior del conducto de las superficies son lisas. 3.- La resistencia trmica del conducto es insignifi

Problemas+Examenes+Hasta+2012

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